Électrostatique

Cours · électromagnétisme (PC), chapitre 2 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le théorème de Gauss : le flux du champ électrique à travers une sphère dépend de la charge qu'elle entoure.

L'électrostatique étudie le champ électrique créé par des charges immobiles, c'est-à-dire, en régime stationnaire, par des distributions de charges indépendantes du temps. Bien que l'électromagnétisme soit gouverné dans le cas général par les quatre équations de Maxwell, le régime statique découple les phénomènes électriques et magnétiques : le champ électrostatique $E$ ne dépend alors que de la distribution de charges, et le champ magnétostatique $B$ que de la distribution de courants (chapitre suivant).

Ce chapitre reprend et approfondit les acquis de PCSI (loi de Coulomb, potentiel, énergie) et introduit deux outils centraux de la deuxième année : l'exploitation systématique des symétries et invariances des sources pour prévoir la structure du champ, et le théorème de Gauss pour en calculer la norme dans les cas de haute symétrie. Les calculs de champs n'y sont pas une fin en soi : ils servent des situations concrètes (atmosphère, condensateur, molécules, noyaux). Le dipôle électrostatique relie ensuite l'électrostatique à la chimie (molécules polaires, solvatation des ions, polarisabilité) ; on termine par les aspects énergétiques, dont l'énergie de constitution d'un noyau atomique, et par l'analogie formelle avec le champ gravitationnel newtonien.

2.1 Champ et potentiel d'une charge ponctuelle

2.1.1 Loi de Coulomb

L'interaction électrostatique entre deux charges ponctuelles immobiles est décrite par la loi expérimentale de Coulomb (1785).

Définition 2.1Loi de Coulomb

Deux charges ponctuelles $q_{1}$ et $q_{2}$ , placées respectivement en $M_{1}$ et $M_{2}$ dans le vide, exercent l'une sur l'autre des forces opposées. La force exercée par $q_{1}$ sur $q_{2}$ s'écrit

$F_{1 \to 2} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q _{1} q _{2}}{r ^{2}} u_{1 \to 2}, r = M_{1} M_{2}, u_{1 \to 2} = \frac{M _{1} M _{2}}{r} .$

La constante $ε_{0} ≃ 8, 85 \times 1 0^{- 12} F / m$ est la permittivité du vide et $\frac{1}{4 π ε _{0}} ≃ 9, 0 \times 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$ .

La force est répulsive pour deux charges de même signe ( $q_{1} q_{2} > 0$ ) et attractive pour des charges de signes opposés. Sa décroissance en $1/ r^{2}$ est identique à celle de la gravitation ; à distance égale, l'interaction électrique entre deux protons est cependant environ $1 0^{36}$ fois plus intense que leur interaction gravitationnelle.

2.1.2 Champ électrostatique d'une charge ponctuelle

On interprète l'action à distance en introduisant un intermédiaire, le champ électrostatique : la charge $q$ placée en $O$ modifie l'espace environnant, et une charge test $q^{'}$ placée en $M$ subit la force $F = q^{'} E (M)$ .

Définition 2.2Champ d'une charge ponctuelle

Une charge ponctuelle $q$ située en $O$ crée en tout point $M$ (repéré par $O M = r u_{r}$ ) le champ électrostatique

$E (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} u_{r}$

Le champ s'exprime en volts par mètre ( $V / m = N / C$ ). Il est radial, dirigé vers l'extérieur si $q > 0$ , vers la charge si $q < 0$ .

Figure : Lignes de champ d'une charge ponctuelle : divergentes pour

q > 0

, convergentes pour

q < 0

2.1.3 Potentiel électrostatique

Le champ d'une charge ponctuelle dérive d'un potentiel scalaire. En remarquant que $\frac{u _{r}}{r ^{2}} = - grad (\frac{1}{r})$ , il vient $E = - grad V$ avec :

Définition 2.3Potentiel d'une charge ponctuelle

$V (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r} + cste,$

la constante étant choisie nulle lorsqu'on prend l'origine des potentiels à l'infini. Le potentiel s'exprime en volts ( $V$ ).

L'énergie potentielle d'une charge $q^{'}$ placée en un point où règne le potentiel $V$ (créé par les autres charges) vaut

$E_{p} = q^{'} V .$

Pour deux charges ponctuelles distantes de $r$ , on retrouve $E_{p} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q q ^{'}}{r}$ .

2.2 Distributions de charges et superposition

2.2.1 Modélisations continues

À l'échelle macroscopique, on renonce à décrire chaque charge élémentaire et on introduit des densités selon la géométrie de la source :

densité volumique $ρ$ (en $C / m^{3}$ ) : $d q = ρ d τ$ ; c'est le modèle général (nuage d'orage, air chargé, noyau, nuage électronique) ;
densité linéique $λ$ (en $C / m$ ) : $d q = λ d ℓ$ , pour un fil ou un cylindre fin vu de loin ;
densité surfacique $σ$ (en $C / m^{2}$ ) : $d q = σ d S$ . Ce modèle n'est employé que pour le plan infini uniformément chargé, c'est-à-dire pour les armatures d'un condensateur plan.

2.2.2 Principe de superposition

Les équations de l'électrostatique étant linéaires, le champ (et le potentiel) créé par un ensemble de sources est la somme des champs (et potentiels) créés par chacune séparément.

Proposition 2.4Champ et potentiel d'une distribution discrète

Des charges ponctuelles $q_{i}$ placées aux points $P_{i}$ créent en $M$ , l'origine des potentiels étant prise à l'infini,

$E (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} i \sum \frac{q _{i}}{P _{i} M ^{2}} u_{i}, V (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} i \sum \frac{q _{i}}{P _{i} M}, u_{i} = \frac{P _{i} M}{P _{i} M} .$

La loi de Coulomb ne sert qu'aux distributions discrètes. Pour une distribution continue, on ne somme pas des contributions élémentaires : on se limite aux distributions de haute symétrie (fil et cylindre infinis, plan infini, boule), dont le champ s'obtient par la démarche « symétries $\to$ Gauss » développée plus bas, et aux superpositions de tels champs (deux plans, deux fils, boule percée d'une cavité). Un calcul vectoriel se ramène toujours au calcul de composantes scalaires : ne jamais additionner des vecteurs de directions différentes sans les projeter.

2.3 Propriétés de symétrie et d'invariance

L'exploitation des symétries de la distribution source permet, avant tout calcul, de connaître la direction du champ et les variables dont il dépend. C'est l'étape préalable indispensable à l'usage du théorème de Gauss.

2.3.1 Symétries : direction du champ

Le champ $E$ est un vrai vecteur (vecteur polaire). Il se transforme comme le vecteur position dans une symétrie géométrique de la distribution des sources.

ImportantRègles de symétrie

Si un plan $Π$ est plan de symétrie de la distribution de charges, alors en tout point $M$ de $Π$ le champ $E (M)$ appartient à $Π$ .
Si un plan $Π^{*}$ est plan d'antisymétrie (les charges se transforment en charges opposées), alors en tout point $M$ de $Π^{*}$ le champ $E (M)$ est orthogonal à $Π^{*}$ .
Conjugaison de charges : si l'on change toutes les charges en leurs opposées, le champ et le potentiel changent de signe en tout point. Un plan d'antisymétrie est un plan dont la symétrie, suivie de la conjugaison des charges, laisse la distribution inchangée.

En un point appartenant à deux plans de symétrie, $E$ est porté par leur intersection ; en un point commun à trois plans de symétrie qui ne se coupent qu'en ce point, $E$ est nul.

Figure : En un point

M

d'un plan de symétrie des sources, le champ appartient au plan.

2.3.2 Invariances : variables dont dépend le champ

Si la distribution de charges est invariante par une transformation géométrique (translation, rotation), alors les grandeurs $E$ et $V$ le sont aussi : le champ ne dépend pas de la variable associée.

Méthode : Analyse préalable au calcul du champ

Choisir le système de coordonnées adapté à la géométrie (cartésien, cylindrique, sphérique).
Invariances : repérer les translations/rotations laissant la source invariante $\Rightarrow$ variables dont $E$ ne dépend pas.
Symétries : en $M$ , trouver les plans de symétrie/antisymétrie de la source passant par $M$ $\Rightarrow$ direction de $E (M)$ .
En déduire la forme $E = E (variable) u_{direction}$ , puis appliquer Gauss.

Exemple 2.5Trois géométries de référence

Fil infini (axe $O z$ , densité $λ$ ) : invariance par translation selon $z$ et par rotation autour de $z$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $r$ . Les plans contenant $M$ et l'axe, et le plan perpendiculaire à l'axe passant par $M$ , sont plans de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (r) u_{r}$ (radial cylindrique).
Plan infini ( $x O y$ , densité $σ$ ) : invariance par translation selon $x$ et $y$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $z$ . Tout plan perpendiculaire au plan chargé est plan de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (z) u_{z}$ .
Distribution à symétrie sphérique (centre $O$ ) : invariance par toute rotation autour de $O$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $r$ . Tout plan passant par $O$ et $M$ est plan de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (r) u_{r}$ (radial sphérique).

2.4 Circulation et potentiel

2.4.1 Circulation du champ électrostatique

Proposition 2.6Circulation et existence du potentiel

La circulation du champ électrostatique le long d'un chemin allant de $A$ à $B$ ne dépend que des extrémités :

$\int_{A}^{B} E \cdot d ℓ = V (A) - V (B),$

et sur tout contour fermé $\oint E \cdot d ℓ = 0$ . Le champ électrostatique est donc à circulation conservative ; il dérive d'un potentiel scalaire :

$E = - grad V ⟺ rot E = 0 .$

La relation locale $rot E = 0$ (équation de Maxwell–Faraday en régime stationnaire) est équivalente à l'existence du potentiel : par le théorème de Stokes, un rotationnel nul partout donne une circulation nulle sur tout contour fermé, donc une circulation de $A$ à $B$ indépendante du chemin. Le signe « moins » traduit que $E$ pointe vers les potentiels décroissants. Les deux équations locales de l'électrostatique sont donc $rot E = 0$ et l'équation de Maxwell–Gauss $div E = ρ / ε_{0}$ (vue plus bas).

AttentionEn régime variable

Le potentiel scalaire est propre à l'électrostatique. En régime variable, l'équation de Maxwell–Faraday s'écrit $rot E = - \frac{\partial B}{\partial t} \neq = 0$ : le champ électrique ne dérive plus d'un potentiel scalaire, et sa circulation sur un contour fermé n'est plus nulle (c'est l'induction).

ImportantExpression cartésienne du gradient (exigible)

En coordonnées cartésiennes,

$grad V = \frac{\partial V}{\partial x} u_{x} + \frac{\partial V}{\partial y} u_{y} + \frac{\partial V}{\partial z} u_{z} .$

Les expressions du gradient en coordonnées cylindriques et sphériques ne sont pas à mémoriser : elles sont fournies si nécessaire.

2.4.2 Lignes de champ et équipotentielles

Une ligne de champ est une courbe tangente en chaque point à $E$ ; une équipotentielle est une surface $V = cste$ .

Proposition 2.7Orthogonalité et orientation

Les lignes de champ électrostatique sont orthogonales aux surfaces équipotentielles et orientées dans le sens des potentiels décroissants. En effet, le long d'un déplacement $d ℓ$ sur une équipotentielle, $d V = - E \cdot d ℓ = 0$ , donc $E ⊥ d ℓ$ .

iRemarqueLire une carte de champ

Le resserrement des lignes de champ (tubes de champ étroits) signale un champ intense ; leur évasement loin des sources traduit sa décroissance : dans une région sans charge, le flux se conserve le long d'un tube de champ (théorème de Gauss), donc la norme du champ varie en sens inverse de la section du tube. Sur une carte de champ, les lignes divergent des charges positives (sources) et convergent vers les charges négatives (puits) ; une carte dont les lignes formeraient des boucles fermées ne peut pas être celle d'un champ électrostatique, puisque sa circulation serait non nulle.

Méthode : Norme du champ à partir d'un réseau d'équipotentielles

Entre deux équipotentielles voisines $V$ et $V - Δ V$ , distantes localement de $Δ ℓ$ (mesurée le long d'une ligne de champ), $Δ V ≃ E Δ ℓ$ , d'où

$E ≃ \frac{Δ V}{Δ ℓ} .$

À pas $Δ V$ fixé, le champ est le plus intense là où les équipotentielles sont les plus serrées ; il est orienté vers les potentiels décroissants.

Capacité numérique : tracer des lignes de champ

Pour un champ donné, la recherche des lignes de champ se fait avec un outil numérique : on calcule les composantes de $E$ sur une grille (par superposition, pour des charges ponctuelles), puis on trace les lignes (streamplot de matplotlib) et les équipotentielles (contour). C'est ainsi qu'ont été obtenues les cartes de ce chapitre.

Figure : Champ de deux charges opposées : les lignes partent de

+ q

et aboutissent à

- q

2.5 Théorème de Gauss

2.5.1 Énoncé

◆Théorème 2.8Théorème de Gauss

Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée $S$ (orientée vers l'extérieur) est égal à la charge intérieure $Q_{int}$ à cette surface divisée par $ε_{0}$ :

$\oint \oint_{S} E \cdot d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}$

où $Q_{int} = ∭_{V (S)} ρ d τ$ est la charge enfermée par $S$ .

Ce théorème est la forme intégrale de l'équation locale de Maxwell–Gauss : par le théorème d'Ostrogradski, $\oint \oint_{S} E \cdot d S = ∭_{V} div E d τ$ pour tout volume, d'où

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}} .$ Seule la charge intérieure contribue au flux, mais les charges extérieures contribuent, elles, au champ $E$ en chaque point de $S$ .

Méthode : Calcul d'un champ par le théorème de Gauss

Applicable seulement lorsque les symétries donnent $E = E (u) u$ avec $E$ constant sur une surface bien choisie :

déterminer par symétrie/invariance la forme de $E$ ;
choisir une surface de Gauss fermée passant par le point $M$ , adaptée à la symétrie (cylindre, sphère) ;
calculer le flux : $E$ sort des intégrales sur les faces où $E ∥ d S$ , le flux est nul là où $E ⊥ d S$ ;
évaluer $Q_{int}$ puis résoudre en $E$ .

2.5.2 Fil infini uniformément chargé

On considère un fil infini d'axe $O z$ portant la densité linéique uniforme $λ$ . L'analyse de symétrie donne $E = E (r) u_{r}$ (radial cylindrique).

Figure : Surface de Gauss cylindrique (rayon

r

, hauteur

h

) coaxiale au fil.

Proposition 2.9Champ d'un fil infini

$E (r) = \frac{λ}{2 π ε _{0} r} u_{r}, V (r) = - \frac{λ}{2 π ε _{0}} ln r + cste .$

Démonstration

On prend pour surface de Gauss un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ coaxial au fil. Le flux à travers les deux disques de base est nul ( $E ⊥ d S$ ). Sur la surface latérale $E = E (r) u_{r}$ est parallèle à $d S$ et $E (r)$ y est constant :

$Φ = E (r) \times 2 π r h .$

La charge intérieure est $Q_{int} = λh$ . Le théorème de Gauss donne $E (r) 2 π r h = λh / ε_{0}$ , soit

$E (r) = \frac{λ}{2 π ε _{0} r} .$

Le potentiel s'obtient par $E = - d V / d r$ . La décroissance en $1/ r$ (et non $1/ r^{2}$ ) reflète la géométrie infinie du fil ; on ne peut pas choisir l'origine des potentiels à l'infini.

2.5.3 Plan infini uniformément chargé

Plan $z = 0$ portant la densité surfacique uniforme $σ$ . La symétrie donne $E = E (z) u_{z}$ , avec $E (- z) = - E (z)$ (le plan est plan de symétrie de la source).

Proposition 2.10Champ d'un plan infini

De part et d'autre du plan,

$E = \frac{σ}{2 ε _{0}} u_{z} (z > 0), E = - \frac{σ}{2 ε _{0}} u_{z} (z < 0) .$

Le champ est uniforme de chaque côté et subit une discontinuité $σ / ε_{0}$ à la traversée du plan.

Ce plan infini est la seule distribution surfacique de ce cours : il sert à modéliser les armatures du condensateur plan. La discontinuité du champ à la traversée d'une nappe de charges se constate ici ; aucune règle générale n'en est tirée.

Démonstration

On choisit une surface de Gauss cylindrique droite (« pilulier »), d'axe $O z$ , de section $S$ , débordant symétriquement de part et d'autre du plan entre les cotes $- z$ et $+ z$ .

Le flux latéral est nul ( $E ⊥ d S$ ). Sur les deux bases, $E$ est parallèle à la normale sortante et de même norme $E (z)$ par symétrie :

$Φ = 2 E (z) S .$

La charge intérieure est $Q_{int} = σ S$ . Gauss donne $2 E (z) S = σ S / ε_{0}$ , d'où $E (z) = σ / (2 ε_{0})$ , indépendant de $z$ .

2.5.4 Boule uniformément chargée

Figure : Surface de Gauss sphérique concentrique (

r > R

) à une distribution à symétrie sphérique.

Considérons une boule de rayon $R$ chargée uniformément en volume, de densité $ρ$ , de charge totale $Q = \frac{4}{3} π R^{3} ρ$ . Le champ est radial $E = E (r) u_{r}$ .

Proposition 2.11Boule uniformément chargée

$E (r) = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}} (r \geq R), E (r) = \frac{Q r}{4 π ε _{0} R ^{3}} = \frac{ρ r}{3 ε _{0}} (r \leq R) .$

À l'extérieur, tout se passe comme si la charge était concentrée au centre.

Démonstration

Surface de Gauss : sphère de rayon $r$ centrée en $O$ . Par symétrie $E (r)$ est constant sur cette sphère et $E ∥ d S$ , donc $Φ = E (r) 4 π r^{2}$ .

Pour $r \geq R$ : $Q_{int} = Q$ , d'où $E (r) 4 π r^{2} = Q / ε_{0}$ et $E = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ .
Pour $r \leq R$ : $Q_{int} = ρ \cdot \frac{4}{3} π r^{3} = Q r^{3} / R^{3}$ , d'où $E (r) = \frac{Q r}{4 π ε _{0} R ^{3}}$ , croissant linéairement de $0$ (au centre) à sa valeur en surface.

Le champ est continu en $r = R$ , et maximal à la surface de la boule.

2.5.5 Condensateur plan

Un condensateur plan est formé de deux plaques parallèles, de surface $S$ , distantes de $e$ (avec $e ≪ S$ pour négliger les effets de bord), portant les charges $+ Q$ et $- Q$ , soit les densités $\pm σ$ avec $σ = Q / S$ .

Figure : Champ uniforme entre les armatures d'un condensateur plan.

Proposition 2.12Condensateur plan

Entre les armatures, les champs des deux plans s'ajoutent ; à l'extérieur, ils se compensent :

$E_{int} = \frac{σ}{ε _{0}}, E_{ext} = 0.$

La différence de potentiel et la capacité valent

$U = E e = \frac{σ e}{ε _{0}} = \frac{Q e}{ε _{0} S}, C = \frac{Q}{U} = \frac{ε _{0} S}{e} .$

Démonstration

Chaque plan crée un champ uniforme de norme $σ / (2 ε_{0})$ dirigé de la plaque $+$ vers la plaque $-$ . Entre les armatures les deux contributions sont de même sens : $E = 2 \times σ / (2 ε_{0}) = σ / ε_{0}$ . À l'extérieur elles sont opposées : $E = 0$ . La d.d.p. entre armatures vaut $U = \int E \cdot d ℓ = E e = σ e / ε_{0}$ . Avec $Q = σ S$ , on obtient $C = Q / U = ε_{0} S / e$ .

iRemarqueOrdres de grandeur de champs électriques

Le champ ne peut croître indéfiniment : au-delà du champ disruptif de l'air ( $E_{d} ≃ 3 \times 1 0^{6} V / m$ ), une étincelle (claquage) court-circuite le condensateur. C'est ce qui limite en pratique la tension applicable. Pour situer cette valeur : le champ électrique atmosphérique au sol par beau temps vaut $\sim 100 V / m$ , tandis que le champ régnant au niveau de l'électron dans l'atome d'hydrogène atteint $\sim 5 \times 1 0^{11} V / m$ — hors de portée de tout dispositif macroscopique.

2.6 Le dipôle électrostatique

De nombreuses molécules (eau, chlorure d'hydrogène, …) sont globalement neutres mais possèdent des barycentres des charges positives et négatives distincts : à distance, elles se comportent comme un dipôle électrostatique. Ce modèle, analogue du dipôle magnétique du chapitre suivant, décrit le potentiel et le champ créés par une telle molécule, les actions qu'un champ extérieur exerce sur elle, et par là les interactions entre ions et molécules polaires qui gouvernent la solvatation.

2.6.1 Moment dipolaire

Définition 2.13Doublet et moment dipolaire

Un doublet électrostatique est l'ensemble de deux charges opposées $+ q$ et $- q$ ( $q > 0$ ) séparées d'une distance $d$ . Son moment dipolaire est le vecteur

$p = q d (Cm),$

où $d$ est le vecteur allant de la charge $- q$ vers la charge $+ q$ . Plus généralement, une distribution globalement neutre dont les barycentres des charges positives $P$ et négatives $N$ sont distincts a le moment dipolaire $p = Q_{+} N P$ , où $Q_{+}$ est la charge positive totale.

ImportantConditions de l'approximation dipolaire

On parle de dipôle lorsqu'on observe une distribution globalement neutre, de taille $d$ , à une distance $r$ grande devant $d$ ( $r ≫ d$ ) : on ne garde alors que le premier terme non nul du développement du potentiel en puissances de $d / r$ .

iRemarque

À l'échelle moléculaire on exprime souvent $p$ en debye : $1 D ≃ 3, 34 \times 1 0^{- 30} Cm$ . La molécule d'eau a un moment $p ≃ 1, 85 D$ , ce qui, avec $d \sim 0, 1 nm$ , correspond à une charge partielle de l'ordre de $0, 4 e$ sur chaque atome.

2.6.2 Potentiel et champ créés à grande distance

On place le dipôle à l'origine, $p = p u_{z}$ porté par l'axe $O z$ , et on repère le point $M$ par ses coordonnées sphériques $(r, θ)$ d'axe $O z$ .

Proposition 2.14Potentiel et champ dipolaires

Dans l'approximation dipolaire ( $r ≫ d$ ), le potentiel créé en $M$ vaut

$V (r, θ) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{p cos θ}{r ^{2}} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{p \cdot u _{r}}{r ^{2}},$

et le champ électrique qui en dérive s'écrit, en coordonnées sphériques,

$E (r, θ) = \frac{p}{4 π ε _{0} r ^{3}} (2 cos θ u_{r} + sin θ u_{θ}) .$

Démonstration

Le point $M$ est vu des deux charges $+ q$ (en $z = + d /2$ ) et $- q$ (en $z = - d /2$ ) à des distances $r_{+}$ et $r_{-}$ . Par superposition,

$V = \frac{q}{4 π ε _{0}} (\frac{1}{r _{+}} - \frac{1}{r _{-}}) .$

Au premier ordre en $d / r$ , $r_{\pm} ≃ r \mp \frac{d}{2} cos θ$ , d'où $\frac{1}{r _{\pm}} ≃ \frac{1}{r} (1 \pm \frac{d cos θ}{2 r})$ et

$V ≃ \frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{d cos θ}{r ^{2}} = \frac{p cos θ}{4 π ε _{0} r ^{2}} .$

Le champ s'obtient par $E = - grad V$ , avec l'expression fournie du gradient en coordonnées sphériques : $E_{r} = - \frac{\partial V}{\partial r} = \frac{2 p cos θ}{4 π ε _{0} r ^{3}}$ et $E_{θ} = - \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial θ} = \frac{p sin θ}{4 π ε _{0} r ^{3}}$ .

ImportantDécroissance caractéristique

Le potentiel et le champ d'un dipôle décroissent plus vite que ceux d'une charge ponctuelle (monopôle) :

$monop o ˆ le : V \propto \frac{1}{r}, E \propto \frac{1}{r ^{2}} contre dip o ˆ le : V \propto \frac{1}{r ^{2}}, E \propto \frac{1}{r ^{3}} .$

Cette décroissance plus rapide traduit la neutralité globale du dipôle : de loin, les deux charges opposées se « masquent » partiellement. De plus $V$ et $E$ dépendent de l'orientation $θ$ : le champ est maximal dans l'axe ( $θ = 0$ ) et minimal dans le plan équatorial ( $θ = π /2$ ).

Figure : Allure des lignes de champ d'un dipôle électrostatique, tracées numériquement : elles partent de

+ q

, contournent le doublet et rejoignent

- q

, avec la symétrie de révolution autour de l'axe

p

. Le champ est parallèle à

p

sur l'axe, antiparallèle dans le plan équatorial.

Méthode : Tracer l'allure des lignes de champ d'un dipôle

Quatre repères suffisent : la symétrie de révolution autour de l'axe de $p$ ; le plan équatorial, plan d'antisymétrie, que les lignes traversent à angle droit en pointant dans le sens opposé à $p$ ; sur l'axe, le champ est dans le sens de $p$ ; les lignes, orthogonales aux équipotentielles, s'évasent en s'éloignant (champ en $1/ r^{3}$ ). Loin du doublet, ce sont des boucles qui partent du côté de $+ q$ et reviennent du côté de $- q$ .

2.6.3 Actions d'un champ extérieur sur un dipôle rigide

On considère un dipôle rigide (moment $p$ de norme fixée) plongé dans un champ extérieur $E$ .

ImportantRésultante, moment et énergie potentielle : expressions fournies

Ces trois expressions sont fournies : on sait les utiliser, on n'a pas à les établir.

Moment (couple) : $Γ = p \land E$ , qui tend à aligner $p$ sur $E$ .
Résultante : en champ uniforme, les forces $+ q E$ et $- q E$ se compensent, $F = 0$ : le dipôle ne subit qu'un couple. En champ non uniforme,

$F = (p \cdot grad) E,$

soit $F_{z} = p \frac{d E}{d z}$ pour $p = p u_{z}$ placé sur l'axe d'un champ $E = E (z) u_{z}$ .

Énergie potentielle d'un dipôle rigide : $E_{p} = - p \cdot E$ , minimale quand $p$ est parallèle à $E$ et de même sens (équilibre stable), maximale en position antiparallèle (équilibre instable).

iRemarqueInterprétation du couple

Notons $α$ l'angle $(p, E)$ . Les deux forces $\pm q E$ , appliquées aux extrémités du doublet, forment un couple de moment $Γ = q E d sin α = pE sin α$ , qui tend à réduire $α$ . Avec $E_{p} = - pE cos α$ , le moment compté positivement dans le sens des $α$ croissants vaut $Γ_{α} = - \frac{\partial E _{p}}{\partial α} = - pE sin α$ : il ramène le dipôle vers $α = 0$ , position d'équilibre stable.

Méthode : Prévoir qualitativement l'évolution d'un dipôle rigide

D'abord il tourne : le couple $p \land E$ tend à aligner $p$ sur $E$ ; sans frottement, le dipôle oscille autour de cette position ; dans un liquide, l'agitation et les chocs amortissent le mouvement et il s'y oriente (en moyenne, l'agitation thermique s'y oppose).
Puis il se déplace si le champ n'est pas uniforme : aligné, son énergie $E_{p} = - pE$ est d'autant plus basse que $E$ est grand ; il est attiré vers les régions de champ intense.

En champ uniforme, seule la première étape a lieu.

2.6.4 Interactions ion-molécule et molécule-molécule ; solvatation

Les décroissances rapides des champs dipolaires règlent la portée des interactions entre entités chargées ou polaires.

Interaction ion-molécule polaire. Un ion de charge $Q$ crée le champ $E = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ . Une molécule polaire voisine s'oriente dans ce champ ; son énergie $E_{p} = - p \cdot E = - \frac{∣ Q ∣ p}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ est négative quel que soit le signe de $Q$ : l'interaction est attractive et décroît en $1/ r^{2}$ .
Interaction entre molécules polaires. Une molécule polaire est placée dans le champ dipolaire, en $1/ r^{3}$ , de sa voisine : pour des orientations fixées, l'énergie d'interaction varie en $1/ r^{3}$ . L'agitation thermique, qui brouille ces orientations, l'affaiblit encore (une fois moyennée, elle décroît en $1/ r^{6}$ ) : c'est l'une des contributions aux interactions de van der Waals.

ImportantSolvatation des ions dans un solvant polaire

Dans un solvant polaire comme l'eau, chaque ion attire et oriente autour de lui les molécules du solvant, qui tournent vers lui leur pôle de signe opposé : l'oxygène (charge partielle négative) vers un cation, les hydrogènes vers un anion. L'ion s'entoure ainsi d'une couche de molécules ordonnées, la couche de solvatation (hydratation dans l'eau). À courte distance ( $\sim 0, 3 nm$ ), l'énergie d'interaction ion-dipôle vaut quelques dizaines de $k_{B} T$ : l'agitation thermique ne détruit pas cet ordre. L'énergie libérée par la solvatation compense en grande partie l'énergie nécessaire pour séparer les ions d'un cristal ; les molécules orientées écrantent de plus les charges des ions, qui s'attirent beaucoup moins que dans le vide. C'est pourquoi les solides ioniques se dissolvent et se dissocient dans les solvants polaires.

2.6.5 Dipôle induit et polarisabilité

Un atome ou une molécule apolaire n'a pas de moment dipolaire permanent ; mais un champ extérieur déplace son nuage électronique par rapport au noyau (les charges positives dans le sens du champ, les négatives dans l'autre) : il apparaît un dipôle induit, dans le sens du champ.

Définition 2.15Polarisabilité

Pour un champ $E$ modéré, le moment induit est proportionnel au champ appliqué :

$p = α ε_{0} E,$

où $α$ , homogène à un volume ( $m^{3}$ ), est la polarisabilité de l'atome ou de la molécule.

ImportantPolarisabilité et volume de l'atome

Plus le nuage électronique est étendu, et ses électrons externes faiblement liés, plus il se déforme facilement : la polarisabilité croît avec le volume de l'atome. En ordre de grandeur,

$α \sim 4 π a^{3},$

où $a$ est le rayon de l'atome : le modèle d'un noyau au centre d'un nuage uniforme de rayon $a$ donne exactement $α = 4 π a^{3}$ (exercice résolu plus bas). Les valeurs mesurées vont de $2, 6 \times 1 0^{- 30} m^{3}$ pour l'hélium, petit atome aux électrons très liés, à $7, 5 \times 1 0^{- 28} m^{3}$ pour le césium, gros atome dont l'électron externe est peu retenu.

Même entre entités apolaires, cette polarisabilité engendre des forces attractives : les fluctuations du nuage d'un atome induisent un dipôle chez son voisin, d'où les interactions de London, autre contribution aux forces de van der Waals, d'autant plus fortes que les atomes sont gros.

Les applications du dipôle (potentiel établi et validité de l'approximation dipolaire, équipotentielles, molécule polaire dans un champ uniforme, force en champ non uniforme, solvatation, polarisabilité) sont traitées dans les exercices résolus du chapitre.

2.7 Aspects énergétiques

2.7.1 Énergie d'un condensateur et densité d'énergie

L'énergie stockée dans un condensateur de capacité $C$ chargé sous la tension $U$ est

$E_{p} = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} \frac{Q ^{2}}{C} = \frac{1}{2} Q U .$

En l'exprimant à l'aide du champ $E = U / e$ et du volume $V = S e$ occupé par le champ :

$E_{p} = \frac{1}{2} \frac{ε _{0} S}{e} (E e)^{2} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} (S e) ⟹ u_{e} = \frac{E _{p}}{V} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$

$u_{e}$ est la densité volumique d'énergie électrostatique ( $J / m^{3}$ ). Bien qu'établie sur le condensateur plan, cette expression est générale : l'énergie est « stockée dans le champ » lui-même, en tout point de l'espace.

2.7.2 Énergie de constitution d'un noyau atomique

On modélise un noyau de charge $Q = Z e$ par une boule de rayon $R$ uniformément chargée en volume, de densité $ρ = \frac{Q}{\frac{4}{3} π R ^{3}}$ . Son énergie de constitution est le travail qu'un opérateur doit fournir pour l'assembler en amenant les charges depuis l'infini, où elles sont dispersées et sans interaction, à vitesse négligeable.

Exercices du chapitre

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre