Équations de Maxwell

Cours complet · électromagnétisme (PC), chapitre 4 · CPGE PC (2e année)

Les chapitres précédents ont décrit séparément le champ électrostatique créé par des charges immobiles et le champ magnétostatique créé par des courants permanents, deux domaines qui restent découplés tant que rien ne dépend du temps. James Clerk Maxwell (1831--1879) a réalisé la synthèse de ces domaines en un jeu unique de quatre équations aux dérivées partielles reliant, en tout point et à tout instant, les champs $E$ et $B$ à leurs sources locales, la densité de charge $ρ$ et la densité de courant $j$ . Ces équations constituent un postulat fondamental de la physique classique : on ne les démontre pas, on les admet, et l'on vérifie qu'elles redonnent tous les résultats connus des régimes stationnaires tout en prédisant des phénomènes nouveaux — au premier rang desquels la propagation des ondes électromagnétiques à la vitesse de la lumière.

Ce chapitre énonce les quatre équations de Maxwell, en dégage la cohérence avec les lois déjà rencontrées, introduit la notion cruciale de courant de déplacement, puis développe le bilan énergétique du champ (densité d'énergie, vecteur de Poynting) avant d'aborder l'approximation des régimes quasi-stationnaires magnétiques.

4.1 Les postulats de l'électromagnétisme

4.1.1 La force de Lorentz

L'action du champ électromagnétique sur les charges est postulée sous la forme de la force de Lorentz : une particule de charge $q$ , animée de la vitesse $v$ dans un référentiel galiléen où règnent les champs $E$ et $B$ , subit la force

$F = q (E + v \land B) .$

La composante électrique $q E$ travaille et peut modifier l'énergie cinétique ; la composante magnétique $q v \land B$ , toujours orthogonale à $v$ , ne travaille pas. Cette loi définit opérationnellement les champs : $E$ et $B$ sont les grandeurs par lesquelles la matière chargée « ressent » son environnement électromagnétique.

4.1.2 Les quatre équations locales

ImportantLes équations de Maxwell

Dans le vide (au sens : dans un milieu décrit par les seules sources $ρ$ et $j$ ), les champs $E (r, t)$ et $B (r, t)$ vérifient en tout point et à tout instant :

$Maxwell-Gauss : Maxwell-flux : Maxwell-Faraday : Maxwell-Amp e ˋ re : div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

Les constantes fondamentales sont la permittivité du vide $ε_{0} = 8.85 \times 1 0^{- 12} F / m$ et la perméabilité du vide $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H / m$ .

Ces quatre équations se répartissent en deux groupes de nature différente :

Les équations de structure (Maxwell--flux et Maxwell--Faraday) ne font pas intervenir les sources : elles traduisent des propriétés intrinsèques des champs. La première interdit tout monopôle magnétique ; la seconde couple variation temporelle de $B$ et rotationnel de $E$ .
Les équations aux sources (Maxwell--Gauss et Maxwell--Ampère) relient les champs à la charge et au courant qui les produisent.

iRemarque

Le produit $μ_{0} ε_{0}$ a la dimension de l'inverse du carré d'une vitesse. On pose $c = 1/ μ_{0} ε_{0}$ , dont l'évaluation numérique donne $c ≃ 3.00 \times 1 0^{8} m / s$ : la coïncidence avec la vitesse de la lumière fut l'argument décisif de Maxwell pour identifier lumière et onde électromagnétique.

4.1.3 Le courant de déplacement

Le terme $μ_{0} ε_{0} \partial E / \partial t$ ajouté par Maxwell à l'équation d'Ampère de la magnétostatique est le courant de déplacement. On définit la densité de courant de déplacement

$j_{d} = ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}, de sorte que rot B = μ_{0} (j + j_{d}) .$

Sans ce terme, l'équation d'Ampère serait incompatible avec la conservation de la charge dès que les régimes deviennent variables, comme le montre la figure fig:condensateur.

Figure : Condensateur en charge. Le courant de conduction

j

traverse la

surface plane $S_{1}$ mais non la surface bombée $S_{2}$ passant entre les armatures. Le courant de déplacement $j_{d} = ε_{0} \partial E / \partial t$ assure la continuité en traversant $S_{2}$ .</div>

Démonstration (Nécessité du courant de déplacement)

Prenons la divergence de l'équation de Maxwell--Ampère. Comme $div (rot B) = 0$ identiquement,

$0 = μ_{0} div j + μ_{0} ε_{0} div (\frac{\partial E}{\partial t}) = μ_{0} div j + μ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (ε_{0} div E) .$

En remplaçant $ε_{0} div E$ par $ρ$ (Maxwell--Gauss), on obtient

$div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0,$

qui est exactement l'équation locale de conservation de la charge. Sans le courant de déplacement, on aurait $div j = 0$ en tout régime, ce qui est faux dès qu'une charge s'accumule quelque part (armature d'un condensateur).

4.2 Formes intégrales et cohérence avec les régimes stationnaires

Les quatre équations locales admettent une écriture intégrale équivalente, obtenue par les théorèmes de Green--Ostrogradski (flux--divergence) et de Stokes (circulation--rotationnel).

Proposition 4.1Formes intégrales

Pour une surface fermée $Σ$ délimitant un volume $V$ , et pour un contour fermé orienté $C$ s'appuyant sur une surface $S$ :

$(th e ˊ or e ˋ me de Gauss) (conservation du flux) (loi de Faraday) (Amp e ˋ re g e ˊ n e ˊ ralis e ˊ) \oint \oint_{Σ} E \cdot d S \oint \oint_{Σ} B \cdot d S \oint_{C} E \cdot d ℓ \oint_{C} B \cdot d ℓ = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}, = 0, = - \frac{d}{d t} \iint_{S} B \cdot d S, = μ_{0} \iint_{S} (j + ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}) \cdot d S .$

4.2.1 Retour aux régimes stationnaires

En régime permanent, toutes les dérivées temporelles s'annulent : $\partial_{t} \to 0$ . Les équations de Maxwell se découplent alors en deux groupes indépendants.

Électrostatique. $div E = ρ / ε_{0}$ et $rot E = 0$ : le champ électrique est à circulation conservative, d'où l'existence d'un potentiel scalaire $E = - grad V$ , et l'on retrouve le théorème de Gauss.
Magnétostatique. $div B = 0$ et $rot B = μ_{0} j$ : on retrouve le flux conservatif du champ magnétique et le théorème d'Ampère.

La grande nouveauté du régime variable est le couplage : Maxwell--Faraday montre qu'une variation de $B$ engendre un champ $E$ à circulation non nulle (induction), tandis que Maxwell--Ampère montre qu'une variation de $E$ engendre un champ $B$ .

Exemple 4.2Cohérence avec la loi de Faraday

La forme intégrale de Maxwell--Faraday, pour un contour fixe, s'écrit $e = \oint_{C} E \cdot d ℓ = - \frac{d Φ}{d t}$ avec $Φ = \iint_{S} B \cdot d S$ : c'est exactement la loi de Faraday de l'induction, où la f.é.m. induite est l'opposée de la variation du flux magnétique. L'équation locale contient donc l'induction comme cas particulier.

Attention

Le champ électrique en régime variable n'est plus, en général, à circulation conservative ( $rot E \neq = 0$ ) : on ne peut plus lui associer un simple potentiel scalaire, contrairement au cas de l'électrostatique. C'est précisément le couplage entre $E$ et $B$ qui rend possible la propagation des ondes électromagnétiques.

4.3 Aspects énergétiques

Le champ électromagnétique transporte et stocke de l'énergie. On postule pour cette énergie une densité volumique locale et un flux, dont la cohérence est assurée par un bilan directement déduit des équations de Maxwell.

Définition 4.3Densité d'énergie électromagnétique

La densité volumique d'énergie électromagnétique dans le vide est

$u = u_{e ˊ l.} \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} + u_{mag.} \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} (J / m^{3}),$

somme des densités d'énergie électrique et magnétique déjà rencontrées en régime stationnaire.

Définition 4.4Vecteur de Poynting

Le vecteur de Poynting est défini par

$Π = \frac{E \land B}{μ _{0}} (W / □ m) .$

Il représente la densité de flux d'énergie électromagnétique : sa direction donne le sens de propagation de l'énergie, et son flux à travers une surface donne la puissance qui la traverse.

iRemarqueHomogénéité

Vérifions la dimension de $Π$ . Le produit $E B$ a pour unité $V / m \times T$ ; divisé par $μ_{0}$ (en $H / m$ ), il se réduit à $W / □ m$ , une densité surfacique de puissance. De même $ε_{0} E^{2}$ et $B^{2} / μ_{0}$ valent $J / m^{3}$ : $u$ est bien une densité volumique d'énergie.

4.3.1 Le bilan local de Poynting

◆Théorème 4.5Équation locale de Poynting

En tout point et à tout instant,

$\frac{\partial u}{\partial t} + div Π = - j \cdot E .$

Démonstration (Établissement du bilan)

Partons de la puissance volumique cédée par le champ aux porteurs de charge, $j \cdot E$ . On tire $j$ de Maxwell--Ampère : $μ_{0} j = rot B - μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E$ , d'où

$j \cdot E = \frac{1}{μ _{0}} E \cdot rot B - ε_{0} E \cdot \frac{\partial E}{\partial t} .$

On utilise l'identité d'analyse vectorielle $div (E \land B) = B \cdot rot E - E \cdot rot B$ , soit $E \cdot rot B = B \cdot rot E - div (E \land B)$ . En remplaçant $rot E = - \partial_{t} B$ (Maxwell--Faraday),

$E \cdot rot B = - B \cdot \frac{\partial B}{\partial t} - div (E \land B) .$

D'où, en reconnaissant $B \cdot \partial_{t} B = \frac{1}{2} \partial_{t} (B^{2})$ et $E \cdot \partial_{t} E = \frac{1}{2} \partial_{t} (E^{2})$ ,

$j \cdot E = - \frac{\partial}{\partial t} (\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} + \frac{ε _{0} E ^{2}}{2}) - div (\frac{E \land B}{μ _{0}}) = - \frac{\partial u}{\partial t} - div Π .$

On obtient le bilan annoncé en réordonnant les termes.

L'interprétation est celle d'un bilan de conservation. Intégrons sur un volume $V$ fixe délimité par la surface $Σ$ (figure fig:poynting) :

$variation d’ e ˊ nergie stock e ˊ e \frac{d}{d t} ∭_{V} u d τ + puissance sortante \oint \oint_{Σ} Π \cdot d S = - puissance c e ˊ d e ˊ e a ˋ la mati e ˋ re ∭_{V} j \cdot E d τ .$

Figure : Bilan de Poynting sur un volume fixe

V

: la puissance

$\oint \oint_{Σ} Π \cdot d S$ rayonnée à travers la frontière et la puissance $∭_{V} j \cdot E d τ$ cédée aux charges se répartissent la variation de l'énergie stockée.</div>

Important

Le terme $j \cdot E$ est la puissance volumique fournie par le champ à la matière. S'il est positif, le champ cède de l'énergie aux porteurs (effet Joule dans un conducteur ohmique : $j = γ E$ donne $j \cdot E = γ E^{2} > 0$ ). S'il est négatif, la matière fournit de l'énergie au champ (fonctionnement générateur).

4.3.2 Puissance rayonnée

Lorsqu'aucune charge n'est présente dans $V$ ( $j = 0$ ), le bilan se réduit à

$\frac{d}{d t} ∭_{V} u d τ = - \oint \oint_{Σ} Π \cdot d S .$

Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée mesure alors la puissance rayonnée, c'est-à-dire l'énergie électromagnétique qui s'échappe du volume par unité de temps. En optique, la valeur moyenne temporelle du module du vecteur de Poynting s'identifie à l'intensité (ou éclairement) lumineux : $I = ⟨ Π ⟩$ .

Figure : Flux d'énergie rayonné par une source : à travers toute sphère centrée sur

la source, le flux du vecteur de Poynting vaut la puissance émise $P$ . En l'absence d'absorption, $⟨ Π ⟩$ décroît en $1/ r^{2}$ .</div>

4.4 Approximation des régimes quasi-stationnaires

4.4.1 Équations de propagation dans le vide

Dans une région vide de charges et de courants ( $ρ = 0$ , $j = 0$ ), les équations de Maxwell conduisent à des équations de propagation.

◆Théorème 4.6Équations de d'Alembert du champ dans le vide

En l'absence de sources,

$Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0, Δ B - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} B}{\partial t ^{2}} = 0, c = \frac{1}{μ _{0} ε _{0}} .$

Démonstration (Découplage des champs)

Prenons le rotationnel de Maxwell--Faraday : $rot (rot E) = - \partial_{t} (rot B)$ . L'identité $rot (rot E) = grad (div E) - Δ E$ et $div E = 0$ (pas de charge) donnent $- Δ E = - \partial_{t} (rot B)$ . En remplaçant $rot B = μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E$ (Maxwell--Ampère sans courant),

$Δ E = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} .$

Le calcul est identique pour $B$ .

iRemarqueCaractère non instantané des interactions

La structure de ces équations, à vitesse de propagation finie $c$ , traduit le fait qu'une modification des sources ne se répercute pas instantanément à distance : le signal électromagnétique met un temps $r / c$ pour parcourir la distance $r$ . C'est une rupture profonde avec l'électrostatique et la magnétostatique, où les champs « suivent » leurs sources sans retard.

4.4.2 L'ARQS magnétique

Dans de nombreux dispositifs (circuits électriques, bobines, machines), les dimensions $L$ sont petites devant la longueur d'onde $λ = c T$ associée à la période $T$ des variations. Le temps de propagation $τ_{prop} = L / c$ est alors négligeable devant $T$ :

$L ≪ λ = c T ⟺ \frac{L}{c} ≪ T .$

Définition 4.7ARQS magnétique

L'approximation des régimes quasi-stationnaires magnétique consiste à négliger le courant de déplacement $ε_{0} \partial_{t} E$ devant la densité de courant de conduction $j$ dans l'équation de Maxwell--Ampère. Les équations deviennent

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} j .$

On conserve donc le couplage inductif (Maxwell--Faraday intact) mais on traite le champ magnétique comme en magnétostatique (théorème d'Ampère), tout en autorisant sa variation lente dans le temps.

Proposition 4.8Conservation de la charge en ARQS

Prendre la divergence de $rot B = μ_{0} j$ impose $div j = 0$ : la densité de courant est à flux conservatif, comme en régime permanent. C'est la justification de la loi des nœuds pour les circuits en ARQS.

Méthode : Vérifier la validité de l'ARQS magnétique

Estimer la dimension caractéristique $L$ du dispositif et la fréquence $f$ (ou la période $T = 1/ f$ ) des variations.
Calculer la longueur d'onde $λ = c / f$ .
L'ARQS est valable si $L ≪ λ$ , c'est-à-dire $f ≪ c / L$ .
En pratique : pour un circuit de $L \sim 1 m$ , on a $c / L \sim 300 M Hz$ ; l'ARQS est donc excellente jusqu'à des fréquences de l'ordre du $M Hz$ .

iRemarqueExtension des résultats de la magnétostatique

En ARQS magnétique, toutes les expressions de champ magnétique établies en régime permanent (champ d'un fil, d'un solénoïde, d'une bobine…) restent valables instantanément, en remplaçant simplement le courant permanent $I$ par sa valeur instantanée $i (t)$ . C'est ce qui autorise l'étude des circuits inductifs.

4.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Les quatre équations de Maxwell (postulats) :

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

Force de Lorentz : $F = q (E + v \land B)$ ; la partie magnétique ne travaille pas.
Courant de déplacement $j_{d} = ε_{0} \partial_{t} E$ : indispensable à la cohérence avec la conservation de la charge $div j + \partial_{t} ρ = 0$ .
Régimes stationnaires ( $\partial_{t} = 0$ ) : découplage en électrostatique ( $rot E = 0$ ) et magnétostatique ( $rot B = μ_{0} j$ ).
Énergie : densité $u = \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} + \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ , vecteur de Poynting $Π = \frac{E \land B}{μ _{0}}$ (en $W / □ m$ ).
Bilan local de Poynting : $\frac{\partial u}{\partial t} + div Π = - j \cdot E$ . Puissance rayonnée $= \oint \oint_{Σ} Π \cdot d S$ .
Propagation dans le vide : $Δ E = \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} E$ , $c = 1/ μ_{0} ε_{0} ≃ 3.0 \times 1 0^{8} m / s$ .
ARQS magnétique : on néglige $j_{d}$ devant $j$ , valable si $L ≪ λ = c T$ ; alors $div j = 0$ (loi des nœuds).

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.6 Exercices résolus

Exemple 4.9Courant de déplacement dans un condensateur

Un condensateur plan de surface $S$ et d'entrefer $e$ est chargé par un courant constant $I$ . Montrer que le courant de déplacement entre les armatures est égal au courant de conduction $I$ dans les fils.

Démonstration

Le champ entre armatures est uniforme, $E = σ / ε_{0} = Q / (ε_{0} S)$ , dirigé de l'armature $+$ vers l'armature $-$ . Sa dérivée temporelle vaut $\partial_{t} E = Q ˙ / (ε_{0} S) = I / (ε_{0} S)$ car $Q ˙ = I$ . La densité de courant de déplacement est $j_{d} = ε_{0} \partial_{t} E = I / S$ , uniforme sur la section. Le courant de déplacement total à travers une section $S$ vaut donc $I_{d} = j_{d} S = I$ . Il prolonge exactement le courant de conduction : le « circuit » du courant est fermé, ce qui rend le théorème d'Ampère cohérent quelle que soit la surface choisie.

Exemple 4.10Effet Joule et vecteur de Poynting dans un fil

Un fil cylindrique de rayon $a$ , de longueur $ℓ$ , de conductivité $γ$ , est parcouru par un courant uniforme $I$ . Calculer le flux entrant du vecteur de Poynting à travers la surface latérale et l'interpréter.

Démonstration

À la surface du fil ( $r = a$ ), le champ électrique interne est axial : $E = j / γ = I / (γ π a^{2})$ , dirigé selon $e_{z}$ (sens du courant). Le champ magnétique, par le théorème d'Ampère, est orthoradial : $B = μ_{0} I / (2 π a)$ selon $u_{θ}$ . Le vecteur de Poynting vaut

$Π = \frac{E \land B}{μ _{0}} = \frac{1}{μ _{0}} \frac{I}{γ π a ^{2}} \frac{μ _{0} I}{2 π a} (e_{z} \land u_{θ}) = - \frac{I ^{2}}{2 π ^{2} γ a ^{3}} u_{r},$

car $e_{z} \land u_{θ} = - u_{r}$ : le vecteur de Poynting est entrant. Le flux entrant à travers la surface latérale $2 π a ℓ$ est

$P = Π \times 2 π a ℓ = \frac{I ^{2}}{2 π ^{2} γ a ^{3}} 2 π a ℓ = \frac{I ^{2} ℓ}{γ π a ^{2}} = R I^{2},$

avec $R = ℓ / (γ π a^{2})$ . On retrouve exactement la puissance Joule dissipée : l'énergie dissipée dans le fil pénètre par sa surface latérale, transportée par le champ électromagnétique.

Exemple 4.11Densité d'énergie d'une onde plane

Pour une onde plane progressive dans le vide, les champs vérifient $E = c B$ . Comparer les densités d'énergie électrique et magnétique.

Démonstration

La densité électrique est $u_{e ˊ l.} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ et la densité magnétique $u_{mag.} = B^{2} / (2 μ_{0})$ . En remplaçant $B = E / c$ et $c^{2} = 1/ (μ_{0} ε_{0})$ ,

$u_{mag.} = \frac{E ^{2}}{2 μ _{0} c ^{2}} = \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} = u_{e ˊ l.} .$

Les deux contributions sont égales : l'énergie d'une onde plane se répartit à parts égales entre champ électrique et champ magnétique, et $u = ε_{0} E^{2}$ .

Exemple 4.12Validité de l'ARQS pour le secteur

Le réseau électrique domestique fonctionne à $f = 50 Hz$ . Estimer la longueur d'onde et conclure sur la validité de l'ARQS pour une installation de taille $L \sim 10 m$ .

Démonstration

La longueur d'onde est $λ = c / f = 3.0 \times 1 0^{8} m / s /50 Hz = 6000 km$ . Le rapport $L / λ \sim 10/ (6 \times 1 0^{6}) \sim 2 \times 1 0^{- 6}$ est très petit devant $1$ : l'ARQS est parfaitement justifiée. Le temps de propagation $L / c \sim 33 ns$ est totalement négligeable devant la période $T = 20 ms$ .

Exemple 4.13Conservation de la charge et sphère qui se décharge

Une petite sphère conductrice porte une charge $Q (t)$ décroissante à cause d'un courant de fuite radial de densité $j = j (r, t) u_{r}$ . Relier le débit de charge à $j$ .

Démonstration

La conservation de la charge intégrée sur un volume contenant la sphère donne $\frac{d Q}{d t} + \oint \oint_{Σ} j \cdot d S = 0$ . Pour une sphère de rayon $r$ entourant la charge, $\oint \oint_{Σ} j \cdot d S = 4 π r^{2} j (r, t)$ , d'où $\frac{d Q}{d t} = - 4 π r^{2} j (r, t)$ . Le courant sortant total $I = 4 π r^{2} j$ vaut donc $- Q ˙ > 0$ : la sphère perd bien sa charge au rythme du courant qui s'en échappe, indépendamment de $r$ tant qu'on entoure toute la charge.

Exemple 4.14Champ magnétique créé par un courant de déplacement

Dans un condensateur plan (armatures circulaires de rayon $R$ , champ $E (t)$ uniforme et axial entre les armatures), déterminer le champ magnétique induit à la distance $r < R$ de l'axe.

Démonstration

Par symétrie, $B = B (r, t) u_{θ}$ . Le théorème d'Ampère généralisé sur un cercle de rayon $r$ centré sur l'axe donne, en l'absence de courant de conduction entre les armatures,

$2 π r B = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} π r^{2}, d’o u ˋ B (r, t) = \frac{μ _{0} ε _{0} r}{2} \frac{\partial E}{\partial t} .$

Le courant de déplacement joue exactement le rôle d'un courant volumique et crée un champ magnétique orthoradial croissant avec $r$ , comme le ferait un courant réel uniformément réparti.

4.7 Exercices d'entraînement

Homogénéité. Vérifier par analyse dimensionnelle que $ε_{0} \partial_{t} E$ a bien la dimension d'une densité de courant ( $A / □ m$ ).

Constante $c$ . À partir de $ε_{0} = 8.85 \times 1 0^{- 12} F / m$ et $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H / m$ , calculer $c = 1/ μ_{0} ε_{0}$ et comparer à la valeur admise.

Divergence du rotationnel. Montrer que la seule équation $rot B = μ_{0} j$ (sans courant de déplacement) est incompatible avec la charge d'un condensateur. Où est la contradiction ?

Formes intégrale et locale. Déduire le théorème de Gauss $\oint \oint E \cdot d S = Q_{int} / ε_{0}$ de l'équation locale de Maxwell--Gauss.

Loi de Faraday. À partir de la forme intégrale de Maxwell--Faraday, retrouver l'expression de la f.é.m. induite dans un cadre rectangulaire fixe plongé dans un champ $B (t) = B_{0} cos (ω t)$ uniforme et orthogonal au plan du cadre.

Effet Joule. Un conducteur ohmique de conductivité $γ$ est parcouru par $j$ . Exprimer la puissance volumique dissipée en fonction de $j$ et $γ$ , puis en fonction de $E$ .

Poynting d'un solénoïde. Un solénoïde infini d'axe $O z$ porte un courant $i (t)$ croissant. Déterminer le sens du vecteur de Poynting au voisinage de la surface latérale et interpréter en termes de stockage d'énergie magnétique.

Densité d'énergie. Un champ électrique uniforme vaut $E = 1 \times 1 0^{6} V / m$ . Calculer la densité volumique d'énergie électrique. Même question pour un champ magnétique $B = 1 T$ ; comparer les deux valeurs.

Onde plane. Pour une onde plane $E = E_{0} cos (ω t - k z) e_{x}$ dans le vide, écrire le champ $B$ associé, puis calculer la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting.

Intensité lumineuse. Le Soleil délivre au sol un éclairement $⟨ Π ⟩ ≃ 1000 W / □ m$ . En déduire l'ordre de grandeur de l'amplitude $E_{0}$ du champ électrique de la lumière solaire.

Validité de l'ARQS. Un circuit imprimé a une taille $L = 5 cm$ . À partir de quelle fréquence l'ARQS cesse-t-elle d'être justifiée ? Application numérique.

Conservation de la charge en ARQS. Montrer qu'en ARQS magnétique la densité de courant vérifie $div j = 0$ , et en déduire la loi des nœuds pour un circuit électrique.

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