Ondes électromagnétiques planes dans le vide

Cours · électromagnétisme (PT), chapitre 4 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une onde électromagnétique plane : les champs E et B sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation.

Au chapitre précédent, l'étude des équations de Maxwell a révélé qu'un champ électrique variable engendre un champ magnétique, et réciproquement. Ce couplage est fécond : une fois lancés, les deux champs s'entretiennent mutuellement et se propagent sans support matériel. C'est le contenu physique des équations de Maxwell dans le vide, dont ce chapitre tire la conséquence la plus spectaculaire : l'existence d'ondes électromagnétiques se propageant à la vitesse de la lumière. La lumière visible, les ondes radio, les rayons X ne sont qu'une seule et même réalité, à des fréquences différentes.

Nous établissons d'abord l'équation de propagation des champs à partir des équations de Maxwell, puis nous étudions le modèle central de tout le cours d'ondes de deuxième année : l'onde plane progressive monochromatique (OPPM). Sa structure (transversalité, trièdre $(E, B, k)$ , relation $E = c B$ ), ses états de polarisation et son bilan énergétique (vecteur de Poynting, intensité) constituent une boîte à outils réutilisée dans le chapitre suivant (conducteurs).

4.1 L'équation de propagation dans le vide

4.1.1 Les équations de Maxwell dans le vide

On se place dans une région du vide, c'est-à-dire vide de charges et de courants : la densité volumique de charge $ρ$ et le vecteur densité de courant $$ y sont nuls. Les quatre équations de Maxwell s'écrivent alors sous forme locale

$Maxwell-Gauss div E = 0, Maxwell-flux div B = 0, Maxwell-Faraday rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, Maxwell-Amp e ˋ re rot B = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

iRemarque

Le couplage entre $E$ et $B$ est porté par les deux équations à rotationnel. Le terme $μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E$ de Maxwell--Ampère (le courant de déplacement de Maxwell) est essentiel : sans lui, aucune onde ne pourrait exister dans le vide. C'est l'ajout historique de Maxwell aux lois de l'électromagnétisme.

4.1.2 Découplage : l'équation de d'Alembert

Les champs $E$ et $B$ sont couplés. Pour obtenir une équation portant sur un seul champ, on découple le système en prenant le rotationnel d'une équation de couplage.

Démonstration (Équation de propagation du champ électrique)

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell--Faraday :

$rot (rot E) = rot (- \frac{\partial B}{\partial t}) = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B) = - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}},$

où l'on a permuté les dérivations spatiale et temporelle, puis injecté Maxwell--Ampère. On utilise l'identité d'analyse vectorielle

$rot (rot E) = grad (div E) - Δ E .$

Comme $div E = 0$ dans le vide, il reste $rot (rot E) = - Δ E$ , d'où le résultat.

◆Théorème 4.1Équation de propagation des champs dans le vide

Dans le vide, chaque champ (et chacune de ses composantes cartésiennes) vérifie l'équation de d'Alembert tridimensionnelle

$Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0, Δ B - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} B}{\partial t ^{2}} = 0$

avec la célérité

$c = \frac{1}{ε _{0} μ _{0}} \approx 2, 998 \times 1 0^{8} m . s^{- 1} .$

ImportantTrois conséquences majeures

Les champs se propagent sans support matériel : le vide transporte l'onde électromagnétique. C'est la rupture décisive avec les ondes mécaniques (corde, son).
La vitesse $c = 1/ ε_{0} μ_{0}$ ne fait intervenir que des constantes électromagnétiques : elle a permis à Maxwell d'identifier la lumière comme une onde électromagnétique.
L'équation de d'Alembert est linéaire : toute superposition de solutions est solution (principe de superposition), fondement de l'analyse de Fourier des signaux.

iRemarqueUn calcul identique pour

B

Le même raisonnement, appliqué au rotationnel de Maxwell--Ampère et utilisant $div B = 0$ , donne l'équation de d'Alembert pour $B$ . Les deux champs obéissent à la même équation, avec la même célérité.

4.2 Structure de l'onde plane progressive

4.2.1 Onde plane, onde plane progressive

Définition 4.2Onde plane

Une onde est dite plane de direction $u$ (vecteur unitaire) si, à chaque instant, les champs sont uniformes sur tout plan perpendiculaire à $u$ . En choisissant $u = e_{x}$ , cela signifie que les champs ne dépendent que de $x$ et de $t$ :

$E = E (x, t), B = B (x, t) .$

Les plans $x = cte$ sont les surfaces d'onde.

Pour une onde plane, l'équation de d'Alembert se réduit à sa forme unidimensionnelle $\frac{\partial ^{2} E}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}$ , dont on connaît la solution générale.

Proposition 4.3Solutions de d'Alembert à une dimension

La solution générale de l'équation de d'Alembert à une dimension est la superposition d'une onde progressive (vers les $x$ croissants) et d'une onde régressive (vers les $x$ décroissants) :

$E (x, t) = f (t - \frac{x}{c}) + g (t + \frac{x}{c}),$

où $f$ et $g$ sont des fonctions vectorielles arbitraires. Le terme $f (t - x / c)$ représente un profil de forme invariable se translatant à la vitesse $c$ vers les $x > 0$ .

4.2.2 Transversalité

Que disent les équations de Maxwell sur la direction des champs d'une onde plane progressive (OPP) ? Elles imposent une contrainte forte : les champs sont perpendiculaires à la direction de propagation.

Démonstration (Les champs sont transverses)

Considérons une OPP se propageant selon $e_{x}$ , dont les champs ne dépendent que de $x$ et $t$ . Pour un tel champ, $\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial z} = 0$ . L'équation de Maxwell--Gauss donne

$div E = \frac{\partial E _{x}}{\partial x} + \frac{\partial E _{y}}{\partial y} + \frac{\partial E _{z}}{\partial z} = \frac{\partial E _{x}}{\partial x} = 0.$

Ainsi $E_{x}$ ne dépend pas de $x$ . De plus, la composante selon $e_{x}$ de Maxwell--Ampère (avec $B$ ne dépendant que de $x$ ) donne $\frac{\partial E _{x}}{\partial t} = 0$ : $E_{x}$ ne dépend pas non plus de $t$ . La composante $E_{x}$ est donc constante et uniforme ; comme elle ne participe pas à l'onde (un champ statique uniforme), on la prend nulle. Le même raisonnement sur $div B = 0$ donne $B_{x} = 0$ .

Proposition 4.4Transversalité

Une onde électromagnétique plane progressive dans le vide est transverse : les champs $E$ et $B$ sont contenus dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation,

$E ⊥ u, B ⊥ u .$

Il n'existe pas d'onde électromagnétique longitudinale dans le vide.

4.2.3 Relation de structure : le trièdre $(E, B, u)$

Il reste à relier $E$ et $B$ entre eux. Maxwell--Faraday fournit cette relation.

Démonstration (Relation de structure d'une OPP)

Pour une OPP se propageant selon $e_{x}$ à la vitesse $c$ , chaque champ est de la forme $E (x, t) = E (t - x / c)$ . La dérivation d'une telle fonction donne, en notant $^{'}$ la dérivée par rapport à l'argument $τ = t - x / c$ :

$\frac{\partial E}{\partial x} = - \frac{1}{c} E^{'}, \frac{\partial E}{\partial t} = E^{'} .$

Écrivons Maxwell--Faraday $rot E = - \partial_{t} B$ . Comme $E$ ne dépend que de $x$ , seul survit $rot E = e_{x} \land \frac{\partial E}{\partial x} = - \frac{1}{c} e_{x} \land E^{'}$ . Donc

$- \frac{1}{c} e_{x} \land E^{'} = - \frac{\partial B}{\partial t} = - B^{'} .$

En intégrant (les constantes correspondent à des champs statiques, écartés) :

$B = \frac{e _{x} \land E}{c} = \frac{u \land E}{c} .$

ImportantStructure d'une onde plane progressive dans le vide

Pour une OPP se propageant selon le vecteur unitaire $u$ :

les champs sont transverses : $E ⊥ u$ et $B ⊥ u$ ;
ils sont liés par la relation de structure

$B = \frac{u \land E}{c} ⟹ E = c B;$

le trièdre $(E, B, u)$ est orthogonal direct, et les champs $E$ et $B$ sont en phase (mêmes variations temporelles).

La connaissance de $E$ suffit à déterminer entièrement l'onde.

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