Électromagnétisme dans l'ARQS : induction

Cours complet · électromagnétisme (PSI), chapitre 4 · CPGE PSI (2e année)

Jusqu'ici, champ électrique et champ magnétique ont été étudiés en régime permanent, indépendamment l'un de l'autre. Dès que les sources varient dans le temps, ces deux champs se couplent : une variation de flux magnétique engendre un champ électrique, donc une force électromotrice dans un circuit. C'est le phénomène d'induction électromagnétique, découvert par Faraday en 1831, pierre angulaire de toute la conversion de puissance (alternateurs, moteurs, transformateurs, freinage électromagnétique). Ce chapitre travaille dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS), où l'on néglige les temps de propagation : les expressions des champs établies en régime permanent restent utilisables « instant par instant ». Nous établissons la loi de Faraday et la loi de Lenz, distinguons les deux situations d'induction (Neumann : circuit fixe, champ variable ; Lorentz : circuit mobile, champ permanent), introduisons les coefficients d'auto-inductance $L$ et d'inductance mutuelle $M$ , l'énergie magnétique, et concluons par la conversion électromécanique (rail de Laplace, courants de Foucault). Ce chapitre prépare directement l'étude du transformateur et des machines.

4.1 L'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS)

4.1.1 Courants de déplacement et compatibilité

En régime variable, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit

$rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t},$

le second terme $j_{D} = ε_{0} \partial_{t} E$ étant le courant de déplacement introduit par Maxwell. Sa nécessité vient de la conservation de la charge : en prenant la divergence de l'équation (et puisque $div rot \equiv 0$ ), on retrouve $div j + \partial_{t} ρ = 0$ grâce à Maxwell-Gauss $div E = ρ / ε_{0}$ . Sans le courant de déplacement, l'équation de Maxwell-Ampère serait incompatible avec la conservation de la charge en régime variable.

4.1.2 L'ARQS magnétique

Comparons, pour un phénomène de pulsation caractéristique $ω$ et d'extension spatiale $ℓ$ , le courant de déplacement et le terme de conduction. L'ordre de grandeur du rapport fait apparaître la comparaison de la taille du dispositif à la longueur d'onde $λ = c T$ .

Définition 4.1Approximation des régimes quasi-stationnaires

L'ARQS est valable lorsque la dimension caractéristique $ℓ$ du système est très petite devant la longueur d'onde associée : $ℓ ≪ λ = c T$ , soit un temps de propagation $τ_{prop} = ℓ / c$ négligeable devant la période $T$ . On peut alors traiter chaque instant comme un régime permanent.

ImportantARQS magnétique

Dans l'ARQS magnétique, on néglige le courant de déplacement devant les courants de conduction :

$ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} ≪ j .$

Les équations de Maxwell se simplifient en

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, div B = 0, rot B = μ_{0} j .$

Les expressions du champ magnétique établies en régime stationnaire (fil, solénoïde, bobine…) restent valables instantanément avec $I = I (t)$ . En revanche, l'équation de Maxwell-Faraday conserve son terme $\partial_{t} B$ : c'est lui qui porte le phénomène d'induction.

iRemarque

L'ARQS magnétique est l'approximation pertinente pour l'électrotechnique : à $50 H z$ , $λ = c / f = 6000 k m$ , très grand devant la taille d'une machine ou d'un circuit de laboratoire. Elle est mise en défaut pour les circuits hyperfréquences ou les lignes de grande longueur.

4.1.3 Le champ électrique n'est plus à circulation conservative

La relation clé de l'induction est la forme locale de Maxwell-Faraday, $rot E = - \partial_{t} B$ . Par le théorème de Stokes appliqué à une surface $S$ s'appuyant sur un contour fermé fixe $Γ$ :

$\oint_{Γ} E \cdot d ℓ = \iint_{S} rot E \cdot d S = - \iint_{S} \frac{\partial B}{\partial t} \cdot d S = - \frac{d}{d t} \iint_{S} B \cdot d S = - \frac{d Φ}{d t} .$

La circulation de $E$ sur un contour fermé n'est plus nulle dès que le flux magnétique varie : le champ électrique induit n'est plus un gradient, il possède une composante à rotationnel non nul. C'est cette circulation qui constitue la force électromotrice induite.

4.2 Loi de Faraday et loi de Lenz

4.2.1 Flux magnétique et orientation

Soit un circuit filiforme orienté (choix arbitraire d'un sens de parcours), s'appuyant sur une surface $S$ orientée par la règle du tire-bouchon (main droite). Le flux magnétique à travers le circuit est

$Φ = \iint_{S} B \cdot d S (W b, weber) .$

Pour un circuit plan de surface $S$ dans un champ uniforme $B$ faisant l'angle $θ$ avec la normale, $Φ = B S cos θ$ . Pour une bobine de $N$ spires, on parle de flux total $Φ = N Φ_{spire}$ (flux « embrassé »).

4.2.2 Loi de Faraday

◆Théorème 4.2Loi de Faraday

La force électromotrice (fem) induite dans un circuit est l'opposé de la dérivée temporelle du flux magnétique qui le traverse :

$e = - \frac{d Φ}{d t} (V) .$

Le circuit se comporte comme un générateur de fem $e$ ; orienté selon le sens choisi pour le contour (celui qui oriente la normale et donc le signe de $Φ$ ), il débite dans la maille un courant $i$ tel que, pour une résistance totale $R$ , $R i = e$ (en l'absence d'autre source).

La cohérence des signes est assurée par la convention d'orientation : une fois choisi le sens positif du courant, la normale à la surface est fixée par la règle de la main droite, ce qui fixe le signe de $Φ$ puis celui de $e$ .

4.2.3 Loi de Lenz : la modération

ImportantLoi de Lenz

Par ses effets (courant induit, force, flux propre), le phénomène d'induction s'oppose à la cause qui lui donne naissance. Le signe « moins » de la loi de Faraday en est la traduction quantitative : le courant induit crée un flux propre qui tend à modérer la variation du flux extérieur.

La loi de Lenz est un principe de modération (analogue au principe de Le Chatelier), conséquence de la conservation de l'énergie : si le courant induit renforçait sa cause, on aurait un emballement énergétique (mouvement perpétuel). Elle fournit un contrôle qualitatif immédiat du sens du courant induit et du sens des forces, sans calcul.

Méthode : Prévoir le sens d'un courant induit

Identifier la cause (flux qui augmente ou diminue, aimant qui approche, circuit qui se déforme).
Le courant induit crée un champ (flux propre) qui s'oppose à la variation : il tend à maintenir le flux constant.
En déduire le sens du courant par la règle de la main droite, puis les forces de Laplace (qui freinent le mouvement s'il est la cause).

4.3 Induction de Neumann : circuit fixe, champ variable

4.3.1 Cas d'un circuit immobile

Lorsque le circuit est fixe dans le référentiel d'étude et que le champ magnétique varie dans le temps (sources variables), la fem provient entièrement de la variation temporelle de $B$ :

$e = - \frac{d Φ}{d t} = - \iint_{S} \frac{\partial B}{\partial t} \cdot d S .$

On parle d'induction de Neumann. Le champ électrique induit $E$ (tel que $rot E = - \partial_{t} B$ ) met les charges du conducteur en mouvement.

Exemple 4.3Spire dans un champ sinusoïdal

Une spire plane de surface $S$ , de résistance $R$ , est placée perpendiculairement à un champ uniforme $B (t) = B_{0} cos (ω t) e_{z}$ . Le flux vaut $Φ = B_{0} S cos (ω t)$ , d'où

$e = - \frac{d Φ}{d t} = B_{0} S ω sin (ω t), i = \frac{e}{R} = \frac{B _{0} S ω}{R} sin (ω t) .$

La fem est proportionnelle à la fréquence : c'est le principe du capteur inductif et de la mesure de champ variable par bobine exploratrice.

4.3.2 Courants de Foucault

Dans un conducteur massif soumis à un champ variable, l'induction engendre des boucles de courant réparties dans le volume : les courants de Foucault (eddy currents).

Proposition 4.4Courants de Foucault dans un cylindre

Un cylindre conducteur d'axe $O z$ , de rayon $a$ et de conductivité $γ$ , soumis à un champ axial uniforme oscillant $B = B_{0} cos (ω t) e_{z}$ , est le siège d'un champ électrique induit orthoradial $E = E (r, t) u_{θ}$ . La loi de Faraday sur un cercle de rayon $r$ donne

$2 π r E = - \frac{d}{d t} (π r^{2} B) = π r^{2} B_{0} ω sin (ω t) \Rightarrow E = \frac{r}{2} B_{0} ω sin (ω t) .$

Les courants de Foucault $j = γ E$ forment des boucles concentriques. La puissance dissipée par effet Joule dans un cylindre de longueur $h$ , en négligeant le champ propre, vaut (valeur moyenne)

$⟨ P ⟩ = \frac{π γ h a ^{4} ω ^{2} B _{0}^{2}}{16} .$

ImportantRôle du feuilletage

La puissance dissipée croît comme $a^{4}$ (et comme $ω^{2} B_{0}^{2}$ ). Pour réduire les pertes par courants de Foucault dans les noyaux de transformateurs et de machines, on feuillette le matériau : on l'empile en tôles minces isolées, perpendiculaires aux boucles de courant. Diviser le rayon effectif par $n$ divise la puissance par $n^{2}$ à volume constant. C'est pourquoi les circuits magnétiques sont réalisés en tôles vernies.

iRemarque

Les courants de Foucault ne sont pas toujours néfastes : ils sont exploités dans le chauffage par induction (plaques à induction, fours), le freinage électromagnétique sans contact (ralentisseurs de poids lourds) et les détecteurs de métaux.

4.4 Induction de Lorentz : circuit mobile, champ permanent

4.4.1 fem motionnelle

Considérons maintenant un circuit déformable ou mobile plongé dans un champ magnétique permanent $B$ . Le champ ne varie pas dans le temps, mais le déplacement du circuit fait varier la surface qu'il embrasse, donc le flux $Φ = \iint_{S} B \cdot d S$ qui le traverse. La fem induite se calcule alors, comme toujours, par la loi de Faraday :

$e = - \frac{d Φ}{d t} .$

On parle d'induction de Lorentz. C'est la variation temporelle du flux, due ici au mouvement du circuit, qui engendre la fem : on la détermine en exprimant $Φ (t)$ puis en le dérivant, sans avoir à revenir à la force subie par les porteurs.

ImportantLa loi de Faraday est universelle

Dans l'ARQS, la loi de Faraday $e = - d Φ/ d t$ est universelle : elle englobe Neumann (variation de $B$ à circuit fixe) et Lorentz (déplacement du circuit dans $B$ permanent). Dans le cas général (champ variable et circuit mobile), la dérivée totale du flux additionne les deux contributions. Dans tous les cas, la fem induite se calcule à l'aide de la loi de Faraday.

4.4.2 Le rail de Laplace

Figure : Rail de Laplace : une barre conductrice glisse à la vitesse

v

sur deux rails, dans un champ

B

uniforme sortant du plan.

Exemple 4.5Rail de Laplace, mode générateur

Une barre conductrice de longueur $ℓ$ , de résistance négligeable, glisse sans frottement à la vitesse $v = v e_{x}$ sur deux rails horizontaux fermés par une résistance $R$ , dans un champ $B = B e_{z}$ uniforme et permanent (sortant). Déterminer la fem, le courant induit, et la force de Laplace sur la barre.

Démonstration

fem par la loi de Faraday. Le circuit délimite une surface qui augmente avec le déplacement de la barre : le flux embrassé vaut $Φ = B ℓ x (t)$ , où $x ˙ = v$ . La loi de Faraday donne alors

$e = - \frac{d Φ}{d t} = - B ℓ \frac{d x}{d t} = - B ℓ v, soit ∣ e ∣ = B ℓ v .$

(Le signe dépend de l'orientation choisie ; seule la norme importe pour le bilan qui suit.)
Courant. $i = \frac{e}{R} = \frac{B ℓ v}{R}$ .
Force de Laplace. La barre parcourue par $i$ subit $F = i ℓ \land B$ , de norme $F = B i ℓ = \frac{B ^{2} ℓ ^{2} v}{R}$ , opposée à $v$ (loi de Lenz) : elle freine la barre. Pour maintenir $v$ constant, un opérateur doit fournir la puissance mécanique $P_{m e ˊ ca} = F v = \frac{B ^{2} ℓ ^{2} v ^{2}}{R}$ , intégralement dissipée dans $R$ ( $P_{J} = R i^{2} = \frac{B ^{2} ℓ ^{2} v ^{2}}{R}$ ) : la conversion mécanique $\to$ électrique est parfaite (mode générateur, alternateur élémentaire).

Proposition 4.6Bilan énergétique du rail

Pour un rail de Laplace, le couplage électromécanique est conservatif : la puissance de la force de Laplace sur la barre et la puissance de la fem dans le circuit sont opposées,

$P_{Laplace} = F \cdot v = - B i ℓ v = - e i = - P_{fem} .$

La force de Laplace ne travaille pas globalement pour le système {charge + champ} : elle transfère la puissance de la forme mécanique à la forme électrique (ou l'inverse en mode moteur), sans en créer ni en détruire.

Exemple 4.7Rail de Laplace, mode moteur

On remplace la résistance par un générateur idéal de tension $U$ . Décrire le mouvement de la barre, initialement au repos, sur des rails sans frottement.

Démonstration

La loi des mailles donne $U = R i + e = R i + B ℓ v$ ; la mécanique donne $m \frac{d v}{d t} = B i ℓ$ . En régime permanent, $\frac{d v}{d t} = 0 \Rightarrow i = 0 \Rightarrow v_{l i m} = \frac{U}{B ℓ}$ . La barre accélère puis atteint la vitesse limite pour laquelle la fem compense exactement $U$ : c'est un moteur linéaire élémentaire. La constante de temps électromécanique est $τ = \frac{m R}{B ^{2} ℓ ^{2}}$ .

4.5 Auto-induction

4.5.1 Inductance propre

Tout circuit parcouru par un courant $i$ crée son propre champ magnétique, donc un flux propre à travers lui-même. Dans un milieu linéaire, ce flux est proportionnel à $i$ .

Définition 4.8Inductance propre

L'inductance propre (ou self-inductance) $L$ d'un circuit est le coefficient de proportionnalité entre son flux propre $Φ_{p}$ et le courant qui le traverse :

$Φ_{p} = L i, L > 0 (H, henry) .$

$L$ ne dépend que de la géométrie du circuit (et du milieu). Pour un solénoïde de $N$ spires, longueur $ℓ$ , section $S$ : $L = μ_{0} \frac{N ^{2} S}{ℓ} = μ_{0} n^{2} (S ℓ)$ .

4.5.2 fem d'auto-induction

La variation du courant fait varier le flux propre, d'où une fem d'auto-induction :

$e = - \frac{d Φ _{p}}{d t} = - L \frac{d i}{d t} .$

En convention récepteur, la tension aux bornes d'une bobine idéale est $u_{L} = L \frac{d i}{d t}$ . Le signe traduit la loi de Lenz : la bobine s'oppose aux variations du courant qui la traverse (elle « lisse » le courant, d'où la continuité de $i$ dans une bobine).

Attention

La continuité du courant dans une bobine ( $i$ ne peut pas subir de discontinuité) est une conséquence directe de $u_{L} = L d i / d t$ : une discontinuité impliquerait une tension infinie. À l'ouverture brutale d'un circuit inductif, la surtension $u_{L}$ peut provoquer un arc électrique.

4.5.3 Énergie magnétique d'une bobine

◆Théorème 4.9Énergie d'une bobine

L'énergie magnétique emmagasinée par une bobine d'inductance $L$ parcourue par le courant $i$ vaut

$E_{m} = \frac{1}{2} L i^{2} .$

Démonstration

La puissance reçue par la bobine (convention récepteur) est $P = u_{L} i = L i \frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} L i^{2})$ . L'énergie stockée est donc $E_{m} = \frac{1}{2} L i^{2}$ , restituable au circuit. Elle est toujours positive : une bobine est un réservoir d'énergie, jamais un dissipateur (à résistance nulle).

Proposition 4.10Densité volumique d'énergie magnétique

En appliquant $E_{m} = \frac{1}{2} L i^{2}$ au solénoïde long ( $L = μ_{0} n^{2} S ℓ$ , $B = μ_{0} ni$ ), on obtient $E_{m} = \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} (S ℓ)$ , d'où la densité volumique d'énergie magnétique

$u_{m} = \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} (J . m^{- 3}),$

expression valable localement dans le vide en tout point où règne un champ $B$ .

4.6 Inductance mutuelle : circuits couplés

4.6.1 Coefficient de mutuelle inductance

Figure : Deux circuits couplés magnétiquement : le flux créé par l'un traverse partiellement l'autre, décrit par l'inductance mutuelle

M

Lorsque deux circuits sont voisins, le champ créé par le circuit 1 (courant $i_{1}$ ) envoie un flux à travers le circuit 2, et réciproquement. Dans un milieu linéaire, ces flux croisés sont proportionnels aux courants.

Définition 4.11Inductance mutuelle

Le flux du champ créé par le circuit 1 à travers le circuit 2 s'écrit $Φ_{2 \leftarrow 1} = M i_{1}$ ; réciproquement $Φ_{1 \leftarrow 2} = M i_{2}$ , avec le même coefficient $M$ (théorème de Neumann). $M$ (en henry) dépend de la géométrie et de la position relative des deux circuits ; son signe dépend des orientations relatives choisies.

Les flux totaux embrassés par chaque circuit couplent auto-induction et mutuelle :

$Φ_{1} = L_{1} i_{1} + M i_{2}, Φ_{2} = M i_{1} + L_{2} i_{2} .$

Les fem s'en déduisent : $e_{1} = - \frac{d Φ _{1}}{d t} = - L_{1} \frac{d i _{1}}{d t} - M \frac{d i _{2}}{d t}$ , et de même pour $e_{2}$ . C'est le principe du transformateur (deux bobinages couplés sur un noyau commun) et de tout couplage inductif.

4.6.2 Énergie de deux circuits couplés et couplage

◆Théorème 4.12Énergie magnétique de deux circuits couplés

L'énergie magnétique totale de deux circuits couplés parcourus par $i_{1}$ et $i_{2}$ est

$E_{m} = \frac{1}{2} L_{1} i_{1}^{2} + \frac{1}{2} L_{2} i_{2}^{2} + M i_{1} i_{2} .$

Proposition 4.13Inégalité de couplage

L'énergie magnétique étant positive pour tout couple $(i_{1}, i_{2})$ , la forme quadratique ci-dessus est positive, ce qui impose

$M^{2} \leq L_{1} L_{2} .$

On définit le coefficient de couplage $k = \frac{∣ M ∣}{L _{1} L _{2}} \in [0, 1]$ . Le couplage est parfait pour $k = 1$ ( $M^{2} = L_{1} L_{2}$ , tout le flux d'un circuit traverse l'autre) ; il est partiel pour $k < 1$ (flux de fuite). Un transformateur bien conçu vise $k \to 1$ .

Démonstration

$E_{m} = \frac{1}{2} L_{1} i_{1}^{2} + M i_{1} i_{2} + \frac{1}{2} L_{2} i_{2}^{2} \geq 0 \forall (i_{1}, i_{2})$ . Une forme quadratique $a x^{2} + 2 b x y + c y^{2}$ (ici $a = \frac{1}{2} L_{1}$ , $c = \frac{1}{2} L_{2}$ , $2 b = M$ ) est positive si et seulement si $a > 0$ et $a c - b^{2} \geq 0$ , soit $\frac{1}{4} L_{1} L_{2} - \frac{1}{4} M^{2} \geq 0$ , d'où $M^{2} \leq L_{1} L_{2}$ .

4.7 Forces de Laplace et conversion électromécanique

4.7.1 Force de Laplace sur un circuit

Un circuit parcouru par $i$ dans un champ $B$ subit la force de Laplace résultante

$F = \oint i d ℓ \land B, d F = i d ℓ \land B .$

Sur une portion rectiligne de longueur $ℓ$ dans un champ uniforme : $F = i ℓ \land B$ . C'est cette force qui, associée à l'induction, réalise la conversion électromécanique : en mode moteur elle met en mouvement, en mode générateur elle freine la source de mouvement.

ImportantCouplage électromécanique parfait

Dans un système de conversion sans pertes (résistance de contact et frottements négligés), la puissance de la force de Laplace et la puissance de la fem d'induction sont exactement opposées :

$P_{Laplace} + P_{fem} = 0.$

Le champ magnétique joue le rôle d'intermédiaire qui échange l'énergie entre les formes mécanique et électrique sans en stocker ni en dissiper. Toute la thermodynamique des machines électriques repose sur ce bilan.

4.7.2 Freinage par induction (courants de Foucault)

Lorsqu'une plaque conductrice se déplace dans un champ magnétique inhomogène (ou traverse le bord d'un aimant), les courants de Foucault induits subissent des forces de Laplace qui, par la loi de Lenz, s'opposent au mouvement : c'est le freinage par induction, sans contact ni usure.

Proposition 4.14Force de freinage à basse vitesse

Pour une plaque conductrice traversant un champ localisé à vitesse $v$ modérée, la force de freinage est proportionnelle à la vitesse : $F = - α v$ , avec $α \propto γ B^{2}$ (conductivité, carré du champ). L'équation du mouvement d'un aimant lâché dans un tube conducteur, $m \frac{d v}{d t} = m g - α v$ , conduit à une vitesse limite $v_{l i m} = m g / α$ : l'aimant chute lentement, à vitesse constante.

iRemarque

Le freinage par induction équipe les ralentisseurs de poids lourds et de trains, les freins de manèges, et se manifeste spectaculairement par la chute lente d'un aimant dans un tube de cuivre. Comme il croît avec la vitesse, il ne peut immobiliser un mobile : un frein mécanique reste nécessaire à l'arrêt.

Capacité numérique : Chute d'un aimant dans un tube conducteur

Résoudre numériquement $m v ˙ = m g - α v$ (méthode d'Euler) et tracer $v (t)$ pour différentes valeurs de $α$ , en mettant en évidence la vitesse limite et le régime transitoire.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m, g = 5e-3, 9.81          # aimant (kg), pesanteur (m/s^2)
dt, T = 1e-3, 3.0
t = np.arange(0, T, dt)
for alpha in [0.02, 0.05, 0.10]:     # coefficient de freinage (N.s/m)
    v = np.zeros_like(t)
    for k in range(len(t) - 1):
        v[k+1] = v[k] + dt*(g - alpha/m*v[k])
    plt.plot(t, v, label=f"alpha = {alpha}  (v_lim = {m*g/alpha:.2f} m/s)")
plt.xlabel("t (s)"); plt.ylabel("v (m/s)")
plt.legend(); plt.title("Chute freinee par courants de Foucault")
plt.show()

4.8 Synthèse du chapitre

À retenir

ARQS magnétique : on néglige le courant de déplacement $ε_{0} \partial_{t} E$ devant $j$ (valable si $ℓ ≪ λ = c T$ ). Les champs magnétiques du régime permanent restent valables « instant par instant », mais Maxwell-Faraday $rot E = - \partial_{t} B$ garde son terme temporel.
Loi de Faraday : $e = - \frac{d Φ}{d t}$ avec $Φ = \iint_{S} B \cdot d S$ . Loi de Lenz : l'induction s'oppose à sa cause (modération, conservation de l'énergie).
Neumann (circuit fixe, $B$ variable) : $e = - \iint_{S} \partial_{t} B \cdot d S$ . Courants de Foucault dans les conducteurs massifs : $⟨ P ⟩ \propto γ a^{4} ω^{2} B_{0}^{2}$ $\Rightarrow$ feuilletage des noyaux.
Lorentz (circuit mobile, $B$ permanent) : le déplacement fait varier la surface embrassée, d'où la fem par la loi de Faraday $e = - d Φ/ d t$ . Rail de Laplace : $∣ e ∣ = B ℓ v$ , $F = B^{2} ℓ^{2} v / R$ .
Auto-induction : $Φ_{p} = L i$ , $e = - L d i / d t$ ; énergie $E_{m} = \frac{1}{2} L i^{2}$ ; densité $u_{m} = \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ . Le courant est continu dans une bobine.
Mutuelle : $Φ_{1} = L_{1} i_{1} + M i_{2}$ , $Φ_{2} = M i_{1} + L_{2} i_{2}$ ; énergie $E_{m} = \frac{1}{2} L_{1} i_{1}^{2} + \frac{1}{2} L_{2} i_{2}^{2} + M i_{1} i_{2} \geq 0$ $\Rightarrow$ $M^{2} \leq L_{1} L_{2}$ , couplage $k = ∣ M ∣/ L_{1} L_{2} \in [0, 1]$ .
Conversion électromécanique : $F = \oint i d ℓ \land B$ ; couplage parfait $P_{Laplace} + P_{fem} = 0$ . Freinage par induction $F = - α v$ $\Rightarrow$ vitesse limite.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.9 Exercices résolus

Exemple 4.15Cadre tournant : l'alternateur

Un cadre plan de $N$ spires, de surface $S$ , tourne à la vitesse angulaire $ω$ autour d'un axe de son plan, dans un champ uniforme permanent $B$ perpendiculaire à l'axe. Établir la fem induite.

Démonstration

La normale au cadre fait avec $B$ l'angle $θ (t) = ω t$ . Le flux embrassé vaut $Φ = N B S cos (ω t)$ , d'où

$e = - \frac{d Φ}{d t} = N B S ω sin (ω t) .$

La fem est sinusoïdale, d'amplitude $E_{0} = N B S ω$ et de pulsation $ω$ : c'est le principe de l'alternateur, qui convertit une puissance mécanique de rotation en puissance électrique alternative. La fréquence du réseau ( $50 H z$ ) fixe $ω$ .

Exemple 4.16Barre freinée : régime transitoire complet

Un rail de Laplace (barre de masse $m$ , longueur $ℓ$ , rails fermés sur $R$ , champ $B$ ) est lancé à la vitesse initiale $v_{0}$ sans autre force motrice. Décrire $v (t)$ et faire le bilan énergétique.

Démonstration

La seule force horizontale est la force de Laplace de freinage $F = - \frac{B ^{2} ℓ ^{2}}{R} v$ . La loi de la quantité de mouvement donne

$m \frac{d v}{d t} = - \frac{B ^{2} ℓ ^{2}}{R} v \Rightarrow v (t) = v_{0} e^{- t / τ}, τ = \frac{m R}{B ^{2} ℓ ^{2}} .$

La barre ralentit exponentiellement ; l'énergie cinétique initiale $\frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ est intégralement dissipée par effet Joule dans $R$ : $\int_{0}^{\infty} R i^{2} d t = \int_{0}^{\infty} \frac{B ^{2} ℓ ^{2} v ^{2}}{R} d t = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ . C'est un frein sans contact.

Exemple 4.17Établissement du courant dans un circuit RL

Un circuit série (source $E$ , résistance $R$ , bobine $L$ ) est fermé à $t = 0$ . Établir $i (t)$ et faire le bilan énergétique.

Démonstration

Loi des mailles : $E = R i + L \frac{d i}{d t}$ , d'où, avec $i (0) = 0$ (continuité),

$i (t) = \frac{E}{R} (1 - e^{- t / τ}), τ = \frac{L}{R} .$

Le courant croît jusqu'à $I_{\infty} = E / R$ ; la bobine, qui s'opposait à l'établissement du courant (Lenz), stocke finalement $E_{m} = \frac{1}{2} L I_{\infty}^{2}$ . En multipliant la maille par $i$ : $E i = R i^{2} + \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} L i^{2})$ : la puissance fournie se répartit entre dissipation Joule et stockage magnétique.

Exemple 4.18Deux bobines en série : mesure de la mutuelle

Deux bobines d'inductances $L_{1}, L_{2}$ et de mutuelle $M$ sont branchées en série et parcourues par le même courant $i$ . Déterminer l'inductance équivalente selon le sens de branchement.

Démonstration

Avec le même $i$ dans les deux bobines, le flux total embrassé vaut $Φ = L_{1} i \pm M i + L_{2} i \pm M i = (L_{1} + L_{2} \pm 2 M) i$ , d'où

$L_{e ˊ q} = L_{1} + L_{2} \pm 2 M .$

Le signe $+$ correspond aux flux qui s'ajoutent (bobinages « en série additive »), le signe $-$ aux flux qui se soustraient. La mesure de $L_{e ˊ q}$ dans les deux sens permet de déterminer $M$ : $M = \frac{L _{+} - L _{-}}{4}$ .

Exemple 4.19Bilan de puissance du rail générateur

Reprendre le rail de Laplace tiré à vitesse constante $v$ par un opérateur (résistance $R$ , champ $B$ ). Vérifier explicitement la conservation de l'énergie.

Démonstration

L'opérateur exerce $F_{op} = + \frac{B ^{2} ℓ ^{2} v}{R}$ (pour équilibrer le freinage) et fournit $P_{op} = F_{op} v = \frac{B ^{2} ℓ ^{2} v ^{2}}{R}$ . Le courant $i = B ℓ v / R$ dissipe $P_{J} = R i^{2} = \frac{B ^{2} ℓ ^{2} v ^{2}}{R}$ . On a bien $P_{op} = P_{J}$ : toute la puissance mécanique est convertie en puissance électrique (dissipée ici). La force de Laplace ne travaille pas globalement ( $P_{Laplace} = - P_{fem}$ ) : elle transfère l'énergie.

Exemple 4.20fem sur un contour non matériel

Un champ $B (t) = B_{0} t e_{z}$ croît linéairement dans une région cylindrique de rayon $a$ . Déterminer le champ électrique induit à la distance $r$ de l'axe (dans et hors du cylindre).

Démonstration

Par symétrie de révolution, $E = E (r) u_{θ}$ . La loi de Faraday sur un cercle de rayon $r$ : $2 π r E = - \frac{d Φ}{d t}$ . Pour $r < a$ : $Φ = π r^{2} B_{0} t$ , $E = - \frac{r B _{0}}{2}$ (orthoradial). Pour $r > a$ : $Φ = π a^{2} B_{0} t$ , $E = - \frac{a ^{2} B _{0}}{2 r}$ . Le champ électrique induit existe même en dehors de la zone de champ magnétique : c'est le principe du bétatron et une illustration du caractère non local de l'induction.

Exemple 4.21Couplage parfait et transformateur idéal

Deux bobines de couplage parfait ( $k = 1$ , $M = L_{1} L_{2}$ ) ont $N_{1}$ et $N_{2}$ spires. En négligeant les résistances, relier les tensions primaire et secondaire à vide.

Démonstration

Le couplage parfait signifie que le même flux $ϕ$ traverse chaque spire des deux bobinages : $u_{1} = N_{1} \frac{d ϕ}{d t}$ , $u_{2} = N_{2} \frac{d ϕ}{d t}$ , d'où

$\frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} = m (rapport de transformation) .$

Comme $L \propto N^{2}$ , on a bien $L_{2} / L_{1} = N_{2} / N_{1}$ . C'est le transformateur idéal, qui prépare le chapitre de conversion de puissance : il transforme les tensions dans le rapport des nombres de spires.

4.10 Exercices d'entraînement

Validité de l'ARQS. Un circuit de laboratoire mesure $ℓ = 30 c m$ . Jusqu'à quelle fréquence l'ARQS ( $ℓ ≪ λ$ ) est-elle légitime ? Commenter pour $50 H z$ et pour $1 G H z$ .
Bobine exploratrice. Une petite bobine de $N = 200$ spires, de surface $S = 4 c m^{2}$ , placée dans un champ $B (t) = B_{0} cos (ω t)$ avec $B_{0} = 0, 1 T$ et $f = 50 H z$ , délivre une fem. Calculer son amplitude.
Sens du courant induit. Un aimant, pôle nord en avant, approche d'une spire. Déterminer, par la loi de Lenz, le sens du courant induit et la nature (attractive ou répulsive) de la force sur l'aimant.
Rail incliné. Une barre glisse sur des rails inclinés d'un angle $α$ , dans un champ vertical $B$ , fermés sur $R$ . Établir l'équation du mouvement et la vitesse limite atteinte.
Rail moteur avec frottement. Reprendre le rail moteur (générateur $U$ ) en ajoutant une force de frottement fluide $- h v$ . Déterminer la nouvelle vitesse limite et le rendement de la conversion.
Freinage d'un disque. Un disque conducteur tourne partiellement dans l'entrefer d'un aimant. Expliquer qualitativement l'apparition d'un couple de freinage et sa dépendance en $ω$ et $B$ .
Auto-induction d'un solénoïde. Calculer l'inductance d'un solénoïde de $N = 1000$ spires, longueur $20 c m$ , section $5 c m^{2}$ ; puis l'énergie stockée pour $i = 2 A$ .
Surtension à l'ouverture. Un circuit RL ( $L = 0, 5 H$ , $i = 1 A$ ) est ouvert en $1 m s$ . Estimer la surtension aux bornes de l'interrupteur et justifier l'apparition d'un arc.
Circuit LC libre. Un condensateur chargé se décharge dans une bobine idéale (pas de résistance). Établir l'équation du courant et interpréter l'échange périodique entre énergie électrique $\frac{1}{2} C U^{2}$ et magnétique $\frac{1}{2} L i^{2}$ .
Mesure de mutuelle. Deux bobines en série donnent $L_{+} = 80 m H$ (additif) et $L_{-} = 40 m H$ (soustractif). En déduire $M$ et, si $L_{1} = L_{2}$ , le coefficient de couplage $k$ .
Couplage partiel. Deux bobines ont $L_{1} = 10 m H$ , $L_{2} = 40 m H$ , $M = 15 m H$ . Calculer $k$ ; le couplage est-il compatible avec l'inégalité $M^{2} \leq L_{1} L_{2}$ ? Que vaut $M$ au couplage parfait ?
Courants de Foucault et feuilletage. Un noyau cylindrique ( $a = 2 c m$ ) est remplacé par 10 tôles isolées de même section totale. De quel facteur les pertes par courants de Foucault sont-elles réduites ? Justifier par la loi en $a^{4}$ .
Bétatron. Dans la région $r < a$ , $B (t) = B_{0} t$ . Un électron initialement au repos sur un cercle de rayon $r_{0} < a$ est accéléré par le champ électrique induit. Exprimer sa force tangentielle et le sens de son accélération.
Aimant dans un tube. Un aimant ( $m = 10 g$ ) tombe dans un tube de cuivre ; on observe une vitesse limite $v_{l i m} = 0, 2 m . s^{- 1}$ . En déduire le coefficient de freinage $α$ et le temps caractéristique du régime transitoire.

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