Équations de Maxwell

Cours · électromagnétisme (PC), chapitre 4 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les chapitres précédents ont décrit séparément le champ électrostatique créé par des charges immobiles et le champ magnétostatique créé par des courants permanents, deux domaines qui restent découplés tant que rien ne dépend du temps. James Clerk Maxwell (1831--1879) a réalisé la synthèse de ces domaines en un jeu unique de quatre équations aux dérivées partielles reliant, en tout point et à tout instant, les champs $E$ et $B$ à leurs sources locales, la densité de charge $ρ$ et la densité de courant $j$ . Ces équations constituent un postulat fondamental de la physique classique : on ne les démontre pas, on les admet, et l'on vérifie qu'elles redonnent tous les résultats connus des régimes stationnaires tout en prédisant des phénomènes nouveaux — au premier rang desquels la propagation des ondes électromagnétiques à la vitesse de la lumière.

Ce chapitre énonce les quatre équations de Maxwell, en dégage la cohérence avec les lois déjà rencontrées, introduit la notion cruciale de courant de déplacement, puis développe le bilan énergétique du champ (densité d'énergie, vecteur de Poynting, intensité lumineuse). Il établit enfin les équations de propagation dans le vide, pour expliquer pourquoi, dans les circuits usuels, on peut négliger la propagation : c'est l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) magnétique, cadre de l'électrocinétique et de l'induction. L'étude détaillée des ondes électromagnétiques relève de la physique des ondes.

4.1 Les postulats de l'électromagnétisme

4.1.1 La force de Lorentz

L'action du champ électromagnétique sur les charges est postulée sous la forme de la force de Lorentz : une particule de charge $q$ , animée de la vitesse $v$ dans un référentiel galiléen où règnent les champs $E$ et $B$ , subit la force

$F = q (E + v \land B) .$

La composante électrique $q E$ travaille et peut modifier l'énergie cinétique ; la composante magnétique $q v \land B$ , toujours orthogonale à $v$ , ne travaille pas. Cette loi définit opérationnellement les champs : $E$ et $B$ sont les grandeurs par lesquelles la matière chargée « ressent » son environnement électromagnétique.

4.1.2 Les quatre équations locales

ImportantLes équations de Maxwell

Dans le vide (au sens : dans un milieu décrit par les seules sources $ρ$ et $j$ ), les champs $E (r, t)$ et $B (r, t)$ vérifient en tout point et à tout instant :

$Maxwell-Gauss : Maxwell-flux : Maxwell-Faraday : Maxwell-Amp e ˋ re : div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

Les constantes fondamentales sont la permittivité du vide $ε_{0} = 8, 85 \times 1 0^{- 12} F / m$ et la perméabilité du vide $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H / m$ .

Ces quatre équations se répartissent en deux groupes de nature différente :

Les équations de structure (Maxwell--flux et Maxwell--Faraday) ne font pas intervenir les sources : elles traduisent des propriétés intrinsèques des champs. La première interdit tout monopôle magnétique ; la seconde couple variation temporelle de $B$ et rotationnel de $E$ .
Les équations aux sources (Maxwell--Gauss et Maxwell--Ampère) relient les champs à la charge et au courant qui les produisent.

iRemarque

Le produit $μ_{0} ε_{0}$ a la dimension de l'inverse du carré d'une vitesse. On pose $c = 1/ μ_{0} ε_{0}$ , dont l'évaluation numérique donne $c ≃ 3, 00 \times 1 0^{8} m / s$ : la coïncidence avec la vitesse de la lumière fut l'argument décisif de Maxwell pour identifier lumière et onde électromagnétique.

4.1.3 Le courant de déplacement

Le terme $μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ ajouté par Maxwell à l'équation d'Ampère de la magnétostatique est le courant de déplacement. On définit la densité de courant de déplacement

$j_{d} = ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}, de sorte que rot B = μ_{0} (j + j_{d}) .$

Sans ce terme, l'équation d'Ampère serait incompatible avec la conservation de la charge dès que les régimes deviennent variables, comme le montre la figure fig:condensateur.

Figure : Condensateur en charge. Le courant de conduction

j

traverse la

surface plane $S_{1}$ mais non la surface bombée $S_{2}$ passant entre les armatures. Le courant de déplacement $j_{d} = ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$

assure la continuité en traversant

S_{2}

Démonstration (Conservation de la charge déduite des équations de Maxwell)

Prenons la divergence de l'équation de Maxwell--Ampère. Comme $div (rot B) = 0$ identiquement,

$0 = μ_{0} div j + μ_{0} ε_{0} div (\frac{\partial E}{\partial t}) = μ_{0} div j + μ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (ε_{0} div E) .$

En remplaçant $ε_{0} div E$ par $ρ$ (Maxwell--Gauss), on obtient

$div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0,$

qui est exactement l'équation locale de conservation de la charge. Sans le courant de déplacement, on aurait $div j = 0$ en tout régime, ce qui est faux dès qu'une charge s'accumule quelque part (armature d'un condensateur).

4.2 Formes intégrales et cohérence avec les régimes stationnaires

Les quatre équations locales admettent une écriture intégrale équivalente, obtenue par les théorèmes de Green--Ostrogradski (flux--divergence) et de Stokes (circulation--rotationnel).

Proposition 4.1Formes intégrales

Pour une surface fermée $Σ$ délimitant un volume $V$ , et pour un contour fermé orienté $C$ s'appuyant sur une surface $S$ :

$(th e ˊ or e ˋ me de Gauss) (conservation du flux) (loi de Faraday) (Amp e ˋ re g e ˊ n e ˊ ralis e ˊ) \oint \oint_{Σ} E \cdot d S \oint \oint_{Σ} B \cdot d S \oint_{C} E \cdot d ℓ \oint_{C} B \cdot d ℓ = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}, = 0, = - \frac{d}{d t} \iint_{S} B \cdot d S, = μ_{0} \iint_{S} (j + ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}) \cdot d S .$

4.2.1 Retour aux régimes stationnaires

En régime permanent, toutes les dérivées temporelles s'annulent : $\frac{\partial}{\partial t} = 0$ . Les équations de Maxwell se découplent alors en deux groupes indépendants.

Électrostatique. $div E = ρ / ε_{0}$ et $rot E = 0$ : le champ électrique est à circulation conservative, d'où l'existence d'un potentiel scalaire $E = - grad V$ , et l'on retrouve le théorème de Gauss.
Magnétostatique. $div B = 0$ et $rot B = μ_{0} j$ : on retrouve le flux conservatif du champ magnétique et le théorème d'Ampère.

La grande nouveauté du régime variable est le couplage : Maxwell--Faraday montre qu'une variation de $B$ engendre un champ $E$ à circulation non nulle (induction), tandis que Maxwell--Ampère montre qu'une variation de $E$ engendre un champ $B$ .

Exemple 4.2Cohérence avec la loi de Faraday

La forme intégrale de Maxwell--Faraday, pour un contour fixe, s'écrit $e = \oint_{C} E \cdot d ℓ = - \frac{d Φ}{d t}$ avec $Φ = \iint_{S} B \cdot d S$ : c'est exactement la loi de Faraday de l'induction, où la f.é.m. induite est l'opposée de la variation du flux magnétique. L'équation locale contient donc l'induction comme cas particulier.

iRemarqueCapteurs inductifs

La loi de Faraday est le principe des capteurs inductifs. Une petite bobine de mesure (bobine exploratrice) de $N$ spires de surface $s$ , plongée dans un champ $B (t)$ quasi uniforme à son échelle, est le siège de la f.é.m. $e = - N s \frac{d B _{n}}{d t}$ , où $B_{n}$ est la composante de $B$ selon la normale aux spires : elle mesure la variation du champ, pas le champ lui-même (une bobine immobile dans un champ permanent ne détecte rien). Intégrer $e$ (électroniquement ou numériquement) redonne $B_{n} (t)$ à une constante près ; orienter la bobine permet de repérer la direction du champ. Détecteurs de métaux, capteurs de vitesse de roue (ABS), pinces ampèremétriques en alternatif et lecteurs de cartes sans contact reposent sur ce principe.

Attention

Le champ électrique en régime variable n'est plus, en général, à circulation conservative ( $rot E \neq = 0$ ) : on ne peut plus lui associer un simple potentiel scalaire, contrairement au cas de l'électrostatique. La « tension » entre deux points dépend alors du chemin suivi pour la mesurer. C'est précisément le couplage entre $E$ et $B$ qui rend possible la propagation des ondes électromagnétiques.

4.2.2 Linéarité et superposition

Les équations de Maxwell sont linéaires par rapport aux champs et aux sources. Si $(E_{1}, B_{1})$ est le champ créé par la distribution $(ρ_{1}, j_{1})$ et $(E_{2}, B_{2})$ celui créé par $(ρ_{2}, j_{2})$ , alors $(E_{1} + E_{2}, B_{1} + B_{2})$ vérifie les quatre équations avec les sources $(ρ_{1} + ρ_{2}, j_{1} + j_{2})$ : c'est le champ créé par la réunion des deux distributions.

Méthode : Utiliser une superposition

Décomposer la distribution étudiée, qui n'a pas assez de symétries, en distributions de haute symétrie (boule, cylindre, plan, fil, solénoïde), éventuellement affectées de densités opposées pour représenter une cavité.
Calculer le champ de chacune par le théorème de Gauss ou d'Ampère (ou par sa forme généralisée en régime variable).
Sommer les champs (vectoriellement) en chaque point.

Exemple 4.3Cavité cylindrique dans un conducteur parcouru par un courant

Un long cylindre conducteur d'axe $(O, u_{z})$ est parcouru par un courant de densité uniforme $j = j u_{z}$ , sauf dans une cavité cylindrique d'axe parallèle passant par $O^{'}$ , avec $O O^{'} = d$ perpendiculaire à $u_{z}$ . Montrer que le champ magnétique est uniforme dans la cavité.

Démonstration

La distribution est la somme d'un cylindre plein d'axe $O$ parcouru par $j$ et d'un cylindre d'axe $O^{'}$ (la cavité) parcouru par $- j$ . À l'intérieur d'un cylindre plein, le théorème d'Ampère sur un cercle de rayon $r$ donne $B \times 2 π r = μ_{0} j π r^{2}$ , soit, sous forme vectorielle, $B = \frac{μ _{0}}{2} j \land H M$ , où $H$ est le projeté de $M$ sur l'axe. En un point $M$ de la cavité, par superposition,

$B (M) = \frac{μ _{0}}{2} j \land H M - \frac{μ _{0}}{2} j \land H^{'} M = \frac{μ _{0}}{2} j \land H H^{'} = \frac{μ _{0}}{2} j \land d,$

indépendant de $M$ : le champ est uniforme dans la cavité, orthogonal à $j$ et à $d$ . Aucune intégration n'a été nécessaire.

4.3 Aspects énergétiques

Le champ électromagnétique transporte et stocke de l'énergie. On postule pour cette énergie une densité volumique locale et un flux, dont la cohérence est assurée par un bilan directement déduit des équations de Maxwell.

L'échange d'énergie entre le champ et la matière se fait par l'intermédiaire des porteurs de charge. Sur un porteur de charge $q$ et de vitesse $v$ , la puissance de la force de Lorentz se réduit à $q E \cdot v$ , puisque la force magnétique ne travaille pas. Pour les $n d τ$ porteurs du volume $d τ$ , elle vaut $n q v \cdot E d τ = j \cdot E d τ$ : la puissance volumique cédée par le champ à la matière est $j \cdot E$ . Dans un conducteur ohmique, c'est la puissance volumique dissipée par effet Joule, $j \cdot E = γ E^{2} = j^{2} / γ$ .

4.3.1 Densité d'énergie et vecteur de Poynting

Définition 4.4Densité d'énergie électromagnétique

La densité volumique d'énergie électromagnétique dans le vide est

$u = u_{e ˊ l.} \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} + u_{mag.} \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} (J / m^{3}),$

somme des densités d'énergie électrique et magnétique déjà rencontrées en régime stationnaire.

Définition 4.5Vecteur de Poynting

Le vecteur de Poynting est défini par

$Π = \frac{E \land B}{μ _{0}} (W / m^{2}) .$

Il représente la densité de flux d'énergie électromagnétique : sa direction donne le sens de propagation de l'énergie, et son flux à travers une surface donne la puissance qui la traverse.

iRemarqueHomogénéité

Vérifions la dimension de $Π$ . Le produit $E B$ a pour unité $V / m \times T$ ; divisé par $μ_{0}$ (en $H / m$ ), il se réduit à $W / m^{2}$ , une densité surfacique de puissance. De même $ε_{0} E^{2}$ et $B^{2} / μ_{0}$ valent $J / m^{3}$ : $u$ est bien une densité volumique d'énergie.

4.3.2 Le bilan local de Poynting

◆Théorème 4.6Équation locale de Poynting

En tout point et à tout instant,

$\frac{\partial u}{\partial t} + div Π = - j \cdot E .$

Démonstration (Établissement du bilan)

Partons de la puissance volumique cédée par le champ aux porteurs de charge, $j \cdot E$ . On tire $j$ de Maxwell--Ampère : $μ_{0} j = rot B - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ , d'où

$j \cdot E = \frac{1}{μ _{0}} E \cdot rot B - ε_{0} E \cdot \frac{\partial E}{\partial t} .$

On utilise l'identité d'analyse vectorielle $div (E \land B) = B \cdot rot E - E \cdot rot B$ , soit $E \cdot rot B = B \cdot rot E - div (E \land B)$ . En remplaçant $rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ (Maxwell--Faraday),

$E \cdot rot B = - B \cdot \frac{\partial B}{\partial t} - div (E \land B) .$

D'où, en reconnaissant $B \cdot \frac{\partial B}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial ( B ^{2} )}{\partial t}$ et $E \cdot \frac{\partial E}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial ( E ^{2} )}{\partial t}$ ,

$j \cdot E = - \frac{\partial}{\partial t} (\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} + \frac{ε _{0} E ^{2}}{2}) - div (\frac{E \land B}{μ _{0}}) = - \frac{\partial u}{\partial t} - div Π .$

On obtient le bilan annoncé en réordonnant les termes.

L'interprétation est celle d'un bilan de conservation. Intégrons sur un volume $V$ fixe délimité par la surface $Σ$ (figure fig:poynting) :

$variation d’ e ˊ nergie stock e ˊ e \frac{d}{d t} ∭_{V} u d τ + puissance sortante \oint \oint_{Σ} Π \cdot d S = - puissance c e ˊ d e ˊ e a ˋ la mati e ˋ re ∭_{V} j \cdot E d τ .$

Figure : Bilan de Poynting sur un volume fixe

V

: la puissance

$\oint \oint_{Σ} Π \cdot d S$ rayonnée à travers la frontière et la puissance $∭_{V} j \cdot E d τ$ cédée aux charges se répartissent

la variation de l'énergie stockée.

Important

Le terme $j \cdot E$ est la puissance volumique fournie par le champ à la matière. S'il est positif, le champ cède de l'énergie aux porteurs (effet Joule dans un conducteur ohmique : $j = γ E$ donne $j \cdot E = γ E^{2} > 0$ ). S'il est négatif, la matière fournit de l'énergie au champ (fonctionnement générateur).

4.3.3 Puissance rayonnée et intensité lumineuse

Lorsqu'aucune charge n'est présente dans $V$ ( $j = 0$ ), le bilan se réduit à

$\frac{d}{d t} ∭_{V} u d τ = - \oint \oint_{Σ} Π \cdot d S .$

Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée mesure alors la puissance rayonnée, c'est-à-dire l'énergie électromagnétique qui s'échappe du volume par unité de temps.

Définition 4.7Intensité lumineuse

En optique, les détecteurs (œil, photodiode, capteur d'appareil photographique) ont un temps de réponse très grand devant la période de la lumière ( $T = λ / c \approx 2 f s$ dans le visible) : ils ne mesurent que la puissance moyenne reçue. L'intensité lumineuse (ou éclairement) d'un faisceau est la puissance moyenne qui traverse l'unité de surface normale au faisceau, c'est-à-dire la valeur moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting :

$I = ⟨ Π ⟩ (W / m^{2}) .$

iRemarqueOrdres de grandeur de flux énergétiques

Flux solaire au sol $\sim 1 kW / m^{2}$ ; pointeur laser $\sim 1 kW / m^{2}$ ( $1 mW$ concentré sur $1 m m^{2}$ ) ; laser de découpe industriel $\sim 1 0^{10} W / m^{2}$ . Un faisceau laser modeste rivalise donc localement avec le Soleil, d'où les précautions oculaires.

Figure : Flux d'énergie rayonné par une source : à travers toute sphère centrée sur

la source, le flux du vecteur de Poynting vaut la puissance émise $P$ . En l'absence

d'absorption,

⟨ Π ⟩

décroît en

1/ r^{2}

4.4 Approximation des régimes quasi-stationnaires magnétique

4.4.1 Équations de propagation dans le vide

Dans une région vide de charges et de courants ( $ρ = 0$ , $j = 0$ ), les équations de Maxwell conduisent à des équations de propagation.

◆Théorème 4.8Équations de d'Alembert du champ dans le vide

En l'absence de sources,

$Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0, Δ B - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} B}{\partial t ^{2}} = 0, c = \frac{1}{μ _{0} ε _{0}} .$

Démonstration (Découplage des champs)

Prenons le rotationnel de Maxwell--Faraday : $rot (rot E) = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B)$ . L'identité $rot (rot E) = grad (div E) - Δ E$ et $div E = 0$ (pas de charge) donnent $- Δ E = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B)$ . En remplaçant $rot B = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ (Maxwell--Ampère sans courant),

$Δ E = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} .$

Le calcul est identique pour $B$ , en partant du rotationnel de Maxwell--Ampère et en utilisant $div B = 0$ . Sans le courant de déplacement, on obtiendrait $Δ E = 0$ : aucune propagation.

iRemarqueCaractère non instantané des interactions

La structure de ces équations, à vitesse de propagation finie $c$ , traduit le fait qu'une modification des sources ne se répercute pas instantanément à distance : le signal électromagnétique met un temps $r / c$ pour parcourir la distance $r$ ( $1, 3 s$ de la Terre à la Lune, $3, 3 ns$ pour un mètre dans le vide). C'est une rupture profonde avec l'électrostatique et la magnétostatique, où les champs « suivent » leurs sources sans retard.

4.4.2 L'ARQS magnétique

Dans de nombreux dispositifs (circuits électriques, bobines, machines), les dimensions $L$ sont petites devant la longueur d'onde $λ = c T$ associée à la période $T$ des variations. Le temps de propagation $τ_{prop} = L / c$ est alors négligeable devant $T$ :

$L ≪ λ = c T ⟺ \frac{L}{c} ≪ T .$

À l'échelle du dispositif, tout se passe alors comme si les champs suivaient leurs sources instantanément : on peut négliger la propagation.

Définition 4.9ARQS magnétique

L'approximation des régimes quasi-stationnaires magnétique consiste à négliger le courant de déplacement $ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ devant la densité de courant de conduction $j$ dans l'équation de Maxwell--Ampère. Les équations deviennent

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} j .$

On conserve donc le couplage inductif (Maxwell--Faraday intact) mais on traite le champ magnétique comme en magnétostatique (théorème d'Ampère), tout en autorisant sa variation lente dans le temps. C'est le régime où les effets des courants dominent ceux des charges : le champ magnétique est imposé par les courants à chaque instant, et le champ électrique comprend, en plus d'une éventuelle partie due aux charges, le champ induit par la variation de $B$ .

iRemarqueDiscuter l'approximation

Deux comparaisons justifient l'ARQS magnétique.

Dans un conducteur ohmique ( $j = γ E$ ) en régime sinusoïdal de pulsation $ω$ , le rapport du courant de déplacement au courant de conduction vaut $\frac{ε _{0} ω}{γ}$ : pour le cuivre ( $γ \approx 6 \times 1 0^{7} S / m$ ), il est de l'ordre de $1 0^{- 9}$ même à $1 G Hz$ .
Dans le vide qui entoure les conducteurs, le courant de déplacement crée un champ magnétique correctif dont l'importance relative est de l'ordre de $(ω L / c)^{2} = (2 π L / λ)^{2}$ : il est négligeable tant que $L ≪ λ$ .

L'ARQS cesse d'être valable dès que la taille du dispositif devient comparable à la longueur d'onde : antennes, lignes de transmission rapides, et bien sûr ondes électromagnétiques.

Proposition 4.10Conservation de la charge en ARQS

Prendre la divergence de $rot B = μ_{0} j$ impose $div j = 0$ : la densité de courant est à flux conservatif, comme en régime permanent. C'est la justification de la loi des nœuds pour les circuits en ARQS.

L'équation de conservation de la charge, $div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0$ , se simplifie donc en $div j = 0$ : on néglige l'accumulation de charge dans les conducteurs. Les seules charges qui varient sont celles des armatures des condensateurs, que l'électrocinétique traite comme des dipôles : l'intensité qui entre dans une armature est égale à celle qui sort de l'autre.

Méthode : Vérifier la validité de l'ARQS magnétique

Estimer la dimension caractéristique $L$ du dispositif et la fréquence $f$ (ou la période $T = 1/ f$ ) des variations.
Calculer la longueur d'onde $λ = c / f$ .
L'ARQS est valable si $L ≪ λ$ , c'est-à-dire $f ≪ c / L$ .
En pratique : pour un circuit de $L \sim 1 m$ , on a $c / L \sim 300 M Hz$ ; l'ARQS est donc excellente jusqu'à des fréquences de l'ordre du $M Hz$ .

iRemarqueExtension des résultats de la magnétostatique

En ARQS magnétique, toutes les expressions de champ magnétique établies en régime permanent (champ d'un fil, d'un solénoïde, d'une bobine…) restent valables instantanément, en remplaçant simplement le courant permanent $I$ par sa valeur instantanée $i (t)$ . C'est ce qui autorise l'étude des circuits inductifs (inductance propre, inductance mutuelle, énergie magnétique $\frac{1}{2} L i^{2}$ ).

4.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Les quatre équations de Maxwell (postulats) :

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

Force de Lorentz : $F = q (E + v \land B)$ ; la partie magnétique ne travaille pas.
Courant de déplacement $j_{d} = ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ : indispensable à la cohérence avec la conservation de la charge $div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0$ , qui se déduit des équations de Maxwell.
Régimes stationnaires ( $\frac{\partial}{\partial t} = 0$ ) : découplage en électrostatique ( $rot E = 0$ ) et magnétostatique ( $rot B = μ_{0} j$ ). En régime variable, $E$ ne dérive pas d'un potentiel scalaire.
Superposition : les équations sont linéaires ; le champ d'une somme de distributions est la somme des champs.
Énergie : densité $u = \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} + \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ , vecteur de Poynting $Π = \frac{E \land B}{μ _{0}}$ (en $W / m^{2}$ ) ; puissance cédée à la matière $j \cdot E$ .
Bilan local de Poynting : $\frac{\partial u}{\partial t} + div Π = - j \cdot E$ . Puissance rayonnée $= \oint \oint_{Σ} Π \cdot d S$ ; intensité lumineuse $I = ⟨ Π ⟩$ .
Propagation dans le vide : $Δ E = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}$ , $c = 1/ μ_{0} ε_{0} ≃ 3, 0 \times 1 0^{8} m / s$ ; les interactions ne sont pas instantanées.
ARQS magnétique : on néglige $j_{d}$ devant $j$ , valable si $L ≪ λ = c T$ ; alors $div j = 0$ (loi des nœuds), et les champs magnétiques de la statique restent valables avec $i (t)$ .

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