Électromagnétisme dans l'ARQS : induction

Cours · électromagnétisme (PSI), chapitre 4 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'induction : un aimant qui s'approche d'une bobine y fait naître un courant induit, qui s'oppose à sa cause.

Jusqu'ici, champ électrique et champ magnétique ont été étudiés en régime permanent, indépendamment l'un de l'autre. Dès que les sources varient dans le temps, ces deux champs se couplent : une variation de flux magnétique engendre un champ électrique, donc une force électromotrice dans un circuit. C'est le phénomène d'induction électromagnétique, découvert par Faraday en 1831, pierre angulaire de toute la conversion de puissance (alternateurs, moteurs, transformateurs, freinage électromagnétique). Ce chapitre travaille dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS), où l'on néglige les temps de propagation : les expressions des champs établies en régime permanent restent utilisables « instant par instant ». Nous établissons la loi de Faraday et la loi de Lenz, distinguons les deux situations d'induction (Neumann : circuit fixe, champ variable ; Lorentz : circuit mobile, champ permanent), introduisons les coefficients d'auto-inductance $L$ et d'inductance mutuelle $M$ , l'énergie magnétique, et concluons par la conversion électromécanique (rail de Laplace, courants de Foucault). Ce chapitre prépare directement l'étude du transformateur et des machines.

4.1 L'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS)

4.1.1 Courants de déplacement et compatibilité

En régime variable, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit

$rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t},$

le second terme $j_{D} = ε_{0} \partial_{t} E$ étant le courant de déplacement introduit par Maxwell. Sa nécessité vient de la conservation de la charge : en prenant la divergence de l'équation (et puisque $div rot \equiv 0$ ), on retrouve $div j + \partial_{t} ρ = 0$ grâce à Maxwell-Gauss $div E = ρ / ε_{0}$ . Sans le courant de déplacement, l'équation de Maxwell-Ampère serait incompatible avec la conservation de la charge en régime variable.

4.1.2 L'ARQS magnétique

Comparons, pour un phénomène de pulsation caractéristique $ω$ et d'extension spatiale $ℓ$ , le courant de déplacement et le terme de conduction. L'ordre de grandeur du rapport fait apparaître la comparaison de la taille du dispositif à la longueur d'onde $λ = c T$ .

Définition 4.1Approximation des régimes quasi-stationnaires

L'ARQS est valable lorsque la dimension caractéristique $ℓ$ du système est très petite devant la longueur d'onde associée : $ℓ ≪ λ = c T$ , soit un temps de propagation $τ_{prop} = ℓ / c$ négligeable devant la période $T$ . On peut alors traiter chaque instant comme un régime permanent.

ImportantARQS magnétique

Dans l'ARQS magnétique, on néglige le courant de déplacement devant les courants de conduction :

$ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} ≪ j .$

Les équations de Maxwell se simplifient en

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, div B = 0, rot B = μ_{0} j .$

Les expressions du champ magnétique établies en régime stationnaire (fil, solénoïde, bobine…) restent valables instantanément avec $I = I (t)$ . En revanche, l'équation de Maxwell-Faraday conserve son terme $\partial_{t} B$ : c'est lui qui porte le phénomène d'induction.

iRemarque

L'ARQS magnétique est l'approximation pertinente pour l'électrotechnique : à $50 H z$ , $λ = c / f = 6000 k m$ , très grand devant la taille d'une machine ou d'un circuit de laboratoire. Elle est mise en défaut pour les circuits hyperfréquences ou les lignes de grande longueur.

4.1.3 Le champ électrique n'est plus à circulation conservative

La relation clé de l'induction est la forme locale de Maxwell-Faraday, $rot E = - \partial_{t} B$ . Par le théorème de Stokes appliqué à une surface $S$ s'appuyant sur un contour fermé fixe $Γ$ :

$\oint_{Γ} E \cdot d ℓ = \iint_{S} rot E \cdot d S = - \iint_{S} \frac{\partial B}{\partial t} \cdot d S = - \frac{d}{d t} \iint_{S} B \cdot d S = - \frac{d Φ}{d t} .$

La circulation de $E$ sur un contour fermé n'est plus nulle dès que le flux magnétique varie : le champ électrique induit n'est plus un gradient, il possède une composante à rotationnel non nul. C'est cette circulation qui constitue la force électromotrice induite.

4.2 Loi de Faraday et loi de Lenz

4.2.1 Flux magnétique et orientation

Soit un circuit filiforme orienté (choix arbitraire d'un sens de parcours), s'appuyant sur une surface $S$ orientée par la règle du tire-bouchon (main droite). Le flux magnétique à travers le circuit est

$Φ = \iint_{S} B \cdot d S (W b, weber) .$

Pour un circuit plan de surface $S$ dans un champ uniforme $B$ faisant l'angle $θ$ avec la normale, $Φ = B S cos θ$ . Pour une bobine de $N$ spires, on parle de flux total $Φ = N Φ_{spire}$ (flux « embrassé »).

4.2.2 Loi de Faraday

◆Théorème 4.2Loi de Faraday

La force électromotrice (fem) induite dans un circuit est l'opposé de la dérivée temporelle du flux magnétique qui le traverse :

$e = - \frac{d Φ}{d t} (V) .$

Le circuit se comporte comme un générateur de fem $e$ ; orienté selon le sens choisi pour le contour (celui qui oriente la normale et donc le signe de $Φ$ ), il débite dans la maille un courant $i$ tel que, pour une résistance totale $R$ , $R i = e$ (en l'absence d'autre source).

La cohérence des signes est assurée par la convention d'orientation : une fois choisi le sens positif du courant, la normale à la surface est fixée par la règle de la main droite, ce qui fixe le signe de $Φ$ puis celui de $e$ .

4.2.3 Loi de Lenz : la modération

ImportantLoi de Lenz

Par ses effets (courant induit, force, flux propre), le phénomène d'induction s'oppose à la cause qui lui donne naissance. Le signe « moins » de la loi de Faraday en est la traduction quantitative : le courant induit crée un flux propre qui tend à modérer la variation du flux extérieur.

La loi de Lenz est un principe de modération (analogue au principe de Le Chatelier), conséquence de la conservation de l'énergie : si le courant induit renforçait sa cause, on aurait un emballement énergétique (mouvement perpétuel). Elle fournit un contrôle qualitatif immédiat du sens du courant induit et du sens des forces, sans calcul.

Méthode : Prévoir le sens d'un courant induit

Identifier la cause (flux qui augmente ou diminue, aimant qui approche, circuit qui se déforme).
Le courant induit crée un champ (flux propre) qui s'oppose à la variation : il tend à maintenir le flux constant.
En déduire le sens du courant par la règle de la main droite, puis les forces de Laplace (qui freinent le mouvement s'il est la cause).

4.3 Induction de Neumann : circuit fixe, champ variable

4.3.1 Cas d'un circuit immobile

Lorsque le circuit est fixe dans le référentiel d'étude et que le champ magnétique varie dans le temps (sources variables), la fem provient entièrement de la variation temporelle de $B$ :

$e = - \frac{d Φ}{d t} = - \iint_{S} \frac{\partial B}{\partial t} \cdot d S .$

On parle d'induction de Neumann. Le champ électrique induit $E$ (tel que $rot E = - \partial_{t} B$ ) met les charges du conducteur en mouvement.

Exemple 4.3Spire dans un champ sinusoïdal

Une spire plane de surface $S$ , de résistance $R$ , est placée perpendiculairement à un champ uniforme $B (t) = B_{0} cos (ω t) e_{z}$ . Le flux vaut $Φ = B_{0} S cos (ω t)$ , d'où

$e = - \frac{d Φ}{d t} = B_{0} S ω sin (ω t), i = \frac{e}{R} = \frac{B _{0} S ω}{R} sin (ω t) .$

La fem est proportionnelle à la fréquence : c'est le principe du capteur inductif et de la mesure de champ variable par bobine exploratrice.

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