Rétroaction et amplificateur linéaire intégré

Cours · électronique (PSI), chapitre 2 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un amplificateur linéaire intégré monté en amplificateur non inverseur, avec son pont de résistances.

L'amplificateur linéaire intégré (ALI), ou amplificateur opérationnel, est le composant actif central de l'électronique du signal. Associé à une rétroaction bien choisie, il permet de réaliser amplification, filtrage, intégration, comparaison, mise en forme de signaux. La clé de tous ces montages est une même idée : prélever une fraction du signal de sortie et la réinjecter à l'entrée. Selon que cette réinjection s'oppose ou renforce l'écart, on parle de rétroaction négative (stabilisante) ou positive (déstabilisante). Ce chapitre établit d'abord le formalisme général de la rétroaction, puis l'applique à l'ALI idéal en régime linéaire et en régime saturé, avant de discuter les limites de l'ALI réel.

2.1 Principe de la rétroaction

2.1.1 Structure d'un système bouclé

Un système asservi met en jeu deux blocs : une chaîne directe de fonction de transfert $H$ qui amplifie l'écart, et une chaîne de retour de fonction de transfert $G$ qui prélève une image de la sortie. Un comparateur (soustracteur) forme le signal d'erreur $ε = e - r$ , où $r = G s$ est le signal de retour.

Définition 2.1Fonction de transfert en boucle fermée

On appelle fonction de transfert en boucle ouverte le produit $T = H G$ (gain de boucle). La fonction de transfert en boucle fermée relie la sortie $s$ à l'entrée $e$ :

$H_{BF} = \frac{s}{e} = \frac{H}{1 + H G} .$

Démonstration (Établissement)

Le comparateur impose $ε = e - G s$ . La chaîne directe impose $s = H ε$ . En éliminant $ε$ :

$s = H (e - G s) ⟹ s (1 + H G) = H e ⟹ \frac{s}{e} = \frac{H}{1 + H G} .$

2.1.2 Rétroaction négative et vertus de la boucle

Lorsque le retour soustrait une image de la sortie ( $1 + H G$ au dénominateur avec $H G > 0$ aux basses fréquences), la rétroaction est dite négative. Elle possède trois vertus essentielles.

Proposition 2.2Insensibilité au gain de la chaîne directe

Si le gain de boucle est grand, $∣ H G ∣ ≫ 1$ , alors

$H_{BF} = \frac{H}{1 + H G} ≃ \frac{1}{G} .$

La fonction de transfert bouclée ne dépend plus (au premier ordre) que de la chaîne de retour $G$ .

iRemarque

La chaîne de retour est en pratique constituée de composants passifs et précis (résistances, condensateurs), tandis que $H$ (le gain de l'ALI) est énorme mais mal défini et dérive avec la température. La rétroaction transfère la précision du composant instable ( $H$ ) vers le réseau stable ( $G$ ).

ImportantTrois vertus de la rétroaction négative

Stabilisation du gain : $H_{BF} ≃ 1/ G$ indépendant des dérives de $H$ .
Linéarisation : si $H$ présente des non-linéarités (distorsion), la boucle les atténue d'un facteur $\approx 1 + H G$ , car l'erreur $ε$ ajuste l'entrée pour maintenir $s$ conforme.
Élargissement de la bande passante : le produit gain $\times$ bande est conservé (cf. § sec:gainbande).

AttentionRétroaction positive

Si le retour ajoute au lieu de retrancher, le dénominateur devient $1 - H G$ . Lorsque $H G \to 1$ , $H_{BF} \to \infty$ : le système peut osciller ou basculer. C'est le principe des oscillateurs (chapitre suivant) et du comparateur à hystérésis.

2.2 L'amplificateur linéaire intégré idéal

2.2.1 Symbole, bornes et modèle idéal

L'ALI possède deux entrées, l'entrée non inverseuse ( $+$ , tension $V_{+}$ ) et l'entrée inverseuse ( $-$ , tension $V_{-}$ ), une sortie de tension $V_{s}$ , et deux bornes d'alimentation $\pm V_{cc}$ (souvent omises sur les schémas). Il amplifie la tension différentielle $ε = V_{+} - V_{-}$ .

Définition 2.3Modèle de l'ALI idéal

L'ALI idéal est défini par les hypothèses suivantes :

résistance d'entrée infinie : les courants d'entrée sont nuls, $i_{+} = i_{-} = 0$ ;
résistance de sortie nulle : la tension de sortie $V_{s}$ ne dépend pas du courant débité ;
gain différentiel infini en régime linéaire : $V_{s} = μ ε$ avec $μ \to \infty$ .

La tension de sortie est bornée par la saturation : $- V_{sat} \leq V_{s} \leq + V_{sat}$ , avec $V_{sat} ≲ V_{cc}$ .

iRemarqueOrdres de grandeur de l'ALI réel

Le gain différentiel statique vaut $μ_{0} \sim 1 0^{5}$ à $1 0^{6}$ ( $100 d B$ ), la fréquence de coupure en boucle ouverte $f_{0} \sim 10 H z$ , le produit gain-bande $μ_{0} f_{0} \sim 1 M H z$ . Le temps de réponse est de l'ordre de $1 μ s$ , la tension de saturation $V_{sat} \approx 14 V$ pour une alimentation $\pm 15 V$ .

2.2.2 Les deux régimes de fonctionnement

ImportantRégime linéaire ou saturé

Comme $μ \to \infty$ , la relation $V_{s} = μ ε$ n'a de sens fini que si $ε \to 0$ . Deux cas se présentent :

Régime linéaire : $V_{s}$ reste dans $[- V_{sat}, + V_{sat}]$ et

$ε = V_{+} - V_{-} = 0 ⟹ V_{+} = V_{-} .$

Ce régime n'est possible qu'en présence d'une rétroaction sur l'entrée inverseuse.

Régime saturé : $ε \neq = 0$ et la sortie est bloquée : $V_{s} = + V_{sat}$ si $ε > 0$ , $V_{s} = - V_{sat}$ si $ε < 0$ .

Dans tous les cas, $i_{+} = i_{-} = 0$ .

Méthode : Reconnaître le régime probable

Avant tout calcul, on examine le câblage de la rétroaction :

rétroaction (fil, résistance, condensateur) reliant la sortie à l'entrée $-$ : indice d'un régime linéaire stable, on pose $V_{+} = V_{-}$ ;
absence de rétroaction, ou rétroaction uniquement vers l'entrée $+$ : indice d'un régime saturé, on compare $V_{+}$ et $V_{-}$ pour déterminer le signe de $ε$ .

2.3 Montages fondamentaux en régime linéaire

Dans toute cette section, l'ALI est idéal et bouclé sur l'entrée $-$ : on écrit $V_{+} = V_{-}$ et $i_{+} = i_{-} = 0$ .

2.3.1 Amplificateur non inverseur

Proposition 2.4Amplificateur non inverseur

Avec une résistance $R_{2}$ entre la sortie et l'entrée $-$ , et $R_{1}$ entre l'entrée $-$ et la masse :

$\frac{s}{e} = 1 + \frac{R _{2}}{R _{1}} (\geq 1) .$

L'impédance d'entrée est infinie (le courant $i_{+} = 0$ ), l'impédance de sortie est nulle.

Exercices du chapitre

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre