Magnétostatique

Les deux formes sont équivalentes par le théorème d'Ostrogradski, $\oint {\oint }_S\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}={\iiint }_V\mathrm{div}\overrightarrow{B}\mathrm{d}\tau$, valable pour tout volume $V$ délimité par $S$. Le flux de $\overrightarrow{B}$ à travers toute surface fermée est nul : il n'existe pas de « charge magnétique » (monopôle) d'où divergeraient les lignes de champ. Conséquence directe : le flux de $\overrightarrow{B}$ à travers une section d'un tube de champ est le même tout au long du tube. Lorsque la section diminue, $\Vert \overrightarrow{B}\Vert$ augmente : l'évasement des tubes renseigne sur l'intensité du champ.

Le théorème de Stokes transforme la circulation en flux : ${\oint }_{\mathcal{C}}\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }={\iint }_S\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$. Le théorème d'Ampère s'écrit donc ${\iint }_S(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}-{\mu }_0\overrightarrow{j})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=0$ pour toute surface $S$ s'appuyant sur un contour fermé ; en l'appliquant à une surface élémentaire d'orientation quelconque autour de chaque point, l'intégrande est nul : $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{j}$. Réciproquement, intégrer l'équation locale sur $S$ redonne le théorème d'Ampère. Le flux conservatif se traite de même avec le théorème d'Ostrogradski.

Symétries. Tout plan contenant l'axe $Oz$ et passant par $M$ est plan de symétrie des courants ; $\overrightarrow{B}$ lui est perpendiculaire, donc $\overrightarrow{B}=B{\overrightarrow{u}}_{\theta }$ (orthoradial).
Invariances. La distribution est invariante par translation selon $z$ et par rotation d'axe $Oz$ : $B$ ne dépend ni de $z$ ni de $\theta$, donc $B=B(r)$.
Contour d'Ampère. On prend un cercle $\mathcal{C}$ de rayon $r$, d'axe $Oz$, orienté selon $+{\overrightarrow{u}}_{\theta }$. Sur $\mathcal{C}$, $\overrightarrow{B}$ est tangent et de norme constante :

$${\oint }_{\mathcal{C}}\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=B(r)\times 2\pi r={\mu }_{0}I.$$

D'où

$$\boxed{\overrightarrow{B}(M)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}{\overrightarrow{u}}_{\theta }}.$$

Le champ décroît en $1/r$, est orthoradial et respecte la règle de la main droite. Le même raisonnement s'applique à l'extérieur d'un câble rectiligne de section non nulle parcouru par l'intensité totale $I$ : hors du câble, le champ ne dépend pas de la section.

Symétries. On modélise les spires par des courants orthoradiaux répartis continûment. Tout plan contenant l'axe $Oz$ et passant par $M$ est perpendiculaire à ces courants, que la symétrie renverse : plan d'antisymétrie, $\overrightarrow{B}$ y est contenu, donc $B_{\theta }=0$. Le plan passant par $M$ et perpendiculaire à $Oz$ est parallèle aux courants et laisse le solénoïde infini invariant : plan de symétrie, $\overrightarrow{B}$ lui est perpendiculaire, donc $B_r=0$ (on le retrouve par le flux conservatif : à travers un cylindre fermé coaxial, les flux des deux bases se compensent et le flux latéral $2\pi rh{B}_r$ doit être nul).
Invariances. Translation le long de $Oz$ et rotation autour de $Oz$ : $\overrightarrow{B}=B(r){\overrightarrow{u}}_z$. Le champ est axial ; son uniformité reste à établir.
Uniformité. Un contour rectangulaire entièrement intérieur, de côtés parallèles à l'axe aux distances $r_1$ et $r_2$, n'enlace aucun courant : $B(r_1)=B(r_2)$, le champ intérieur est uniforme. De même, le champ extérieur est uniforme ; le théorème d'Ampère ne fixe pas sa valeur, et l'on admet qu'il est nul (il s'annule loin du solénoïde).
Contour d'Ampère. On prend un contour rectangulaire $ABCD$ : $AB$ de longueur $h$ à l'intérieur parallèle à l'axe, $CD$ à l'extérieur (où $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}$), $BC$ et $DA$ radiaux (perpendiculaires à $\overrightarrow{B}$, circulation nulle).

Seul $AB$ contribue :

$$\oint \overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=Bh={\mu }_0(nh)I,$$

car $nh$ spires, chacune portant $I$, traversent la surface. D'où

$$\boxed{{\overrightarrow{B}}_{\text{int}}={\mu }_{0}nI{\overrightarrow{u}}_z},{\overrightarrow{B}}_{\text{ext}}=\overrightarrow{0}.$$

Le champ intérieur est uniforme, ce qui fait du solénoïde le générateur de champ magnétique de référence. Un solénoïde réel de longueur $\ell$ et de rayon $R$ est « long » si $\ell \gg R$ : loin des extrémités, il se comporte comme le solénoïde infini (on néglige les effets de bords).

Inductance. Le champ intérieur est uniforme, $B={\mu }_0\frac{N}{\ell }I$, et chaque spire, orientée par le sens du courant, en reçoit le flux $BS>0$. Le flux propre à travers les $N$ spires est

$${\Phi }_p=NBS={\mu }_0\frac{N^{2}S}{\ell }I.$$

Il est proportionnel à $I$ ; le coefficient est l'inductance propre, ${\Phi }_p=LI$, d'où $L={\mu }_0{N}^{2}S/\ell$. Elle ne dépend que de la géométrie, et croît comme le carré du nombre de spires (doubler $N$ double le champ et le nombre de spires qui le reçoivent).
Énergie. Pendant l'établissement du courant, de $0$ à $I$, la bobine est le siège de la force électromotrice d'auto-induction $e=-\frac{\mathrm{d}{\Phi }_p}{\mathrm{d}t}=-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ ; le générateur doit fournir contre elle la puissance $Li\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}L{i}^2\right)$. L'énergie emmagasinée est donc $W_m=\frac{1}{2}L{I}^2$, restituée à l'annulation du courant.
Densité d'énergie. Avec $L={\mu }_0{n}^{2}S\ell$ et $B={\mu }_{0}nI$ :

$$W_m=\frac{1}{2}{\mu }_0{n}^{2}S\ell I^2=\frac{({\mu }_{0}nI{)}^2}{2{\mu }_0}S\ell =\frac{B^2}{2{\mu }_0}\times S\ell .$$

Le champ est uniforme dans le volume intérieur $S\ell$ et nul à l'extérieur : tout se passe comme si l'énergie était répartie dans le volume où règne le champ, avec la densité uniforme $u_m=B^2/2{\mu }_0$. On admet que cette densité vaut en tout point, pour tout champ magnétique : $W_m=\iiint \frac{B^2}{2{\mu }_0}\mathrm{d}\tau$.

Les symétries sont celles du fil : $\overrightarrow{B}=B(r){\overrightarrow{u}}_{\theta }$. On applique le théorème d'Ampère sur un cercle de rayon $r$ : $2\pi rB(r)={\mu }_0{I}_{\text{enl}}(r)$.

• $r<a$ (dans l'âme, densité $j=I/\pi a^2$) : $I_{\text{enl}}=I\frac{r^2}{a^2}$, d'où $B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}$ (croît linéairement).
• $a<r<b$ (entre les conducteurs) : $I_{\text{enl}}=I$, d'où $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$ (comme un fil).
• $b<r<c$ (dans la gaine) : $I_{\text{enl}}=I(1-\frac{r^2-b^2}{c^2-b^2})$, décroît.
• $r>c$ : $I_{\text{enl}}=I-I=0$, d'où $\boxed{\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}}$.

Le champ est confiné entre les conducteurs : le câble coaxial ne crée aucun champ magnétique à l'extérieur, propriété exploitée pour les liaisons blindées.

Courant équivalent. L'électron fait passer la charge $e$ en un point de l'orbite à chaque période $T=2\pi r/v$ : l'orbite est une boucle de courant d'intensité $|I|=\frac{e}{T}=\frac{ev}{2\pi r}$. La charge étant négative, le courant circule dans le sens opposé au mouvement de l'électron.
Moment magnétique. $\Vert \overrightarrow{m}\Vert =|I|\pi r^2=\frac{1}{2}evr$, une grandeur positive comme toute norme ; par la règle de la main droite appliquée au sens du courant, $\overrightarrow{m}$ est orienté à l'opposé de la normale associée au sens de parcours de l'électron.
Moment cinétique. $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\wedge m_e\overrightarrow{v}$ a pour norme $m_{e}vr$ et est orienté, lui, par le sens de parcours de l'électron.
Rapport. Les deux vecteurs sont colinéaires, de sens opposés, et $\frac{\Vert \overrightarrow{m}\Vert }{\Vert \overrightarrow{L}\Vert }=\frac{evr/2}{m_{e}vr}=\frac{e}{2m_e}$, indépendant du rayon et de la vitesse : $\overrightarrow{m}=-\frac{e}{2m_e}\overrightarrow{L}$.

Cherchons $m=e^{\alpha }{m}_e^{\beta }{\hslash }^{\gamma }$ en unités SI : $[e]=A.s$, $[m_e]=kg$, $[\hslash ]=kg.m^2.s^{-1}$, et l'on veut $A.m^2$. L'ampère impose $\alpha =1$, le mètre $2\gamma =2$ soit $\gamma =1$, le kilogramme $\beta +\gamma =0$ soit $\beta =-1$ ; la seconde, $\alpha -\gamma =0$, est alors vérifiée. La combinaison est unique : $m\sim \frac{e\hslash }{m_e}$. Physiquement, c'est le rapport gyromagnétique $\frac{e}{2m_e}$ appliqué à un moment cinétique de l'ordre de $\hslash$ : $\frac{e}{2m_e}\hslash ={\mu }_B$. Numériquement, ${\mu }_B=\frac{1,602\times 10^{-19}\times 1,055\times 10^{-34}}{2\times 9,109\times 10^{-31}}=9,27\times 10^{-24}A.m^2$.