Symétries et champ électrique stationnaire

Cours complet · électromagnétisme (PSI), chapitre 1 · CPGE PSI (2e année)

L'électromagnétisme est gouverné, dans le cas le plus général, par les quatre équations de Maxwell, qui relient localement le champ électromagnétique $(E, B)$ à ses sources, la densité de charge $ρ$ et le vecteur densité de courant $j$ . En classe de PSI, ces équations sont posées comme des postulats : on ne cherche pas à les construire, mais à les exploiter. Ce chapitre se limite au régime stationnaire (ou permanent), où toutes les grandeurs sont indépendantes du temps : les phénomènes électriques et magnétiques se découplent alors, et le champ électrostatique $E$ ne dépend plus que de la distribution de charges.

Deux outils structurent toute l'étude. D'une part, l'analyse des symétries et invariances de la distribution de charges, qui donne — avant tout calcul — la direction du champ et les variables dont il dépend. D'autre part, le théorème de Gauss, forme intégrale de l'équation de Maxwell--Gauss, qui permet d'en calculer la norme dans les situations de haute symétrie. La méthode « symétries $\to$ Gauss » est le cœur pratique de ce chapitre.

1.1 Les équations de Maxwell en régime stationnaire

1.1.1 Champ et sources

À l'échelle mésoscopique, les sources du champ sont décrites par deux champs : la densité volumique de charge $ρ (M)$ (en $C / m^{3}$ ) et le vecteur densité de courant $j (M)$ (en $A / m^{2}$ ). Le champ électromagnétique agit sur une charge test $q$ , animée de la vitesse $v$ , par la force de Lorentz

$F = q (E + v \land B) .$

1.1.2 Les quatre équations, postulées

ImportantÉquations de Maxwell (postulats)

Dans le vide, en présence de sources $ρ$ et $j$ , les champs vérifient en tout point et à tout instant :

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}} (M-Gauss), rot E = - \frac{\partial B}{\partial t} (M-Faraday),$

$div B = 0 (M-Thomson), rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} (M-Amp e ˋ re) .$

La permittivité du vide vaut $ε_{0} ≃ 8.85 \times 1 0^{- 12} F / m$ , avec $\frac{1}{4 π ε _{0}} ≃ 9.0 \times 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$ .

Définition 1.1Régime stationnaire

Le régime stationnaire (ou permanent) est celui où toutes les grandeurs sont indépendantes du temps : $\partial / \partial t = 0$ . Les deux équations qui gouvernent le champ électrique se réduisent alors à

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}} et rot E = 0 .$

En régime stationnaire, $rot E = 0$ ne fait plus intervenir $B$ : le champ électrique se calcule à partir des seules charges, indépendamment des courants et du champ magnétique. C'est le domaine de l'électrostatique. Ces deux équations locales sont le point de départ admis de tout ce chapitre.

1.2 Symétries et invariances de la distribution

L'exploitation des symétries de la distribution source permet de connaître, avant tout calcul, la direction du champ $E$ et les variables dont il dépend. Cette analyse ne s'appuie pas sur une expression du champ, mais sur son caractère vectoriel et sur les symétries géométriques des sources.

1.2.1 Le champ électrique est un vecteur polaire

ImportantCaractère polaire de

E

Le champ électrostatique $E$ est un vrai vecteur (vecteur polaire) : il se transforme comme le vecteur position $O M$ dans toute transformation géométrique de la distribution des sources. En particulier, dans une symétrie par rapport à un plan, sa composante normale au plan change de signe et ses composantes dans le plan sont conservées, comme pour une flèche « réfléchie » dans un miroir.

On oppose ce comportement à celui du champ magnétique $B$ , qui est un pseudo-vecteur (vecteur axial), étudié dans un chapitre ultérieur. Cette distinction est à la source de règles de symétrie opposées pour $E$ et $B$ .

1.2.2 Règles de symétrie : direction du champ

ImportantPlans de symétrie et d'antisymétrie

Si un plan $Π$ est plan de symétrie de la distribution de charges (la distribution est invariante par la réflexion par rapport à $Π$ ), alors en tout point $M$ de $Π$ le champ $E (M)$ appartient à $Π$ .
Si un plan $Π^{*}$ est plan d'antisymétrie (la réflexion transforme la distribution en son opposée, $ρ \to - ρ$ ), alors en tout point $M$ de $Π^{*}$ le champ $E (M)$ est orthogonal à $Π^{*}$ .

En un point appartenant à deux plans de symétrie, $E$ est porté par leur intersection.

Figure : En un point

M

d'un plan de symétrie des sources, le champ appartient au plan.

iRemarque

Ces règles sont des conséquences directes du caractère polaire de $E$ et de la linéarité des équations. Sur un plan de symétrie, la seule direction compatible avec l'invariance de la source est une direction contenue dans le plan ; toute composante normale serait renversée par la réflexion, ce qui contredirait l'invariance.

1.2.3 Invariances : variables dont dépend le champ

Si la distribution de charges est invariante par une transformation géométrique continue (translation, rotation), alors le champ $E$ et le potentiel $V$ le sont aussi : ils ne dépendent pas de la variable associée à cette transformation.

Proposition 1.2Conséquences des invariances

Invariance par translation selon un axe $\Rightarrow$ $E$ et $V$ ne dépendent pas de la coordonnée le long de cet axe.
Invariance par rotation autour d'un axe $\Rightarrow$ $E$ et $V$ ne dépendent pas de l'angle azimutal.

Méthode : Analyse préalable au calcul du champ

Avant tout calcul, on procède systématiquement en trois temps :

Choisir le système de coordonnées adapté à la géométrie (cartésien, cylindrique, sphérique).
Invariances : repérer les translations et rotations qui laissent la source invariante $\Rightarrow$ variables dont $E$ ne dépend pas.
Symétries : au point $M$ , identifier les plans de symétrie et d'antisymétrie de la source passant par $M$ $\Rightarrow$ direction de $E (M)$ .

On obtient ainsi la forme $E = E (variable) u_{direction}$ , prête pour le théorème de Gauss.

Exemple 1.3Les trois géométries de référence

Fil infini (axe $O z$ , densité $λ$ ) : invariance par translation selon $z$ et par rotation autour de $z$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $r$ . Tout plan contenant $M$ et l'axe est plan de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (r) u_{r}$ (radial cylindrique).
Plan infini ( $x O y$ , densité $σ$ ) : invariance par translation selon $x$ et $y$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $z$ . Tout plan perpendiculaire au plan chargé et passant par $M$ est plan de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (z) u_{z}$ .
Symétrie sphérique (centre $O$ ) : invariance par toute rotation autour de $O$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $r$ . Tout plan passant par $O$ et $M$ est plan de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (r) u_{r}$ (radial sphérique).

1.3 Circulation, potentiel et équation de Poisson

1.3.1 Le champ électrostatique dérive d'un potentiel

L'équation de Maxwell--Faraday en régime stationnaire, $rot E = 0$ , exprime que le champ électrostatique est irrotationnel. Or un champ irrotationnel dérive d'un potentiel scalaire.

◆Théorème 1.4Potentiel scalaire électrique

En régime stationnaire, $rot E = 0$ équivaut à l'existence d'un champ scalaire $V$ , le potentiel électrique (en volts, $V$ ), tel que

$E = - grad V .$

Le signe « moins » traduit que $E$ pointe vers les potentiels décroissants. Le potentiel est défini à une constante additive près.

Proposition 1.5Différence de potentiel et circulation

La circulation du champ électrostatique entre deux points $A$ et $B$ ne dépend que des extrémités et vaut

$\int_{A}^{B} E \cdot d ℓ = V (A) - V (B),$

et sur tout contour fermé $\oint E \cdot d ℓ = 0$ . Le champ électrostatique est à circulation conservative.

Démonstration

Le long d'un déplacement élémentaire $d ℓ$ , la variation de potentiel est $d V = grad V \cdot d ℓ = - E \cdot d ℓ$ . En intégrant de $A$ à $B$ : $V (B) - V (A) = - \int_{A}^{B} E \cdot d ℓ$ , soit le résultat annoncé. Sur un contour fermé, $A = B$ et la circulation est nulle.

1.3.2 Équation de Poisson

En combinant les deux équations stationnaires, on relie directement le potentiel à la densité de charge.

◆Théorème 1.6Équation de Poisson

En reportant $E = - grad V$ dans l'équation de Maxwell--Gauss $div E = ρ / ε_{0}$ , et en utilisant $div (grad V) = Δ V$ , on obtient l'équation de Poisson :

$Δ V + \frac{ρ}{ε _{0}} = 0 .$

Dans une région sans charge ( $ρ = 0$ ), elle se réduit à l'équation de Laplace $Δ V = 0$ .

iRemarque

L'équation de Poisson est une équation aux dérivées partielles du second ordre pour $V$ : munie de conditions aux limites, elle détermine complètement le potentiel, donc le champ. Dans ce cours, on ne l'exploite pas directement pour calculer un champ — on lui préfère le théorème de Gauss dès que la symétrie le permet — mais elle constitue le lien local de référence entre potentiel et charge.

1.4 Propriétés topographiques du champ

1.4.1 Lignes de champ et équipotentielles

Une ligne de champ est une courbe tangente en chaque point à $E$ ; une surface équipotentielle est une surface $V = cste$ .

Proposition 1.7Orthogonalité et orientation

Les lignes de champ électrostatique sont orthogonales aux surfaces équipotentielles et orientées dans le sens des potentiels décroissants.

Démonstration

Le long d'un déplacement $d ℓ$ tracé sur une équipotentielle, $d V = 0$ , donc $- E \cdot d ℓ = 0$ : $E$ est orthogonal à tout déplacement sur la surface, donc à la surface elle-même. De plus $E = - grad V$ pointe dans le sens où $V$ décroît.

1.4.2 Évasement des tubes de champ

Un tube de champ est la surface engendrée par les lignes de champ s'appuyant sur un contour fermé.

ImportantResserrement, évasement et norme du champ

En dehors des sources ( $ρ = 0$ ), le flux de $E$ à travers une section d'un tube de champ se conserve. Par conséquent :

là où les lignes se resserrent (tube étroit), la norme $E$ est grande ;
là où les lignes s'évasent (tube large), $E$ est faible.

L'évasement des tubes traduit donc directement la décroissance du champ loin des sources.

Figure : Carte de champ de deux charges opposées : les lignes partent de

+ q

(source) et aboutissent à

- q

(puits) ; elles s'évasent où le champ faiblit.

iRemarque

Une carte de lignes de champ électrostatique ne peut pas comporter de boucle fermée : la circulation le long d'une telle boucle serait non nulle, en contradiction avec $\oint E \cdot d ℓ = 0$ . Les lignes divergent des charges positives et convergent vers les charges négatives. Connaissant le réseau d'équipotentielles, on trace les lignes de champ orthogonalement, orientées vers les $V$ décroissants ; et réciproquement.

Capacité numérique : Évaluer un champ à partir d'équipotentielles

Sur un réseau d'équipotentielles séparées d'un écart de potentiel $Δ V$ constant, la norme locale du champ s'estime par $E ≃ \frac{Δ V}{Δ n}$ , où $Δ n$ est la distance (mesurée orthogonalement) entre deux équipotentielles voisines. Le champ est le plus intense là où les équipotentielles sont le plus resserrées, et pointe de la haute vers la basse tension.

1.5 Le théorème de Gauss

1.5.1 Énoncé

◆Théorème 1.8Théorème de Gauss

Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée $S$ (orientée vers l'extérieur) est égal à la charge intérieure divisée par $ε_{0}$ :

$\oint \oint_{S} E \cdot d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}} avec Q_{int} = ∭_{V (S)} ρ d τ .$

Le théorème de Gauss est la forme intégrale de l'équation de Maxwell--Gauss $div E = ρ / ε_{0}$ : on passe de l'une à l'autre par le théorème d'Ostrogradski (flux--divergence), $\oint \oint_{S} E \cdot d S = ∭_{V} div E d τ$ .

Attention

Seule la charge intérieure à $S$ contribue au flux. En revanche, toutes les charges (intérieures comme extérieures) contribuent au champ $E$ en chaque point de $S$ . Le théorème de Gauss n'est utile pour calculer $E$ que si la symétrie permet de sortir $E$ de l'intégrale.

1.5.2 Méthode d'application

Méthode : Calcul d'un champ par le théorème de Gauss

Applicable seulement lorsque la symétrie donne $E = E (u) u$ avec $E$ constant sur une surface bien choisie :

déterminer par symétrie et invariance la forme de $E$ ;
choisir une surface de Gauss fermée passant par le point $M$ , adaptée à la symétrie (cylindre coaxial, sphère concentrique, pilulier) ;
calculer le flux : $E$ sort de l'intégrale sur les faces où $E ∥ d S$ , le flux est nul sur celles où $E ⊥ d S$ ;
évaluer $Q_{int}$ , puis résoudre en $E$ .

1.6 Exemples canoniques par symétrie

1.6.1 Charge ponctuelle

Proposition 1.9Champ et potentiel d'une charge ponctuelle

Une charge ponctuelle $q$ placée en $O$ crée en $M$ (avec $O M = r u_{r}$ )

$E (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} u_{r}, V (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r} (origine a ˋ l’infini) .$

Démonstration

La distribution (une charge ponctuelle) est à symétrie sphérique de centre $O$ : $E = E (r) u_{r}$ . On prend pour surface de Gauss une sphère de rayon $r$ centrée en $O$ ; $E (r)$ y est constant et $E ∥ d S$ , donc $Φ = E (r) 4 π r^{2}$ . La charge intérieure est $q$ , d'où $E (r) 4 π r^{2} = q / ε_{0}$ , soit $E (r) = \frac{q}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ . Le potentiel s'obtient par $E = - d V / d r$ , en remarquant que $\frac{u _{r}}{r ^{2}} = - grad (\frac{1}{r})$ .

1.6.2 Distribution à symétrie sphérique : sphère et boule chargées

Figure : Surface de Gauss sphérique concentrique (

r > R

) à une distribution à symétrie sphérique.

Proposition 1.10Boule uniformément chargée

Pour une boule de rayon $R$ , de densité volumique uniforme $ρ$ et de charge totale $Q = \frac{4}{3} π R^{3} ρ$ , le champ radial $E = E (r) u_{r}$ vaut

$E (r) = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}} (r \geq R), E (r) = \frac{Q r}{4 π ε _{0} R ^{3}} = \frac{ρ r}{3 ε _{0}} (r \leq R) .$

À l'extérieur, tout se passe comme si la charge était concentrée au centre.

Démonstration

Symétrie sphérique : $E = E (r) u_{r}$ . Surface de Gauss : sphère de rayon $r$ centrée en $O$ , donc $Φ = E (r) 4 π r^{2}$ .

$r \geq R$ : $Q_{int} = Q$ , d'où $E (r) = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ .
$r \leq R$ : $Q_{int} = ρ \cdot \frac{4}{3} π r^{3} = Q r^{3} / R^{3}$ , d'où $E (r) = \frac{Q r}{4 π ε _{0} R ^{3}}$ , croissant linéairement de $0$ au centre jusqu'à sa valeur de surface.

Le champ est continu en $r = R$ (pas de charge surfacique). Pour une sphère creuse chargée en surface (charge $Q$ , densité $σ$ ), on aurait $E = 0$ à l'intérieur et $E = Q / (4 π ε_{0} r^{2})$ à l'extérieur, avec une discontinuité $σ / ε_{0}$ à la traversée.

1.6.3 Distribution à symétrie cylindrique : fil et cylindre

Figure : Surface de Gauss cylindrique (rayon

r

, hauteur

h

) coaxiale au fil.

Proposition 1.11Fil infini uniformément chargé

Un fil infini d'axe $O z$ , de densité linéique uniforme $λ$ , crée le champ radial cylindrique

$E (r) = \frac{λ}{2 π ε _{0} r} u_{r}, V (r) = - \frac{λ}{2 π ε _{0}} ln r + cste .$

Démonstration

Symétrie et invariance donnent $E = E (r) u_{r}$ . Surface de Gauss : cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ coaxial au fil. Le flux à travers les deux disques de base est nul ( $E ⊥ d S$ ) ; sur la surface latérale $E ∥ d S$ et $E (r)$ y est constant :

$Φ = E (r) \times 2 π r h .$

La charge intérieure est $Q_{int} = λh$ . Gauss donne $E (r) 2 π r h = λh / ε_{0}$ , soit $E (r) = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$ . Le potentiel s'obtient par $E = - d V / d r$ . La décroissance en $1/ r$ (et non $1/ r^{2}$ ) reflète la géométrie infinie : on ne peut pas prendre l'origine des potentiels à l'infini.

1.6.4 Plan infini uniformément chargé

Figure : Surface de Gauss « pilulier » débordant symétriquement de part et d'autre du plan chargé.

Proposition 1.12Plan infini uniformément chargé

Un plan $z = 0$ de densité surfacique uniforme $σ$ crée, de part et d'autre,

$E = \frac{σ}{2 ε _{0}} u_{z} (z > 0), E = - \frac{σ}{2 ε _{0}} u_{z} (z < 0) .$

Le champ est uniforme de chaque côté et subit une discontinuité $σ / ε_{0}$ à la traversée du plan.

Démonstration

Symétrie et invariance donnent $E = E (z) u_{z}$ , avec $E (- z) = - E (z)$ (le plan est plan de symétrie). Surface de Gauss : cylindre droit (« pilulier ») d'axe $O z$ , de section $S$ , débordant symétriquement entre $- z$ et $+ z$ . Le flux latéral est nul ( $E ⊥ d S$ ) ; sur les deux bases $E ∥$ normale sortante, de même norme $E (z)$ :

$Φ = 2 E (z) S .$

La charge intérieure est $Q_{int} = σ S$ . Gauss donne $2 E (z) S = σ S / ε_{0}$ , d'où $E (z) = σ / (2 ε_{0})$ , indépendant de $z$ .

iRemarqueVers le condensateur plan

En superposant deux plans parallèles portant $+ σ$ et $- σ$ , les champs s'ajoutent entre les plans ( $E = σ / ε_{0}$ ) et se compensent à l'extérieur ( $E = 0$ ) : c'est le modèle du condensateur plan, étudié en détail au chapitre suivant.

1.6.5 Théorème de superposition

Proposition 1.13Superposition

Les équations de l'électrostatique étant linéaires, le champ (et le potentiel) créé par un ensemble de sources est la somme des champs (et potentiels) créés par chacune séparément. On additionne des vecteurs : ne jamais sommer des normes sans avoir projeté sur des directions communes.

1.7 Énergie potentielle d'une charge et mouvement

1.7.1 Énergie potentielle électrique

Proposition 1.14Énergie potentielle d'une charge ponctuelle

Une charge ponctuelle $q$ placée en un point où règne le potentiel $V$ (créé par les autres charges) possède l'énergie potentielle

$E_{p} = q V .$

Démonstration

La force subie est $F = q E = - q grad V = - grad (q V)$ . Elle dérive donc de l'énergie potentielle $E_{p} = q V$ (à une constante près). Pour deux charges ponctuelles distantes de $r$ : $E_{p} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q q ^{'}}{r}$ .

1.7.2 Théorème de l'énergie cinétique

Proposition 1.15Particule chargée dans un champ électrique

Une particule de charge $q$ et de masse $m$ , soumise au seul champ électrique, vérifie le théorème de l'énergie cinétique entre deux points $A$ et $B$ :

$\frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} = q (V (A) - V (B)) = q U_{A B} .$

L'énergie mécanique $E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} + q V$ se conserve.

Exemple 1.16Accélération dans une différence de potentiel

Une charge $q > 0$ , initialement au repos, est accélérée par une différence de potentiel $U$ . Sa vitesse finale vérifie $\frac{1}{2} m v^{2} = q U$ , soit $v = 2 q U / m$ . Pour un électron accéléré sous $U = 1 \times 1 0^{3} V$ : $v = 2 \times 1, 6 \times 1 0^{- 19} \times 1 0^{3} / (9, 1 \times 1 0^{- 31}) ≃ 1.9 \times 1 0^{7} m / s$ .

1.8 Analogie avec le champ gravitationnel

Les lois de Coulomb et de Newton ont la même structure en $1/ r^{2}$ . On passe formellement de l'une à l'autre par les correspondances

$\frac{1}{4 π ε _{0}} ⟷ - G, q ⟷ m .$

	Électrostatique	Gravitation
Champ	$E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} u_{r}$	$G = - G \frac{m}{r ^{2}} u_{r}$
[1.4ex] Potentiel</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $V = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $Φ = - G \frac{m}{r}$ </td></tr><tr style="border-bottom:1.5px solid #2E2C26"><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[1.4ex] Th. de Gauss</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\oint \oint E \cdot d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\oint \oint G \cdot d S = - 4 π G M_{int}$ </td></tr></table></div> iRemarque La différence essentielle : les masses sont toujours positives et la gravitation est toujours attractive ( $- G < 0$ ), alors que les deux signes de charge rendent l'interaction électrique tantôt attractive tantôt répulsive. L'analogie permet d'importer directement les résultats : le champ gravitationnel d'un astre homogène de masse $M$ et de rayon $R$ vaut $G (r) = GM / r^{2}$ à l'extérieur et croît en $G = GM r / R^{3}$ à l'intérieur, exactement comme la boule chargée. 1.9 Synthèse du chapitre À retenir Équations de Maxwell (stationnaire, postulées) : $div E = \frac{ρ}{ε _{0}}$ (M--Gauss) et $rot E = 0$ (M--Faraday). Potentiel : $E = - grad V$ ; $\int_{A}^{B} E \cdot d ℓ = V (A) - V (B)$ ; $\oint E \cdot d ℓ = 0$ ; équation de Poisson $Δ V + \frac{ρ}{ε _{0}} = 0$ . Symétries $\to$ Gauss : invariances $\Rightarrow$ variables ; plan de symétrie $\Rightarrow$ $E$ dans le plan, plan d'antisymétrie $\Rightarrow$ $E ⊥$ plan ( $E$ vecteur polaire) ; puis $\oint \oint E \cdot d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}$ . Topographie : lignes de champ $⊥$ équipotentielles, orientées vers les $V$ décroissants ; tube qui s'évase $\Rightarrow$ champ qui faiblit ; $E ≃ Δ V /Δ n$ . Résultats de référence : Charge ponctuelle : $E = \frac{q}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ , $V = \frac{q}{4 π ε _{0} r}$ . Fil infini : $E = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$ (décroît en $1/ r$ ). Plan infini : $E = \frac{σ}{2 ε _{0}}$ (uniforme, discontinuité $σ / ε_{0}$ ). Boule uniforme : $E = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ ( $r \geq R$ ), $E = \frac{Q r}{4 π ε _{0} R ^{3}}$ ( $r \leq R$ ). Énergie et analogie : $E_{p} = q V$ ; $\frac{1}{2} m v^{2} + q V = cste$ ; $\frac{1}{4 π ε _{0}} \leftrightarrow - G$ , $q \leftrightarrow m$ . <i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.10 Exercices résolus Exemple 1.17Cylindre plein uniformément chargé Un cylindre infini de rayon $R$ , d'axe $O z$ , est chargé uniformément en volume ( $ρ$ ). Déterminer $E (r)$ à l'intérieur et à l'extérieur. Démonstration Symétrie cylindrique : $E = E (r) u_{r}$ . Surface de Gauss cylindrique de rayon $r$ et hauteur $h$ : $Φ = E (r) 2 π r h$ . $r \leq R$ : $Q_{int} = ρ π r^{2} h$ , d'où $E (r) = \frac{ρ r}{2 ε _{0}}$ (croissance linéaire). $r \geq R$ : $Q_{int} = ρ π R^{2} h$ , d'où $E (r) = \frac{ρ R ^{2}}{2 ε _{0} r} = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$ avec $λ = ρ π R^{2}$ . On retrouve à l'extérieur le champ du fil infini de charge linéique équivalente $λ$ . Exemple 1.18Direction du champ par les symétries seules Une distribution est constituée de deux fils infinis parallèles à $O z$ , portant la même densité $λ$ , situés en $x = \pm a$ dans le plan $y = 0$ . Quelle est la direction de $E$ en un point de l'axe $O z$ ? Démonstration Deux plans de symétrie de la distribution passent par un point $M$ de l'axe $O z$ : le plan $y = 0$ (qui contient les deux fils) et le plan $x = 0$ (médiateur des deux fils). Le champ $E (M)$ appartient à chacun de ces plans, donc à leur intersection : il est porté par l'axe $O z$ . Mais le plan $z = cste$ passant par $M$ , perpendiculaire aux fils, est lui aussi plan de symétrie de la distribution : chaque fil, infini selon $z$ , est globalement invariant par la réflexion échangeant $z_{M} + ζ$ et $z_{M} - ζ$ . Le champ $E (M)$ doit donc aussi appartenir à ce plan, c'est-à-dire être orthogonal à $O z$ . Un vecteur à la fois porté par $O z$ et orthogonal à $O z$ ne peut être que nul : $E = 0$ en tout point de l'axe $O z$ . Exemple 1.19Potentiel d'une sphère chargée en surface Une sphère de rayon $R$ porte la charge $Q$ uniformément répartie en surface. Établir $V (r)$ pour $r \geq R$ et $r \leq R$ , origine à l'infini. Démonstration À l'extérieur, $E = Q / (4 π ε_{0} r^{2})$ donne $V (r) = \frac{Q}{4 π ε _{0} r}$ ( $r \geq R$ ). À l'intérieur $E = 0$ , donc $V$ y est uniforme, égal par continuité à sa valeur de surface : $V = \frac{Q}{4 π ε _{0} R}$ ( $r \leq R$ ). Le potentiel est continu partout ; seul $E$ est discontinu en $r = R$ . Exemple 1.20Champ à partir d'un réseau d'équipotentielles Dans une zone, les équipotentielles sont des plans parallèles espacés de $2 mm$ , la différence de potentiel entre deux plans voisins étant $10 V$ . Estimer $E$ et donner son orientation. Démonstration Le champ est orthogonal aux plans équipotentiels et uniforme : $E ≃ \frac{Δ V}{Δ n} = \frac{10}{2 \times 1 0 ^{- 3}} = 5 \times 1 0^{3} V / m$ . Il pointe du plan de plus haut potentiel vers celui de plus bas potentiel. Exemple 1.21Équation de Poisson dans une boule chargée Vérifier que le potentiel intérieur d'une boule uniformément chargée ( $ρ$ , rayon $R$ ) satisfait l'équation de Poisson. Démonstration À l'intérieur, $E = \frac{ρ r}{3 ε _{0}} u_{r}$ , donc $V (r) = - \frac{ρ r ^{2}}{6 ε _{0}} + cste$ . En coordonnées sphériques, pour un potentiel radial, $Δ V = \frac{1}{r ^{2}} \frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d V}{d r})$ . Avec $\frac{d V}{d r} = - \frac{ρ r}{3 ε _{0}}$ , on a $r^{2} \frac{d V}{d r} = - \frac{ρ r ^{3}}{3 ε _{0}}$ puis $Δ V = \frac{1}{r ^{2}} (- \frac{3 ρ r ^{2}}{3 ε _{0}}) = - \frac{ρ}{ε _{0}}$ , soit $Δ V + \frac{ρ}{ε _{0}} = 0$ : l'équation de Poisson est bien vérifiée. Exemple 1.22Vitesse de libération électrostatique Une charge $q > 0$ de masse $m$ est lâchée sans vitesse depuis la surface d'une sphère de charge $Q > 0$ et de rayon $R$ . Quelle vitesse atteint-elle à l'infini ? Démonstration Conservation de l'énergie mécanique, l'extérieur étant équivalent à une charge ponctuelle $Q$ : $\frac{1}{2} m v_{\infty}^{2} = q (V (R) - V (\infty)) = \frac{q Q}{4 π ε _{0} R}$ , d'où $v_{\infty} = \frac{q Q}{2 π ε _{0} m R} .$ Analogue exact de la vitesse de libération gravitationnelle, avec $q Q / (4 π ε_{0}) \leftrightarrow G m M$ . Exemple 1.23Ordre de grandeur d'un champ Estimer le champ créé à $1 cm$ par une charge ponctuelle $q = 1 nC$ , et comparer au champ disruptif de l'air ( $\sim 3 \times 1 0^{6} V / m$ ). Démonstration $E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} = 9, 0 \times 1 0^{9} \times \frac{1 0 ^{- 9}}{( 1 0 ^{- 2} ) ^{2}} = 9 \times 1 0^{4} V / m$ , bien inférieur au champ disruptif : pas de claquage. 1.11 Exercices d'entraînement Symétries. Pour chacune des distributions suivantes, déterminer par symétrie et invariance la direction de $E$ et les variables dont il dépend : (a) demi-plan infini chargé, (b) deux charges $+ q$ et $- q$ (points de l'axe et du plan médiateur), (c) disque chargé (points de l'axe), (d) segment fini chargé (points du plan médiateur). Plan d'antisymétrie. Deux plans infinis parallèles portent $+ σ$ et $- σ$ . Montrer que le plan médian est plan d'antisymétrie et en déduire la direction de $E$ en tout point de ce plan. Sphère creuse. Tracer $E (r)$ et $V (r)$ pour une sphère de rayon $R$ chargée en surface ; repérer la discontinuité de $E$ et la continuité de $V$ . Deux sphères concentriques. Deux sphères de rayons $R_{1} < R_{2}$ portent les charges $Q_{1}$ et $Q_{2}$ réparties en surface. Déterminer $E (r)$ dans les trois régions $r < R_{1}$ , $R_{1} < r < R_{2}$ , $r > R_{2}$ . Cavité. Une boule de densité $ρ$ contient une cavité sphérique vide décentrée (vecteur centre à centre $d$ ). Montrer, par superposition, que le champ dans la cavité est uniforme et vaut $E = \frac{ρ d}{3 ε _{0}}$ . Cylindre creux. Un cylindre infini de rayon $R$ porte $σ$ uniforme en surface. Établir $E (r)$ à l'intérieur et à l'extérieur, et comparer au fil infini. Équation de Poisson. Dans une région, le potentiel vaut $V (x) = V_{0} (1 - x^{2} / a^{2})$ . Déterminer la densité de charge $ρ (x)$ correspondante à l'aide de l'équation de Poisson. Champ et équipotentielles. On donne le potentiel $V (x, y) = α (x^{2} - y^{2})$ . Déterminer $E$ , tracer quelques équipotentielles et lignes de champ, et vérifier leur orthogonalité. Énergie cinétique. Un proton pénètre dans une zone de champ uniforme $E = 1 \times 1 0^{4} V / m$ sur une longueur $d = 5 cm$ . Calculer le gain d'énergie cinétique et la vitesse acquise à partir du repos. Modèle de l'atome. Une charge ponctuelle $+ e$ (noyau) est au centre d'une boule uniformément chargée $- e$ de rayon $R$ (nuage électronique). Déterminer $E (r)$ pour $r \leq R$ et montrer qu'une force de rappel élastique apparaît si le noyau est déplacé. Analogie gravitationnelle. En exploitant l'analogie, établir le champ gravitationnel à l'intérieur et à l'extérieur d'une planète homogène de masse $M$ et de rayon $R$ , et localiser le maximum de $G (r)$ . Topographie. Sur une carte, un tube de champ passe hors des sources d'une section $Σ_{1}$ à une section $Σ_{2} = 3 Σ_{1}$ . En déduire le rapport $E_{2} / E_{1}$ des normes du champ, en justifiant par la conservation du flux. Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices Le condensateur → Adloun — cours, exercices corrigés et annales du bac, du lycée aux classes préparatoires. Découvrir la plateforme · Tous les chapitres d'électromagnétisme (PSI) · Tous les cours · Exercices corrigés · Annales du bac Mentions légales · CGV · Confidentialité

Électrostatique

Gravitation

Champ

E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} u_{r}

G = - G \frac{m}{r ^{2}} u_{r}

[1.4ex]

Potentiel</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $V = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $Φ = - G \frac{m}{r}$ </td></tr><tr style="border-bottom:1.5px solid #2E2C26"><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[1.4ex] Th. de Gauss</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\oint \oint E \cdot d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\oint \oint G \cdot d S = - 4 π G M_{int}$ </td></tr></table></div>

iRemarque

La différence essentielle : les masses sont toujours positives et la gravitation est toujours attractive ( $- G < 0$ ), alors que les deux signes de charge rendent l'interaction électrique tantôt attractive tantôt répulsive. L'analogie permet d'importer directement les résultats : le champ gravitationnel d'un astre homogène de masse $M$ et de rayon $R$ vaut $G (r) = GM / r^{2}$ à l'extérieur et croît en $G = GM r / R^{3}$ à l'intérieur, exactement comme la boule chargée.

1.9 Synthèse du chapitre

À retenir

Équations de Maxwell (stationnaire, postulées) : $div E = \frac{ρ}{ε _{0}}$ (M--Gauss) et $rot E = 0$ (M--Faraday).

Potentiel : $E = - grad V$ ; $\int_{A}^{B} E \cdot d ℓ = V (A) - V (B)$ ; $\oint E \cdot d ℓ = 0$ ; équation de Poisson $Δ V + \frac{ρ}{ε _{0}} = 0$ .

Symétries $\to$ Gauss : invariances $\Rightarrow$ variables ; plan de symétrie $\Rightarrow$ $E$ dans le plan, plan d'antisymétrie $\Rightarrow$ $E ⊥$ plan ( $E$ vecteur polaire) ; puis $\oint \oint E \cdot d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}$ .

Topographie : lignes de champ $⊥$ équipotentielles, orientées vers les $V$ décroissants ; tube qui s'évase $\Rightarrow$ champ qui faiblit ; $E ≃ Δ V /Δ n$ .

Résultats de référence :

Charge ponctuelle : $E = \frac{q}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ , $V = \frac{q}{4 π ε _{0} r}$ .
Fil infini : $E = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$ (décroît en $1/ r$ ).
Plan infini : $E = \frac{σ}{2 ε _{0}}$ (uniforme, discontinuité $σ / ε_{0}$ ).
Boule uniforme : $E = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ ( $r \geq R$ ), $E = \frac{Q r}{4 π ε _{0} R ^{3}}$ ( $r \leq R$ ).

Énergie et analogie : $E_{p} = q V$ ; $\frac{1}{2} m v^{2} + q V = cste$ ; $\frac{1}{4 π ε _{0}} \leftrightarrow - G$ , $q \leftrightarrow m$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.10 Exercices résolus

Exemple 1.17Cylindre plein uniformément chargé

Un cylindre infini de rayon $R$ , d'axe $O z$ , est chargé uniformément en volume ( $ρ$ ). Déterminer $E (r)$ à l'intérieur et à l'extérieur.

Démonstration

Symétrie cylindrique : $E = E (r) u_{r}$ . Surface de Gauss cylindrique de rayon $r$ et hauteur $h$ : $Φ = E (r) 2 π r h$ .

$r \leq R$ : $Q_{int} = ρ π r^{2} h$ , d'où $E (r) = \frac{ρ r}{2 ε _{0}}$ (croissance linéaire).
$r \geq R$ : $Q_{int} = ρ π R^{2} h$ , d'où $E (r) = \frac{ρ R ^{2}}{2 ε _{0} r} = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$ avec $λ = ρ π R^{2}$ .

On retrouve à l'extérieur le champ du fil infini de charge linéique équivalente $λ$ .

Exemple 1.18Direction du champ par les symétries seules

Une distribution est constituée de deux fils infinis parallèles à $O z$ , portant la même densité $λ$ , situés en $x = \pm a$ dans le plan $y = 0$ . Quelle est la direction de $E$ en un point de l'axe $O z$ ?

Démonstration

Deux plans de symétrie de la distribution passent par un point $M$ de l'axe $O z$ : le plan $y = 0$ (qui contient les deux fils) et le plan $x = 0$ (médiateur des deux fils). Le champ $E (M)$ appartient à chacun de ces plans, donc à leur intersection : il est porté par l'axe $O z$ . Mais le plan $z = cste$ passant par $M$ , perpendiculaire aux fils, est lui aussi plan de symétrie de la distribution : chaque fil, infini selon $z$ , est globalement invariant par la réflexion échangeant $z_{M} + ζ$ et $z_{M} - ζ$ . Le champ $E (M)$ doit donc aussi appartenir à ce plan, c'est-à-dire être orthogonal à $O z$ . Un vecteur à la fois porté par $O z$ et orthogonal à $O z$ ne peut être que nul : $E = 0$ en tout point de l'axe $O z$ .

Exemple 1.19Potentiel d'une sphère chargée en surface

Une sphère de rayon $R$ porte la charge $Q$ uniformément répartie en surface. Établir $V (r)$ pour $r \geq R$ et $r \leq R$ , origine à l'infini.

Démonstration

À l'extérieur, $E = Q / (4 π ε_{0} r^{2})$ donne $V (r) = \frac{Q}{4 π ε _{0} r}$ ( $r \geq R$ ). À l'intérieur $E = 0$ , donc $V$ y est uniforme, égal par continuité à sa valeur de surface : $V = \frac{Q}{4 π ε _{0} R}$ ( $r \leq R$ ). Le potentiel est continu partout ; seul $E$ est discontinu en $r = R$ .

Exemple 1.20Champ à partir d'un réseau d'équipotentielles

Dans une zone, les équipotentielles sont des plans parallèles espacés de $2 mm$ , la différence de potentiel entre deux plans voisins étant $10 V$ . Estimer $E$ et donner son orientation.

Démonstration

Le champ est orthogonal aux plans équipotentiels et uniforme : $E ≃ \frac{Δ V}{Δ n} = \frac{10}{2 \times 1 0 ^{- 3}} = 5 \times 1 0^{3} V / m$ . Il pointe du plan de plus haut potentiel vers celui de plus bas potentiel.

Exemple 1.21Équation de Poisson dans une boule chargée

Vérifier que le potentiel intérieur d'une boule uniformément chargée ( $ρ$ , rayon $R$ ) satisfait l'équation de Poisson.

Démonstration

À l'intérieur, $E = \frac{ρ r}{3 ε _{0}} u_{r}$ , donc $V (r) = - \frac{ρ r ^{2}}{6 ε _{0}} + cste$ . En coordonnées sphériques, pour un potentiel radial, $Δ V = \frac{1}{r ^{2}} \frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d V}{d r})$ . Avec $\frac{d V}{d r} = - \frac{ρ r}{3 ε _{0}}$ , on a $r^{2} \frac{d V}{d r} = - \frac{ρ r ^{3}}{3 ε _{0}}$ puis $Δ V = \frac{1}{r ^{2}} (- \frac{3 ρ r ^{2}}{3 ε _{0}}) = - \frac{ρ}{ε _{0}}$ , soit $Δ V + \frac{ρ}{ε _{0}} = 0$ : l'équation de Poisson est bien vérifiée.

Exemple 1.22Vitesse de libération électrostatique

Une charge $q > 0$ de masse $m$ est lâchée sans vitesse depuis la surface d'une sphère de charge $Q > 0$ et de rayon $R$ . Quelle vitesse atteint-elle à l'infini ?

Démonstration

Conservation de l'énergie mécanique, l'extérieur étant équivalent à une charge ponctuelle $Q$ : $\frac{1}{2} m v_{\infty}^{2} = q (V (R) - V (\infty)) = \frac{q Q}{4 π ε _{0} R}$ , d'où

$v_{\infty} = \frac{q Q}{2 π ε _{0} m R} .$

Analogue exact de la vitesse de libération gravitationnelle, avec $q Q / (4 π ε_{0}) \leftrightarrow G m M$ .

Exemple 1.23Ordre de grandeur d'un champ

Estimer le champ créé à $1 cm$ par une charge ponctuelle $q = 1 nC$ , et comparer au champ disruptif de l'air ( $\sim 3 \times 1 0^{6} V / m$ ).

Démonstration

$E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} = 9, 0 \times 1 0^{9} \times \frac{1 0 ^{- 9}}{( 1 0 ^{- 2} ) ^{2}} = 9 \times 1 0^{4} V / m$ , bien inférieur au champ disruptif : pas de claquage.

1.11 Exercices d'entraînement

Symétries. Pour chacune des distributions suivantes, déterminer par symétrie et invariance la direction de $E$ et les variables dont il dépend : (a) demi-plan infini chargé, (b) deux charges $+ q$ et $- q$ (points de l'axe et du plan médiateur), (c) disque chargé (points de l'axe), (d) segment fini chargé (points du plan médiateur).
Plan d'antisymétrie. Deux plans infinis parallèles portent $+ σ$ et $- σ$ . Montrer que le plan médian est plan d'antisymétrie et en déduire la direction de $E$ en tout point de ce plan.
Sphère creuse. Tracer $E (r)$ et $V (r)$ pour une sphère de rayon $R$ chargée en surface ; repérer la discontinuité de $E$ et la continuité de $V$ .
Deux sphères concentriques. Deux sphères de rayons $R_{1} < R_{2}$ portent les charges $Q_{1}$ et $Q_{2}$ réparties en surface. Déterminer $E (r)$ dans les trois régions $r < R_{1}$ , $R_{1} < r < R_{2}$ , $r > R_{2}$ .
Cavité. Une boule de densité $ρ$ contient une cavité sphérique vide décentrée (vecteur centre à centre $d$ ). Montrer, par superposition, que le champ dans la cavité est uniforme et vaut $E = \frac{ρ d}{3 ε _{0}}$ .
Cylindre creux. Un cylindre infini de rayon $R$ porte $σ$ uniforme en surface. Établir $E (r)$ à l'intérieur et à l'extérieur, et comparer au fil infini.
Équation de Poisson. Dans une région, le potentiel vaut $V (x) = V_{0} (1 - x^{2} / a^{2})$ . Déterminer la densité de charge $ρ (x)$ correspondante à l'aide de l'équation de Poisson.
Champ et équipotentielles. On donne le potentiel $V (x, y) = α (x^{2} - y^{2})$ . Déterminer $E$ , tracer quelques équipotentielles et lignes de champ, et vérifier leur orthogonalité.
Énergie cinétique. Un proton pénètre dans une zone de champ uniforme $E = 1 \times 1 0^{4} V / m$ sur une longueur $d = 5 cm$ . Calculer le gain d'énergie cinétique et la vitesse acquise à partir du repos.
Modèle de l'atome. Une charge ponctuelle $+ e$ (noyau) est au centre d'une boule uniformément chargée $- e$ de rayon $R$ (nuage électronique). Déterminer $E (r)$ pour $r \leq R$ et montrer qu'une force de rappel élastique apparaît si le noyau est déplacé.
Analogie gravitationnelle. En exploitant l'analogie, établir le champ gravitationnel à l'intérieur et à l'extérieur d'une planète homogène de masse $M$ et de rayon $R$ , et localiser le maximum de $G (r)$ .
Topographie. Sur une carte, un tube de champ passe hors des sources d'une section $Σ_{1}$ à une section $Σ_{2} = 3 Σ_{1}$ . En déduire le rapport $E_{2} / E_{1}$ des normes du champ, en justifiant par la conservation du flux.

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