Réflexion sur un conducteur, effet de peau et cavités

Cours · électromagnétisme (PT), chapitre 5 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'effet de peau : le champ pénètre dans un conducteur en décroissant sur une épaisseur δ.

Les chapitres précédents ont décrit la propagation d'une onde électromagnétique dans le vide, illimité et parfaitement transparent. Une onde réelle finit toujours par rencontrer de la matière : un métal. Deux questions se posent alors. D'abord, que se passe-t-il à l'intérieur du métal ? Nous verrons que le champ n'y pénètre que sur une pellicule superficielle qu'il atténue exponentiellement : c'est l'effet de peau. Ensuite, que devient l'onde qui frappe la surface ? Dans la limite du conducteur parfait, elle est intégralement renvoyée : la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie donne une onde stationnaire, dont les nœuds et ventres sont fixes dans l'espace.

L'objectif de ce chapitre est triple. Établir d'abord la loi d'atténuation d'une onde dans un conducteur ohmique, dans le cadre de l'ARQS magnétique, et en dégager l'épaisseur de peau $δ$ . Établir ensuite l'onde réfléchie par un plan conducteur parfait sous incidence normale, à l'aide des relations de passage, et interpréter les courants qui naissent à sa surface. Enfermer enfin le champ entre deux plans conducteurs pour former une cavité : on découvre alors que seuls certains modes propres, aux fréquences quantifiées, peuvent y subsister — exactement comme les harmoniques d'une corde de guitare. Ce parallèle avec la corde vibrante donne au chapitre une portée qui dépasse le seul électromagnétisme.

5.1 Effet de peau dans un conducteur ohmique

5.1.1 Conducteur ohmique et ARQS magnétique

Un conducteur ohmique obéit à la loi d'Ohm locale $ = γ E$ , où la conductivité $γ$ est réelle et positive (par exemple $γ \approx 6, 0 \times 1 0^{7} S / m$ pour le cuivre). Contrairement au conducteur parfait ( $γ \to \infty$ ) qui idéalise la situation, le conducteur ohmique dissipe de l'énergie par effet Joule et laisse le champ pénétrer un peu.

Définition 5.1Approximation des régimes quasi stationnaires magnétique

Dans l'ARQS magnétique, on néglige le courant de déplacement $ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ devant le courant de conduction $ = γ E$ dans l'équation de Maxwell--Ampère, qui se réduit à

$rot B = μ_{0}  = μ_{0} γ E .$

Démonstration (Justification de l'ARQS dans un métal)

Comparons les modules des deux termes pour un régime harmonique de pulsation $ω$ : courant de conduction $ = γ E$ , courant de déplacement $ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} = ε_{0} ω E$ . Leur rapport vaut

$\frac{ε _{0} ω E}{γ E} = \frac{ε _{0} ω}{γ} .$

Pour le cuivre, ce rapport n'atteint $1$ que pour $ω \sim 7 \times 1 0^{18} r a d / s$ , dans le domaine des rayons X. Jusqu'à des fréquences très élevées, le courant de déplacement est donc totalement négligeable : l'ARQS magnétique est amplement justifiée. En pratique, c'est la loi d'Ohm à $γ$ réel elle-même qui cesse de valoir bien avant, dans l'infrarouge (vers $1 0^{13} H z$ pour le cuivre), quand la période de l'onde devient comparable à la durée moyenne entre deux collisions d'un électron : l'effet de peau tel qu'il est décrit ici vaut donc de l'électrotechnique aux micro-ondes.

5.1.2 Équation de diffusion du champ

Proposition 5.2Équation de diffusion

Dans un conducteur ohmique, en ARQS magnétique, le champ obéit à une équation de diffusion :

$Δ E = μ_{0} γ \frac{\partial E}{\partial t} (idem pour B et ).$

Ce n'est pas une équation de d'Alembert : il n'y a pas de propagation à célérité définie, mais une diffusion amortie du champ dans le métal, analogue à la diffusion de la chaleur.

Démonstration (Établissement de l'équation)

On prend le rotationnel de Maxwell--Faraday $rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ :

$rot (rot E) = grad (div E) - Δ E = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B) .$

Le conducteur est localement neutre ( $div E = 0$ ), et Maxwell--Ampère en ARQS s'écrit $rot B = μ_{0} γ E$ . En reportant :

$- Δ E = - μ_{0} γ \frac{\partial E}{\partial t},$

d'où le résultat. On raisonne de même sur $B$ .

5.1.3 Épaisseur de peau

On cherche des solutions en onde plane harmonique complexe $E = E_{0} e^{j (ω t - k z)} e_{x}$ se propageant vers les $z > 0$ (le métal occupe le demi-espace $z > 0$ ), le vecteur d'onde $k$ étant a priori complexe.

Démonstration (Relation de dispersion et épaisseur de peau)

Avec $\frac{\partial}{\partial t} \to j ω$ et $\frac{\partial ^{2}}{\partial z ^{2}} \to - k^{2}$ , l'équation de diffusion donne

$- k^{2} = μ_{0} γ j ω ⟹ k^{2} = - j μ_{0} γ ω .$

On extrait la racine de partie imaginaire négative (onde amortie vers $z > 0$ ). Comme $- j = e^{- j π /2}$ , on a $k = μ_{0} γ ω e^{- j π /4} = μ_{0} γ ω \frac{1 - j}{2}$ , soit

$k = \frac{1 - j}{δ}, δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} .$

Définition 5.3Épaisseur de peau

L'épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration) d'un conducteur ohmique est

$δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} = \frac{1}{π μ _{0} γ f} .$

Le champ s'écrit alors

$E = E_{0} e^{- z / δ} e^{j (ω t - z / δ)} e_{x},$

il est à la fois amorti (facteur $e^{- z / δ}$ ) et propagatif (phase $- z / δ$ ). Sur une distance $δ$ , l'amplitude est divisée par $e \approx 2, 7$ .

ImportantLecture de l'effet de peau

Le champ, et donc le courant $ = γ E$ , se concentrent en surface sur une épaisseur de l'ordre de $δ$ . Deux conséquences :

$δ \propto 1/ f$ : plus la fréquence est élevée, plus le courant est superficiel ;
la section utile du conducteur diminue, sa résistance effective augmente avec la fréquence.

Exemple 5.4Ordres de grandeur pour le cuivre

Avec $γ = 6, 0 \times 1 0^{7} S / m$ et $δ = 1/ π μ_{0} γ f$ : $δ \approx 9, 2 mm$ à $50 H z$ , $\approx 65 μ m$ à $1 M H z$ , $\approx 2, 1 μ m$ à $1 G H z$ . À $50 H z$ , un câble de quelques millimètres de rayon est encore utilisé sur toute sa section ; à haute fréquence, le cœur du fil ne sert plus à rien. On emploie alors des câbles multibrins isolés (fil de Litz), et un mince blindage métallique suffit à confiner les ondes.

iRemarqueVers le conducteur parfait

Quand $γ \to \infty$ , $δ \to 0$ : le champ ne pénètre plus du tout. On obtient le conducteur parfait, dans lequel $E = B = 0$ ; charges et courants se répartissent sur une pellicule d'épaisseur nulle, d'où les densités surfaciques de la suite. C'est cette idéalisation qui gouverne la réflexion et les cavités.

5.2 Le modèle du conducteur parfait

5.2.1 Champ intérieur nul

Définition 5.5Conducteur parfait

Un conducteur parfait est un milieu de conductivité infinie ( $γ \to \infty$ ). Un champ électrique y induirait une densité de courant $ = γ E$ infinie : le champ électrique y est donc nécessairement nul. On admet qu'en régime variable le champ électromagnétique est intégralement nul dans le volume du conducteur :

$E_{int} = 0, B_{int} = 0 .$

5.2.2 Relations de passage à la surface

À la traversée d'une surface portant une densité surfacique de charge $σ$ et une densité surfacique de courant $_{s}$ , le champ subit des discontinuités données par les relations de passage, que l'on admet et que l'énoncé fournit.

ImportantRelations de passage (fournies)

Soit $n_{1 \to 2}$ le vecteur unitaire normal à l'interface, orienté du milieu 1 vers le milieu 2. Alors

$E_{2} - E_{1} = \frac{σ}{ε _{0}} n_{1 \to 2}, B_{2} - B_{1} = μ_{0} _{s} \land n_{1 \to 2} .$

Autrement dit : la composante tangentielle de $E$ est continue, sa composante normale subit un saut $σ / ε_{0}$ ; la composante normale de $B$ est continue, sa composante tangentielle subit un saut $μ_{0} _{s}$ .

Proposition 5.6Conditions aux limites sur un conducteur parfait

Milieu 1 = conducteur parfait ( $E_{1} = B_{1} = 0$ ), milieu 2 = vide, normale sortante $n$ dirigée du conducteur vers le vide. Au voisinage immédiat de la surface, côté vide :

$E_{∥} = 0, E_{⊥} = \frac{σ}{ε _{0}} n, B_{⊥} = 0, B_{∥} = μ_{0} _{s} \land n .$

Démonstration

On applique les relations de passage avec $E_{1} = B_{1} = 0$ et $n_{1 \to 2} = n$ . Le saut de $E$ vaut $E_{2} = (σ / ε_{0}) n$ : partie tangentielle nulle, partie normale $σ / ε_{0}$ . Le saut de $B$ vaut $B_{2} = μ_{0} _{s} \land n$ , vecteur orthogonal à $n$ : $B$ n'a donc pas de composante normale et sa composante tangentielle vaut $μ_{0} _{s} \land n$ .

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