Dispersion : plasma dilué, effet de peau, paquet d'ondes

Cours complet · électromagnétisme (MPI), chapitre 6 · CPGE MPI (2e année)

Dans le vide, l'équation de d'Alembert décrit une propagation non dispersive et non absorbante : toutes les composantes harmoniques d'un signal se déplacent à la même célérité $c$ , et un paquet d'ondes garde sa forme. Les milieux matériels s'écartent de cet idéal. Dans un plasma dilué, la vitesse de propagation dépend de la fréquence (dispersion) et une onde de trop basse fréquence ne se propage plus (coupure). Dans un conducteur ohmique, le champ ne pénètre que sur une faible épaisseur, qu'il atténue exponentiellement (effet de peau). Ces deux situations, au programme, illustrent la démarche générale : chercher des ondes planes harmoniques $s \propto e^{j (ω t - k z)}$ , dont le vecteur d'onde $k$ est a priori complexe, et lire dans la relation de dispersion $k (ω)$ tout le comportement du milieu. On y adjoint la distinction essentielle entre vitesse de phase et vitesse de groupe, qui gouverne la propagation d'un paquet d'ondes réel.

6.1 Relation de dispersion d'un milieu linéaire

6.1.1 Milieu linéaire et décomposition de Fourier

Définition 6.1Équation de propagation linéaire

Une équation aux dérivées partielles portant sur un champ $s (z, t)$ est linéaire si toute combinaison linéaire de solutions est encore solution. Elle ne fait intervenir $s$ et ses dérivées qu'au premier degré, sans terme constant ni produit du type $s \partial_{z} s$ .

La linéarité autorise la décomposition de Fourier : un signal quelconque étant une superposition d'ondes harmoniques, il suffit d'étudier la propagation de chaque composante $e^{j ω t}$ indépendamment, puis de sommer.

Méthode : Établir une relation de dispersion

Pour une équation linéaire à coefficients constants :

injecter l'onde plane progressive harmonique complexe $s (z, t) = s_{0} e^{j (ω t - k z)}$ ;
utiliser les correspondances $\frac{\partial}{\partial t} \to j ω$ et $\frac{\partial}{\partial z} \to - j k$ ;
factoriser par $s_{0} e^{j (ω t - k z)} \neq = 0$ : il reste une relation algébrique entre $ω$ et $k$ , la relation de dispersion.

Définition 6.2Relation de dispersion

La relation de dispersion est la relation $k = k (ω)$ imposée par l'équation de propagation aux ondes harmoniques. Le vecteur d'onde $k = k^{'} - j k^{''}$ est a priori complexe :

$s (z, t) = s_{0} e^{- k^{''} z} e^{j (ω t - k^{'} z)} .$

La partie réelle $k^{'}$ fixe la longueur d'onde $λ = 2 π / k^{'}$ et la propagation de la phase ; la partie imaginaire $k^{''}$ fixe l'atténuation en amplitude $e^{- k^{''} z}$ (avec la convention $e^{+ j ω t}$ et une onde vers les $z > 0$ , $k^{''} \geq 0$ ).

ImportantDispersion versus absorption

Sur $k (ω) = k^{'} (ω) - j k^{''} (ω)$ :

si $v_{φ} = ω / k^{'}$ dépend de $ω$ (soit $k^{'}$ non proportionnel à $ω$ ) : le milieu est dispersif ;
si $k^{''} (ω) \neq = 0$ : le milieu est absorbant (atténuation exponentielle).

Un milieu peut être l'un, l'autre, les deux, ou aucun (d'Alembert : $k = ω / c$ réel).

6.1.2 Vitesse de phase

Définition 6.3Vitesse de phase

Pour une onde harmonique de pulsation $ω$ et de vecteur d'onde réel $k^{'} = Re (k)$ , la vitesse de phase est la vitesse de déplacement d'un plan de phase constante :

$v_{φ} = \frac{ω}{k ^{'}} .$

C'est la vitesse d'une crête d'une onde monochromatique idéale.

iRemarque

La vitesse de phase peut dépasser $c$ (c'est le cas dans le plasma) sans violer la relativité : une onde strictement monochromatique est infinie dans l'espace et le temps, elle ne transporte aucune information. L'information voyage à la vitesse de groupe, toujours $\leq c$ .

6.2 Onde électromagnétique dans un plasma dilué

6.2.1 Modèle du plasma dilué

Un plasma dilué est un gaz d'électrons libres (densité volumique $n$ ) sur un fond d'ions positifs immobiles assurant la neutralité électrique globale. Le plasma est dilué : on néglige les collisions (donc l'absorption dissipative) et l'action de la force magnétique de l'onde sur les électrons ( $v ≪ c$ ). On étudie une onde plane progressive harmonique transverse électrique $E = E_{0} e^{j (ω t - k z)} e_{x}$ .

Démonstration (Conductivité complexe du plasma)

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron (charge $- e$ , masse $m$ ), soumis au seul champ électrique de l'onde, s'écrit en notation complexe :

$m j ω v = - e E ⟹ v = \frac{- e}{j mω} E .$

La densité de courant volumique $ = - n e v = γ E$ fait apparaître la conductivité complexe

$γ = \frac{n e ^{2}}{j mω} = - j \frac{n e ^{2}}{mω}$

imaginaire pure : le courant est en quadrature avec le champ, donc la puissance volumique moyenne cédée aux électrons $⟨  \cdot E ⟩ = \frac{1}{2} Re (γ) E^{2} = 0$ . Le plasma dilué ne dissipe pas d'énergie.

6.2.2 Relation de dispersion et pulsation plasma

Démonstration (Relation de dispersion du plasma)

Dans le plasma la charge volumique est nulle (neutralité), $div E = 0$ . En combinant les équations de Maxwell, l'équation de propagation du champ transverse est

$Δ E - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = μ_{0} \frac{\partial }{\partial t} = μ_{0} γ j ω E .$

On injecte $Δ \to - k^{2}$ et $\partial_{t} \to j ω$ , avec $γ j ω = n e^{2} / m$ :

$- k^{2} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} = μ_{0} \frac{n e ^{2}}{m} ⟹ ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}, ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}},$

où l'on a utilisé $μ_{0} c^{2} = 1/ ε_{0}$ .

Définition 6.4Pulsation plasma

La pulsation plasma $ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}}$ est la pulsation propre d'oscillation collective des électrons du plasma. Elle joue le rôle d'une pulsation de coupure : elle sépare un domaine de transparence d'un domaine réactif.

Figure : Courbe de dispersion du plasma. Pour

ω < ω_{p}

aucune valeur réelle de

k

n'existe : l'onde est évanescente. Pour $ω > ω_{p}$ l'onde se propage, la courbe est concave et tend vers l'asymptote non dispersive $ω = c k$ .</div>

6.2.3 Transparence, coupure et ondes évanescentes

ImportantDeux régimes selon

ω

ω_{p}

La relation $k^{2} = (ω^{2} - ω_{p}^{2}) / c^{2}$ donne deux comportements :

$ω > ω_{p}$ (transparence) : $k$ est réel, l'onde se propage. Alors

$v_{φ} = \frac{c}{1 - ω _{p}^{2} / ω ^{2}} > c, v_{g} = c 1 - \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}} < c, v_{φ} v_{g} = c^{2} .$

$ω < ω_{p}$ (domaine réactif) : $k^{2} < 0$ , donc $k = - j / δ$ avec $δ = c / ω_{p}^{2} - ω^{2}$ ; l'onde est évanescente ( $e^{- z / δ}$ ), sans propagation de phase. Elle ne transporte aucune puissance moyenne : le plasma réfléchit totalement l'onde.

À $ω = ω_{p}$ : $k = 0$ , la coupure.

Proposition 6.5Onde évanescente et transport d'énergie

Dans le domaine réactif, $E \propto e^{- z / δ} e^{j ω t} e_{x}$ . La relation de structure $B = \frac{k}{ω} e_{z} \land E$ avec $k = - j / δ$ imaginaire pur montre que $B$ est en quadrature temporelle avec $E$ . Le vecteur de Poynting moyen $⟨ Π ⟩ = \frac{1}{2 μ _{0}} Re (E \land B^{*}) = 0$ : aucune énergie n'est transportée en moyenne. C'est la signature du transport nul par une onde évanescente, à distinguer de l'onde progressive absorbée (effet de peau, ci-après), qui transporte de l'énergie en la dissipant.

Exemple 6.6Ionosphère et communications radio

La haute atmosphère est ionisée par le rayonnement solaire : $n \sim 1 0^{11} m^{- 3}$ à $1 0^{12} m^{- 3}$ , soit $ω_{p} \sim 2 \times 1 0^{7} r a d / s$ et $f_{p} = ω_{p} /2 π \sim 3 M H z$ à $10 M H z$ . Les ondes de fréquence $f < f_{p}$ (grandes ondes AM, ondes courtes) sont réfléchies : cela permet les liaisons radio par-delà l'horizon (rebonds successifs sol--ionosphère). Les ondes FM ( $\sim 100 M H z$ ), la télévision et les liaisons satellites ( $f > f_{p}$ ) la traversent.

Exemple 6.7Réflexion métallique et éclat des métaux

Un métal est un plasma dense : pour le cuivre $n \sim 8.5 \times 1 0^{28} m^{- 3}$ donne $f_{p} \sim 2.6 \times 1 0^{15} H z$ , dans l'ultraviolet. Comme le visible vérifie $f < f_{p}$ , il est réfléchi : c'est l'origine de l'éclat métallique. Certains métaux deviennent transparents dans l'UV lointain ( $f > f_{p}$ ).

6.3 Effet de peau dans un conducteur ohmique

6.3.1 Équation de diffusion du champ

Dans un conducteur ohmique de conductivité réelle $γ$ (loi d'Ohm locale $ = γ E$ ), en régime lentement variable, le courant de conduction domine largement le courant de déplacement.

Démonstration (Approximation des régimes quasi stationnaires)

Ordre de grandeur des deux courants : conduction $ = γ E$ , déplacement $ε_{0} \partial_{t} E = ε_{0} ω E$ . Leur rapport vaut

$\frac{ε _{0} ω E}{γ E} = \frac{ε _{0} ω}{γ} .$

Pour le cuivre ( $γ \approx 6 \times 1 0^{7} S / m$ ), ce rapport vaut $1$ pour $ω \sim 7 \times 1 0^{18} r a d / s$ (rayons X). Jusqu'à des fréquences très élevées, on néglige le courant de déplacement devant le courant de conduction.

Proposition 6.8Équation de diffusion du champ

En négligeant le courant de déplacement, les équations de Maxwell donnent pour le champ dans le conducteur une équation de diffusion :

$Δ E = μ_{0} γ \frac{\partial E}{\partial t} (idem pour B et ).$

Ce n'est pas une équation de d'Alembert : il n'y a pas de propagation à célérité définie, mais une diffusion amortie du champ dans le métal.

Démonstration (Établissement de l'équation)

On prend le rotationnel de Maxwell--Faraday $rot E = - \partial_{t} B$ :

$rot (rot E) = grad (div E) - Δ E = - \partial_{t} (rot B) .$

Le conducteur est localement neutre ( $div E = 0$ ), et Maxwell--Ampère sans courant de déplacement s'écrit $rot B = μ_{0}  = μ_{0} γ E$ . Il vient $- Δ E = - μ_{0} γ \partial_{t} E$ , d'où le résultat.

6.3.2 Épaisseur de peau

Démonstration (Relation de dispersion et épaisseur de peau)

On cherche $E = E_{0} e^{j (ω t - k z)} e_{x}$ . L'équation de diffusion donne

$- k^{2} = μ_{0} γ j ω ⟹ k^{2} = - j μ_{0} γ ω .$

On extrait la racine de partie imaginaire négative (onde amortie vers $z > 0$ ). Comme $- j = e^{- j π /2}$ , on a $k = μ_{0} γ ω e^{- j π /4} = μ_{0} γ ω \frac{1 - j}{2}$ , soit

$k = \frac{1 - j}{δ}, δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} .$

Définition 6.9Épaisseur de peau

L'épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration) d'un conducteur ohmique est

$δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} .$

Le champ s'écrit $E = E_{0} e^{- z / δ} e^{j (ω t - z / δ)} e_{x}$ : il est à la fois amorti (facteur $e^{- z / δ}$ ) et propagatif (phase $- z / δ$ ). Sur une distance $δ$ l'amplitude est divisée par $e$ . Cette atténuation s'accompagne d'une dissipation par effet Joule (contrairement à l'onde évanescente du plasma).

Figure : Effet de peau : le champ pénètre dans le conducteur (

z > 0

) en oscillant et en

s'amortissant sur l'épaisseur caractéristique $δ$ . Le courant se concentre en surface.</div>

Exemple 6.10Ordres de grandeur pour le cuivre

$γ = 6.0 \times 1 0^{7} S / m$ , $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H / m$ , $δ = 1/ π μ_{0} γ f$ : $9.4 mm$ à $50 H z$ , $66 μ m$ à $1 M H z$ , $2 μ m$ à $1 G H z$ . À haute fréquence le courant est confiné dans une pellicule superficielle : la résistance effective augmente (on utilise des câbles multibrins, fil de Litz), et un blindage métallique mince suffit à confiner les ondes.

iRemarqueConducteur parfait

Quand $γ \to \infty$ , $δ \to 0$ : le champ ne pénètre pas. On retrouve le conducteur parfait, dans lequel $E = B = 0$ ; les courants et charges se répartissent en surface. C'est l'idéalisation utilisée pour les cavités et les guides d'ondes.

6.4 Paquet d'ondes et vitesse de groupe

6.4.1 Notion de paquet d'ondes

Un signal physique réel est limité dans le temps et dans l'espace : c'est un paquet d'ondes, superposition d'ondes harmoniques dont les pulsations se répartissent autour d'une valeur centrale $ω_{0}$ sur une largeur $Δ ω$ .

ImportantRelation durée--largeur spectrale

La durée $Δ t$ d'un paquet d'ondes et la largeur $Δ ω$ de son spectre sont liées par une inégalité de type Fourier :

$Δ ω Δ t ≳ 1 (de m e ˆ me Δ k Δ z ≳ 1) .$

Un paquet bref est spectralement large ; un signal quasi monochromatique ( $Δ ω$ petit) est nécessairement long. C'est l'analogue classique des inégalités de Heisenberg.

6.4.2 Vitesse de groupe

Considérons la superposition de deux ondes de pulsations voisines $ω_{0} \pm \frac{Δ ω}{2}$ et de vecteurs d'onde $k_{0} \pm \frac{Δ k}{2}$ , d'égale amplitude :

$s (z, t) = enveloppe 2 s_{0} cos (\frac{Δ ω}{2} t - \frac{Δ k}{2} z) porteuse cos (ω_{0} t - k_{0} z) .$

La porteuse se déplace à $v_{φ} = ω_{0} / k_{0}$ ; l'enveloppe se déplace à $Δ ω /Δ k$ . En passant à la limite continue :

Définition 6.11Vitesse de groupe

La vitesse de groupe d'un paquet d'ondes centré sur $ω_{0}$ est

$v_{g} = \frac{d ω}{d k}_{ω_{0}} (= (\frac{d k}{d ω})^{- 1}) .$

C'est la vitesse de propagation de l'enveloppe du paquet, donc de l'énergie et de l'information dans un milieu transparent.

Figure : Interprétation géométrique :

v_{φ}

est la pente de la corde

O M

v_{g}

la pente

de la tangente en $M$ à la courbe $ω (k)$ .</div>

Méthode : Calculer $v_{φ}$ et $v_{g}$

À partir de la relation de dispersion :

exprimer $k (ω)$ (ou $ω (k)$ ) dans le domaine propagatif ( $k$ réel) ;
vitesse de phase : $v_{φ} = ω / k$ ;
vitesse de groupe : $v_{g} = d ω / d k$ , soit $v_{g} = 1/ (d k / d ω)$ .

Milieu non dispersif $\Leftrightarrow$ $v_{φ} = v_{g} = cte$ .

6.4.3 Étalement d'un paquet dans un milieu dispersif

Proposition 6.12Dispersion et étalement

Dans un milieu dispersif, $v_{g} = d ω / d k$ dépend de $ω$ . Les différentes composantes spectrales du paquet se propageant à des vitesses différentes, le paquet s'étale : sa largeur $Δ z$ croît, son amplitude crête décroît (à énergie conservée). L'étalement est d'autant plus rapide que la courbure $d^{2} ω / d k^{2}$ (dispersion de vitesse de groupe) est grande. Le programme se limite au régime faiblement dispersif, où l'on assimile le paquet à une enveloppe rigide se déplaçant à $v_{g}$ sur des distances modérées.

Capacité numérique : Propagation d'un paquet d'ondes dispersif

On simule la propagation d'un paquet gaussien dans un plasma ( $ω (k) = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ ). On le représente par un signal analytique complexe $s (z, 0) = e^{- z^{2} /2 σ^{2}} e^{j k_{0} z}$ , on le décompose par FFT, on fait évoluer chaque composante $e^{- j ω (k) t}$ , puis on reconstruit et l'on trace. On visualise l'étalement et l'on compare $v_{g}$ (enveloppe) à $v_{φ}$ (crêtes).


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

c, omega_p, k0, sigma = 1.0, 1.0, 4.0, 6.0

def omega(k):
    return np.sqrt(omega_p**2 + (c*k)**2)   # relation de dispersion plasma

N, L = 4096, 400.0
z  = np.linspace(-L/2, L/2, N, endpoint=False)
dz = z[1] - z[0]
s0 = np.exp(-z**2/(2*sigma**2)) * np.exp(1j*k0*z)   # paquet analytique a t=0
S0 = np.fft.fft(s0)
k  = 2*np.pi*np.fft.fftfreq(N, d=dz)                # vecteurs d'onde signes

v_phi = omega(k0)/k0
v_g   = c**2 * k0 / omega(k0)                       # dw/dk pour le plasma
print("v_phi=%.3f  v_g=%.3f  v_phi*v_g=%.3f (=c^2=%.3f)"

def paquet(t):
    return np.fft.ifft(S0 * np.exp(-1j*omega(k)*t))

fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize=(8, 6), sharex=True)
for a, t in zip(ax, [0.0, 90.0, 180.0]):
    s = paquet(t)
    a.plot(z, np.real(s), color="#0f7387", lw=0.8)
    a.plot(z, np.abs(s), color="crimson", lw=0.6, alpha=0.4)
    a.axvline(v_g*t,   color="crimson", ls="--", lw=0.8)
    a.axvline(v_phi*t, color="gray",    ls=":",  lw=0.8)
    a.set_ylabel("t = %.0f" % t)
ax[-1].set_xlabel("z"); ax[0].set_title("Etalement d'un paquet dispersif (plasma)")
plt.tight_layout(); plt.savefig("paquet_dispersif.png", dpi=130)

Observations. Un unique paquet se translate vers la droite. L'enveloppe $∣ s ∣$ avance à $v_{g}$ (trait tireté), les crêtes de $Re (s)$ glissent à $v_{φ} > v_{g}$ (pointillé) : la porteuse « traverse » l'enveloppe. Au fil du temps l'enveloppe s'élargit et s'affaisse : c'est l'étalement dispersif. On vérifie $v_{φ} v_{g} \approx c^{2}$ .

6.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Méthode : $s \propto e^{j (ω t - k z)}$ ( $\partial_{t} \to j ω$ , $\partial_{z} \to - j k$ ) $\Rightarrow$ relation de dispersion $k (ω) = k^{'} - j k^{''}$ . $k^{'} \to$ phase et dispersion ; $k^{''} \to$ absorption $e^{- k^{''} z}$ .
Plasma dilué : $γ = - j n e^{2} / (mω)$ (imaginaire pure, non dissipatif) ; $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ , $ω_{p} = n e^{2} / (m ε_{0})$ .
$ω > ω_{p}$ : transparence, $v_{φ} > c$ , $v_{g} < c$ , $v_{φ} v_{g} = c^{2}$ ; $ω < ω_{p}$ : onde évanescente, réflexion totale, Poynting moyen nul. Ionosphère : $f_{p} \sim$ quelques MHz.
Effet de peau (conducteur ohmique, courant de déplacement négligé) : équation de diffusion $Δ E = μ_{0} γ \partial_{t} E$ , $k = (1 - j) / δ$ , $δ = 2/ (μ_{0} γ ω)$ ; onde amortie et propagative, dissipation Joule ( $δ \propto 1/ f$ ).
Vitesses : $v_{φ} = ω / k^{'}$ (crêtes, peut dépasser $c$ ) ; $v_{g} = d ω / d k$ (enveloppe, énergie, information, $\leq c$ ).
Paquet d'ondes : $Δ ω Δ t ≳ 1$ ; en milieu dispersif il s'étale ( $d^{2} ω / d k^{2} \neq = 0$ ).

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>6.6 Exercices résolus

Exemple 6.13Vitesse de groupe d'une loi de puissance

Un milieu suit $ω = A k^{n}$ ( $A > 0$ ). Exprimer $v_{φ}$ , $v_{g}$ et le rapport $v_{g} / v_{φ}$ .

Démonstration

$v_{φ} = ω / k = A k^{n - 1}$ et $v_{g} = d ω / d k = n A k^{n - 1}$ , donc $v_{g} / v_{φ} = n$ . Milieu non dispersif ssi $n = 1$ (d'Alembert). Pour $n > 1$ , $v_{g} > v_{φ}$ ; pour $n < 1$ , $v_{g} < v_{φ}$ .

Exemple 6.14Produit

v_{φ} v_{g}

dans le plasma

Montrer que dans le domaine de transparence, $v_{φ} v_{g} = c^{2}$ .

Démonstration

De $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ , on dérive $2 ω d ω = 2 c^{2} k d k$ , d'où $v_{g} = c^{2} k / ω$ . Or $v_{φ} = ω / k$ , donc $v_{φ} v_{g} = \frac{ω}{k} \cdot \frac{c ^{2} k}{ω} = c^{2}$ . Comme $v_{φ} > c$ , on a $v_{g} < c$ : l'information voyage bien à une vitesse inférieure à $c$ .

Exemple 6.15Conductivité et non-dissipation du plasma

Retrouver $γ = - j n e^{2} / (mω)$ et montrer que la puissance moyenne cédée aux électrons est nulle.

Démonstration

Le PFD $m j ω v = - e E$ donne $v = - e E / (j mω)$ ; alors $ = - n e v = \frac{n e ^{2}}{j mω} E = - j \frac{n e ^{2}}{mω} E$ . La puissance volumique moyenne vaut $\frac{1}{2} Re ( \cdot E^{*}) = \frac{1}{2} Re (γ) ∣ E ∣^{2} = 0$ car $γ$ est imaginaire pure : aucune dissipation.

Exemple 6.16Onde évanescente sous coupure

Pour $ω = ω_{p} /2$ , exprimer la profondeur de pénétration $δ$ dans le plasma et montrer qu'aucune puissance moyenne n'est transportée.

Démonstration

$k^{2} = (ω^{2} - ω_{p}^{2}) / c^{2} = - \frac{3 ω _{p}^{2}}{4 c ^{2}} < 0$ , donc $k = - j k^{''}$ avec $k^{''} = \frac{3 ω _{p}}{2 c}$ et $δ = 1/ k^{''} = \frac{2 c}{3 ω _{p}}$ . Le champ $E \propto e^{- z / δ} e^{j ω t}$ est évanescent : $E$ et $B$ sont en quadrature temporelle, donc $⟨ E \land B / μ_{0} ⟩ = 0$ . Réflexion totale.

Exemple 6.17Ionosphère : réflexion ou transmission ?

Une onde radio de fréquence $f = 5 M H z$ atteint une couche ionosphérique de $f_{p} = 9 M H z$ . Est-elle réfléchie ou transmise ? Estimer $δ$ .

Démonstration

$f < f_{p}$ : onde évanescente, réfléchie. $δ = c / ω_{p}^{2} - ω^{2} = \frac{c}{2 π f _{p}^{2} - f ^{2}} = \frac{3 \times 1 0 ^{8}}{2 π 9 ^{2} - 5 ^{2} \times 1 0 ^{6}} \approx 6.5 m$ . L'onde ne pénètre que sur quelques mètres avant d'être renvoyée vers le sol.

Exemple 6.18Épaisseur de peau du cuivre

Estimer $δ$ du cuivre ( $γ = 6.0 \times 1 0^{7} S / m$ ) à $50 H z$ et $1.0 M H z$ . Facteur entre les deux ?

Démonstration

$δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} = \frac{1}{π μ _{0} γ f}$ . À $50 H z$ : $δ \approx 9.4 mm$ . Comme $δ \propto 1/ f$ , passer à $1 M H z$ divise $δ$ par $2 \times 1 0^{4} \approx 141$ , soit $δ \approx 66 μ m$ . Le courant se concentre en surface : câbles multibrins (fil de Litz).

Exemple 6.19Diffusion versus propagation

Comparer, pour l'effet de peau et pour le plasma évanescent, les points communs et différences du point de vue énergétique.

Démonstration

Les deux présentent une décroissance exponentielle $e^{- z / δ}$ de l'amplitude. Différences : dans le plasma évanescent, $k$ est imaginaire pur (pas de propagation de phase), la conductivité est imaginaire pure et $⟨ Π ⟩ = 0$ : réflexion, aucune dissipation. Dans l'effet de peau, $k = (1 - j) / δ$ a une partie réelle (l'onde se propage en s'amortissant) et $γ$ est réelle : l'énergie pénètre et est dissipée par effet Joule.

Exemple 6.20Battement de deux ondes

Deux ondes de pulsations $ω_{0} \pm δ ω$ et vecteurs $k_{0} \pm δ k$ se superposent. Donner la vitesse des crêtes et celle de l'enveloppe.

Démonstration

La somme vaut $2 s_{0} cos (δ ω t - δ k z) cos (ω_{0} t - k_{0} z)$ . Les crêtes de la porteuse avancent à $v_{φ} = ω_{0} / k_{0}$ ; l'enveloppe (premier facteur) à $δ ω / δ k \to v_{g} = d ω / d k$ . On observe des paquets (battements) avançant à $v_{g}$ .

6.7 Exercices d'entraînement

Caractère linéaire. Parmi $\partial_{z}^{2} s - \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} s = 0$ , $\partial_{t} s + s \partial_{z} s = 0$ , $\partial_{z}^{2} s = \frac{1}{D} \partial_{t} s$ , identifier les équations linéaires.
Klein--Gordon. L'équation $\partial_{z}^{2} s - \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} s = \frac{ω _{p}^{2}}{c ^{2}} s$ décrit-elle un milieu dispersif ? absorbant ? Établir $k (ω)$ et retrouver la coupure.
Conductivité du plasma. Établir $γ = - j n e^{2} / (mω)$ et montrer que le courant est en quadrature avec le champ. Quelle est la puissance moyenne échangée ?
Relation de dispersion du plasma. Établir $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ à partir des équations de Maxwell et de $γ$ . Interpréter $ω_{p}$ comme pulsation de coupure.
Vitesses dans le plasma. Calculer $v_{φ} (ω)$ et $v_{g} (ω)$ , vérifier $v_{φ} v_{g} = c^{2}$ , tracer leur allure et commenter les limites $ω \to ω_{p}^{+}$ et $ω \to \infty$ .
Ionosphère. $n = 1 0^{11} m^{- 3}$ . Calculer $ω_{p}$ et $f_{p}$ . Une onde de $2 M H z$ est-elle réfléchie ? Et une onde FM de $100 M H z$ ?
Réflexion métallique. À partir de $f_{p}$ du cuivre, expliquer pourquoi les métaux sont brillants dans le visible et transparents dans l'UV lointain.
Onde évanescente. Pour $ω = 0.8 ω_{p}$ , calculer $δ$ dans le plasma et le nombre de pulsations plasma nécessaires pour diviser l'amplitude par $e^{10}$ .
Approximation ARQS dans un métal. Estimer la fréquence pour laquelle le courant de déplacement égale le courant de conduction dans le cuivre. Conclure sur la validité de l'équation de diffusion.
Équation de diffusion. Retrouver $Δ E = μ_{0} γ \partial_{t} E$ à partir des équations de Maxwell, puis $k = (1 - j) / δ$ et $δ = 2/ (μ_{0} γ ω)$ .
Effet de peau. À quelle fréquence $δ$ du cuivre vaut-elle $1.0 mm$ ? Commenter le choix des sections de câbles pour le transport à $50 H z$ .
Dissipation par effet de peau. Le champ dans le conducteur décroît en $e^{- z / δ}$ . Exprimer la puissance moyenne dissipée par unité de surface en fonction de $E_{0}$ , $γ$ et $δ$ (on intègre l'effet Joule sur $z > 0$ ).
Paquet laser. Une impulsion de durée $Δ t = 10 f s$ est centrée à $λ = 800 nm$ . Estimer $Δ ω$ puis $Δ λ$ . Commenter la monochromaticité.
Étalement. Justifier qualitativement, via $v_{g} (ω)$ , pourquoi un paquet s'étale d'autant plus vite que $d^{2} ω / d k^{2}$ est grand. Le vide disperse-t-il un paquet ?

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Dispersion : plasma dilué, effet de peau, paquet d'ondes

6.1 Relation de dispersion d'un milieu linéaire

6.1.1 Milieu linéaire et décomposition de Fourier

Méthode : Établir une relation de dispersion

6.1.2 Vitesse de phase

6.2 Onde électromagnétique dans un plasma dilué

6.2.1 Modèle du plasma dilué

6.2.2 Relation de dispersion et pulsation plasma

6.2.3 Transparence, coupure et ondes évanescentes

6.3 Effet de peau dans un conducteur ohmique

6.3.1 Équation de diffusion du champ

6.3.2 Épaisseur de peau

6.4 Paquet d'ondes et vitesse de groupe

6.4.1 Notion de paquet d'ondes

6.4.2 Vitesse de groupe

Méthode : Calculer vφ​ et vg​

6.4.3 Étalement d'un paquet dans un milieu dispersif

Capacité numérique : Propagation d'un paquet d'ondes dispersif

6.5 Synthèse du chapitre

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>6.6 Exercices résolus

6.7 Exercices d'entraînement

Méthode : Calculer $v_{φ}$ et $v_{g}$