Stabilité des systèmes linéaires

Cours complet · électronique (PT), chapitre 1 · CPGE PT (2e année)

« Un système n'est utile que si l'on peut prévoir, à coup sûr, qu'il finira par se calmer. »

L'électronique de deuxième année ne se contente plus de calculer le régime sinusoïdal forcé d'un filtre : elle s'intéresse à ce qui se passe avant l'établissement de ce régime, pendant le transitoire, et surtout à la question décisive de la stabilité. Un amplificateur qui se met à osciller tout seul, un asservissement qui diverge, un correcteur de puissance qui s'emballe : ce sont des systèmes instables. Ce chapitre pose le langage unifié qui décrit tous ces comportements — le langage de la fonction de transfert — et donne le critère de stabilité pour les systèmes d'ordre 1 et 2, seuls exigibles au programme de PT.

Conformément au programme, la fonction de transfert opérationnelle $H (p)$ est utilisée comme notation symbolique commode faisant le lien avec les sciences industrielles de l'ingénieur, sans jamais faire référence à la transformée de Laplace. La variable $p$ n'est pour nous qu'un raccourci d'écriture de l'opérateur de dérivation.

1.1 Systèmes linéaires, continus, invariants

1.1.1 Le modèle entrée-sortie

On modélise un dispositif (filtre, amplificateur, asservissement) par une boîte transformant un signal d'entrée $e (t)$ en un signal de sortie $s (t)$ .

Définition 1.1Système linéaire, continu, invariant

Un système entrée-sortie est dit LCI (linéaire, continu, invariant) s'il vérifie :

Linéarité : si $e_{1} \mapsto s_{1}$ et $e_{2} \mapsto s_{2}$ , alors pour tous scalaires $λ, μ$ , $λ e_{1} + μ e_{2} \mapsto λ s_{1} + μ s_{2}$ (superposition et homogénéité).
Continuité (causalité et continuité temporelle) : la sortie dépend continûment de l'entrée et à l'instant $t$ ne dépend que du passé $e (t^{'} \leq t)$ .
Invariance temporelle : si $e (t) \mapsto s (t)$ , alors $e (t - τ) \mapsto s (t - τ)$ pour tout retard $τ$ (les propriétés du système ne dépendent pas de l'origine des temps).

Important

Un système LCI est entièrement décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants reliant $s (t)$ à $e (t)$ :

$a_{n} \frac{d ^{n} s}{d t ^{n}} + \dots + a_{1} \frac{d s}{d t} + a_{0} s = b_{m} \frac{d ^{m} e}{d t ^{m}} + \dots + b_{1} \frac{d e}{d t} + b_{0} e .$

La linéarité vient de ce que l'équation est linéaire ; l'invariance, de ce que les coefficients $a_{i}, b_{j}$ sont constants (indépendants de $t$ ). L'entier $n$ (degré du membre de gauche, avec $a_{n} \neq = 0$ ) est l'ordre du système.

Exemple 1.2Le circuit RC est LCI

Pour un circuit RC série, la tension de sortie aux bornes du condensateur vérifie $R C \frac{d s}{d t} + s = e$ . Les coefficients $R C$ et $1$ sont constants : le système est bien LCI, d'ordre 1. En revanche un circuit contenant une diode ( $i = I_{s} (e^{u / U_{T}} - 1)$ ) n'est pas linéaire.

1.1.2 Non-linéarités usuelles

Un composant est linéaire tant que sa caractéristique est une droite passant par l'origine. Les écarts au modèle LCI les plus fréquents en électronique sont la saturation (l'ALI ne peut délivrer plus que $\pm V_{s a t}$ ), le seuil (diode), et l'hystérésis (comparateur, ferromagnétique). Le modèle LCI reste valide en petits signaux autour d'un point de fonctionnement.

1.2 Fonction de transfert

1.2.1 Fonction de transfert harmonique $H (j ω)$

En régime sinusoïdal forcé de pulsation $ω$ , on associe à chaque signal réel sa grandeur complexe : $e (t) = E_{0} cos (ω t) \to e = E_{0} e^{j ω t}$ , de même pour $s$ . La dérivation temporelle devient une multiplication par $j ω$ : $\frac{d}{d t} \leftrightarrow \times j ω$ .

Définition 1.3Fonction de transfert harmonique

La fonction de transfert harmonique d'un système LCI est le rapport des amplitudes complexes de sortie et d'entrée en régime sinusoïdal établi :

$H (j ω) = \frac{s}{e} .$

Son module $∣ H (j ω) ∣ = \frac{S _{0}}{E _{0}}$ est le gain, son argument $ar g H (j ω) = φ_{s} - φ_{e}$ est le déphasage sortie/entrée.

En reportant $s = H e$ dans l'équation différentielle et en remplaçant chaque dérivée par $j ω$ :

$H (j ω) = \frac{b _{0} + b _{1} ( j ω ) + \dots + b _{m} ( j ω ) ^{m}}{a _{0} + a _{1} ( j ω ) + \dots + a _{n} ( j ω ) ^{n}} .$

1.2.2 Fonction de transfert opérationnelle $H (p)$

Définition 1.4Fonction de transfert opérationnelle

On appelle fonction de transfert opérationnelle la fraction rationnelle

$H (p) = \frac{b _{0} + b _{1} p + \dots + b _{m} p ^{m}}{a _{0} + a _{1} p + \dots + a _{n} p ^{n}}$

où $p$ est la variable de Laplace, utilisée ici comme simple notation symbolique de l'opérateur de dérivation : à chaque puissance $p^{k}$ correspond une dérivée $\frac{d ^{k}}{d t ^{k}}$ . On passe de $H (p)$ à $H (j ω)$ par la substitution $p \to j ω$ .

Attention

En PT, $p$ n'est pas la variable d'une transformée de Laplace (hors programme) : c'est un opérateur de dérivation, un pur outil d'écriture qui rend l'algèbre des systèmes bouclés plus lisible. On écrit indifféremment $s ˙ \leftrightarrow p s$ et $s ¨ \leftrightarrow p^{2} s$ .

Méthode : Trois visages d'un même système

Le triangle fondamental de ce chapitre relie trois représentations équivalentes d'un système LCI :

$temporel e ˊ quation diff e ˊ rentielle d / d t \to p p \to d / d t op e ˊ rationnel H (p) p \to j ω fr e ˊ quentiel H (j ω) .$

Transposer une représentation dans une autre est la capacité exigible centrale :

Éq. diff. $\to H (p)$ : remplacer $\frac{d ^{k} s}{d t ^{k}}$ par $p^{k} s$ , factoriser $s$ et $e$ , former le rapport $H (p) = s / e$ .
$H (p) \to$ éq. diff. : écrire $H (p) = N (p) / D (p)$ , donc $D (p) s = N (p) e$ , puis rendre à chaque $p^{k}$ sa dérivée.
$H (p) \to H (j ω)$ : substituer $p \to j ω$ pour l'étude fréquentielle (diagramme de Bode).

Exemple 1.5Aller-retour sur un passe-bas du 1^er ordre

Soit $R C s ˙ + s = e$ . En posant $s ˙ \to p s$ : $(1 + R C p) s = e$ , d'où $H (p) = \frac{1}{1 + R C p}$ . Réciproquement, de $H (p) = \frac{1}{1 + τ p}$ on tire $(1 + τ p) s = e$ , soit $τ s ˙ + s = e$ . Enfin $H (j ω) = \frac{1}{1 + j τ ω}$ : gain $1/ 1 + τ^{2} ω^{2}$ , déphasage $- arctan (τ ω)$ .

1.2.3 Forme canonique

Proposition 1.6Formes canoniques usuelles

On met les fonctions de transfert sous forme normalisée faisant apparaître le gain statique $H_{0} = H (0)$ , la (les) pulsation(s) caractéristique(s) et, à l'ordre 2, le facteur d'amortissement $ξ$ (ou le facteur de qualité $Q$ ).

$Ordre 1 : Ordre 2 : H (p) = \frac{H _{0}}{1 + \frac{p}{ω _{0}}} = \frac{H _{0}}{1 + τ p}, τ = \frac{1}{ω _{0}} (constante de temps). H (p) = \frac{H _{0}}{1 + \frac{2 ξ}{ω _{0}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{0}^{2}}} = \frac{H _{0}}{1 + \frac{1}{Q} \frac{p}{ω _{0}} + \frac{p ^{2}}{ω _{0}^{2}}}, Q = \frac{1}{2 ξ} .$

1.3 Réponse d'un système du premier ordre

Considérons $τ s ˙ + s = H_{0} e$ , soumis à un échelon d'amplitude $E$ : $e (t) = E$ pour $t \geq 0$ , avec $s (0) = 0$ .

Proposition 1.7Réponse indicielle du 1^er ordre

La solution est la somme d'un régime forcé (constant) $s_{\infty} = H_{0} E$ et d'un régime libre exponentiel :

$s (t) = H_{0} E (1 - e^{- t / τ}), t \geq 0.$

La sortie tend en croissant sans dépassement vers sa valeur finale $s_{\infty}$ . La tangente à l'origine coupe l'asymptote à $t = τ$ ; à $t = τ$ , $s = 63 % s_{\infty}$ ; à $t = 3 τ$ , $s = 95 % s_{\infty}$ ; à $t = 5 τ$ , $s = 99 % s_{\infty}$ .

iRemarque

Le temps de réponse à $5 %$ , noté $t_{r}$ , est l'instant à partir duquel la sortie reste dans la bande $\pm 5 %$ autour de $s_{\infty}$ . Pour le premier ordre, $t_{r} ≃ 3 τ$ . Un système est d'autant plus rapide que $t_{r}$ est petit, donc que $τ$ est petit, donc que $ω_{0}$ est grand.

1.4 Réponse d'un système du second ordre

Considérons la forme canonique $\frac{1}{ω _{0}^{2}} s ¨ + \frac{2 ξ}{ω _{0}} s ˙ + s = H_{0} e$ , soumise à un échelon $E$ . La nature de la réponse dépend du signe du discriminant de l'équation caractéristique $\frac{r ^{2}}{ω _{0}^{2}} + \frac{2 ξ}{ω _{0}} r + 1 = 0$ , dont les racines sont $r_{\pm} = ω_{0} (- ξ \pm ξ^{2} - 1)$ .

Proposition 1.8Trois régimes de la réponse indicielle

Selon la valeur de l'amortissement $ξ > 0$ :

$ξ > 1$ (apériodique) : deux racines réelles négatives distinctes, la sortie rejoint $s_{\infty}$ sans oscillation, plus lentement que le régime critique.
$ξ = 1$ (critique) : racine double $r = - ω_{0}$ , réponse la plus rapide sans dépassement, $s (t) = H_{0} E [1 - (1 + ω_{0} t) e^{- ω_{0} t}]$ .
$ξ < 1$ (pseudo-périodique) : racines complexes conjuguées $r_{\pm} = - ξ ω_{0} \pm j ω_{0} 1 - ξ^{2}$ , la sortie oscille en dépassant $s_{\infty}$ avant de s'y stabiliser :

$s (t) = H_{0} E [1 - \frac{e ^{- ξ ω_{0} t}}{1 - ξ ^{2}} cos (ω_{0} 1 - ξ^{2} t - ψ)], tan ψ = \frac{ξ}{1 - ξ ^{2}} .$

La pseudo-pulsation est $ω_{p} = ω_{0} 1 - ξ^{2}$ .

1.4.1 Dépassement et temps de réponse en régime pseudo-périodique

Proposition 1.9Premier dépassement

En régime pseudo-périodique ( $ξ < 1$ ), le premier maximum a lieu à $t_{1} = \frac{π}{ω _{0} 1 - ξ ^{2}}$ et le dépassement relatif (en fraction de $s_{\infty}$ ) vaut

$D = \frac{s _{m a x} - s _{\infty}}{s _{\infty}} = exp (- \frac{π ξ}{1 - ξ ^{2}}) .$

Le dépassement décroît quand $ξ$ augmente : $ξ = 0, 1 \Rightarrow D ≃ 73 %$ ; $ξ = 0, 43 \Rightarrow D ≃ 20 %$ ; $ξ = 0, 7 \Rightarrow D ≃ 4, 6 %$ ; $ξ \geq 1 \Rightarrow D = 0$ .

ImportantCompromis rapidité / dépassement

Le temps de réponse à $5 %$ d'un second ordre est minimal pour $ξ \approx 0, 69$ , où $t_{r} \approx \frac{2 , 9}{ω _{0}}$ (valeur lue sur l'abaque du temps de réponse réduit), avec un dépassement d'environ $5 %$ seulement. C'est le réglage recherché en pratique : un peu de dépassement est le prix d'une réponse rapide. Un système très amorti ( $ξ ≫ 1$ ) est lent ; un système peu amorti ( $ξ ≪ 1$ ) oscille longuement. L'ingénieur vise $ξ \in [0, 5; 0, 7]$ .

1.5 Stabilité

1.5.1 Définition par le régime libre

Le régime libre d'un système est la solution de l'équation différentielle homogène (entrée nulle, conditions initiales quelconques). C'est la superposition des termes $e^{r_{k} t}$ associés aux racines $r_{k}$ de l'équation caractéristique $D (p) = 0$ , appelées pôles de la fonction de transfert.

Définition 1.10Stabilité BIBO / au sens du régime libre

Un système LCI est stable si son régime libre reste borné et tend vers zéro quand $t \to + \infty$ (retour à l'équilibre après une perturbation). Il est instable si son régime libre diverge (croît sans borne). Le cas limite d'un régime libre borné mais non amorti (oscillation entretenue) est dit marginalement stable.

◆Théorème 1.11Critère des pôles

Un système LCI est stable si et seulement si tous les pôles de $H (p)$ ont une partie réelle strictement négative :

$stable ⟺ \forall k, Re (r_{k}) < 0 .$

En effet chaque mode $e^{r_{k} t} = e^{Re (r_{k}) t} e^{j Im (r_{k}) t}$ décroît si $Re (r_{k}) < 0$ , diverge si $Re (r_{k}) > 0$ , et oscille sans s'amortir si $Re (r_{k}) = 0$ . Dans le plan complexe des pôles, la stabilité exige que tous les pôles soient dans le demi-plan gauche ouvert.

1.5.2 Critère par les signes des coefficients (ordre 1 et 2)

Le programme demande d'étudier la stabilité d'un système d'ordre 1 ou 2 directement à partir des signes des coefficients de l'équation différentielle (ou du dénominateur de $H (p)$ ), sans nécessairement calculer les pôles.

◆Théorème 1.12Critère de stabilité pour l'ordre 1 et 2

On écrit le dénominateur $D (p) = a_{0} + a_{1} p$ (ordre 1) ou $D (p) = a_{0} + a_{1} p + a_{2} p^{2}$ (ordre 2). Après avoir rendu $a_{2} > 0$ (ou $a_{1} > 0$ à l'ordre 1) par un changement de signe global :

$syst e ˋ me stable ⟺ tous les a_{i} sont strictement de m e ˆ me signe (tous > 0) .$

Ordre 1 : $a_{1} s ˙ + a_{0} s = \dots$ ; racine $r = - a_{0} / a_{1}$ . Stable $⟺ a_{0}$ et $a_{1}$ de même signe.
Ordre 2 : $a_{2} s ¨ + a_{1} s ˙ + a_{0} s = \dots$ ; les deux racines ont une partie réelle négative $⟺ a_{0}, a_{1}, a_{2}$ tous de même signe (pour un trinôme réel : somme des racines $- a_{1} / a_{2} < 0$ et produit $a_{0} / a_{2} > 0$ ).

Démonstration (Justification à l'ordre 2)

Les racines vérifient $r_{+} + r_{-} = - a_{1} / a_{2}$ et $r_{+} r_{-} = a_{0} / a_{2}$ . Si elles sont réelles, toutes deux négatives exige somme $< 0$ (soit $a_{1} / a_{2} > 0$ ) et produit $> 0$ (soit $a_{0} / a_{2} > 0$ ) : les trois coefficients de même signe. Si elles sont complexes conjuguées $r_{\pm} = σ \pm j Ω$ , leur partie réelle est $σ = - a_{1} / (2 a_{2})$ , négative $⟺ a_{1} / a_{2} > 0$ , et le produit $σ^{2} + Ω^{2} = a_{0} / a_{2} > 0$ impose $a_{0} / a_{2} > 0$ . Dans les deux cas, $a_{0}, a_{1}, a_{2}$ de même signe. $□$

AttentionUne exception : un coefficient nul ou manquant

Si un coefficient s'annule ( $a_{1} = 0$ à l'ordre 2, par exemple $s ¨ + ω_{0}^{2} s = 0$ ), les pôles sont imaginaires purs $\pm j ω_{0}$ : le régime libre oscille sans s'amortir, le système est seulement marginalement stable (oscillateur idéal). La règle « tous les coefficients strictement de même signe » est donc à prendre au sens strict : aucun coefficient ne doit être nul.

1.5.3 Stabilité d'un système bouclé (introduction)

Les systèmes réellement intéressants sont bouclés : une partie de la sortie est réinjectée à l'entrée. C'est le principe de la rétroaction étudiée au chapitre suivant. On considère une chaîne directe de fonction de transfert $H (p)$ et une chaîne de retour $G (p)$ :

Proposition 1.13Fonction de transfert en boucle fermée

Avec un retour soustractif ( $ε = e - G s$ et $s = H ε$ ), la fonction de transfert en boucle fermée est

$H_{B F} (p) = \frac{s}{e} = \frac{H ( p )}{1 + H ( p ) G ( p )} .$

Les pôles du système bouclé sont les racines de l'équation caractéristique $1 + H (p) G (p) = 0$ . Le bouclage déplace les pôles : un système ouvert stable peut, une fois bouclé, devenir instable (et réciproquement). Toute la difficulté des asservissements est là.

ImportantRétroaction sur l'entrée inverseuse de l'ALI

En anticipant le chapitre suivant : pour un montage à ALI, la présence d'une rétroaction ramenée sur la borne inverseuse ( $-$ ) est un indice de probable stabilité du régime linéaire (le signal de retour tend à corriger l'écart). Une rétroaction sur la borne non inverseuse ( $+$ ) est au contraire un indice d'instabilité (bascule, comparateur à hystérésis).

Exemple 1.14Bouclage d'un premier ordre par un gain

Soit $H (p) = \frac{A}{1 + τ p}$ (ampli du 1^er ordre) et $G (p) = β$ (retour constant). Alors $H_{B F} (p) = \frac{A}{1 + τ p + A β} = \frac{A / ( 1 + A β )}{1 + \frac{τ}{1 + A β} p}$ . Le pôle passe de $- 1/ τ$ à $- (1 + A β) / τ$ : si $A β > 0$ le système reste stable et devient plus rapide (constante de temps divisée par $1 + A β$ ), au prix d'un gain statique réduit. Le bouclage négatif échange du gain contre de la rapidité et de la stabilité.

1.6 Capacité numérique

Capacité numérique : Réponse temporelle d'un second ordre par intégration numérique

On simule la réponse indicielle du système $\frac{1}{ω _{0}^{2}} s ¨ + \frac{2 ξ}{ω _{0}} s ˙ + s = e$ en le ramenant à un système de deux équations du premier ordre $y = (s, s ˙)$ , intégré par scipy.integrate.odeint. On visualise l'influence de $ξ$ (dépassement, temps de réponse) et l'on repère la bande $\pm 5 %$ .


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

w0 = 1.0          # pulsation propre (rad/s)
E  = 1.0          # amplitude de l'echelon d'entree

def systeme(y, t, xi):
    s, ds = y                            # etat : sortie et sa derivee
    dds = w0**2 * (E - s) - 2*xi*w0*ds   # equation du 2e ordre isolee
    return [ds, dds]

t = np.linspace(0, 20, 2000)
plt.figure(figsize=(8, 5))
for xi in [0.2, 0.5, 0.7, 1.0, 2.0]:
    sol = odeint(systeme, [0.0, 0.0], t, args=(xi,))
    s = sol[:, 0]
    plt.plot(t, s, label=f"xi = {xi}")

plt.axhline(E, color="k", ls="--", lw=0.8)
plt.axhline(1.05*E, color="gray", ls=":", lw=0.8)  # bande +5 %
plt.axhline(0.95*E, color="gray", ls=":", lw=0.8)  # bande -5 %
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("s(t)")
plt.title("Reponse indicielle d'un 2e ordre selon l'amortissement")
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

# Depassement mesure pour un cas pseudo-periodique
sol = odeint(systeme, [0.0, 0.0], t, args=(0.2,))[:, 0]
D = (sol.max() - E) / E
print(f"Depassement mesure (xi=0,2) : {100*D:.1f} %")
print(f"Depassement theorique       : {100*np.exp(-np.pi*0.2/np.sqrt(1-0.2**2)):.1f} %")

Exploitation : on vérifie que le dépassement mesuré coïncide avec la formule $D = exp (- π ξ / 1 - ξ^{2})$ , que le cas $ξ = 0, 7$ minimise à peu près le temps de réponse à $5 %$ , et que $ξ \geq 1$ supprime tout dépassement.

1.7 Synthèse

Un système LCI est décrit de façon équivalente par une équation différentielle à coefficients constants, une fonction de transfert opérationnelle $H (p)$ ( $p \leftrightarrow d / d t$ , sans transformée de Laplace) et une fonction de transfert harmonique $H (j ω) = s / e$ ( $p \to j ω$ ). Transposer de l'une à l'autre est la capacité centrale.
1^er ordre : $s (t) = H_{0} E (1 - e^{- t / τ})$ , sans dépassement, $t_{r} ≃ 3 τ$ . Plus $τ$ est petit, plus le système est rapide.
2^e ordre : régime apériodique ( $ξ > 1$ ), critique ( $ξ = 1$ ) ou pseudo-périodique ( $ξ < 1$ , avec dépassement $D = e^{- π ξ / 1 - ξ^{2}}$ ). Temps de réponse minimal vers $ξ \approx 0, 7$ .
Stabilité : le régime libre reste borné et tend vers 0 $⟺$ tous les pôles de $H (p)$ ont une partie réelle strictement négative (demi-plan gauche).
Critère par les coefficients (ordre 1 et 2) : stable $⟺$ tous les coefficients du dénominateur sont strictement de même signe (aucun nul). Un coefficient nul $\Rightarrow$ oscillation entretenue (marginalement stable).
Un système bouclé a pour pôles les racines de $1 + H (p) G (p) = 0$ : le bouclage déplace les pôles et peut changer la stabilité. Rétroaction sur l'entrée $-$ de l'ALI $\Rightarrow$ probable stabilité.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.8 Exercices résolus

Exemple 1.15De l'équation différentielle à

H (p)

H (j ω)

Un système vérifie $s ¨ + 5 s ˙ + 6 s = 2 e ˙ + 12 e$ . Donner $H (p)$ , ses pôles, son gain statique, et conclure sur la stabilité.

Démonstration

On remplace $d / d t \to p$ : $(p^{2} + 5 p + 6) s = (2 p + 12) e$ , d'où $H (p) = \frac{2 p + 12}{p ^{2} + 5 p + 6} = \frac{2 ( p + 6 )}{( p + 2 ) ( p + 3 )}$ . Les pôles sont $r_{1} = - 2$ et $r_{2} = - 3$ , tous deux réels négatifs : le système est stable. Le gain statique est $H (0) = 12/6 = 2$ . Cohérent avec le critère des signes : $a_{0} = 6, a_{1} = 5, a_{2} = 1$ tous $> 0$ .

Exemple 1.16Stabilité par les signes, sans calculer les pôles

Étudier la stabilité des systèmes de dénominateurs (a) $D (p) = 3 + p$ , (b) $D (p) = p^{2} - 2 p + 5$ , (c) $D (p) = p^{2} + 4$ , (d) $- 2 p^{2} - 3 p - 1$ .

Démonstration

(a) $a_{0} = 3, a_{1} = 1$ de même signe $\Rightarrow$ stable (pôle $- 3$ ).
(b) $a_{0} = 5 > 0, a_{1} = - 2 < 0, a_{2} = 1 > 0$ : signes non concordants $\Rightarrow$ instable (pôles $1 \pm 2 j$ , partie réelle $+ 1$ ).
(c) $a_{1} = 0$ : coefficient manquant $\Rightarrow$ marginalement stable, pôles $\pm 2 j$ (oscillation entretenue).
(d) coefficients $- 1, - 3, - 2$ tous de même signe (négatif) $\Rightarrow$ stable (équivalent à $2 p^{2} + 3 p + 1$ , pôles $- 1$ et $- 1/2$ ).

Exemple 1.17Identification d'un second ordre sur sa réponse

La réponse indicielle d'un système du 2^e ordre, gain statique 1, présente un premier dépassement de $16 %$ et un premier maximum à $t_{1} = 0, 5 s$ . Déterminer $ξ$ et $ω_{0}$ .

Démonstration

De $D = e^{- π ξ / 1 - ξ^{2}} = 0, 16$ , on tire $\frac{π ξ}{1 - ξ ^{2}} = ln (1/0, 16) = 1, 83$ , donc $\frac{ξ}{1 - ξ ^{2}} = 0, 583$ , soit $ξ^{2} = 0, 254$ et $ξ \approx 0, 50$ . Puis $t_{1} = \frac{π}{ω _{0} 1 - ξ ^{2}}$ donne $ω_{0} = \frac{π}{t _{1} 1 - ξ ^{2}} = \frac{π}{0 , 5 \times 0 , 866} \approx 7, 3 rad / s$ .

Exemple 1.18Temps de réponse d'un premier ordre

Un capteur de constante de temps $τ = 20 ms$ subit un échelon. Au bout de combien de temps la sortie atteint-elle $99 %$ de sa valeur finale ? Quel est le temps de réponse à $5 %$ ?

Démonstration

$1 - e^{- t / τ} = 0, 99 \Rightarrow t = τ ln (100) = 4, 6 τ \approx 92 ms$ . Le temps de réponse à $5 %$ : $e^{- t_{r} / τ} = 0, 05 \Rightarrow t_{r} = τ ln 20 \approx 3 τ = 60 ms$ .

Exemple 1.19Effet stabilisant d'un bouclage

Une chaîne directe $H (p) = \frac{100}{1 + 0 , 1 p}$ est bouclée par un retour $β = 0, 09$ . Calculer le gain statique et la constante de temps en boucle fermée. Le système est-il plus rapide ?

Démonstration

$H_{B F} (p) = \frac{H}{1 + β H} = \frac{100}{1 + 0 , 1 p + 9} = \frac{100}{10 + 0 , 1 p} = \frac{10}{1 + 0 , 01 p}$ . Gain statique $10$ (au lieu de $100$ ), constante de temps $10 ms$ (au lieu de $100 ms$ ) : le système est dix fois plus rapide et reste stable (pôle $- 100$ ). Le bouclage a échangé du gain contre de la bande passante.

Exemple 1.20Bouclage déstabilisant d'un deuxième ordre

Un système $H (p) = \frac{K}{( 1 + p ) ^{2}}$ est bouclé par un gain unité. Étudier la stabilité du système bouclé selon $K$ .

Démonstration

Équation caractéristique : $1 + H (p) = 0 \Rightarrow (1 + p)^{2} + K = 0$ , soit $p^{2} + 2 p + (1 + K) = 0$ . Les coefficients $1, 2, (1 + K)$ doivent être strictement de même signe (positifs) pour la stabilité : $1 + K > 0$ , soit $K > - 1$ . Pour tout gain positif réaliste le système reste stable : les pôles $- 1 \pm j K$ ont toujours pour partie réelle $- 1$ . Un simple double pôle réel ne peut être déstabilisé par un gain positif — il faudrait un troisième pôle (ordre 3) pour voir apparaître une instabilité, ce qui dépasse le programme de PT.

Exemple 1.21Reconnaître l'ordre et l'amortissement sur un circuit RLC

Un circuit RLC série, tension de sortie aux bornes du condensateur, obéit à $L C s ¨ + R C s ˙ + s = e$ . Exprimer $ω_{0}$ , $ξ$ , $Q$ , et donner la condition sur $R$ pour un régime pseudo-périodique.

Démonstration

Forme canonique : $\frac{1}{ω _{0}^{2}} = L C$ donne $ω_{0} = \frac{1}{L C}$ . Le terme en $s ˙$ : $\frac{2 ξ}{ω _{0}} = R C \Rightarrow ξ = \frac{R C ω _{0}}{2} = \frac{R}{2} \frac{C}{L}$ , et $Q = \frac{1}{2 ξ} = \frac{1}{R} \frac{L}{C}$ . Régime pseudo-périodique $⟺ ξ < 1 ⟺ R < 2 L / C$ (résistance critique $R_{c} = 2 L / C$ ). Les coefficients $L C, R C, 1$ étant tous positifs, le circuit est toujours stable (dissipation par $R > 0$ ).

1.9 Exercices d'entraînement

Un système obéit à $2 s ˙ + s = 3 e$ . Donner $H (p)$ , $τ$ , le gain statique et le temps de réponse à $5 %$ .

Écrire l'équation différentielle correspondant à $H (p) = \frac{5}{1 + 4 p + p ^{2}}$ . En déduire $ω_{0}$ , $ξ$ et la nature du régime transitoire.

Étudier la stabilité des dénominateurs : (a) $p + 7$ , (b) $p^{2} + 3 p + 2$ , (c) $p^{2} - p + 1$ , (d) $p^{2} + 9$ , (e) $2 p^{2} + 5 p - 3$ .

Un second ordre a un gain statique de $4$ , $ω_{0} = 1000 rad / s$ et $ξ = 0, 1$ . Calculer le dépassement, la pseudo-pulsation et l'instant du premier maximum.

Montrer qu'un système $H (p) = \frac{H _{0}}{1 + τ p}$ soumis à une entrée en rampe $e (t) = a t$ présente en régime établi un retard constant $τ$ (erreur de traînage).

Pour le circuit RLC ( $s$ aux bornes de $C$ ), on donne $L = 10 mH$ , $C = 100 nF$ . Calculer $ω_{0}$ et la résistance critique $R_{c}$ .

Un système du 2^e ordre présente un dépassement de $5 %$ . Estimer $ξ$ , puis le temps de réponse à $5 %$ en fonction de $ω_{0}$ .

On boucle $H (p) = \frac{A}{1 + τ p}$ par $G (p) = β$ . Montrer que le produit (gain statique $\times$ bande passante) est conservé lorsque $A β ≫ 1$ .

Déterminer les pôles de $H (p) = \frac{1}{( p + 1 ) ( p + 2 ) ( p + 3 )}$ et conclure sur la stabilité.

Un asservissement a pour équation caractéristique $p^{2} + (3 - K) p + 2 = 0$ . Pour quelles valeurs de $K$ le système est-il stable ? marginalement stable ?

Tracer l'allure du diagramme des pôles dans le plan complexe pour un second ordre lorsque $ξ$ décroît de $2$ à $0$ (à $ω_{0}$ fixé) et commenter le lien avec le dépassement.

Un capteur du premier ordre ( $τ = 50 ms$ ) est monté en série avec un amplificateur idéal de gain $10$ . Le système global est-il encore du premier ordre ? Justifier et donner sa constante de temps.

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Stabilité des systèmes linéaires

1.1 Systèmes linéaires, continus, invariants

1.1.1 Le modèle entrée-sortie

1.1.2 Non-linéarités usuelles

1.2 Fonction de transfert

1.2.1 Fonction de transfert harmonique H(jω)

1.2.2 Fonction de transfert opérationnelle H(p)

Méthode : Trois visages d'un même système

1.2.3 Forme canonique

1.3 Réponse d'un système du premier ordre

1.4 Réponse d'un système du second ordre

1.4.1 Dépassement et temps de réponse en régime pseudo-périodique

1.5 Stabilité

1.5.1 Définition par le régime libre

1.5.2 Critère par les signes des coefficients (ordre 1 et 2)

1.5.3 Stabilité d'un système bouclé (introduction)

1.6 Capacité numérique

Capacité numérique : Réponse temporelle d'un second ordre par intégration numérique

1.7 Synthèse

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.8 Exercices résolus

1.9 Exercices d'entraînement

1.2.1 Fonction de transfert harmonique $H (j ω)$

1.2.2 Fonction de transfert opérationnelle $H (p)$