Sources du champ électromagnétique

Cours · électromagnétisme (PC), chapitre 1 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le vecteur densité de courant et le flux des charges à travers une surface.

Le champ électromagnétique n'existe pas « en soi » : il est créé par des charges et par des courants. Avant d'écrire les équations de Maxwell qui relient champs et sources, il faut donc décrire précisément ces sources. Or la matière est constituée de particules discrètes (électrons, ions, protons) séparées par un vide immense à l'échelle atomique. Décrire le champ créé par chaque particule serait à la fois impossible et inutile : les instruments de mesure, comme les phénomènes macroscopiques, moyennent naturellement sur un très grand nombre de porteurs.

Ce chapitre introduit donc la description mésoscopique des sources — densité volumique de charge $ρ$ et vecteur densité de courant $j$ — qui lisse la granularité microscopique tout en restant locale à l'échelle des variations des champs. Nous établirons ensuite l'équation de conservation de la charge, principe physique fondamental qui contraint toute distribution de courant. Enfin, le modèle de Drude fournira une interprétation microscopique de la conduction électrique et de la loi d'Ohm locale $j = γ E$ : nous en tirerons l'influence de la fréquence sur la conductivité, la résistance d'un conducteur filiforme et l'effet Joule, puis nous interpréterons l'effet Hall.

1.1 Description mésoscopique des sources

1.1.1 Échelle mésoscopique et hypothèse des milieux continus

À l'échelle microscopique, la charge est portée par des particules ponctuelles : la densité de charge y est une somme de distributions de Dirac, extrêmement discontinue. À l'échelle macroscopique (le millimètre, le centimètre), on ne perçoit qu'une matière apparemment continue. L'échelle mésoscopique est une échelle intermédiaire.

Définition 1.1Volume mésoscopique

Un volume mésoscopique $d τ$ est un volume :

macroscopiquement petit : petit devant l'échelle des variations spatiales des grandeurs physiques (champs, densités), de sorte qu'on puisse le traiter comme un « point » $M$ ;
microscopiquement grand : grand devant la distance interatomique, de sorte qu'il contienne un très grand nombre de particules ( $N ≫ 1$ ) et que les moyennes statistiques y soient bien définies.

iRemarque

Dans un solide, la distance interatomique est de l'ordre de $0, 3 nm$ . Un cube mésoscopique de côté $100 nm$ contient déjà quelques $1 0^{7}$ atomes ( $(100/0, 3)^{3} \approx 4 \times 1 0^{7}$ ) : les fluctuations statistiques relatives, en $1/ N$ , y sont négligeables. On dispose donc d'une large fenêtre d'échelles pour définir des densités locales lisses.

1.1.2 Densité volumique de charge

Définition 1.2Densité volumique de charge

La densité volumique de charge $ρ (M, t)$ au point $M$ et à l'instant $t$ est le rapport

$ρ (M, t) = \frac{d q}{d τ},$

où $d q$ est la charge totale contenue dans le volume mésoscopique $d τ$ entourant $M$ . Elle s'exprime en coulomb par mètre cube ( $C / m^{3}$ ).

La charge totale contenue dans un volume $V$ macroscopique s'obtient par intégration :

$Q = ∭_{V} ρ (M, t) d τ .$

Considérons un milieu contenant plusieurs types de porteurs. Notons $n_{k}$ la densité volumique (nombre de porteurs par unité de volume) et $q_{k}$ la charge de chaque porteur du type $k$ . La densité de charge s'écrit :

$ρ = k \sum n_{k} q_{k} .$

ImportantNeutralité électrique

Un conducteur métallique contient des ions positifs fixes (densité $n_{+} q_{+}$ ) et des électrons de conduction mobiles (densité $n_{-} q_{-}$ , avec $q_{-} = - e$ ). À l'équilibre, ces contributions se compensent quasi exactement : $ρ ≃ 0$ . Un métal parcouru par un courant reste globalement neutre ( $ρ = 0$ ) même si les électrons se déplacent : ce sont les charges positives fixes qui neutralisent en permanence la charge mobile.

1.1.3 Modélisations linéique et surfacique

Lorsque la charge occupe une région très mince dans une ou deux directions, devant les dimensions du problème et la distance d'observation, on l'idéalise par une distribution linéique (un fil chargé) ou surfacique (un plan chargé).

Définition 1.3Densités linéique et surfacique

Une densité linéique de charge $λ$ décrit une charge répartie le long d'un fil : $d q = λ d ℓ$ , avec $λ$ en $C / m$ .
Une densité surfacique de charge $σ$ décrit une charge répartie sur une surface : $d q = σ d S$ , avec $σ$ en $C / m^{2}$ .

Ces modélisations sont des idéalisations qui conservent la charge et oublient une ou deux dimensions : un cylindre plein de rayon $a$ et de densité $ρ$ uniforme devient un fil de densité $λ = ρ π a^{2}$ ; une couche plane d'épaisseur $e$ devient un plan de densité $σ = ρ e$ , limite d'une densité volumique très grande sur une épaisseur très petite.

ImportantLe seul usage de la densité surfacique

Dans ce cours, la modélisation surfacique d'une charge sert uniquement au condensateur plan, dont les armatures sont modélisées par deux plans infinis uniformément chargés ( $\pm σ$ ). Aucune distribution de courant n'est modélisée par une densité surfacique : les courants sont toujours décrits par le vecteur densité de courant volumique $j$ , ou par l'intensité d'un fil.

1.2 Vecteur densité de courant et intensité

1.2.1 Vecteur densité de courant volumique

Le déplacement d'ensemble des porteurs de charge constitue un courant électrique. Pour le décrire localement, on introduit un vecteur.

Considérons une seule population de porteurs, de charge $q$ , de densité volumique $n$ , animés en moyenne d'une vitesse $v$ (vitesse d'ensemble, ou vitesse de dérive).

Définition 1.4Vecteur densité de courant

Le vecteur densité de courant volumique est

$j = n q v .$

En présence de plusieurs types de porteurs :

$j = k \sum n_{k} q_{k} v_{k} = k \sum ρ_{k} v_{k} .$

Il s'exprime en ampère par mètre carré ( $A / m^{2}$ ).

Important

Le signe de $j$ est indépendant du signe des porteurs : des charges négatives ( $q < 0$ ) se déplaçant vers la gauche ( $v$ vers la gauche) donnent un vecteur $j = q n v$ dirigé vers la droite. C'est le sens conventionnel du courant, celui du déplacement de charges positives fictives.

1.2.2 Charge traversant une surface, intensité

Cherchons la charge $δ^{2} q$ qui traverse un petit élément de surface fixe $d S = d S n$ pendant $d t$ . Les porteurs qui franchissent $d S$ pendant $d t$ sont ceux contenus dans le cylindre oblique de base $d S$ et de génératrice $v d t$ , de volume $d τ = (v d t) \cdot d S$ (positif ici, car $v$ traverse $d S$ dans le sens de $n$ ).

La charge contenue dans ce cylindre est $δ^{2} q = ρ d τ = ρ v \cdot d S d t = j \cdot d S d t$ . On définit l'intensité comme le débit de charge.

Définition 1.5Intensité et flux de

j

L'intensité du courant $I$ à travers une surface orientée $S$ est le flux du vecteur densité de courant :

$I = \iint_{S} j \cdot d S .$

C'est la charge qui traverse $S$ par unité de temps, exprimée en ampère ( $A$ ).

iRemarque

Pour un fil conducteur de section $S$ dans lequel $j$ est uniforme et parallèle à l'axe, $I = j S$ . On retrouve $j = I / S$ , densité de courant homogène à une intensité surfacique.

Exemple 1.6Ordre de grandeur de la vitesse de dérive

Dans un fil de cuivre de section $S = 1 m m^{2}$ parcouru par $I = 1 A$ , avec $n \approx 8, 5 \times 1 0^{28} / m^{3}$ électrons libres :

$v = \frac{I}{n e S} \approx \frac{1}{8 , 5 \times 1 0 ^{28} \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 0 ^{- 6}} \approx 7 \times 1 0^{- 5} m / s .$

La vitesse de dérive est minuscule (quelques dizaines de microns par seconde), sans commune mesure avec la vitesse de propagation du signal électrique (proche de $c$ ) ni avec la vitesse d'agitation des électrons (vitesse de Fermi, $\sim 1 0^{6} m / s$ ).

1.3 Conservation de la charge

1.3.1 Principe et bilan intégral

La charge électrique est une grandeur conservée : elle ne peut être ni créée ni détruite, seulement déplacée. Traduisons ce principe par un bilan.

Soit un volume $V$ fixe, délimité par une surface fermée $S$ orientée vers l'extérieur. La charge qu'il contient est $Q (t) = ∭_{V} ρ d τ$ . Cette charge ne peut varier que par échange à travers la frontière $S$ . Le courant sortant de $V$ vaut $I_{sortant} = \oint \oint_{S} j \cdot d S$ . La conservation impose que toute charge qui sort fait diminuer $Q$ :

$\frac{d Q}{d t} = - \oint \oint_{S} j \cdot d S soit \frac{d}{d t} ∭_{V} ρ d τ = - \oint \oint_{S} j \cdot d S .$

1.3.2 Équation locale de continuité

Démonstration (Cas unidimensionnel cartésien)

Considérons un problème à une dimension : $j = j (x, t) u_{x}$ et $ρ = ρ (x, t)$ . Faisons le bilan de charge dans la tranche comprise entre $x$ et $x + d x$ , de section $S$ , donc de volume $S d x$ , entre les instants $t$ et $t + d t$ .

La charge qui entre en $x$ pendant $d t$ est $j (x, t) S d t$ ; celle qui sort en $x + d x$ est $j (x + d x, t) S d t$ . La variation de charge de la tranche est

$d Q = [j (x, t) - j (x + d x, t)] S d t = - \frac{\partial j}{\partial x} d x S d t .$

Or $Q = ρ (x, t) S d x$ , donc $d Q = \frac{\partial ρ}{\partial t} d t S d x$ . En égalant :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} S d x d t = - \frac{\partial j}{\partial x} d x S d t ⟹ \frac{\partial j}{\partial x} + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0 .$

Pour une géométrie quelconque, on admet la généralisation de ce résultat, qui fait intervenir l'opérateur divergence (dont l'expression, dans chaque système de coordonnées, est fournie). En coordonnées cartésiennes, $div j = \frac{\partial j _{x}}{\partial x} + \frac{\partial j _{y}}{\partial y} + \frac{\partial j _{z}}{\partial z}$ , qui se réduit à $\frac{\partial j}{\partial x}$ dans le cas unidimensionnel.

◆Théorème 1.7Équation locale de conservation de la charge

En tout point et à tout instant, la densité de charge et le vecteur densité de courant vérifient l'équation de continuité :

$div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0 .$

iRemarqueLien avec le bilan intégral

Le théorème de Green--Ostrogradski (flux--divergence), dont l'expression est fournie, s'écrit $\oint \oint_{S} j \cdot d S = ∭_{V} div j d τ$ . Comme le volume $V$ est fixe, $\frac{d Q}{d t} = ∭_{V} \frac{\partial ρ}{\partial t} d τ$ , et le bilan intégral devient $∭_{V} (\frac{\partial ρ}{\partial t} + div j) d τ = 0$ pour tout volume $V$ : l'intégrande est nul, c'est l'équation de continuité. Inversement, l'équation locale redonne le bilan intégral. La même structure (« variation d'une densité $+$ divergence d'un flux $= 0$ ») se retrouve en diffusion de particules, en diffusion thermique et en mécanique des fluides.

1.3.3 Régime stationnaire et loi des nœuds

Proposition 1.8Caractère conservatif de

j

en régime stationnaire

En régime stationnaire (permanent), toutes les grandeurs sont indépendantes du temps, donc $\frac{\partial ρ}{\partial t} = 0$ et

$div j = 0.$

Le vecteur $j$ est dit à flux conservatif : son flux à travers toute surface fermée est nul, et le flux se conserve le long d'un tube de courant.

ImportantLien avec la loi des nœuds

Entourons un nœud d'un circuit d'une surface fermée $S$ traversée par les fils $1, 2, \dots$

En régime stationnaire $\oint \oint_{S} j \cdot d S = 0$ , or ce flux vaut $\sum_{k} \pm I_{k}$ (signe selon que le courant sort ou entre). On retrouve la loi des nœuds : $\sum_{entrant} I_{k} = \sum_{sortant} I_{k}$ . La loi des nœuds de l'électrocinétique n'est donc rien d'autre que la conservation de la charge en régime permanent.

1.4 Conduction électrique dans un conducteur ohmique

1.4.1 Modèle de Drude

Établissons l'expression de la conductivité à l'aide d'un modèle microscopique dû à Paul Drude (1900). On considère les électrons de conduction comme un « gaz » de particules libres, de charge $- e$ et de masse $m$ , de densité $n$ , soumis à :

la force électrique $- e E$ due au champ appliqué (le poids est négligeable) ;
une force de frottement fluide linéaire $- \frac{m}{τ} v$ modélisant en moyenne l'effet de l'agitation thermique et des défauts du réseau, avec lesquels l'électron entre en collision. Le paramètre $τ$ est le temps de relaxation, ordre de grandeur de la durée moyenne entre deux collisions (à ne pas confondre avec le temps de relaxation diélectrique $τ_{d} = ε_{0} / γ$ , rencontré dans les exercices résolus, qui décrit l'évacuation d'une charge volumique).

La relation fondamentale de la dynamique appliquée à un électron « moyen », dont $v$ est la vitesse moyenne (vitesse de dérive), s'écrit :

$m \frac{d v}{d t} = - e E - \frac{m}{τ} v .$

Démonstration (Conductivité dans le modèle de Drude)

Pour un champ $E$ constant appliqué à partir de $t = 0$ (électrons de vitesse moyenne nulle avant), l'équation $\frac{d v}{d t} + \frac{v}{τ} = - \frac{e}{m} E$ a pour solution

$v (t) = - \frac{e τ}{m} E (1 - e^{- t / τ}) .$

Au bout de quelques $τ$ , le régime permanent est atteint et la vitesse de dérive vaut

$v = - \frac{e τ}{m} E .$

Le vecteur densité de courant vaut alors $j = n (- e) v = \frac{n e ^{2} τ}{m} E$ . On identifie la loi d'Ohm locale $j = γ E$ avec

$γ = \frac{n e ^{2} τ}{m} .$

◆Théorème 1.9Loi d'Ohm locale

Dans un conducteur ohmique, le vecteur densité de courant est proportionnel au champ électrique local :

$j = γ E, γ = \frac{n e ^{2} τ}{m},$

où $γ$ est la conductivité électrique (en $S / m$ ). Son inverse $ρ_{e ˊ l} = 1/ γ$ est la résistivité.

iRemarqueOrdre de grandeur

Pour le cuivre, $γ \approx 5, 9 \times 1 0^{7} S / m$ et $n \approx 8, 5 \times 1 0^{28} / m^{3}$ , ce qui donne $τ \approx 2, 5 \times 1 0^{- 14} s$ : parcourue à la vitesse de Fermi ( $v_{F} \approx 1, 6 \times 1 0^{6} m / s$ ), la distance entre deux collisions (libre parcours moyen) est de l'ordre de la quarantaine de nanomètres. La brièveté de $τ$ justifie que le régime permanent soit atteint quasi instantanément.

1.4.2 Influence de la fréquence

Le champ appliqué est maintenant sinusoïdal, de pulsation $ω$ . On étudie le régime sinusoïdal forcé en notation complexe : $E = E_{0} e^{j ω t}$ , $v = v_{0} e^{j ω t}$ , de sorte que $\frac{d v}{d t} = j ω v$ .

Proposition 1.10Conductivité complexe

En régime sinusoïdal forcé, $j = γ E$ , avec

$γ (ω) = \frac{γ _{0}}{1 + j ω τ}, γ_{0} = \frac{n e ^{2} τ}{m} (conductivit e ˊ statique) .$

Démonstration

L'équation du mouvement devient $j ω m v = - e E - \frac{m}{τ} v$ , soit $v = - \frac{e τ / m}{1 + j ω τ} E$ . D'où $j = - n e v = \frac{n e ^{2} τ / m}{1 + j ω τ} E$ .

ImportantDiscussion : quand la conductivité reste-t-elle réelle ?

Basse fréquence, $ω τ ≪ 1$ : $γ ≃ γ_{0}$ , réelle. Le courant suit le champ sans retard, et la loi d'Ohm statique $j = γ_{0} E$ s'applique à chaque instant. Pour le cuivre, la fréquence de coupure vaut $f_{c} = \frac{1}{2 π τ} \approx 6 \times 1 0^{12} Hz$ (longueur d'onde dans le vide $\approx 50 μ m$ , infrarouge lointain) : la conductivité est réelle pour toute l'électronique et toutes les ondes hertziennes ( $ω τ \approx 1, 6 \times 1 0^{- 4}$ à $1 G Hz$ ).
Haute fréquence, $ω τ ≫ 1$ : $γ ≃ \frac{γ _{0}}{j ω τ}$ , presque imaginaire pure et de module petit. L'inertie des électrons les empêche de suivre le champ : le courant est en quadrature retard sur le champ. La puissance moyenne cédée aux porteurs, $⟨ j \cdot E ⟩ = \frac{1}{2} Re (γ) E_{0}^{2}$ , s'effondre : c'est le domaine optique, où le métal ne se comporte plus comme un conducteur ohmique ordinaire.

Cette conductivité complexe sert à étudier la propagation des ondes électromagnétiques dans les conducteurs et les plasmas.

1.4.3 Résistance d'un conducteur filiforme

Méthode : Établir la résistance d'une portion de conducteur filiforme

Considérons un cylindre conducteur de longueur $L$ , de section $S$ , de conductivité $γ$ , parcouru par un courant uniforme selon son axe $u_{x}$ , en régime stationnaire.

Le courant vaut $I = j S = γ E S$ , donc $E = \frac{I}{γ S}$ (champ uniforme).
La tension entre les extrémités est la circulation du champ : $U = V (0) - V (L) = \int_{0}^{L} E d x = E L = \frac{L}{γ S} I$ .
Par identification avec $U = R I$ (convention récepteur) :

$R = \frac{L}{γ S} = \frac{ρ _{e ˊ l} L}{S} .$

iRemarque

Si la section varie lentement le long du conducteur, on découpe celui-ci en tranches d'épaisseur $d x$ , de résistance $d R = \frac{d x}{γ S ( x )}$ , parcourues par la même intensité (flux conservatif de $j$ ) : les résistances des tranches s'ajoutent, $R = \int_{0}^{L} \frac{d x}{γ S ( x )}$ .

1.4.4 Effet Joule volumique

Le champ électrique fournit un travail aux porteurs de charge. Évaluons la puissance cédée dans un volume mésoscopique $d τ$ contenant $n d τ$ porteurs.

Démonstration (Puissance volumique)

La force de Lorentz sur un porteur est $f = q (E + v \land B)$ . Sa composante magnétique $q v \land B$ , toujours orthogonale à $v$ , ne travaille pas : seule la composante électrique cède de la puissance, $f \cdot v = q E \cdot v$ — c'est ce qui rend le résultat général, valable même en présence d'un champ magnétique. Pour l'ensemble des porteurs du volume $d τ$ :

$d P = n d τ \times q E \cdot v = (n q v) \cdot E d τ = j \cdot E d τ .$

La puissance volumique cédée aux porteurs est donc $p = j \cdot E$ .

◆Théorème 1.11Loi de Joule locale

La puissance volumique cédée par le champ électrique aux porteurs de charge est

$p = j \cdot E (W / m^{3}) .$

Dans un conducteur ohmique ( $j = γ E$ ), cette puissance est toujours positive :

$p = γ E^{2} = \frac{j ^{2}}{γ} \geq 0.$

Important

En régime permanent, la vitesse de dérive des porteurs est constante : l'énergie qu'ils reçoivent du champ n'est pas convertie en énergie cinétique mais intégralement transférée au réseau lors des collisions, sous forme de chaleur. C'est l'effet Joule : $p = j \cdot E > 0$ traduit une dissipation irréversible. La puissance totale dissipée dans le conducteur filiforme précédent vaut $P = ∭ p d τ = γ E^{2} (S L) = R I^{2}$ , en accord avec l'électrocinétique.

1.4.5 Effet Hall

Considérons un ruban conducteur parallélépipédique, de largeur $ℓ$ selon $u_{y}$ et d'épaisseur $h$ selon $u_{z}$ , parcouru par un courant $j = j u_{x}$ ( $j > 0$ ) et plongé dans un champ magnétique extérieur uniforme $B = B u_{z}$ , perpendiculaire à sa grande face. $B$ est donc perpendiculaire à la fois au courant et à la largeur du ruban.

Effet Hall pour des électrons de conduction. La force magnétique $f_{m} = - e v \land B$ pousse les électrons vers la face $- u_{y}$ , qui se charge négativement ; la face $+ u_{y}$ , déficitaire, se charge positivement. Le champ de Hall $E_{H}$ , selon $- u_{y}$ ici, est perpendiculaire à $j$ et à $B$ .

ImportantInterprétation qualitative de l'effet Hall

Déviation. Les porteurs, animés de la vitesse de dérive $v$ , subissent la force magnétique $f_{m} = q v \land B$ , perpendiculaire à $v$ et à $B$ , donc dirigée selon $\pm u_{y}$ : elle les dévie vers l'une des faces latérales $y = \pm ℓ /2$ . Pour des électrons ( $q = - e$ , $v$ selon $- u_{x}$ ), $f_{m} = - e (- v u_{x}) \land (B u_{z}) = - e v B u_{y}$ .
Accumulation. Les porteurs s'accumulent sur cette face, laissant la face opposée avec une charge de signe contraire : il apparaît un champ électrique transverse $E_{H}$ , le champ de Hall, dirigé selon $u_{y}$ ou $- u_{y}$ .
Régime permanent. L'accumulation cesse quand la force électrique transverse compense la force magnétique : $q E_{H} + q v \land B = 0$ , soit $E_{H} = - v \land B$ et $E_{H} = v B$ . Les porteurs circulent alors de nouveau parallèlement à $u_{x}$ .
Tension de Hall. Entre les deux faces latérales apparaît une tension transverse $U_{H} = E_{H} ℓ = v B ℓ$ , mesurable perpendiculairement au courant. Avec $I = n ∣ q ∣ v ℓ h$ , elle s'écrit $U_{H} = \frac{I B}{n ∣ q ∣ h}$ : elle est d'autant plus grande que les porteurs sont peu nombreux et que le ruban est mince.

iRemarqueSigne des porteurs

Pour un même sens de $j$ et de $B$ , des porteurs positifs et des porteurs négatifs sont déviés vers la même face (le produit $q v$ est le même, puisque c'est $j / n$ ), mais ils y apportent des charges opposées : la polarité de la tension de Hall s'inverse. La mesure de l'effet Hall renseigne donc directement sur le signe des porteurs majoritaires : c'est ainsi qu'on met en évidence la conduction par « trous » (porteurs effectifs positifs) dans certains semi-conducteurs. Pour un métal ( $n \sim 1 0^{29} / m^{3}$ ), $U_{H}$ est de l'ordre du microvolt ; pour un semi-conducteur ( $n \sim 1 0^{22} / m^{3}$ ), elle atteint quelques dizaines de millivolts : c'est le principe des sondes à effet Hall, qui mesurent les champs magnétiques.

1.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Description des sources (échelle mésoscopique).

Densité volumique de charge : $ρ = \frac{d q}{d τ} = \sum_{k} n_{k} q_{k}$ ; charge $Q = ∭_{V} ρ d τ$ .
Modélisations linéique ( $d q = λ d ℓ$ , fil) et surfacique ( $d q = σ d S$ , réservée aux plans du condensateur plan).
Vecteur densité de courant : $j = \sum_{k} n_{k} q_{k} v_{k}$ ; intensité $I = \iint_{S} j \cdot d S$ (flux de $j$ ).

Conservation de la charge.

Bilan intégral : $\frac{d Q}{d t} = - \oint \oint_{S} j \cdot d S$ .
Cas unidimensionnel établi : $\frac{\partial j}{\partial x} + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0$ ; généralisation : $div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0$ .
Régime stationnaire : $div j = 0$ ( $j$ à flux conservatif) $\Rightarrow$ loi des nœuds.

Conduction ohmique (modèle de Drude).

Frottement fluide $- \frac{m}{τ} v$ ; loi d'Ohm locale : $j = γ E$ , avec $γ = \frac{n e ^{2} τ}{m}$ (conductivité, $S / m$ ) ; $τ \sim 1 0^{- 14} s$ pour un métal.
Fréquence : $γ = \frac{γ _{0}}{1 + j ω τ}$ , réelle tant que $ω τ ≪ 1$ ( $f ≪ 1 0^{12} Hz$ pour le cuivre).
Résistance d'un fil : $R = \frac{L}{γ S} = \frac{ρ _{e ˊ l} L}{S}$ .
Effet Joule local : $p = j \cdot E = γ E^{2} = \frac{j ^{2}}{γ} \geq 0$ .
Effet Hall : déviation des porteurs par $q v \land B$ , accumulation sur une face latérale, champ de Hall $E_{H} = - v \land B$ ; le signe de $U_{H}$ donne celui des porteurs.

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