Équations de Maxwell

Cours · électromagnétisme (PT), chapitre 3 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les chapitres précédents ont décrit séparément le champ électrostatique créé par des charges immobiles et le champ magnétostatique créé par des courants permanents, deux domaines qui restent découplés tant que rien ne dépend du temps. James Clerk Maxwell (1831--1879) a réalisé la synthèse de ces domaines en un jeu unique de quatre équations aux dérivées partielles reliant, en tout point et à tout instant, les champs $E$ et $B$ à leurs sources locales, la densité de charge $ρ$ et la densité de courant $j$ . Ces équations constituent un postulat fondamental de la physique classique : on ne les démontre pas, on les admet, et l'on vérifie qu'elles redonnent tous les résultats connus des régimes stationnaires tout en prédisant des phénomènes nouveaux — au premier rang desquels la propagation des ondes électromagnétiques à la vitesse de la lumière.

Ce chapitre énonce les quatre équations de Maxwell, en dégage la cohérence avec les lois déjà rencontrées, introduit la notion cruciale de courant de déplacement, puis développe le bilan énergétique du champ (densité d'énergie, vecteur de Poynting) avant d'aborder l'approximation des régimes quasi-stationnaires magnétiques.

3.1 Les postulats de l'électromagnétisme

3.1.1 La force de Lorentz

L'action du champ électromagnétique sur les charges est postulée sous la forme de la force de Lorentz : une particule de charge $q$ , animée de la vitesse $v$ dans un référentiel galiléen où règnent les champs $E$ et $B$ , subit la force

$F = q (E + v \land B) .$

La composante électrique $q E$ travaille et peut modifier l'énergie cinétique ; la composante magnétique $q v \land B$ , toujours orthogonale à $v$ , ne travaille pas. Cette loi définit opérationnellement les champs : $E$ et $B$ sont les grandeurs par lesquelles la matière chargée « ressent » son environnement électromagnétique.

3.1.2 Les quatre équations locales

ImportantLes équations de Maxwell

Dans le vide (au sens : dans un milieu décrit par les seules sources $ρ$ et $j$ ), les champs $E (r, t)$ et $B (r, t)$ vérifient en tout point et à tout instant :

$Maxwell-Gauss : Maxwell-flux : Maxwell-Faraday : Maxwell-Amp e ˋ re : div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

Les constantes fondamentales sont la permittivité du vide $ε_{0} = 8, 85 \times 1 0^{- 12} F / m$ et la perméabilité du vide $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H / m$ .

Ces quatre équations se répartissent en deux groupes de nature différente :

Les équations de structure (Maxwell--flux et Maxwell--Faraday) ne font pas intervenir les sources : elles traduisent des propriétés intrinsèques des champs. La première interdit tout monopôle magnétique ; la seconde couple variation temporelle de $B$ et rotationnel de $E$ .
Les équations aux sources (Maxwell--Gauss et Maxwell--Ampère) relient les champs à la charge et au courant qui les produisent.

iRemarque

Le produit $μ_{0} ε_{0}$ a la dimension de l'inverse du carré d'une vitesse. On pose $c = 1/ μ_{0} ε_{0}$ , dont l'évaluation numérique donne $c ≃ 3, 00 \times 1 0^{8} m / s$ : la coïncidence avec la vitesse de la lumière fut l'argument décisif de Maxwell pour identifier lumière et onde électromagnétique.

3.1.3 Le courant de déplacement

Le terme $μ_{0} ε_{0} \partial E / \partial t$ ajouté par Maxwell à l'équation d'Ampère de la magnétostatique est le courant de déplacement. On définit la densité de courant de déplacement

$j_{d} = ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}, de sorte que rot B = μ_{0} (j + j_{d}) .$

Sans ce terme, l'équation d'Ampère serait incompatible avec la conservation de la charge dès que les régimes deviennent variables, comme le montre la figure fig:condensateur.

Figure : Condensateur en charge. Le courant de conduction

j

traverse la

surface plane $S_{1}$ mais non la surface bombée $S_{2}$ passant entre les armatures. Le courant de déplacement $j_{d} = ε_{0} \partial E / \partial t$

assure la continuité en traversant

S_{2}

Démonstration (Nécessité du courant de déplacement)

Prenons la divergence de l'équation de Maxwell--Ampère. Comme $div (rot B) = 0$ identiquement,

$0 = μ_{0} div j + μ_{0} ε_{0} div (\frac{\partial E}{\partial t}) = μ_{0} div j + μ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (ε_{0} div E) .$

En remplaçant $ε_{0} div E$ par $ρ$ (Maxwell--Gauss), on obtient

$div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0,$

qui est exactement l'équation locale de conservation de la charge. Sans le courant de déplacement, on aurait $div j = 0$ en tout régime, ce qui est faux dès qu'une charge s'accumule quelque part (armature d'un condensateur).

3.2 Formes intégrales et cohérence avec les régimes stationnaires

Les quatre équations locales admettent une écriture intégrale équivalente, obtenue par les théorèmes de Green--Ostrogradski (flux--divergence) et de Stokes (circulation--rotationnel).

Proposition 3.1Formes intégrales

Pour une surface fermée $Σ$ délimitant un volume $V$ , et pour un contour fermé orienté $C$ s'appuyant sur une surface $S$ :

$(th e ˊ or e ˋ me de Gauss) (conservation du flux) (loi de Faraday) (Amp e ˋ re g e ˊ n e ˊ ralis e ˊ) \oint \oint_{Σ} E \cdot d S \oint \oint_{Σ} B \cdot d S \oint_{C} E \cdot d ℓ \oint_{C} B \cdot d ℓ = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}, = 0, = - \frac{d}{d t} \iint_{S} B \cdot d S, = μ_{0} \iint_{S} (j + ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}) \cdot d S .$

3.2.1 Retour aux régimes stationnaires

En régime permanent, toutes les dérivées temporelles s'annulent : $\partial_{t} \to 0$ . Les équations de Maxwell se découplent alors en deux groupes indépendants.

Électrostatique. $div E = ρ / ε_{0}$ et $rot E = 0$ : le champ électrique est à circulation conservative, d'où l'existence d'un potentiel scalaire $E = - grad V$ , et l'on retrouve le théorème de Gauss.
Magnétostatique. $div B = 0$ et $rot B = μ_{0} j$ : on retrouve le flux conservatif du champ magnétique et le théorème d'Ampère.

3.2.2 Équations de Poisson et de Laplace de l'électrostatique

En électrostatique, la donnée conjointe de $E = - grad V$ et de l'équation de Maxwell--Gauss fournit une équation aux dérivées partielles portant sur le seul potentiel scalaire $V$ .

Proposition 3.2Équations de Poisson et de Laplace

Le potentiel électrostatique $V$ vérifie l'équation de Poisson

$Δ V = - \frac{ρ}{ε _{0}}$

En tout point vide de charge ( $ρ = 0$ ), elle se réduit à l'équation de Laplace

$Δ V = 0 .$

Démonstration

Partons de Maxwell--Gauss $div E = ρ / ε_{0}$ . En régime stationnaire $E$ dérive du potentiel : $E = - grad V$ . En reportant,

$div E = div (- grad V) = - div grad V = - Δ V,$

car $div grad = Δ$ (laplacien scalaire). L'égalité $- Δ V = ρ / ε_{0}$ donne l'équation de Poisson ; là où $ρ = 0$ , on obtient $Δ V = 0$ (Laplace).

Exemple 3.3Potentiel entre les armatures d'un condensateur plan

Entre deux armatures planes perpendiculaires à $O z$ , dans la région vide de charge, le potentiel ne dépend que de $z$ et vérifie l'équation de Laplace $\frac{d ^{2} V}{d z ^{2}} = 0$ . Son intégration donne $V (z) = a z + b$ , donc un champ $E = - grad V = - a e_{z}$ uniforme : on retrouve le champ constant du condensateur plan.

La grande nouveauté du régime variable est le couplage : Maxwell--Faraday montre qu'une variation de $B$ engendre un champ $E$ à circulation non nulle (induction), tandis que Maxwell--Ampère montre qu'une variation de $E$ engendre un champ $B$ .

Exemple 3.4Cohérence avec la loi de Faraday

La forme intégrale de Maxwell--Faraday, pour un contour fixe, s'écrit $e = \oint_{C} E \cdot d ℓ = - \frac{d Φ}{d t}$ avec $Φ = \iint_{S} B \cdot d S$ : c'est exactement la loi de Faraday de l'induction, où la f.é.m. induite est l'opposée de la variation du flux magnétique. L'équation locale contient donc l'induction comme cas particulier.

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