Symétries et champ électrique stationnaire

Cours · électromagnétisme (PSI), chapitre 1 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le théorème de Gauss : le flux du champ électrique à travers une sphère dépend de la charge qu'elle entoure.

L'électromagnétisme est gouverné, dans le cas le plus général, par les quatre équations de Maxwell, qui relient localement le champ électromagnétique $(E, B)$ à ses sources, la densité de charge $ρ$ et le vecteur densité de courant $j$ . En classe de PSI, ces équations sont posées comme des postulats : on ne cherche pas à les construire, mais à les exploiter. Ce chapitre se limite au régime stationnaire (ou permanent), où toutes les grandeurs sont indépendantes du temps : les phénomènes électriques et magnétiques se découplent alors, et le champ électrostatique $E$ ne dépend plus que de la distribution de charges.

Deux outils structurent toute l'étude. D'une part, l'analyse des symétries et invariances de la distribution de charges, qui donne — avant tout calcul — la direction du champ et les variables dont il dépend. D'autre part, le théorème de Gauss, forme intégrale de l'équation de Maxwell--Gauss, qui permet d'en calculer la norme dans les situations de haute symétrie. La méthode « symétries $\to$ Gauss » est le cœur pratique de ce chapitre.

1.1 Les équations de Maxwell en régime stationnaire

1.1.1 Champ et sources

À l'échelle mésoscopique, les sources du champ sont décrites par deux champs : la densité volumique de charge $ρ (M)$ (en $C / m^{3}$ ) et le vecteur densité de courant $j (M)$ (en $A / m^{2}$ ). Le champ électromagnétique agit sur une charge test $q$ , animée de la vitesse $v$ , par la force de Lorentz

$F = q (E + v \land B) .$

1.1.2 Les quatre équations, postulées

ImportantÉquations de Maxwell (postulats)

Dans le vide, en présence de sources $ρ$ et $j$ , les champs vérifient en tout point et à tout instant :

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}} (M-Gauss), rot E = - \frac{\partial B}{\partial t} (M-Faraday),$

$div B = 0 (M-Thomson), rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} (M-Amp e ˋ re) .$

La permittivité du vide vaut $ε_{0} ≃ 8.85 \times 1 0^{- 12} F / m$ , avec $\frac{1}{4 π ε _{0}} ≃ 9.0 \times 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$ .

Définition 1.1Régime stationnaire

Le régime stationnaire (ou permanent) est celui où toutes les grandeurs sont indépendantes du temps : $\partial / \partial t = 0$ . Les deux équations qui gouvernent le champ électrique se réduisent alors à

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}} et rot E = 0 .$

En régime stationnaire, $rot E = 0$ ne fait plus intervenir $B$ : le champ électrique se calcule à partir des seules charges, indépendamment des courants et du champ magnétique. C'est le domaine de l'électrostatique. Ces deux équations locales sont le point de départ admis de tout ce chapitre.

1.2 Symétries et invariances de la distribution

L'exploitation des symétries de la distribution source permet de connaître, avant tout calcul, la direction du champ $E$ et les variables dont il dépend. Cette analyse ne s'appuie pas sur une expression du champ, mais sur son caractère vectoriel et sur les symétries géométriques des sources.

1.2.1 Le champ électrique est un vecteur polaire

ImportantCaractère polaire de

E

Le champ électrostatique $E$ est un vrai vecteur (vecteur polaire) : il se transforme comme le vecteur position $O M$ dans toute transformation géométrique de la distribution des sources. En particulier, dans une symétrie par rapport à un plan, sa composante normale au plan change de signe et ses composantes dans le plan sont conservées, comme pour une flèche « réfléchie » dans un miroir.

On oppose ce comportement à celui du champ magnétique $B$ , qui est un pseudo-vecteur (vecteur axial), étudié dans un chapitre ultérieur. Cette distinction est à la source de règles de symétrie opposées pour $E$ et $B$ .

1.2.2 Règles de symétrie : direction du champ

ImportantPlans de symétrie et d'antisymétrie

Si un plan $Π$ est plan de symétrie de la distribution de charges (la distribution est invariante par la réflexion par rapport à $Π$ ), alors en tout point $M$ de $Π$ le champ $E (M)$ appartient à $Π$ .
Si un plan $Π^{*}$ est plan d'antisymétrie (la réflexion transforme la distribution en son opposée, $ρ \to - ρ$ ), alors en tout point $M$ de $Π^{*}$ le champ $E (M)$ est orthogonal à $Π^{*}$ .

En un point appartenant à deux plans de symétrie, $E$ est porté par leur intersection.

Figure : En un point

M

d'un plan de symétrie des sources, le champ appartient au plan.

iRemarque

Ces règles sont des conséquences directes du caractère polaire de $E$ et de la linéarité des équations. Sur un plan de symétrie, la seule direction compatible avec l'invariance de la source est une direction contenue dans le plan ; toute composante normale serait renversée par la réflexion, ce qui contredirait l'invariance.

1.2.3 Invariances : variables dont dépend le champ

Si la distribution de charges est invariante par une transformation géométrique continue (translation, rotation), alors le champ $E$ et le potentiel $V$ le sont aussi : ils ne dépendent pas de la variable associée à cette transformation.

Proposition 1.2Conséquences des invariances

Invariance par translation selon un axe $\Rightarrow$ $E$ et $V$ ne dépendent pas de la coordonnée le long de cet axe.
Invariance par rotation autour d'un axe $\Rightarrow$ $E$ et $V$ ne dépendent pas de l'angle azimutal.

Méthode : Analyse préalable au calcul du champ

Avant tout calcul, on procède systématiquement en trois temps :

Choisir le système de coordonnées adapté à la géométrie (cartésien, cylindrique, sphérique).
Invariances : repérer les translations et rotations qui laissent la source invariante $\Rightarrow$ variables dont $E$ ne dépend pas.
Symétries : au point $M$ , identifier les plans de symétrie et d'antisymétrie de la source passant par $M$ $\Rightarrow$ direction de $E (M)$ .

On obtient ainsi la forme $E = E (variable) u_{direction}$ , prête pour le théorème de Gauss.

Exemple 1.3Les trois géométries de référence

Fil infini (axe $O z$ , densité $λ$ ) : invariance par translation selon $z$ et par rotation autour de $z$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $r$ . Tout plan contenant $M$ et l'axe est plan de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (r) u_{r}$ (radial cylindrique).
Plan infini ( $x O y$ , densité $σ$ ) : invariance par translation selon $x$ et $y$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $z$ . Tout plan perpendiculaire au plan chargé et passant par $M$ est plan de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (z) u_{z}$ .
Symétrie sphérique (centre $O$ ) : invariance par toute rotation autour de $O$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $r$ . Tout plan passant par $O$ et $M$ est plan de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (r) u_{r}$ (radial sphérique).

1.3 Circulation, potentiel et équation de Poisson

1.3.1 Le champ électrostatique dérive d'un potentiel

L'équation de Maxwell--Faraday en régime stationnaire, $rot E = 0$ , exprime que le champ électrostatique est irrotationnel. Or un champ irrotationnel dérive d'un potentiel scalaire.

◆Théorème 1.4Potentiel scalaire électrique

En régime stationnaire, $rot E = 0$ équivaut à l'existence d'un champ scalaire $V$ , le potentiel électrique (en volts, $V$ ), tel que

$E = - grad V .$

Le signe « moins » traduit que $E$ pointe vers les potentiels décroissants. Le potentiel est défini à une constante additive près.

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