Magnétostatique

Cours · électromagnétisme (PSI), chapitre 3 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le champ magnétique d'un fil rectiligne : ses lignes sont des cercles autour du fil, et le contour d'Ampère en suit une.

La magnétostatique étudie les champs magnétiques permanents, c'est-à-dire créés par des distributions de courants indépendantes du temps. Historiquement, c'est l'expérience d'{Œ}rsted (1820), montrant qu'un fil parcouru par un courant dévie l'aiguille d'une boussole, qui révèle que les courants électriques sont sources de champ magnétique. Ce chapitre établit les deux propriétés fondamentales du champ magnétostatique $B$ : son flux est conservatif ( $div B = 0$ ) et sa circulation est régie par le théorème d'Ampère. Nous verrons comment l'exploitation systématique des symétries et invariances des sources permet, sur les distributions à haute symétrie (fil, solénoïde, câble coaxial), de déterminer $B$ sans calcul intégral. Nous terminons par le dipôle magnétique, modèle de la petite boucle de courant, dont on donne le champ lointain et les actions subies comme résultats fondamentaux.

Dans tout le chapitre, $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H . m^{- 1}$ désigne la perméabilité magnétique du vide.

3.1 Le champ magnétostatique et ses sources

3.1.1 Distributions de courant

Un courant peut être décrit à deux échelles. Pour un circuit filiforme parcouru par l'intensité $I$ , l'élément de source est $I d ℓ$ , orienté dans le sens du courant. Pour une distribution volumique, la densité volumique de courant $j$ ( $A . m^{- 2}$ ) est telle que l'intensité traversant une surface $S$ orientée est le flux

$I = \iint_{S} j \cdot d S .$

Ces distributions de courant sont les sources du champ magnétostatique $B$ . Nous n'en calculerons jamais le champ par une intégration directe : toute la détermination de $B$ reposera sur les deux lois fondamentales (flux conservatif et théorème d'Ampère) exploitées à l'aide des symétries.

iRemarque

Les équations de la magnétostatique sont linéaires par rapport aux sources : le champ créé par une superposition de courants est la somme des champs créés par chaque courant. C'est le principe de superposition, outil essentiel de résolution.

3.1.2 Le champ $B$ est un pseudo-vecteur

Contrairement au champ électrique $E$ (vecteur polaire), le champ magnétique $B$ est un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) : il fait intervenir un produit vectoriel. Cette nature axiale inverse les règles de symétrie par rapport à $E$ , ce qui est capital pour l'exploitation des symétries.

ImportantRègles de symétrie du champ magnétique

Considérons une distribution de courants invariante par une transformation.

Plan de symétrie $Π$ des courants : en tout point de $Π$ , $B$ est perpendiculaire à $Π$ .
Plan d'antisymétrie $Π^{'}$ des courants : en tout point de $Π^{'}$ , $B$ est contenu dans $Π^{'}$ .

Un plan d'antisymétrie des courants est un plan par lequel la distribution est transformée en son opposée (courants inversés). Ces règles sont inversées par rapport à celles du champ électrique.

Méthode : Exploiter symétries et invariances

Pour déterminer la direction et les variables dont dépend $B$ :

Direction : chercher les plans de symétrie et d'antisymétrie des courants passant par $M$ . Le champ y est respectivement perpendiculaire ou contenu.
Variables : repérer les invariances (translation, rotation) de la distribution. $B$ ne dépend pas des coordonnées associées à une invariance.

3.1.3 Propriétés topographiques des lignes de champ

Une ligne de champ de $B$ est une courbe tangente en chacun de ses points à $B$ . Un tube de champ est l'ensemble des lignes s'appuyant sur un contour fermé.

ImportantCartes de champ magnétostatique

Les lignes de champ magnétostatique se referment sur elles-mêmes (elles n'ont ni source ni puits ponctuels), conséquence de $div B = 0$ ; elles enlacent les courants qui les créent.
Là où les lignes se resserrent (tube qui se rétrécit), le champ est plus intense (conservation du flux) ; l'évasement d'un tube signale un champ plus faible.
Le sens du champ autour d'un courant est donné par la règle de la main droite (pouce dans le sens du courant, doigts dans le sens de $B$ ).

3.2 Les deux lois fondamentales

3.2.1 Conservation du flux : $div B = 0$

◆Théorème 3.1Flux conservatif du champ magnétique

Le champ magnétostatique est à flux conservatif :

$div B = 0 ⟺ \oint \oint_{S} B \cdot d S = 0 pour toute surface ferm e ˊ e S .$

Démonstration (Interprétation)

Le flux de $B$ à travers toute surface fermée est nul : il n'existe pas de « charge magnétique » (monopôle) d'où divergeraient les lignes de champ. Conséquence directe : le flux de $B$ à travers une section d'un tube de champ est le même tout au long du tube. Lorsque la section diminue, $B$ augmente : l'évasement des tubes renseigne sur l'intensité du champ.

Exercices du chapitre

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