Milieux ferromagnétiques

Cours complet · électromagnétisme (PSI), chapitre 5 · CPGE PSI (2e année)

Jusqu'ici, les champs magnétiques étaient créés par des courants circulant dans le vide. Or l'expérience quotidienne — un aimant qui adhère au réfrigérateur, un tournevis qui « attrape » les vis, le noyau de fer qui décuple le champ d'une bobine — montre que la matière peut, elle aussi, être source de champ magnétique et en modifier profondément la carte. Les matériaux ferromagnétiques (fer, cobalt, nickel et leurs alliages) présentent une aimantation intense, susceptible de persister en l'absence de courant : ce sont les aimants permanents, mais aussi les noyaux de transformateurs et de machines électriques. Ce chapitre introduit les grandeurs qui décrivent l'aimantation de la matière — le vecteur aimantation $M$ , l'excitation magnétique $H$ — puis dégage la loi de comportement des milieux linéaires ( $B = μ_{0} μ_{r} H$ ) et le comportement fortement non linéaire des ferromagnétiques, résumé par le cycle d'hystérésis. Nous verrons enfin comment un circuit magnétique canalise le flux, grâce à une puissante analogie avec les circuits électriques (« loi d'Ohm magnétique »). Ces notions préparent directement l'étude du transformateur et des machines tournantes.

Dans tout le chapitre, $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H . m^{- 1}$ désigne la perméabilité magnétique du vide.

5.1 Aimantation de la matière

5.1.1 Origine microscopique : les moments magnétiques atomiques

À l'échelle atomique, le mouvement des électrons (orbital et de spin) confère à chaque atome un moment magnétique $m$ , comparable à celui d'une minuscule boucle de courant. Dans la plupart des matériaux, ces moments sont orientés au hasard par l'agitation thermique : leur somme est nulle et la matière n'est pas aimantée. Mais un champ extérieur, ou des interactions internes, peuvent les ordonner partiellement : la matière acquiert alors une aimantation macroscopique.

Définition 5.1Vecteur aimantation

Le vecteur aimantation $M$ est le moment magnétique volumique du matériau : en un point où un volume mésoscopique $d τ$ porte un moment magnétique total $d m$ ,

$M = \frac{d m}{d τ}, [M] = A . m^{- 1} .$

Un matériau est dit aimanté lorsque $M \neq = 0$ . L'aimantation peut être induite par un champ extérieur ou permanente (aimant).

iRemarque

$M$ a la même dimension qu'une densité surfacique de courant, ce qui n'est pas fortuit : une aimantation uniforme est équivalente à des courants d'aimantation (ou courants liés) circulant à la surface du matériau, comme les spires d'un solénoïde. Un barreau aimanté uniformément se comporte ainsi comme un solénoïde parcouru par un courant surfacique $j_{s} = M$ .

5.1.2 Les trois grands comportements magnétiques

Selon la réponse des moments atomiques à un champ appliqué, on distingue :

le diamagnétisme (cuivre, eau, bismuth) : aimantation opposée au champ, très faible ( $M$ disparaît dès qu'on coupe le champ) ;
le paramagnétisme (aluminium, platine) : aimantation alignée sur le champ, faible, disparaissant elle aussi à champ nul ;
le ferromagnétisme (fer, cobalt, nickel) : aimantation alignée, très intense, pouvant persister sans champ appliqué. C'est le seul comportement étudié en détail ici.

Dia- et paramagnétisme correspondent à des effets minuscules ( $M$ des milliers de fois plus faible) ; en pratique, seule la matière ferromagnétique modifie sensiblement les champs et présente un intérêt technologique.

5.2 Excitation magnétique et milieux linéaires

5.2.1 Le champ $B$ dans la matière

En présence de matière aimantée, le champ magnétique $B$ a désormais deux sources : les courants libres $j$ que l'on impose (dans les fils, les bobines), et les courants d'aimantation associés à $M$ . Il devient malcommode de travailler avec $B$ seul, car une partie de ses sources (l'aimantation) dépend elle-même de $B$ . On introduit alors un champ auxiliaire, l'excitation magnétique, dont les seules sources sont les courants libres.

Définition 5.2Excitation magnétique

L'excitation magnétique $H$ (aussi appelée champ magnétique $H$ ) est définie par

$B = μ_{0} (H + M), [H] = A . m^{- 1} .$

Elle a la même dimension que l'aimantation. Son intérêt majeur : sa circulation ne fait intervenir que les courants libres.

◆Théorème 5.3Théorème d'Ampère pour l'excitation

H

La circulation de $H$ sur un contour fermé orienté $C$ est égale à l'intensité libre enlacée, à l'exclusion des courants d'aimantation :

$\oint_{C} H \cdot d ℓ = I_{libre, enl} .$

Important

C'est là tout l'intérêt de $H$ : on contrôle directement l'excitation par les courants qu'on impose (le courant dans une bobine fixe $H$ dans son noyau), tandis que $B$ dépend en plus de la réponse $M$ du matériau. On « pilote » $H$ , on mesure $B$ .

5.2.2 Milieux linéaires : perméabilité relative

Pour un milieu linéaire, homogène et isotrope (l.h.i.), l'aimantation induite est proportionnelle à l'excitation :

$M = χ_{m} H,$

où $χ_{m}$ est la susceptibilité magnétique (sans dimension). Reportée dans la définition de $H$ :

Définition 5.4Perméabilité relative

Dans un milieu l.h.i., $B$ et $H$ sont proportionnels :

$B = μ_{0} (1 + χ_{m}) H = μ_{0} μ_{r} H = μ H,$

où $μ_{r} = 1 + χ_{m}$ est la perméabilité relative (sans dimension) et $μ = μ_{0} μ_{r}$ la perméabilité absolue.

Vide, air : $μ_{r} ≃ 1$ ( $χ_{m} ≃ 0$ ).
Diamagnétiques : $μ_{r} ≲ 1$ ( $χ_{m} < 0$ , $\sim - 1 0^{- 5}$ ).
Paramagnétiques : $μ_{r} ≳ 1$ ( $χ_{m} > 0$ , $\sim + 1 0^{- 5}$ ).
Ferromagnétiques (régime linéaire, champs faibles) : $μ_{r}$ très grand, de $1 0^{2}$ à $1 0^{5}$ ! Un même courant y crée un champ $B$ des milliers de fois plus intense que dans l'air.

Attention

Pour un ferromagnétique, la relation $B = μ_{0} μ_{r} H$ n'est qu'une approximation locale, valable pour les faibles excitations. En toute rigueur, $μ_{r}$ n'est pas une constante : elle dépend de $H$ , du passé magnétique de l'échantillon, et la relation $B (H)$ est multivaluée (cycle d'hystérésis, ci-après). On réserve $μ_{r} = cte$ aux milieux linéaires (dia-, para-) et au ferromagnétique idéalisé non saturé.

5.3 Le ferromagnétisme

5.3.1 Domaines de Weiss

Dans un ferromagnétique, une interaction quantique (dite d'échange) tend à aligner spontanément les moments atomiques voisins, même sans champ appliqué. Mais si tout l'échantillon était uniformément aimanté, l'énergie du champ créé à l'extérieur serait considérable. Le matériau réalise un compromis énergétique en se découpant en domaines de Weiss : de petites régions (typiquement quelques $μ m$ à quelques dizaines de $μ m$ ) à l'intérieur desquelles l'aimantation est uniforme et maximale, mais dont les orientations diffèrent d'un domaine à l'autre, de sorte que l'aimantation moyenne peut être nulle. Les frontières entre domaines sont les parois de Bloch.

ImportantMécanisme de l'aimantation

Sous l'effet d'un champ extérieur croissant, deux mécanismes ordonnent les domaines :

aux faibles champs, les parois se déplacent : les domaines favorablement orientés (proches du champ) grandissent au détriment des autres ;
aux champs plus intenses, les aimantations des domaines basculent pour s'aligner sur le champ.

Lorsque tous les moments sont alignés, l'aimantation ne peut plus croître : c'est la saturation.

Définition 5.5Aimantation à saturation

L'aimantation à saturation $M_{s}$ est la valeur maximale de $M$ , atteinte lorsque tous les moments atomiques sont alignés. Pour le fer, $μ_{0} M_{s} \approx 2 T$ , ce qui fixe l'ordre de grandeur du champ maximal accessible dans un noyau de fer.

5.3.2 Le cycle d'hystérésis

Portons un échantillon ferromagnétique, initialement non aimanté, dans une excitation $H$ croissante (par exemple le champ créé par une bobine dont on augmente le courant). La courbe $B (H)$ obtenue n'est ni linéaire, ni réversible : elle décrit un cycle d'hystérésis (figure fig:hysteresis).

Figure : Cycle d'hystérésis

B (H)

d'un matériau ferromagnétique. En pointillés, la courbe de première aimantation.

B_{r}

: champ rémanent ;

H_{c}

: excitation coercitive ; l'aire du cycle mesure les pertes par hystérésis par unité de volume et par cycle.

Courbe de première aimantation (pointillés) : partant de l'état vierge $(0, 0)$ , $B$ croît d'abord fortement (grand $μ_{r}$ ), puis sature : $B$ n'augmente plus que faiblement (pente $μ_{0}$ ), les domaines étant tous alignés.
Champ rémanent $B_{r}$ : si l'on ramène $H$ à zéro, $B$ ne revient pas à zéro mais garde une valeur $B_{r} > 0$ . Le matériau reste aimanté sans courant : c'est le principe de l'aimant permanent.
Excitation coercitive $H_{c}$ : pour annuler $B$ , il faut appliquer une excitation inverse $- H_{c}$ . Plus $H_{c}$ est grand, plus l'aimantation est difficile à effacer.
Irréversibilité : le trajet retour diffère du trajet aller. L'état magnétique dépend de toute l'histoire de l'échantillon (mémoire).

Définition 5.6Champ rémanent et excitation coercitive

Sur le cycle décrit à saturation :

le champ rémanent $B_{r}$ est la valeur de $B$ pour $H = 0$ ;
l'excitation coercitive $H_{c}$ est la valeur de $H$ (au signe près) qui annule $B$ .

5.3.3 Pertes par hystérésis

Parcourir un cycle coûte de l'énergie : le matériau restitue moins d'énergie lors de la désaimantation qu'il n'en a reçu lors de l'aimantation. Cette énergie perdue (dissipée en chaleur, par frottement des parois de Bloch) est reliée géométriquement à l'aire du cycle.

◆Théorème 5.7Pertes par hystérésis

L'énergie dissipée par unité de volume et par cycle est égale à l'aire du cycle $B (H)$ :

$w_{hyst} = \oint H d B (J . m^{- 3} par cycle) .$

Pour un matériau soumis à une excitation alternative de fréquence $f$ , la puissance volumique dissipée est $P_{vol} = w_{hyst} f$ .

Important

Ces pertes croissent avec la fréquence et avec l'aire du cycle. En régime alternatif (transformateur, machine), on choisira donc des matériaux à cycle étroit pour les minimiser. À ces pertes par hystérésis s'ajoutent, dans un noyau massif conducteur, les pertes par courants de Foucault : on feuillette alors le noyau en tôles isolées pour les réduire (voir le chapitre transformateur).

5.3.4 Matériaux doux et matériaux durs

La forme du cycle sépare les ferromagnétiques en deux familles aux usages opposés (figure fig:doux-dur).

Figure : Cycles d'hystérésis d'un matériau doux (à gauche,

H_{c}

faible, aire petite) et d'un matériau dur (à droite,

H_{c}

B_{r}

élevés, aire grande).

ImportantDeux familles opposées

Matériaux doux ( $H_{c}$ faible, cycle étroit, aire petite) : fer doux, ferrites, alliages fer-silicium, permalloy. Facilement aimantables et désaimantables, à faibles pertes. Emploi : noyaux de transformateurs, de bobines et de machines, électroaimants, blindages. Ils canalisent le flux sans le mémoriser.
Matériaux durs ( $H_{c}$ et $B_{r}$ élevés, cycle large) : alnico, ferrites dures, terres rares (néodyme-fer-bore, samarium-cobalt). Conservent durablement leur aimantation. Emploi : aimants permanents (haut-parleurs, moteurs, capteurs, disques durs).

5.3.5 Température de Curie

L'ordre ferromagnétique résulte de l'interaction d'échange ; l'agitation thermique le combat. Au-delà d'une température critique, le désordre l'emporte : le matériau perd ses propriétés ferromagnétiques.

Définition 5.8Température de Curie

La température de Curie $T_{C}$ est la température au-dessus de laquelle un ferromagnétique devient paramagnétique : l'aimantation spontanée disparaît, l'aimantation rémanente s'annule. La transition est réversible (le refroidissement restaure le ferromagnétisme).

Exemple 5.9Quelques températures de Curie

Fer : $T_{C} \approx 770° C$ ; cobalt : $\approx 1120° C$ ; nickel : $\approx 354° C$ . Un aimant chauffé au-delà de son point de Curie perd irréversiblement son aimantation macroscopique (elle ne se reforme pas spontanément au refroidissement, faute de champ orientant les domaines).

5.4 Circuits magnétiques

5.4.1 Canalisation du flux

Le très grand $μ_{r}$ des matériaux doux a une conséquence géométrique essentielle : les lignes de champ préfèrent de très loin cheminer dans le fer plutôt que dans l'air. Un tore de fer entourant une bobine canalise presque tout le flux magnétique à l'intérieur de la matière, comme un fil conduit le courant électrique ; le flux qui « fuit » dans l'air (flux de fuite) est négligeable. On parle de circuit magnétique.

Figure : Circuit magnétique torique :

N

spires parcourues par

I

créent un flux

Φ

canalisé dans le noyau (section

S

, longueur moyenne

ℓ

, perméabilité

μ

). Un éventuel entrefer d'épaisseur

e

interrompt le circuit.

5.4.2 Loi d'Ohm magnétique

Considérons le tore de la figure fig:tore, de section $S$ , de longueur moyenne $ℓ$ , de perméabilité $μ = μ_{0} μ_{r}$ , entouré de $N$ spires parcourues par $I$ . Le théorème d'Ampère pour $H$ , appliqué à la ligne moyenne, donne $H ℓ = N I$ . Comme $B = μ H$ et que le flux $Φ = B S$ est conservé le long du tore :

$N I = H ℓ = \frac{B}{μ} ℓ = \frac{Φ}{μ S} ℓ .$

Définition 5.10Force magnétomotrice, réluctance

On pose :

la force magnétomotrice (f.m.m.) : $E = N I$ (en ampères-tours) ;
la réluctance du circuit : $R = \frac{ℓ}{μ S} = \frac{ℓ}{μ _{0} μ _{r} S}$ (en $H^{- 1}$ , ou $A . W b^{- 1}$ ).

◆Théorème 5.11Loi d'Ohm magnétique (loi d'Hopkinson)

Le flux canalisé dans un circuit magnétique obéit à une relation analogue à la loi d'Ohm :

$E = R Φ c.- a ˋ -d. N I = R Φ.$

ImportantL'analogie électromagnétique

La correspondance est terme à terme :

$Circuit e ˊ lectrique f. e ˊ .m. E intensit e ˊ I r e ˊ sistance R = \frac{ℓ}{γ S} conductivit e ˊ γ E = R I Circuit magn e ˊ tique f.m.m. E = N I flux Φ r e ˊ luctance R = \frac{ℓ}{μ S} perm e ˊ abilit e ˊ μ E = R Φ$

Les réluctances en série s'ajoutent ( $R = \sum R_{i}$ ) ; en parallèle, ce sont leurs inverses (perméances $P = 1/ R$ ) qui s'ajoutent. Les flux se conservent aux nœuds (analogue de la loi des nœuds), les f.m.m. se répartissent le long des mailles (analogue de la loi des mailles).

Attention

Cette analogie n'est pas parfaite : contrairement à un courant électrique, le flux magnétique ne « dissipe » pas d'énergie par effet Joule dans la réluctance (une réluctance pure ne chauffe pas). De plus, pour un ferromagnétique, $μ$ n'est pas constante (saturation, hystérésis) : $R$ dépend alors du niveau de flux, et la « loi d'Ohm magnétique » n'est linéaire que dans le domaine non saturé.

5.4.3 Rôle de l'entrefer

Un entrefer est une coupure d'air (épaisseur $e$ ) dans le circuit magnétique (figure fig:tore). Le flux étant conservatif, il traverse l'entrefer ; mais comme $μ_{air} = μ_{0} ≪ μ_{fer}$ , la réluctance de l'entrefer est énorme devant celle du fer, à longueur égale. Les réluctances s'ajoutant en série :

$R_{tot} = fer \frac{ℓ - e}{μ _{0} μ _{r} S} + entrefer \frac{e}{μ _{0} S} \approx \frac{e}{μ _{0} S} si μ_{r} grand .$

Un entrefer même mince domine la réluctance et concentre presque toute la chute de f.m.m. C'est là qu'on récupère un champ intense dans l'air (électroaimant, tête de lecture, entrefer d'une machine).

5.4.4 Inductance propre d'une bobine à noyau

Enrouler $N$ spires sur un circuit magnétique de réluctance $R$ décuple le flux embrassé, donc l'inductance propre de la bobine. Le noyau de fer doux est ici modélisé linéairement (perméabilité $μ = μ_{0} μ_{r}$ constante, hors saturation).

◆Théorème 5.12Inductance d'une bobine à noyau ferromagnétique

Pour une bobine de $N$ spires bobinées sur un circuit magnétique de réluctance $R = ℓ / (μ_{0} μ_{r} S)$ , l'inductance propre vaut

$L = \frac{N ^{2}}{R} = \frac{μ _{0} μ _{r} N ^{2} S}{ℓ} .$

Démonstration

La loi d'Hopkinson donne le flux canalisé dans le noyau créé par le courant $i$ : $Φ = \frac{E}{R} = \frac{N i}{R}$ . Ce flux est embrassé par chacune des $N$ spires ; le flux total (ou embrassé) de la bobine est donc $Ψ = N Φ = \frac{N ^{2}}{R} i$ . Par définition de l'inductance propre, $Ψ = L i$ , d'où $L = \frac{N ^{2}}{R} = \frac{μ _{0} μ _{r} N ^{2} S}{ℓ}$ . Le facteur $μ_{r}$ (de $1 0^{2}$ à $1 0^{5}$ ) explique pourquoi un noyau de fer doux accroît considérablement l'inductance d'une bobine, à encombrement égal.

Exemple 5.13Bobine à noyau torique

Un tore de fer doux ( $μ_{r} = 1500$ ), de section $S = 4 c m^{2}$ et de longueur moyenne $ℓ = 30 c m$ , porte $N = 400$ spires. Alors

$L = \frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 1500 \times 40 0 ^{2} \times 4 \times 1 0 ^{- 4}}{0 , 30} \approx 0, 16 H,$

soit environ $1500$ fois l'inductance de la même bobine sans noyau : c'est tout l'intérêt du noyau ferromagnétique.

5.4.5 Énergie magnétique en milieu linéaire

L'énergie emmagasinée par une bobine, $E_{m} = \frac{1}{2} L i^{2}$ , se localise dans le champ. En milieu linéaire ( $B = μ_{0} μ_{r} H$ ), la densité volumique d'énergie magnétique $u_{m} = B^{2} / (2 μ_{0})$ du vide se généralise en remplaçant $μ_{0}$ par $μ_{0} μ_{r}$ .

◆Théorème 5.14Énergie magnétique en milieu l.h.i.

Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope de perméabilité $μ_{0} μ_{r}$ , la densité volumique d'énergie magnétique est $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0} μ _{r}}$ , et l'énergie totale s'écrit

$W = ∭ \frac{B ^{2}}{2 μ _{0} μ _{r}} d τ .$

Démonstration

Vérifions cette expression sur la bobine à noyau précédente. Le théorème d'Ampère pour $H$ sur la ligne moyenne donne $H = N i / ℓ$ , d'où $B = μ_{0} μ_{r} H = \frac{μ _{0} μ _{r} N i}{ℓ}$ , uniforme dans le noyau de volume $V = S ℓ$ . Alors

$∭ \frac{B ^{2}}{2 μ _{0} μ _{r}} d τ = \frac{B ^{2}}{2 μ _{0} μ _{r}} S ℓ = \frac{1}{2 μ _{0} μ _{r}} (\frac{μ _{0} μ _{r} N i}{ℓ})^{2} S ℓ = \frac{μ _{0} μ _{r} N ^{2} S}{2 ℓ} i^{2} = \frac{1}{2} L i^{2},$

en accord avec l'énergie $\frac{1}{2} L i^{2}$ de la bobine, avec $L = μ_{0} μ_{r} N^{2} S / ℓ$ . L'énergie magnétique est ainsi bien localisée dans le volume du noyau, avec la densité $B^{2} / (2 μ_{0} μ_{r})$ .

5.5 Applications

Électroaimant : une bobine sur un noyau de fer doux avec entrefer. Le courant crée un champ intense dans l'entrefer, attirant une pièce ferromagnétique. À courant coupé, le fer doux se désaimante : l'objet est libéré (grues de levage, relais, sonnettes, freins).
Noyau de transformateur : un circuit magnétique feuilleté (tôles fer-silicium isolées) canalise le flux commun aux enroulements primaire et secondaire. Matériau doux (pertes par hystérésis faibles) et feuilleté (pertes par courants de Foucault réduites). Objet du chapitre suivant.
Machines électriques : stator et rotor en fer doux feuilleté canalisent le flux dans l'entrefer où s'exerce le couple. Les moteurs à aimants permanents utilisent, eux, des matériaux durs (néodyme) pour créer un flux sans bobinage d'excitation.
Stockage et capteurs : disques durs (matériaux durs, mémoire magnétique), têtes de lecture/écriture, capteurs de champ, transducteurs.

Capacité numérique : Tracer un cycle d'hystérésis

On relève expérimentalement, pour un tore muni d'un enroulement primaire (imposant $H \propto i_{1}$ ) et secondaire (donnant $B$ par intégration de la tension induite), les couples $(H, B)$ sur une période, et l'on trace le cycle. On en déduit $B_{r}$ , $H_{c}$ et l'aire (pertes). En Python, l'aire s'obtient par intégration numérique du cycle échantillonné, par la formule du lacet (shoelace) sur les points $(H_{k}, B_{k})$ :

$Aire = \frac{1}{2} k \sum (H_{k} B_{k + 1} - H_{k + 1} B_{k}),$

soit, en pratique, aire = 0.5abs(np.sum(Hnp.roll(B,-1) - np.roll(H,-1)*B)). La puissance dissipée dans le noyau vaut alors $P = V_{noyau} \cdot Aire \cdot f$ .

Aimantation : $M = d m / d τ$ (moment magnétique volumique, en $A . m^{- 1}$ ). Champ dans la matière : $B = μ_{0} (H + M)$ , où $H$ est l'excitation magnétique, dont seuls les courants libres sont sources : $\oint H \cdot d ℓ = I_{libre,enl}$ .
Milieu linéaire : $M = χ_{m} H$ , d'où $B = μ_{0} μ_{r} H$ avec $μ_{r} = 1 + χ_{m}$ . Ferromagnétiques : $μ_{r}$ de $1 0^{2}$ à $1 0^{5}$ .
Ferromagnétisme : domaines de Weiss $\to$ aimantation à saturation $M_{s}$ ( $μ_{0} M_{s} \approx 2 T$ pour le fer). Comportement non linéaire et à mémoire : cycle d'hystérésis $B (H)$ , avec champ rémanent $B_{r}$ (aimant permanent), excitation coercitive $H_{c}$ . Aire du cycle $= \oint H d B =$ pertes par hystérésis (par unité de volume et par cycle) ; puissance $\propto f$ .
Doux (cycle étroit, $H_{c}$ faible) : transformateurs, machines, électroaimants. Durs (cycle large, $B_{r}$ , $H_{c}$ élevés) : aimants permanents.
Température de Curie $T_{C}$ : au-delà, le ferromagnétique devient paramagnétique.
Circuit magnétique : le fer doux canalise le flux. Loi d'Ohm magnétique : $E = N I = R Φ$ , réluctance $R = ℓ / (μ S)$ . Analogie : $E \leftrightarrow N I$ , $I \leftrightarrow Φ$ , $R \leftrightarrow R$ , $γ \leftrightarrow μ$ . Un entrefer domine la réluctance.
Bobine à noyau (fer doux linéaire) : inductance propre $L = \frac{N ^{2}}{R} = \frac{μ _{0} μ _{r} N ^{2} S}{ℓ}$ (le noyau multiplie $L$ par $μ_{r}$ ). Énergie magnétique en milieu linéaire : $W = ∭ \frac{B ^{2}}{2 μ _{0} μ _{r}} d τ$ (densité $B^{2} /2 μ_{0} μ_{r}$ ), cohérente avec $\frac{1}{2} L i^{2}$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.6 Exercices résolus

Exemple 5.15Excitation dans un tore

Un tore de fer doux ( $μ_{r} = 2000$ ), de longueur moyenne $ℓ = 40 c m$ et de section $S = 4 c m^{2}$ , porte $N = 500$ spires parcourues par $I = 0, 8 A$ . Calculer $H$ , $B$ et le flux $Φ$ .

Démonstration

Théorème d'Ampère sur la ligne moyenne : $H ℓ = N I$ , d'où

$H = \frac{N I}{ℓ} = \frac{500 \times 0 , 8}{0 , 40} = 1000 A . m^{- 1} .$

Milieu supposé linéaire : $B = μ_{0} μ_{r} H = 4 π \times 1 0^{- 7} \times 2000 \times 1000 \approx 2, 5 T$ . Cette valeur dépasse la saturation du fer ( $\approx 2 T$ ) : en réalité le fer sature et $μ_{r}$ chute, si bien que $B$ réel est plafonné vers $\sim 2 T$ . Flux (avec $B \approx 2 T$ ) : $Φ = B S \approx 2 \times 4 \times 1 0^{- 4} = 8 \times 1 0^{- 4} W b$ .

Exemple 5.16Réluctance et loi d'Ohm magnétique

Reprendre le tore précédent (régime linéaire, $μ_{r} = 2000$ ). Calculer sa réluctance $R$ , puis retrouver le flux par la loi d'Hopkinson.

Démonstration

$R = \frac{ℓ}{μ _{0} μ _{r} S} = \frac{0 , 40}{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 2000 \times 4 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 4, 0 \times 1 0^{5} H^{- 1} .$

F.m.m. : $E = N I = 400$ A.tr. Flux : $Φ = E / R = 400/ (4, 0 \times 1 0^{5}) = 1, 0 \times 1 0^{- 3} W b$ , cohérent (aux effets de saturation près) avec $B S$ .

Exemple 5.17Effet d'un entrefer

On pratique dans ce tore un entrefer d'épaisseur $e = 1 mm$ . Calculer la nouvelle réluctance et le flux à courant inchangé. Conclure.

Démonstration

Réluctance du fer (longueur $ℓ - e \approx ℓ$ ) : $R_{fer} \approx 4, 0 \times 1 0^{5} H^{- 1}$ . Réluctance de l'entrefer :

$R_{air} = \frac{e}{μ _{0} S} = \frac{1 0 ^{- 3}}{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 4 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 2, 0 \times 1 0^{6} H^{- 1} .$

En série : $R_{tot} = R_{fer} + R_{air} \approx 2, 4 \times 1 0^{6} H^{- 1}$ , six fois plus grande ! Le flux tombe à $Φ = N I / R_{tot} \approx 1, 7 \times 1 0^{- 4} W b$ . Un entrefer de $1 mm$ domine la réluctance d'un tore de $40 c m$ de fer : c'est la conséquence directe du très grand $μ_{r}$ .

Exemple 5.18Pertes par hystérésis d'un noyau

Un noyau de transformateur (volume $V = 1, 5 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ ) a un cycle d'aire $w = 300 J . m^{- 3}$ par cycle. Il fonctionne à $f = 50 H z$ . Estimer la puissance dissipée par hystérésis.

Démonstration

Énergie dissipée par cycle dans tout le noyau : $W = w V = 300 \times 1, 5 \times 1 0^{- 3} = 0, 45 J$ . Puissance : $P = W f = 0, 45 \times 50 \approx 22, 5 W$ . Un cycle plus étroit (matériau plus doux) ou une fréquence plus basse réduiraient d'autant ces pertes ; c'est pourquoi les noyaux sont en fer-silicium doux.

Exemple 5.19Comparaison doux/dur

Deux échantillons ont respectivement $H_{c}^{doux} = 10 A . m^{- 1}$ et $H_{c}^{dur} = 5 \times 1 0^{4} A . m^{- 1}$ , pour un même $B_{r} \approx 1 T$ . Lequel choisir pour un électroaimant ? pour un aimant permanent ? Estimer le rapport des aires (pertes).

Démonstration

L'électroaimant doit s'aimanter et se désaimanter facilement, sans mémoire : on choisit le doux ( $H_{c}$ faible). L'aimant permanent doit résister à la désaimantation : on choisit le dur ( $H_{c}$ grand). À $B_{r}$ comparable, l'aire du cycle est grossièrement $\sim B_{r} H_{c}$ ; le rapport des pertes est de l'ordre de $H_{c}^{dur} / H_{c}^{doux} = 5 \times 1 0^{4} /10 = 5000$ . Le matériau dur dissipe des milliers de fois plus par cycle : à proscrire en régime alternatif.

Exemple 5.20Aimantation d'un barreau saturé

Un barreau de fer est aimanté à saturation, $μ_{0} M_{s} = 2, 1 T$ . Estimer le nombre de magnétons de Bohr par atome, sachant que la densité atomique du fer est $n \approx 8, 5 \times 1 0^{28} m^{- 3}$ et $μ_{B} = 9, 3 \times 1 0^{- 24} A . m^{2}$ .

Démonstration

Aimantation à saturation : $M_{s} = 2, 1/ μ_{0} = 2, 1/ (4 π \times 1 0^{- 7}) \approx 1, 67 \times 1 0^{6} A . m^{- 1}$ . Moment moyen par atome : $⟨ m ⟩ = M_{s} / n = 1, 67 \times 1 0^{6} /8, 5 \times 1 0^{28} \approx 2, 0 \times 1 0^{- 23} A . m^{2}$ . En unités de magnéton : $⟨ m ⟩ / μ_{B} \approx 2, 0 \times 1 0^{- 23} /9, 3 \times 1 0^{- 24} \approx 2, 1$ . Environ 2 magnétons de Bohr par atome, en bon accord avec la valeur expérimentale ( $\approx 2, 2 μ_{B}$ pour le fer).

Exemple 5.21Champ dans l'entrefer d'un électroaimant

Un électroaimant en U (fer doux, $μ_{r} = 5000$ , ligne moyenne $ℓ = 50 c m$ ) porte $N = 800$ spires. On veut $B = 1, 2 T$ dans un entrefer $e = 2 mm$ (même section que le fer). Quel courant faut-il ?

Démonstration

Le flux est conservé, donc $B$ est le même dans le fer et l'entrefer (mêmes sections). Le théorème d'Ampère sur la ligne moyenne donne $N I = H_{fer} ℓ + H_{air} e$ , avec $H_{fer} = B / (μ_{0} μ_{r})$ et $H_{air} = B / μ_{0}$ :

$N I = \frac{B}{μ _{0}} (\frac{ℓ}{μ _{r}} + e) = \frac{1 , 2}{4 π \times 1 0 ^{- 7}} (\frac{0 , 50}{5000} + 2 \times 1 0^{- 3}) .$

Soit $N I \approx 9, 55 \times 1 0^{5} \times (1 0^{- 4} + 2 \times 1 0^{- 3}) = 9, 55 \times 1 0^{5} \times 2, 1 \times 1 0^{- 3} \approx 2000$ A.tr, d'où $I = 2000/800 = 2, 5 A$ . L'entrefer ( $2 mm$ ) fournit à lui seul l'essentiel de la f.m.m. devant les $50 c m$ de fer.

5.7 Exercices d'entraînement

Grandeurs et unités. Rappeler les dimensions et unités de $B$ , $H$ , $M$ , $χ_{m}$ , $μ_{r}$ , $R$ , $Φ$ , $E$ . Vérifier l'homogénéité de $B = μ_{0} (H + M)$ et de $E = R Φ$ .
Susceptibilité. Un matériau paramagnétique a $χ_{m} = 3 \times 1 0^{- 4}$ . Calculer $μ_{r}$ et l'écart relatif de $B$ par rapport au vide à excitation donnée. Commenter le caractère négligeable de l'effet.
Courants d'aimantation. Un barreau cylindrique (rayon $a$ , aimantation uniforme $M = M u_{z}$ le long de l'axe) est équivalent à un solénoïde. Déterminer la densité surfacique de courant d'aimantation équivalente $j_{s}$ et le champ $B$ à l'intérieur, loin des bords.
Lecture d'un cycle. Sur un cycle d'hystérésis donné, identifier $B_{r}$ , $H_{c}$ , $B_{sat}$ et la courbe de première aimantation. Estimer graphiquement l'aire et en déduire les pertes volumiques par cycle, puis la puissance volumique à $50 H z$ .
Perméabilité effective. À partir de trois points $(H, B)$ d'une courbe de première aimantation, calculer $μ_{r} = B / (μ_{0} H)$ en chaque point et montrer qu'elle décroît quand on approche la saturation.
Tore sans entrefer. Un tore ( $ℓ = 30 c m$ , $S = 5 c m^{2}$ , $μ_{r} = 1500$ ) porte $N = 400$ spires. Calculer $R$ , puis le courant nécessaire pour un flux $Φ = 6 \times 1 0^{- 4} W b$ .
Entrefer variable. Pour le tore précédent, tracer qualitativement $Φ (e)$ à courant fixé lorsque l'épaisseur de l'entrefer $e$ varie de $0$ à $5 mm$ . Où le flux chute-t-il le plus vite ?
Réluctances en série. Un circuit magnétique comporte deux tronçons de matériaux différents ( $μ_{r 1}$ , $ℓ_{1}$ ) et ( $μ_{r 2}$ , $ℓ_{2}$ ), même section $S$ , en série. Exprimer $R_{tot}$ et le flux pour une f.m.m. $N I$ imposée.
Analogie électrique. Dessiner le schéma électrique équivalent d'un circuit magnétique en U avec entrefer et deux bobines en série. Identifier f.m.m., réluctances et flux.
Pertes et fréquence. Un noyau dissipe $15 W$ par hystérésis à $50 H z$ . Quelle serait la puissance à $400 H z$ (avionique), le cycle étant supposé inchangé ? Discuter les limites de cette hypothèse.
Choix de matériau. Pour chacune des applications suivantes, indiquer s'il faut un matériau doux ou dur, et justifier : noyau de transformateur, aimant de haut-parleur, tête de lecture de disque, électroaimant de grue, blindage magnétique.
Point de Curie. Un dispositif de sécurité (« gicleur ») utilise un aimant dont la retenue cesse quand la température dépasse le point de Curie de l'alliage. Expliquer le principe et proposer un critère de choix de l'alliage.
Saturation et linéarité. On modélise un ferromagnétique par $B = μ_{0} (H + M)$ avec $M = M_{s} tanh (H / H_{0})$ . Déterminer $μ_{r}$ à faible $H$ , le comportement à grand $H$ , et esquisser $B (H)$ (courbe anhystérétique, sans mémoire).
Aimant permanent en circuit ouvert. Un aimant dur ( $B_{r}$ , $H_{c}$ ) forme un tore avec un entrefer. Écrire le théorème d'Ampère (f.m.m. nulle, pas de bobine) et la conservation du flux ; montrer que le point de fonctionnement se trouve dans le deuxième quadrant du cycle ( $H < 0$ , $B > 0$ ) et discuter l'influence de la longueur de l'entrefer.

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Milieux ferromagnétiques

5.1 Aimantation de la matière

5.1.1 Origine microscopique : les moments magnétiques atomiques

5.1.2 Les trois grands comportements magnétiques

5.2 Excitation magnétique et milieux linéaires

5.2.1 Le champ B dans la matière

5.2.2 Milieux linéaires : perméabilité relative

5.3 Le ferromagnétisme

5.3.1 Domaines de Weiss

5.3.2 Le cycle d'hystérésis

5.3.3 Pertes par hystérésis

5.3.4 Matériaux doux et matériaux durs

5.3.5 Température de Curie

5.4 Circuits magnétiques

5.4.1 Canalisation du flux

5.4.2 Loi d'Ohm magnétique

5.4.3 Rôle de l'entrefer

5.4.4 Inductance propre d'une bobine à noyau

5.4.5 Énergie magnétique en milieu linéaire

5.5 Applications

Capacité numérique : Tracer un cycle d'hystérésis

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.6 Exercices résolus

5.7 Exercices d'entraînement

5.2.1 Le champ $B$ dans la matière