Réflexion sur un conducteur, effet de peau et cavités

Cours complet · électromagnétisme (PT), chapitre 5 · CPGE PT (2e année)

Les chapitres précédents ont décrit la propagation d'une onde électromagnétique dans le vide, illimité et parfaitement transparent. Une onde réelle finit toujours par rencontrer de la matière : un métal. Deux questions se posent alors. D'abord, que se passe-t-il à l'intérieur du métal ? Nous verrons que le champ n'y pénètre que sur une pellicule superficielle qu'il atténue exponentiellement : c'est l'effet de peau. Ensuite, que devient l'onde qui frappe la surface ? Dans la limite du conducteur parfait, elle est intégralement renvoyée : la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie donne une onde stationnaire, dont les nœuds et ventres sont fixes dans l'espace.

L'objectif de ce chapitre est triple. Établir d'abord la loi d'atténuation d'une onde dans un conducteur ohmique, dans le cadre de l'ARQS magnétique, et en dégager l'épaisseur de peau $δ$ . Établir ensuite l'onde réfléchie par un plan conducteur parfait sous incidence normale, à l'aide des relations de passage, et interpréter les courants qui naissent à sa surface. Enfermer enfin le champ entre deux plans conducteurs pour former une cavité : on découvre alors que seuls certains modes propres, aux fréquences quantifiées, peuvent y subsister — exactement comme les harmoniques d'une corde de guitare. Ce parallèle avec la corde vibrante donne au chapitre une portée qui dépasse le seul électromagnétisme.

5.1 Effet de peau dans un conducteur ohmique

5.1.1 Conducteur ohmique et ARQS magnétique

Un conducteur ohmique obéit à la loi d'Ohm locale $ = γ E$ , où la conductivité $γ$ est réelle et positive (par exemple $γ \approx 6.0 \times 1 0^{7} S / m$ pour le cuivre). Contrairement au conducteur parfait ( $γ \to \infty$ ) qui idéalise la situation, le conducteur ohmique dissipe de l'énergie par effet Joule et laisse le champ pénétrer un peu.

Définition 5.1Approximation des régimes quasi stationnaires magnétique

Dans l'ARQS magnétique, on néglige le courant de déplacement $ε_{0} \partial_{t} E$ devant le courant de conduction $ = γ E$ dans l'équation de Maxwell--Ampère, qui se réduit à

$rot B = μ_{0}  = μ_{0} γ E .$

Démonstration (Justification de l'ARQS dans un métal)

Comparons les modules des deux termes pour un régime harmonique de pulsation $ω$ : courant de conduction $ = γ E$ , courant de déplacement $ε_{0} \partial_{t} E = ε_{0} ω E$ . Leur rapport vaut

$\frac{ε _{0} ω E}{γ E} = \frac{ε _{0} ω}{γ} .$

Pour le cuivre, ce rapport n'atteint $1$ que pour $ω \sim 7 \times 1 0^{18} r a d / s$ , dans le domaine des rayons X. Jusqu'à des fréquences très élevées, le courant de déplacement est donc totalement négligeable : l'ARQS magnétique est amplement justifiée.

5.1.2 Équation de diffusion du champ

Proposition 5.2Équation de diffusion

Dans un conducteur ohmique, en ARQS magnétique, le champ obéit à une équation de diffusion :

$Δ E = μ_{0} γ \frac{\partial E}{\partial t} (idem pour B et ).$

Ce n'est pas une équation de d'Alembert : il n'y a pas de propagation à célérité définie, mais une diffusion amortie du champ dans le métal, analogue à la diffusion de la chaleur.

Démonstration (Établissement de l'équation)

On prend le rotationnel de Maxwell--Faraday $rot E = - \partial_{t} B$ :

$rot (rot E) = grad (div E) - Δ E = - \partial_{t} (rot B) .$

Le conducteur est localement neutre ( $div E = 0$ ), et Maxwell--Ampère en ARQS s'écrit $rot B = μ_{0} γ E$ . En reportant :

$- Δ E = - μ_{0} γ \partial_{t} E,$

d'où le résultat. On raisonne de même sur $B$ .

5.1.3 Épaisseur de peau

On cherche des solutions en onde plane harmonique complexe $E = E_{0} e^{j (ω t - k z)} e_{x}$ se propageant vers les $z > 0$ (le métal occupe le demi-espace $z > 0$ ), le vecteur d'onde $k$ étant a priori complexe.

Démonstration (Relation de dispersion et épaisseur de peau)

Avec $\partial_{t} \to j ω$ et $\partial_{z}^{2} \to - k^{2}$ , l'équation de diffusion donne

$- k^{2} = μ_{0} γ j ω ⟹ k^{2} = - j μ_{0} γ ω .$

On extrait la racine de partie imaginaire négative (onde amortie vers $z > 0$ ). Comme $- j = e^{- j π /2}$ , on a $k = μ_{0} γ ω e^{- j π /4} = μ_{0} γ ω \frac{1 - j}{2}$ , soit

$k = \frac{1 - j}{δ}, δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} .$

Définition 5.3Épaisseur de peau

L'épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration) d'un conducteur ohmique est

$δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} = \frac{1}{π μ _{0} γ f} .$

Le champ s'écrit alors

$E = E_{0} e^{- z / δ} e^{j (ω t - z / δ)} e_{x},$

il est à la fois amorti (facteur $e^{- z / δ}$ ) et propagatif (phase $- z / δ$ ). Sur une distance $δ$ , l'amplitude est divisée par $e \approx 2, 7$ .

ImportantLecture de l'effet de peau

Le champ, et donc le courant $ = γ E$ , se concentrent en surface sur une épaisseur de l'ordre de $δ$ . Deux conséquences :

$δ \propto 1/ f$ : plus la fréquence est élevée, plus le courant est superficiel ;
la section utile du conducteur diminue, sa résistance effective augmente avec la fréquence.

Exemple 5.4Ordres de grandeur pour le cuivre

Avec $γ = 6.0 \times 1 0^{7} S / m$ et $δ = 1/ π μ_{0} γ f$ : $δ \approx 9.4 mm$ à $50 H z$ , $\approx 66 μ m$ à $1 M H z$ , $\approx 2 μ m$ à $1 G H z$ . À $50 H z$ , un câble de quelques millimètres de rayon est encore utilisé sur toute sa section ; à haute fréquence, le cœur du fil ne sert plus à rien. On emploie alors des câbles multibrins isolés (fil de Litz), et un mince blindage métallique suffit à confiner les ondes.

iRemarqueVers le conducteur parfait

Quand $γ \to \infty$ , $δ \to 0$ : le champ ne pénètre plus du tout. On obtient le conducteur parfait, dans lequel $E = B = 0$ ; charges et courants se répartissent sur une pellicule d'épaisseur nulle, d'où les densités surfaciques de la suite. C'est cette idéalisation qui gouverne la réflexion et les cavités.

5.2 Le modèle du conducteur parfait

5.2.1 Champ intérieur nul

Définition 5.5Conducteur parfait

Un conducteur parfait est un milieu de conductivité infinie ( $γ \to \infty$ ). Un champ électrique y induirait une densité de courant $ = γ E$ infinie : le champ électrique y est donc nécessairement nul. On admet qu'en régime variable le champ électromagnétique est intégralement nul dans le volume du conducteur :

$E_{int} = 0, B_{int} = 0 .$

5.2.2 Relations de passage à la surface

À la traversée d'une surface portant une densité surfacique de charge $σ$ et une densité surfacique de courant $_{s}$ , le champ subit des discontinuités données par les relations de passage, que l'on admet et que l'énoncé fournit.

ImportantRelations de passage (fournies)

Soit $n_{1 \to 2}$ le vecteur unitaire normal à l'interface, orienté du milieu 1 vers le milieu 2. Alors

$E_{2} - E_{1} = \frac{σ}{ε _{0}} n_{1 \to 2}, B_{2} - B_{1} = μ_{0} _{s} \land n_{1 \to 2} .$

Autrement dit : la composante tangentielle de $E$ est continue, sa composante normale subit un saut $σ / ε_{0}$ ; la composante normale de $B$ est continue, sa composante tangentielle subit un saut $μ_{0} _{s}$ .

Proposition 5.6Conditions aux limites sur un conducteur parfait

Milieu 1 = conducteur parfait ( $E_{1} = B_{1} = 0$ ), milieu 2 = vide, normale sortante $n$ dirigée du conducteur vers le vide. Au voisinage immédiat de la surface, côté vide :

$E_{∥} = 0, E_{⊥} = \frac{σ}{ε _{0}} n, B_{⊥} = 0, B_{∥} = μ_{0} _{s} \land n .$

Démonstration

On applique les relations de passage avec $E_{1} = B_{1} = 0$ et $n_{1 \to 2} = n$ . Le saut de $E$ vaut $E_{2} = (σ / ε_{0}) n$ : partie tangentielle nulle, partie normale $σ / ε_{0}$ . Le saut de $B$ vaut $B_{2} = μ_{0} _{s} \land n$ , vecteur orthogonal à $n$ : $B$ n'a donc pas de composante normale et sa composante tangentielle vaut $μ_{0} _{s} \land n$ .

ImportantÀ retenir

Sur un conducteur parfait : le champ électrique est normal à la surface (pas de composante tangentielle) et le champ magnétique est tangent à la surface (pas de composante normale). Ce sont ces deux conditions qui « pilotent » toute la réflexion.

5.3 Réflexion d'une onde plane sous incidence normale

5.3.1 Géométrie du problème

Le demi-espace $x > 0$ est vide ; le demi-espace $x < 0$ est occupé par un conducteur parfait, de surface le plan $x = 0$ et de normale sortante $n = e_{x}$ . Une onde plane progressive harmonique (OPPH), polarisée rectilignement selon $e_{y}$ , se propage vers les $x$ décroissants et vient frapper le conducteur :

$E_{i} (x, t) = E_{0} cos (ω t + k x) e_{y}, k = \frac{ω}{c} .$

L'onde ne pouvant pénétrer dans le conducteur, il naît une onde réfléchie repartant vers les $x$ croissants. Le milieu étant linéaire et l'incidence normale, elle garde la même pulsation, le même module de vecteur d'onde et la même direction de polarisation :

$E_{r} (x, t) = E_{r} cos (ω t - k x + φ) e_{y} .$

5.3.2 Détermination de l'onde réfléchie

Méthode : Exploiter la condition aux limites sur $E$

Le champ total dans le vide est $E = E_{i} + E_{r}$ . Sa composante tangentielle (ici selon $e_{y}$ , donc tout le champ) doit s'annuler sur le conducteur, en $x = 0$ , à tout instant. Cette unique condition fixe amplitude et phase de l'onde réfléchie.

Démonstration (Onde réfléchie)

La nullité de $E$ en $x = 0$ impose, pour tout $t$ :

$E_{0} cos (ω t) + E_{r} cos (ω t + φ) = 0 \forall t .$

Cette égalité valable à tout instant exige $E_{r} = E_{0}$ et $φ = π$ ; on écrit donc $E_{r} = - E_{0}$ avec $φ = 0$ . L'onde réfléchie est

$E_{r} (x, t) = - E_{0} cos (ω t - k x) e_{y} .$

Le coefficient de réflexion en amplitude du champ électrique vaut $r_{E} = - 1$ : réflexion totale avec inversion (déphasage $π$ ), analogue à la corde attachée à un mur.

iRemarqueChamps magnétiques associés

Pour une OPPH, $B = \frac{u \land E}{c}$ où $u$ est le sens de propagation. L'onde incidente ( $u = - e_{x}$ ) donne

$B_{i} = \frac{- e _{x} \land E _{i}}{c} = - \frac{E _{0}}{c} cos (ω t + k x) e_{z},$

et l'onde réfléchie ( $u = + e_{x}$ )

$B_{r} = \frac{e _{x} \land E _{r}}{c} = - \frac{E _{0}}{c} cos (ω t - k x) e_{z} .$

Contrairement au champ électrique, le champ magnétique se réfléchit sans inversion : le coefficient de réflexion en $B$ vaut $+ 1$ .

5.4 L'onde stationnaire résultante

5.4.1 Structure spatiale

Démonstration (Champs totaux)

Pour le champ électrique :

$E = E_{i} + E_{r} = E_{0} [cos (ω t + k x) - cos (ω t - k x)] e_{y} .$

Avec $cos (a + b) - cos (a - b) = - 2 sin a sin b$ (ici $a = ω t$ , $b = k x$ ) :

$E (x, t) = - 2 E_{0} sin (k x) sin (ω t) e_{y} .$

Pour le champ magnétique, avec $cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos a cos b$ :

$B = - \frac{E _{0}}{c} [cos (ω t + k x) + cos (ω t - k x)] e_{z} ⟹ B (x, t) = - \frac{2 E _{0}}{c} cos (k x) cos (ω t) e_{z} .$

Définition 5.7Onde stationnaire

Une onde stationnaire est une onde dont le champ se met sous la forme d'un produit (fonction de l'espace) $\times$ (fonction du temps) : les variables $x$ et $t$ sont séparées. La structure spatiale est figée, seule son amplitude oscille dans le temps ; aucune énergie ne se propage en moyenne.

ImportantCaractère stationnaire

Dans les deux expressions ci-dessus, il n'y a plus de terme en $ω t \pm k x$ : la structure spatiale est figée. C'est la signature d'une onde stationnaire, à opposer à l'onde progressive $cos (ω t - k x)$ où crêtes et creux se déplacent.

5.4.2 Nœuds et ventres décalés

Définition 5.8Nœud et ventre

Un nœud de vibration est un point où l'amplitude de la grandeur est constamment nulle ; un ventre est un point où cette amplitude est maximale.

Proposition 5.9Positions des nœuds et ventres

Pour $E \propto sin (k x)$ : nœuds ( $sin k x = 0$ ) en $x = 0, - λ /2, - λ, \dots$ ; ventres ( $∣ sin k x ∣ = 1$ ) en $x = - λ /4, - 3 λ /4, \dots$
Pour $B \propto cos (k x)$ : nœuds en $x = - λ /4, - 3 λ /4, \dots$ ; ventres en $x = 0, - λ /2, - λ, \dots$

ImportantDécalage de

λ /4

Les nœuds de $E$ coïncident avec les ventres de $B$ , et vice versa : les deux réseaux sont décalés d'un quart de longueur d'onde. Sur le conducteur ( $x = 0$ ) : $E$ a un nœud (cohérent avec $E_{∥} = 0$ ) et $B$ un ventre. Par ailleurs $E \propto sin (ω t)$ et $B \propto cos (ω t)$ sont déphasés de $π /2$ dans le temps : quand $E$ est maximal partout, $B$ est nul partout. L'énergie oscille sur place entre forme électrique et forme magnétique, sans se propager.

5.5 Courants et charges surfaciques

Le champ, nul dans le conducteur et non nul dans le vide, impose par les relations de passage des charges et courants localisés sur la surface $x = 0$ .

Démonstration (Charge surfacique)

La composante normale de $E$ (selon $e_{x}$ ) est ici nulle (le champ est selon $e_{y}$ , tangent). Donc

$σ = ε_{0} E_{⊥} = 0.$

Aucune charge surfacique n'apparaît pour une onde polarisée parallèlement au plan conducteur.

Démonstration (Courant surfacique)

La relation de passage sur $B$ donne $B (0^{+}) = μ_{0} _{s} \land n$ avec $n = e_{x}$ . En $x = 0$ , $B (0, t) = - \frac{2 E _{0}}{c} cos (ω t) e_{z}$ . On cherche $_{s} = j_{s} e_{y}$ : alors $_{s} \land e_{x} = j_{s} (e_{y} \land e_{x}) = - j_{s} e_{z}$ , et l'identification donne

$- μ_{0} j_{s} e_{z} = - \frac{2 E _{0}}{c} cos (ω t) e_{z} ⟹ _{s} (t) = \frac{2 E _{0}}{μ _{0} c} cos (ω t) e_{y} = 2 ε_{0} c E_{0} cos (ω t) e_{y} .$

ImportantInterprétation physique

Ce sont ces courants surfaciques oscillants qui « rayonnent » l'onde réfléchie : le champ incident met en mouvement les électrons libres de surface, et cette nappe de courant émet en retour l'onde qui repart vers $x > 0$ . La réflexion n'est donc pas passive, c'est une émission secondaire. On a $j_{s, m a x} = 2 ε_{0} c E_{0}$ , relié au champ magnétique ventral $B_{m a x} = 2 E_{0} / c = μ_{0} j_{s, m a x}$ . Dans un conducteur réel, cette nappe a l'épaisseur finie $δ$ de l'effet de peau, et la faible pénétration du champ y dissipe un peu d'énergie par effet Joule : la réflexion n'est plus tout à fait totale.

5.6 Cavité électromagnétique à une dimension

5.6.1 Deux plans conducteurs

Enfermons le champ entre deux plans conducteurs parfaits, en $x = 0$ et $x = L$ . Le champ électrique, tangent à ces plans, doit s'y annuler en permanence : deux conditions aux limites simultanées.

Démonstration (Quantification des modes)

Cherchons une onde stationnaire du champ électrique $E (x, t) = f (x) sin (ω t) e_{y}$ avec $f (x) = A sin (k x) + B cos (k x)$ (solution de l'équation de propagation, $k = ω / c$ ).

Condition en $x = 0$ : $E (0, t) = 0 \Rightarrow f (0) = 0 \Rightarrow B = 0$ , donc $f (x) = A sin (k x)$ .

Condition en $x = L$ : $E (L, t) = 0 \Rightarrow sin (k L) = 0 \Rightarrow k L = nπ$ , $n \in N^{*}$ .

Le vecteur d'onde est donc quantifié :

$k_{n} = \frac{nπ}{L}, n = 1, 2, 3, \dots$

et par $ω = c k$ , les pulsations propres sont quantifiées :

$ω_{n} = \frac{nπ c}{L}, f_{n} = \frac{n c}{2 L}, λ_{n} = \frac{2 L}{n} .$

ImportantModes propres de la cavité

Seules certaines fréquences subsistent durablement dans la cavité : ce sont ses modes propres. La condition $L = n λ_{n} /2$ signifie que la cavité contient un nombre entier de demi-longueurs d'onde. Le mode fondamental ( $n = 1$ ) contient une demi-longueur d'onde ; le mode $n$ possède $n$ ventres et $n + 1$ nœuds de $E$ (dont les deux parois). Les fréquences propres forment une suite harmonique $f_{n} = n f_{1}$ : le fondamental et ses multiples entiers.

Proposition 5.10Champ complet d'un mode

Le mode $n$ s'écrit

$E_{n} (x, t) = E_{n} sin (k_{n} x) sin (ω_{n} t) e_{y}, B_{n} (x, t) = \frac{E _{n}}{c} cos (k_{n} x) cos (ω_{n} t) e_{z} .$

Sur chaque paroi, $E$ s'annule et $B$ est maximal, ce qui est cohérent avec $E_{∥} = 0$ et l'existence de courants surfaciques sur les deux plaques.

Exemple 5.11Four à micro-ondes

Un four à micro-ondes est une cavité résonnante ( $f \approx 2.45 G H z$ , $λ \approx 12.2 c m$ ). Les ventres de champ électrique sont des points chauds, les nœuds des points froids : le plateau tournant déplace les aliments à travers ce réseau. La distance entre deux points chauds successifs (deux ventres) est $λ /2 \approx 6 c m$ .

5.6.2 Analogie avec la corde vibrante

ImportantUne même physique

La cavité EM 1D est le pendant exact de la corde vibrante fixée à ses deux extrémités : même équation d'onde, mêmes conditions aux limites (grandeur nulle aux bords), donc mêmes modes propres.

	Corde vibrante	Cavité EM 1D
Grandeur qui vibre	déplacement $y (x, t)$	champ $E (x, t)$
Célérité	$c = T / μ$	$c = 1/ μ_{0} ε_{0}$
Condition aux bords	$y = 0$ (fixe)	$E_{∥} = 0$
Quantification	$k_{n} = nπ / L$	$k_{n} = nπ / L$
Fréquences propres	$f_{n} = n c /2 L$	$f_{n} = n c /2 L$
Spectre	harmonique $f_{n} = n f_{1}$	harmonique $f_{n} = n f_{1}$

Capacité numérique : Visualiser les modes d'une cavité

On trace les premiers modes stationnaires $E_{n} (x) = sin (nπ x / L)$ pour comprendre nœuds et ventres.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

L = 1.0
x = np.linspace(0, L, 400)
for n in range(1, 4):
    plt.plot(x, np.sin(n*np.pi*x/L), label=f"mode n={n}")
plt.axhline(0, color="gray", lw=0.6)
plt.title("Modes propres d'une cavite 1D : E_n(x) = sin(n pi x / L)")
plt.xlabel("x / L"); plt.ylabel("amplitude")
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

On vérifie que le mode $n$ possède $n$ ventres et s'annule bien aux deux parois.

5.7 Synthèse du chapitre

Effet de peau (conducteur ohmique, ARQS magnétique, courant de déplacement négligé) : équation de diffusion $Δ E = μ_{0} γ \partial_{t} E$ , $k = (1 - j) / δ$ , épaisseur de peau

$δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} = \frac{1}{π μ _{0} γ f} \propto \frac{1}{f} .$

Champ amorti et propagatif, dissipation Joule, courant confiné en surface.

Conducteur parfait : $E = B = 0$ à l'intérieur. Aux bords, $E$ normal ( $E_{∥} = 0$ , $E_{⊥} = σ / ε_{0}$ ) et $B$ tangent ( $B_{⊥} = 0$ , $B_{∥} = μ_{0} _{s} \land n$ ).
Réflexion sous incidence normale : $r_{E} = - 1$ (déphasage $π$ sur $E$ ), $r_{B} = + 1$ . Réflexion totale, coefficient en énergie $R = 1$ .
Onde stationnaire :

$E = - 2 E_{0} sin (k x) sin (ω t) e_{y}, B = - \frac{2 E _{0}}{c} cos (k x) cos (ω t) e_{z} .$

Variables séparées, nœuds et ventres décalés de $λ /4$ (nœud de $E$ = ventre de $B$ ), déphasage temporel $π /2$ entre $E$ et $B$ .

Courants surfaciques : $_{s} = 2 ε_{0} c E_{0} cos (ω t) e_{y}$ ; ils rayonnent l'onde réfléchie. Charge surfacique nulle (polarisation parallèle au plan).
Cavité 1D (plans en $0$ et $L$ ) : $k_{n} = nπ / L$ , $ω_{n} = nπ c / L$ , $f_{n} = n c /2 L$ , $λ_{n} = 2 L / n$ ; la cavité contient $n$ demi-longueurs d'onde. Spectre harmonique $f_{n} = n f_{1}$ , comme la corde vibrante.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.8 Exercices résolus

Exemple 5.12Épaisseur de peau du cuivre

Estimer $δ$ du cuivre ( $γ = 6.0 \times 1 0^{7} S / m$ ) à $50 H z$ et $1.0 M H z$ . Facteur entre les deux ?

Démonstration

$δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} = \frac{1}{π μ _{0} γ f}$ . À $50 H z$ : $δ \approx 9.4 mm$ . Comme $δ \propto 1/ f$ , passer à $1 M H z$ divise $δ$ par $2 \times 1 0^{4} \approx 141$ , soit $δ \approx 66 μ m$ . Le courant se concentre en surface, d'où les câbles multibrins (fil de Litz) en haute fréquence.

Exemple 5.13Fréquence pour une épaisseur donnée

À quelle fréquence l'épaisseur de peau du cuivre vaut-elle exactement $1.0 mm$ ?

Démonstration

De $δ = 1/ π μ_{0} γ f$ on tire $f = \frac{1}{π μ _{0} γ δ ^{2}}$ . Avec $δ = 1 0^{- 3} m$ , $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7}$ et $γ = 6.0 \times 1 0^{7} S / m$ :

$f = \frac{1}{π \times 4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 6 , 0 \times 1 0 ^{7} \times 1 0 ^{- 6}} \approx 4.2 k H z .$

Au-delà de quelques kilohertz, la section utile d'un fil millimétrique se réduit sensiblement.

Exemple 5.14Puissance dissipée par effet de peau

Le champ dans le métal décroît en $e^{- z / δ}$ . Exprimer la puissance moyenne dissipée par unité de surface en fonction de $E_{0}$ (amplitude du champ en surface), $γ$ et $δ$ .

Démonstration

La puissance volumique moyenne dissipée par effet Joule est $⟨ p ⟩ = \frac{1}{2} γ E_{z}^{2}$ avec $E_{z} = E_{0} e^{- z / δ}$ , soit $⟨ p ⟩ = \frac{1}{2} γ E_{0}^{2} e^{- 2 z / δ}$ . Par unité de surface, on intègre sur $z > 0$ :

$\frac{P}{S} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2} γ E_{0}^{2} e^{- 2 z / δ} d z = \frac{1}{2} γ E_{0}^{2} \cdot \frac{δ}{2} = \frac{γ E _{0}^{2} δ}{4} .$

La dissipation est donc proportionnelle à $δ$ : plus la fréquence monte, plus $δ$ (et donc les pertes surfaciques par unité de champ) diminue, mais la résistance vue par le courant augmente.

Exemple 5.15Onde réfléchie et vérification de la condition aux limites

Retrouver $E_{r}$ pour une incidente $E_{i} = E_{0} cos (ω t + k x) e_{y}$ , puis vérifier directement sur $E = E_{i} + E_{r}$ que $E (0, t) = 0$ à tout instant.

Démonstration

La CL en $x = 0$ donne $E_{0} cos ω t + E_{r} cos (ω t + φ) = 0$ , d'où $E_{r} = - E_{0}$ , $φ = 0$ : $E_{r} = - E_{0} cos (ω t - k x) e_{y}$ , $r_{E} = - 1$ . La somme vaut $E = - 2 E_{0} sin (k x) sin (ω t) e_{y}$ ; en $x = 0$ , $sin (0) = 0$ donc $E (0, t) = 0$ pour tout $t$ . La condition $E_{∥} = 0$ est bien satisfaite en permanence.

Exemple 5.16Distance nœud--ventre

Une onde centimétrique ( $f = 10 G H z$ ) se réfléchit sur une plaque métallique. Calculer $λ$ puis la distance entre le conducteur et le premier ventre de champ électrique.

Démonstration

$λ = c / f = (3, 0 \times 1 0^{8}) /1 0^{10} = 3.0 c m$ . Le conducteur ( $x = 0$ ) est un nœud de $E$ ; le premier ventre est à $λ /4 = 0.75 c m = 7.5 mm$ . On mesurerait $λ$ en repérant deux ventres consécutifs distants de $λ /2 = 1.5 c m$ .

Exemple 5.17Courant surfacique induit

Calculer l'amplitude du courant surfacique induit par une onde d'amplitude $E_{0} = 100 V / m$ sur un conducteur parfait, et relier cette amplitude au champ magnétique en surface.

Démonstration

Sur le conducteur, $B$ a un ventre d'amplitude $B_{m a x} = 2 E_{0} / c$ . La relation de passage donne $B_{m a x} = μ_{0} j_{s, m a x}$ , d'où

$j_{s, m a x} = \frac{2 E _{0}}{μ _{0} c} = 2 ε_{0} c E_{0} = 2 \times 8, 85 \times 1 0^{- 12} \times 3, 0 \times 1 0^{8} \times 100 \approx 0.53 A / m .$

Le courant est selon $e_{y}$ , en phase avec le champ magnétique ventral ( $cos ω t$ ), donc en quadrature avec le champ électrique.

Exemple 5.18Modes d'une cavité de laboratoire

Une cavité 1D mesure $L = 15 c m$ . Calculer la fréquence fondamentale et celle du mode $n = 3$ .

Démonstration

$f_{1} = \frac{c}{2 L} = \frac{3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{2 \times 0 , 15} = 1.0 G H z$ . Le mode $n = 3$ a pour fréquence $f_{3} = 3 f_{1} = 3.0 G H z$ . Ces fréquences forment une suite harmonique : la cavité est un excellent filtre et fréquencemètre en micro-ondes.

Exemple 5.19Numéro de mode

Une cavité de longueur $L = 6 c m$ résonne à $f = 15 G H z$ . Quel est le numéro du mode et combien de nœuds de $E$ compte-t-il ?

Démonstration

$λ = c / f = (3, 0 \times 1 0^{8}) / (1, 5 \times 1 0^{10}) = 2.0 c m$ . La condition $L = nλ /2$ donne $n = 2 L / λ = (2 \times 6) /2 = 6$ : c'est le mode $n = 6$ (6 ventres de $E$ , et $n + 1 = 7$ nœuds, dont les deux parois).

5.9 Exercices d'entraînement

ARQS magnétique. Estimer la fréquence pour laquelle le courant de déplacement égale le courant de conduction dans le cuivre. Conclure sur le domaine de validité de l'équation de diffusion.

Équation de diffusion. Retrouver $Δ E = μ_{0} γ \partial_{t} E$ à partir des équations de Maxwell en ARQS, puis $k = (1 - j) / δ$ et $δ = 2/ (μ_{0} γ ω)$ .

Effet de peau. À quelle fréquence $δ$ du cuivre vaut-elle $1.0 mm$ ? Commenter le choix des sections de câbles pour le transport électrique à $50 H z$ .

Dissipation. Le champ dans le conducteur décroît en $e^{- z / δ}$ . Exprimer la puissance moyenne dissipée par unité de surface en fonction de $E_{0}$ , $γ$ et $δ$ (on intègre l'effet Joule sur $z > 0$ ).

Amortissement. Sur quelle épaisseur l'amplitude du champ est-elle divisée par $10$ ? Par $100$ ? Exprimer le résultat en fonction de $δ$ .

Relations de passage. Énoncer les quatre conditions aux limites du champ sur un conducteur parfait, en précisant l'orientation du vecteur normal.

Champ intérieur nul. Expliquer pourquoi le champ est nul dans un conducteur de conductivité infinie. Que devient l'épaisseur de peau dans cette limite ?

Onde réfléchie. Une OPPH $E_{i} = E_{0} cos (ω t + k x) e_{y}$ arrive sur un conducteur en $x = 0$ . Retrouver $E_{r}$ en imposant la CL et donner le coefficient $r_{E}$ .

Champ magnétique. Établir $B_{i}$ et $B_{r}$ à partir de $E_{i}$ et $E_{r}$ , et vérifier que le champ magnétique se réfléchit sans inversion ( $r_{B} = + 1$ ).

Onde stationnaire. À partir de $E = E_{i} + E_{r}$ , retrouver $E = - 2 E_{0} sin (k x) sin (ω t) e_{y}$ . Justifier le terme « stationnaire ».

Nœuds et ventres. Donner les positions des nœuds et ventres de $E$ et de $B$ pour $λ = 4 c m$ . Vérifier le décalage de $λ /4$ .

Déphasage temporel. Montrer que $E$ et $B$ de l'onde stationnaire sont déphasés de $π /2$ dans le temps. Interpréter en termes d'échange d'énergie.

Courant surfacique. Calculer l'amplitude du courant surfacique induit par une onde d'amplitude $E_{0} = 100 V / m$ . Préciser direction et dépendance temporelle.

Charge surfacique. Pourquoi la charge surfacique est-elle nulle pour une onde polarisée parallèlement au plan ? Dans quelle configuration serait-elle non nulle ?

Réflexion en énergie. Justifier que la réflexion sur un conducteur parfait est totale ( $R = 1$ , $T = 0$ ) et sans absorption. Que change un conducteur ohmique réel ?

Cavité — quantification. Établir $k_{n} = nπ / L$ pour une cavité entre deux plans en $x = 0$ et $x = L$ . En déduire $f_{n}$ et $λ_{n}$ .

Modes d'une cavité. Une cavité mesure $L = 10 c m$ . Calculer $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ . Combien de ventres de $E$ possède le mode $n = 4$ ?

Four à micro-ondes. À $f = 2.45 G H z$ , calculer $λ$ puis la distance entre deux points chauds successifs. Relier au rôle du plateau tournant.

Numéro de mode. Une cavité de $L = 9 c m$ résonne à $20 G H z$ . Déterminer le numéro du mode et le nombre de nœuds de $E$ .

Analogie corde vibrante. Comparer dans un tableau grandeurs, célérités, conditions aux limites et fréquences propres d'une corde fixée à ses deux bouts et d'une cavité EM 1D.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices

Réflexion sur un conducteur, effet de peau et cavités

5.1 Effet de peau dans un conducteur ohmique

5.1.1 Conducteur ohmique et ARQS magnétique

5.1.2 Équation de diffusion du champ

5.1.3 Épaisseur de peau

5.2 Le modèle du conducteur parfait

5.2.1 Champ intérieur nul

5.2.2 Relations de passage à la surface

5.3 Réflexion d'une onde plane sous incidence normale

5.3.1 Géométrie du problème

5.3.2 Détermination de l'onde réfléchie

Méthode : Exploiter la condition aux limites sur E

5.4 L'onde stationnaire résultante

5.4.1 Structure spatiale

5.4.2 Nœuds et ventres décalés

5.5 Courants et charges surfaciques

5.6 Cavité électromagnétique à une dimension

5.6.1 Deux plans conducteurs

5.6.2 Analogie avec la corde vibrante

Capacité numérique : Visualiser les modes d'une cavité

5.7 Synthèse du chapitre

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.8 Exercices résolus

5.9 Exercices d'entraînement

Méthode : Exploiter la condition aux limites sur $E$