Le condensateur

Cours complet · électromagnétisme (PSI), chapitre 2 · CPGE PSI (2e année)

Le chapitre précédent a établi, à partir du théorème de Gauss et du potentiel, la structure du champ électrostatique créé par des distributions de charges. Nous exploitons maintenant ces outils pour étudier un composant omniprésent en physique et en électronique : le condensateur. Un condensateur est un dispositif capable de stocker de la charge et de l'énergie électrique sous un faible volume, en confinant un champ électrique intense entre deux conducteurs voisins. C'est le phénomène d'influence électrostatique qui en fonde le fonctionnement : la charge portée par un conducteur modifie la répartition des charges sur le conducteur voisin. Nous définirons la capacité, grandeur qui mesure l'aptitude à stocker la charge à tension donnée, nous l'établirons sur le modèle fondamental du condensateur plan, puis nous en déduirons l'énergie emmagasinée et la densité volumique d'énergie électrique, résultat central réinvesti tout au long de l'électromagnétisme. Le rôle des isolants (diélectriques), la continuité de la tension et les associations de condensateurs complètent l'étude.

Dans tout le chapitre, $ε_{0} = 8, 85 \times 1 0^{- 12} F . m^{- 1}$ désigne la permittivité diélectrique du vide.

2.1 Influence électrostatique et capacité

2.1.1 Le phénomène d'influence

Plaçons un conducteur $B$ neutre à proximité d'un conducteur $A$ portant une charge $+ Q$ . Le champ créé par $A$ pénètre dans $B$ et y déplace les électrons libres jusqu'à ce que le champ intérieur s'annule (équilibre électrostatique) : la face de $B$ tournée vers $A$ se couvre de charges $- q$ , la face opposée de charges $+ q$ . C'est l'influence électrostatique : la présence des charges de $A$ induit une redistribution des charges de $B$ , sans contact.

Définition 2.1Influence partielle et influence totale

On parle d'influence totale lorsque toutes les lignes de champ issues du conducteur $A$ aboutissent sur le conducteur $B$ (par exemple lorsque $A$ est entièrement entouré par $B$ , ou pour deux armatures planes en regard dont on néglige les bords). La charge induite sur la face en regard est alors exactement opposée : si $A$ porte $+ Q$ , la face interne de $B$ porte $- Q$ .

ImportantThéorème des éléments correspondants

En influence totale, deux surfaces en regard reliées par un tube de champ portent des charges opposées. C'est la clé du condensateur : les deux armatures portent des charges $+ Q$ et $- Q$ de même valeur absolue.

2.1.2 Définition d'un condensateur

Définition 2.2Condensateur

Un condensateur est l'ensemble de deux conducteurs (les armatures) en influence totale, séparés par un isolant. En fonctionnement, une armature porte la charge $+ Q$ , l'autre la charge $- Q$ ; on note $U$ la différence de potentiel (tension) entre l'armature positive et l'armature négative.

Figure : Condensateur : champ uniforme dirigé de l'armature

+

vers l'armature

-

Définition 2.3Capacité

La charge $Q$ portée par l'armature positive est proportionnelle à la tension $U$ appliquée. Le coefficient de proportionnalité est la capacité $C$ du condensateur :

$Q = C U C = \frac{Q}{U} > 0.$

La capacité s'exprime en farads ( $F$ ) : $1 F = 1 C . V^{- 1}$ . C'est une grandeur géométrique, indépendante de $Q$ et de $U$ .

iRemarque

Le farad est une unité énorme : les condensateurs usuels vont du picofarad ( $pF$ , ajustables haute fréquence) au millifarad, les supercondensateurs atteignant plusieurs farads. La proportionnalité $Q = C U$ n'est valable qu'en régime linéaire, tant que l'isolant n'est pas « claqué ».

2.2 Le condensateur plan

Le condensateur plan est constitué de deux armatures planes parallèles, de surface $S$ , distantes de $e$ , en regard. On suppose $e ≪ S$ , ce qui permet de négliger les effets de bord et de traiter le champ comme celui de deux plans infinis.

2.2.1 Champ entre les armatures

Proposition 2.4Champ du condensateur plan

En négligeant les effets de bord, le champ entre les armatures d'un condensateur plan portant les densités surfaciques $\pm σ$ ( $σ = Q / S$ ) est uniforme, perpendiculaire aux armatures, dirigé de $+$ vers $-$ , de norme

$E = \frac{σ}{ε _{0}} = \frac{Q}{ε _{0} S}$

Le champ est nul à l'extérieur des armatures.

Démonstration

Chaque armature, assimilée à un plan infini de densité $σ$ , crée de part et d'autre un champ uniforme de norme $\frac{σ}{2 ε _{0}}$ dirigé en s'éloignant du plan (théorème de Gauss du chapitre précédent). Entre les armatures, les deux contributions s'ajoutent (elles pointent toutes deux de $+$ vers $-$ ) :

$E = \frac{σ}{2 ε _{0}} + \frac{σ}{2 ε _{0}} = \frac{σ}{ε _{0}} .$

À l'extérieur, elles sont opposées et se compensent : $E_{ext} = 0$ . On retrouve directement ce résultat par le théorème de Coulomb (discontinuité $σ / ε_{0}$ à la traversée d'un conducteur, champ nul dans le métal).

Figure : Champ uniforme

E = σ / ε_{0}

entre les armatures, nul à l'extérieur.

2.2.2 Capacité du condensateur plan

◆Théorème 2.5Capacité du condensateur plan

Un condensateur plan de surface $S$ , d'épaisseur $e$ , séparé par du vide (ou de l'air), a pour capacité

$C = \frac{ε _{0} S}{e}$

Démonstration

Le champ étant uniforme, la tension entre les armatures est

$U = \int_{-}^{+} E \cdot d ℓ = E e = \frac{Q}{ε _{0} S} e = \frac{e}{ε _{0} S} Q .$

Par définition $C = Q / U$ , d'où

$C = \frac{Q}{U} = \frac{ε _{0} S}{e} .$

La capacité croît avec la surface en regard et décroît avec l'écartement : on rapproche les armatures et on augmente $S$ (armatures enroulées) pour maximiser $C$ .

iRemarqueEffets de bord

Aux bords des armatures, les lignes de champ « débordent » et le champ cesse d'être uniforme : la formule $C = ε_{0} S / e$ n'est qu'approchée, valable tant que $e ≪ S$ . Les effets de bord augmentent légèrement la capacité réelle (le champ occupe un volume un peu plus grand).

Exemple 2.6Ordre de grandeur

Deux armatures de $S = 1 d m^{2} = 1 0^{- 2} m^{2}$ séparées par $e = 0.1 mm = 1 0^{- 4} m$ d'air :

$C = \frac{8 , 85 \times 1 0 ^{- 12} \times 1 0 ^{- 2}}{1 0 ^{- 4}} \approx 8, 9 \times 1 0^{- 10} F \approx 0.9 n F .$

Pour atteindre $1 μ F$ il faudrait $S \sim 10 m^{2}$ : d'où l'intérêt des armatures enroulées et des diélectriques.

2.3 Rôle des isolants : les diélectriques

L'espace entre les armatures est en pratique rempli d'un isolant (diélectrique) : mica, céramique, polymère, oxyde. Soumis au champ, l'isolant se polarise (les charges liées se déplacent légèrement, créant des dipôles alignés). Cette polarisation crée un champ opposé qui affaiblit le champ à tension donnée, ce qui permet de stocker plus de charge : la capacité augmente.

Définition 2.7Permittivité relative

Un diélectrique linéaire est caractérisé par sa permittivité relative $ε_{r} > 1$ (sans dimension). La permittivité du milieu est $ε = ε_{r} ε_{0}$ . La capacité d'un condensateur plan rempli de ce diélectrique devient

$C = \frac{ε _{r} ε _{0} S}{e} = ε_{r} C_{vide}$

iRemarqueOrdres de grandeur et claquage

Quelques valeurs : air $ε_{r} \approx 1$ , papier $\approx 3$ , mica $\approx 6$ , eau $\approx 80$ , céramiques $≫ 100$ . Insérer un diélectrique multiplie la capacité par $ε_{r}$ . Chaque isolant possède en outre une rigidité diélectrique $E_{m a x}$ (champ maximal avant claquage/étincelle) : air $\sim 3 \times 1 0^{6} V . m^{- 1}$ , ce qui limite la tension de service $U_{m a x} = E_{m a x} e$ .

Attention

Deux effets antagonistes : un diélectrique de fort $ε_{r}$ augmente $C$ , mais c'est la rigidité diélectrique $E_{m a x}$ (et non $ε_{r}$ ) qui fixe la tension maximale. Un « bon » condensateur combine $ε_{r}$ élevé et $E_{m a x}$ élevé.

2.4 Énergie emmagasinée

Charger un condensateur consiste à transférer des charges d'une armature vers l'autre contre le champ électrique : ce travail est stocké sous forme d'énergie électrique, restituable à la décharge.

◆Théorème 2.8Énergie d'un condensateur

Un condensateur de capacité $C$ portant la charge $Q$ sous la tension $U$ emmagasine l'énergie électrique

$E_{e} = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} \frac{Q ^{2}}{C} = \frac{1}{2} Q U$

Démonstration

Chargeons progressivement le condensateur. À un instant où la charge vaut $q$ , la tension est $u = q / C$ . Amener une charge supplémentaire $d q$ de l'armature $-$ vers l'armature $+$ coûte le travail élémentaire

$δ W = u d q = \frac{q}{C} d q .$

En intégrant de $0$ à $Q$ :

$E_{e} = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} d q = \frac{1}{2} \frac{Q ^{2}}{C} .$

Les deux autres formes s'obtiennent avec $Q = C U$ . Cette énergie est quadratique en $Q$ (et en $U$ ) : doubler la tension quadruple l'énergie stockée.

ImportantDensité volumique d'énergie électrique

Appliquons ce résultat au condensateur plan, de volume $V = S e$ occupé par le champ. Avec $C = ε_{0} S / e$ et $U = E e$ :

$E_{e} = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} \frac{ε _{0} S}{e} (E e)^{2} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} (S e) .$

L'énergie par unité de volume est donc

$u_{e} = \frac{E _{e}}{V} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} (J . m^{- 3}) .$

Établie ici sur le condensateur plan, cette expression est générale : l'énergie électrique est localisée dans le champ, avec la densité $u_{e} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ (dans un diélectrique : $u_{e} = \frac{1}{2} ε E^{2}$ ). Elle est l'analogue électrique de la densité magnétique $u_{m} = B^{2} /2 μ_{0}$ .

iRemarque

L'énergie n'est donc pas « sur les armatures » mais dans l'espace inter-armatures où règne le champ. Cette vision locale, réinvestie pour le champ magnétique et pour les ondes électromagnétiques (vecteur de Poynting), est l'une des idées les plus fécondes de l'électromagnétisme.

2.5 Le condensateur en régime variable

2.5.1 Relation courant-tension et continuité

En circuit, la charge de l'armature varie : $i = \frac{d Q}{d t}$ . Comme $Q = C u$ avec $C$ constant, on obtient la relation caractéristique

$i (t) = C \frac{d u}{d t}$

en convention récepteur ( $i$ orienté vers l'armature dont on suit la charge).

ImportantContinuité de la tension

La puissance reçue $p = u i$ et l'énergie $E_{e} = \frac{1}{2} C u^{2}$ sont finies : l'énergie stockée ne peut varier par sauts. Par conséquent, la tension aux bornes d'un condensateur est continue :

$u (t^{+}) = u (t^{-}) .$

Une discontinuité de $u$ exigerait $i = C d u / d t$ infini, physiquement impossible. En revanche le courant $i$ , lui, peut être discontinu.

iRemarqueComportements limites

En régime continu établi ( $d u / d t = 0$ ) : $i = 0$ , le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. En très haute fréquence (variations rapides), une petite tension suffit à un grand courant : le condensateur tend vers un fil (court-circuit). C'est la base du filtrage.

2.5.2 Un exemple d'illustration numérique

Capacité numérique : décharge d'un condensateur dans une résistance

La décharge d'un condensateur $C$ dans une résistance $R$ suit $u (t) = U_{0} e^{- t / τ}$ avec $τ = R C$ . On peut tracer et vérifier la conservation de l'énergie :


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

R, C, U0 = 1e3, 1e-6, 5.0      # 1 kOhm, 1 uF, 5 V
tau = R * C                     # constante de temps = 1 ms
t = np.linspace(0, 5 * tau, 500)
u = U0 * np.exp(-t / tau)       # tension aux bornes
i = C * np.gradient(u, t)       # i = C du/dt (< 0 : décharge)

E0 = 0.5 * C * U0**2            # énergie initiale
E_dissipee = np.trapz(R * i**2, t)  # intégrale de Joule
print(f"E stockee = {E0*1e6:.2f} uJ,  E dissipee = {E_dissipee*1e6:.2f} uJ")

plt.plot(t * 1e3, u)
plt.xlabel("t (ms)"); plt.ylabel("u (V)"); plt.grid(True)
plt.show()

On vérifie que toute l'énergie initialement stockée $\frac{1}{2} C U_{0}^{2}$ est dissipée par effet Joule.

2.6 Associations de condensateurs

Proposition 2.9Association en parallèle

Des condensateurs $C_{1}, C_{2}, \dots$ en parallèle sont soumis à la même tension $U$ ; les charges s'ajoutent. La capacité équivalente est la somme :

$C_{e ˊ q} = k \sum C_{k}$

Démonstration

Sous la même tension $U$ , chaque condensateur porte $Q_{k} = C_{k} U$ . La charge totale est $Q = \sum_{k} Q_{k} = (\sum_{k} C_{k}) U$ , d'où $C_{e ˊ q} = Q / U = \sum_{k} C_{k}$ . Mettre en parallèle revient à augmenter la surface en regard.

Proposition 2.10Association en série

Des condensateurs en série portent la même charge $Q$ (par influence) ; les tensions s'ajoutent. Les inverses des capacités s'ajoutent :

$\frac{1}{C _{e ˊ q}} = k \sum \frac{1}{C _{k}}$

Démonstration

Les armatures internes, initialement neutres et isolées, se chargent par influence : chaque condensateur porte la même charge $Q$ . La tension totale est $U = \sum_{k} U_{k} = \sum_{k} \frac{Q}{C _{k}} = Q \sum_{k} \frac{1}{C _{k}}$ , d'où $\frac{1}{C _{e ˊ q}} = \frac{U}{Q} = \sum_{k} \frac{1}{C _{k}}$ . La série diminue la capacité (elle revient à augmenter l'épaisseur) mais répartit la tension : on l'utilise pour tenir de fortes tensions.

Attention

Les règles sont inversées par rapport aux résistances ! Les capacités s'ajoutent en parallèle, leurs inverses en série. Retenir : parallèle $\Rightarrow$ plus de surface $\Rightarrow$ $C$ augmente.

2.7 Ordres de grandeur et applications

ImportantÀ connaître

Capacités usuelles : $pF$ (accord radio) à $m F$ (filtrage d'alimentation) ; supercondensateurs jusqu'à plusieurs $F$ .
$ε_{0} = 8, 85 \times 1 0^{- 12} F . m^{- 1}$ ; on retient souvent $\frac{1}{4 π ε _{0}} \approx 9 \times 1 0^{9}$ (unités SI).
Rigidité diélectrique de l'air : $E_{m a x} \approx 3 \times 1 0^{6} V . m^{- 1}$ (soit $\sim 3 k V$ par mm).
Un condensateur stocke de l'énergie ( $\frac{1}{2} C U^{2}$ ) mais avec une densité bien moindre qu'une batterie ; en revanche il la restitue très vite (forte puissance) : flash photographique, défibrillateur, récupération d'énergie.

2.8 Synthèse du chapitre

À retenir

Condensateur : deux conducteurs en influence totale ; armatures $\pm Q$ opposées ; capacité $C = \frac{Q}{U}$ (en farads), grandeur géométrique.
Condensateur plan : champ uniforme $E = \frac{σ}{ε _{0}} = \frac{Q}{ε _{0} S}$ entre les armatures, nul à l'extérieur ; capacité $C = \frac{ε _{0} S}{e}$ (avec diélectrique : $C = \frac{ε _{r} ε _{0} S}{e}$ ).
Énergie : $E_{e} = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} \frac{Q ^{2}}{C} = \frac{1}{2} Q U$ , quadratique ; densité volumique $u_{e} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ : l'énergie est dans le champ.
Régime variable : $i = C \frac{d u}{d t}$ ; la tension $u$ est continue (le courant peut sauter) ; ouvert en continu, court-circuit en HF.
Associations : parallèle $C_{e ˊ q} = \sum C_{k}$ ; série $\frac{1}{C _{e ˊ q}} = \sum \frac{1}{C _{k}}$ (inverse des résistances).
Ordres de grandeur : $ε_{0} \approx 8.85 \times 1 0^{- 12} F . m^{- 1}$ ; $E_{m a x}^{air} \approx 3 \times 1 0^{6} V . m^{- 1}$ ; $1 F$ est énorme.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.9 Exercices résolus

Exemple 2.11Capacité et charge stockée

Un condensateur plan a des armatures carrées de côté $a = 10 c m$ séparées de $e = 0.2 mm$ d'air. Calculer $C$ , puis la charge et l'énergie stockées sous $U = 100 V$ .

Démonstration

$S = a^{2} = 1 0^{- 2} m^{2}$ , donc

$C = \frac{ε _{0} S}{e} = \frac{8 , 85 \times 1 0 ^{- 12} \times 1 0 ^{- 2}}{2 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 4, 4 \times 1 0^{- 10} F = 0.44 n F .$

La charge : $Q = C U \approx 4, 4 \times 1 0^{- 8} C = 44 n C$ . L'énergie : $E_{e} = \frac{1}{2} C U^{2} \approx \frac{1}{2} \times 4, 4 \times 1 0^{- 10} \times 1 0^{4} \approx 2, 2 \times 1 0^{- 6} J = 2.2 μ J$ .

Exemple 2.12Effet d'un diélectrique à charge constante

On glisse une plaque de mica ( $ε_{r} = 6$ ) remplissant l'entrefer du condensateur précédent, à charge constante (condensateur isolé). Comment varient $C$ , $U$ , $E$ et $E_{e}$ ?

Démonstration

La capacité est multipliée par $ε_{r}$ : $C^{'} = 6 C$ . À charge $Q$ fixée, $U^{'} = Q / C^{'} = U /6$ : la tension chute d'un facteur $6$ . Le champ $E = U^{'} / e$ chute aussi d'un facteur $6$ (le diélectrique polarisé écrante le champ). L'énergie $E_{e}^{'} = \frac{1}{2} Q^{2} / C^{'} = E_{e} /6$ : elle diminue. La différence a été fournie par la force qui aspire la plaque dans l'entrefer (le diélectrique est attiré vers les zones de fort champ).

Exemple 2.13Diélectrique à tension constante

Reprendre l'insertion du mica, mais cette fois le condensateur reste branché sur la source $U = 100 V$ . Comment varient $Q$ , $E$ et $E_{e}$ ?

Démonstration

Ici $U$ est imposée et $C^{'} = 6 C$ . La charge augmente : $Q^{'} = C^{'} U = 6 Q$ (la source débite des charges supplémentaires). Le champ $E = U / e$ est inchangé. L'énergie $E_{e}^{'} = \frac{1}{2} C^{'} U^{2} = 6 E_{e}$ augmente. Bilan : la source a fourni de l'énergie à la fois pour le stockage et pour aspirer la plaque. Les conclusions diffèrent radicalement du cas isolé : toujours préciser ce qui est maintenu constant.

Exemple 2.14Force entre armatures

Montrer que les deux armatures d'un condensateur plan chargé $Q$ s'attirent avec une force $F = \frac{Q ^{2}}{2 ε _{0} S}$ .

Démonstration

Chaque armature baigne dans le champ créé par l'autre armature, de norme $E_{autre} = \frac{σ}{2 ε _{0}}$ (et non $σ / ε_{0}$ : une armature ne subit pas son propre champ). La force sur la charge $Q$ :

$F = Q E_{autre} = Q \cdot \frac{σ}{2 ε _{0}} = \frac{Q ^{2}}{2 ε _{0} S} .$

On retrouve ce résultat par $F = - \frac{d E _{e}}{d e}$ à charge constante, avec $E_{e} = \frac{Q ^{2} e}{2 ε _{0} S}$ : la dérivée redonne $F = \frac{Q ^{2}}{2 ε _{0} S}$ , attractif. On peut aussi l'écrire $F = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} S = u_{e} S$ : la « pression électrostatique » vaut $u_{e}$ .

Exemple 2.15Associations mixtes

Trois condensateurs identiques $C_{0}$ : deux en série, l'ensemble en parallèle avec le troisième. Capacité équivalente ?

Démonstration

Les deux en série : $\frac{1}{C _{s}} = \frac{1}{C _{0}} + \frac{1}{C _{0}} = \frac{2}{C _{0}}$ , soit $C_{s} = \frac{C _{0}}{2}$ . En parallèle avec le troisième :

$C_{e ˊ q} = C_{s} + C_{0} = \frac{C _{0}}{2} + C_{0} = \frac{3 C _{0}}{2} .$

Exemple 2.16Partage de charge entre deux condensateurs

Un condensateur $C_{1}$ chargé sous $U_{0}$ est relié (armatures de même signe ensemble) à un condensateur $C_{2}$ initialement déchargé. Déterminer la tension finale et l'énergie perdue.

Démonstration

La charge totale se conserve : $Q = C_{1} U_{0}$ se répartit sous une tension commune $U_{f}$ :

$Q = (C_{1} + C_{2}) U_{f} \Rightarrow U_{f} = \frac{C _{1}}{C _{1} + C _{2}} U_{0} .$

Énergie initiale $E_{i} = \frac{1}{2} C_{1} U_{0}^{2}$ ; finale $E_{f} = \frac{1}{2} (C_{1} + C_{2}) U_{f}^{2} = \frac{1}{2} \frac{C _{1}^{2} U _{0}^{2}}{C _{1} + C _{2}}$ . La perte

$Δ E = E_{i} - E_{f} = \frac{1}{2} \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}} U_{0}^{2} > 0$

est indépendante de la résistance de liaison : elle est dissipée (effet Joule et rayonnement) lors de la mise en commun. La conservation de la charge n'entraîne pas celle de l'énergie.

Exemple 2.17Tension de claquage

Quelle tension maximale peut supporter un condensateur plan à air d'épaisseur $e = 0.1 mm$ ? Même question avec $e = 1 mm$ .

Démonstration

Le claquage survient quand $E = U / e$ atteint $E_{m a x} \approx 3 \times 1 0^{6} V . m^{- 1}$ :

$U_{m a x} = E_{m a x} e = 3 \times 1 0^{6} \times 1 0^{- 4} = 300 V (e = 0.1 mm),$

et $U_{m a x} = 3 k V$ pour $e = 1 mm$ . Augmenter $e$ élève la tenue en tension mais diminue $C$ : c'est un compromis, d'où l'intérêt de diélectriques à forte rigidité.

Exemple 2.18Condensateur cylindrique

Un câble coaxial (rayon interne $a$ , externe $b$ , longueur $L$ ) constitue un condensateur cylindrique. En admettant $E (r) = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$ entre les conducteurs ( $λ = Q / L$ ), établir sa capacité.

Démonstration

La tension entre les conducteurs :

$U = \int_{a}^{b} E (r) d r = \frac{λ}{2 π ε _{0}} \int_{a}^{b} \frac{d r}{r} = \frac{λ}{2 π ε _{0}} ln \frac{b}{a} = \frac{Q}{2 π ε _{0} L} ln \frac{b}{a} .$

D'où la capacité et la capacité linéique :

$C = \frac{Q}{U} = \frac{2 π ε _{0} L}{ln ( b / a )}, \frac{C}{L} = \frac{2 π ε _{0}}{ln ( b / a )} .$

Pour $b / a$ proche de $1$ , $ln (b / a) \approx (b - a) / a$ et l'on retrouve la forme plane $C \approx ε_{0} (2 π a L) / (b - a) = ε_{0} S / e$ .

2.10 Exercices d'entraînement

Homogénéité. Vérifier que $ε_{0} S / e$ est bien homogène à une capacité, et que $\frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ est homogène à une énergie volumique.
Champ et tension. Un condensateur plan ( $e = 0.5 mm$ ) est chargé sous $U = 50 V$ . Calculer le champ $E$ et le comparer à la rigidité de l'air. Le condensateur claque-t-il ?
Surface nécessaire. Quelle surface d'armatures (air, $e = 50 μ m$ ) faut-il pour obtenir $C = 1 μ F$ ? Commenter et proposer une solution technologique.
Diélectrique en couches. Un condensateur plan est rempli, parallèlement aux armatures, de deux couches d'épaisseurs $e_{1}, e_{2}$ et de permittivités $ε_{r 1}, ε_{r 2}$ . Modéliser par deux condensateurs en série et établir $C$ .
Diélectrique en tranches. Même condensateur, mais le diélectrique occupe la moitié de la surface (sur toute l'épaisseur). Modéliser par deux condensateurs en parallèle et calculer $C$ . Comparer au cas précédent.
Énergie et travail d'écartement. Un condensateur plan isolé porte la charge $Q$ . On écarte les armatures de $e$ à $2 e$ . Exprimer la variation d'énergie et l'interpréter comme le travail de la force d'attraction.
Cube d'énergie. Estimer l'énergie électrique contenue dans $1 c m^{3}$ d'air soumis au champ maximal $E_{m a x} = 3 \times 1 0^{6} V . m^{- 1}$ . Comparer à l'énergie d'un condensateur usuel.
Association série et tension. Trois condensateurs $C_{0} = 1 μ F$ (tension de service $400 V$ chacun) en série : quelle capacité équivalente et quelle tension totale admissible ?
Pont capacitif. Quatre condensateurs $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ en pont (Wheatstone). Donner la condition d'équilibre (tension nulle dans la branche centrale) en régime sinusoïdal.
Charge à courant constant. On charge un condensateur $C = 10 μ F$ par un courant constant $I = 1 m A$ . Au bout de combien de temps la tension atteint-elle $5 V$ ? Tracer $u (t)$ .
Continuité. Dans un circuit $R C$ , l'interrupteur bascule à $t = 0$ . Justifier que $u_{C} (0^{+}) = u_{C} (0^{-})$ et déterminer $i (0^{+})$ si la source vaut $E$ et le condensateur est initialement déchargé.
Bilan énergétique de charge. On charge un condensateur $C$ initialement déchargé à travers une résistance $R$ sous une source $E$ . Montrer que l'énergie finale du condensateur ( $\frac{1}{2} C E^{2}$ ) n'est que la moitié de l'énergie fournie par la source, l'autre moitié étant dissipée dans $R$ (indépendamment de $R$ ).

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