Le condensateur

Cours · électromagnétisme (PSI), chapitre 2 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un condensateur plan : deux armatures portant des charges opposées et le champ électrique uniforme entre elles.

Le chapitre précédent a établi, à partir du théorème de Gauss et du potentiel, la structure du champ électrostatique créé par des distributions de charges. Nous exploitons maintenant ces outils pour étudier un composant omniprésent en physique et en électronique : le condensateur. Un condensateur est un dispositif capable de stocker de la charge et de l'énergie électrique sous un faible volume, en confinant un champ électrique intense entre deux conducteurs voisins. C'est le phénomène d'influence électrostatique qui en fonde le fonctionnement : la charge portée par un conducteur modifie la répartition des charges sur le conducteur voisin. Nous définirons la capacité, grandeur qui mesure l'aptitude à stocker la charge à tension donnée, nous l'établirons sur le modèle fondamental du condensateur plan, puis nous en déduirons l'énergie emmagasinée et la densité volumique d'énergie électrique, résultat central réinvesti tout au long de l'électromagnétisme. Le rôle des isolants (diélectriques), la continuité de la tension et les associations de condensateurs complètent l'étude.

Dans tout le chapitre, $ε_{0} = 8, 85 \times 1 0^{- 12} F . m^{- 1}$ désigne la permittivité diélectrique du vide.

2.1 Influence électrostatique et capacité

2.1.1 Le phénomène d'influence

Plaçons un conducteur $B$ neutre à proximité d'un conducteur $A$ portant une charge $+ Q$ . Le champ créé par $A$ pénètre dans $B$ et y déplace les électrons libres jusqu'à ce que le champ intérieur s'annule (équilibre électrostatique) : la face de $B$ tournée vers $A$ se couvre de charges $- q$ , la face opposée de charges $+ q$ . C'est l'influence électrostatique : la présence des charges de $A$ induit une redistribution des charges de $B$ , sans contact.

Définition 2.1Influence partielle et influence totale

On parle d'influence totale lorsque toutes les lignes de champ issues du conducteur $A$ aboutissent sur le conducteur $B$ (par exemple lorsque $A$ est entièrement entouré par $B$ , ou pour deux armatures planes en regard dont on néglige les bords). La charge induite sur la face en regard est alors exactement opposée : si $A$ porte $+ Q$ , la face interne de $B$ porte $- Q$ .

ImportantThéorème des éléments correspondants

En influence totale, deux surfaces en regard reliées par un tube de champ portent des charges opposées. C'est la clé du condensateur : les deux armatures portent des charges $+ Q$ et $- Q$ de même valeur absolue.

2.1.2 Définition d'un condensateur

Définition 2.2Condensateur

Un condensateur est l'ensemble de deux conducteurs (les armatures) en influence totale, séparés par un isolant. En fonctionnement, une armature porte la charge $+ Q$ , l'autre la charge $- Q$ ; on note $U$ la différence de potentiel (tension) entre l'armature positive et l'armature négative.

Figure : Condensateur : champ uniforme dirigé de l'armature

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vers l'armature

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Définition 2.3Capacité

La charge $Q$ portée par l'armature positive est proportionnelle à la tension $U$ appliquée. Le coefficient de proportionnalité est la capacité $C$ du condensateur :

$Q = C U C = \frac{Q}{U} > 0.$

La capacité s'exprime en farads ( $F$ ) : $1 F = 1 C . V^{- 1}$ . C'est une grandeur géométrique, indépendante de $Q$ et de $U$ .

iRemarque

Le farad est une unité énorme : les condensateurs usuels vont du picofarad ( $pF$ , ajustables haute fréquence) au millifarad, les supercondensateurs atteignant plusieurs farads. La proportionnalité $Q = C U$ n'est valable qu'en régime linéaire, tant que l'isolant n'est pas « claqué ».

2.2 Le condensateur plan

Le condensateur plan est constitué de deux armatures planes parallèles, de surface $S$ , distantes de $e$ , en regard. On suppose $e ≪ S$ , ce qui permet de négliger les effets de bord et de traiter le champ comme celui de deux plans infinis.

2.2.1 Champ entre les armatures

Proposition 2.4Champ du condensateur plan

En négligeant les effets de bord, le champ entre les armatures d'un condensateur plan portant les densités surfaciques $\pm σ$ ( $σ = Q / S$ ) est uniforme, perpendiculaire aux armatures, dirigé de $+$ vers $-$ , de norme

$E = \frac{σ}{ε _{0}} = \frac{Q}{ε _{0} S}$

Le champ est nul à l'extérieur des armatures.

Démonstration

Chaque armature, assimilée à un plan infini de densité $σ$ , crée de part et d'autre un champ uniforme de norme $\frac{σ}{2 ε _{0}}$ dirigé en s'éloignant du plan (théorème de Gauss du chapitre précédent). Entre les armatures, les deux contributions s'ajoutent (elles pointent toutes deux de $+$ vers $-$ ) :

$E = \frac{σ}{2 ε _{0}} + \frac{σ}{2 ε _{0}} = \frac{σ}{ε _{0}} .$

À l'extérieur, elles sont opposées et se compensent : $E_{ext} = 0$ . On retrouve directement ce résultat par le théorème de Coulomb (discontinuité $σ / ε_{0}$ à la traversée d'un conducteur, champ nul dans le métal).

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