Stabilité des systèmes linéaires

Cours · électronique (PT), chapitre 1 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La stabilité d'un système linéaire : tous les pôles de sa fonction de transfert doivent être à gauche de l'axe imaginaire.

« Un système n'est utile que si l'on peut prévoir, à coup sûr, qu'il finira par se calmer. »

L'électronique de deuxième année ne se contente plus de calculer le régime sinusoïdal forcé d'un filtre : elle s'intéresse à ce qui se passe avant l'établissement de ce régime, pendant le transitoire, et surtout à la question décisive de la stabilité. Un amplificateur qui se met à osciller tout seul, un asservissement qui diverge, un correcteur de puissance qui s'emballe : ce sont des systèmes instables. Ce chapitre pose le langage unifié qui décrit tous ces comportements — le langage de la fonction de transfert — et donne le critère de stabilité pour les systèmes d'ordre 1 et 2, seuls exigibles au programme de PT.

Conformément au programme, la fonction de transfert opérationnelle $H (p)$ est utilisée comme notation symbolique commode faisant le lien avec les sciences industrielles de l'ingénieur, sans jamais faire référence à la transformée de Laplace. La variable $p$ n'est pour nous qu'un raccourci d'écriture de l'opérateur de dérivation.

1.1 Systèmes linéaires, continus, invariants

1.1.1 Le modèle entrée-sortie

On modélise un dispositif (filtre, amplificateur, asservissement) par une boîte transformant un signal d'entrée $e (t)$ en un signal de sortie $s (t)$ .

Définition 1.1Système linéaire, continu, invariant

Un système entrée-sortie est dit LCI (linéaire, continu, invariant) s'il vérifie :

Linéarité : si $e_{1} \mapsto s_{1}$ et $e_{2} \mapsto s_{2}$ , alors pour tous scalaires $λ, μ$ , $λ e_{1} + μ e_{2} \mapsto λ s_{1} + μ s_{2}$ (superposition et homogénéité).
Continuité (causalité et continuité temporelle) : la sortie dépend continûment de l'entrée et à l'instant $t$ ne dépend que du passé $e (t^{'} \leq t)$ .
Invariance temporelle : si $e (t) \mapsto s (t)$ , alors $e (t - τ) \mapsto s (t - τ)$ pour tout retard $τ$ (les propriétés du système ne dépendent pas de l'origine des temps).

Important

Un système LCI est entièrement décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants reliant $s (t)$ à $e (t)$ :

$a_{n} \frac{d ^{n} s}{d t ^{n}} + \dots + a_{1} \frac{d s}{d t} + a_{0} s = b_{m} \frac{d ^{m} e}{d t ^{m}} + \dots + b_{1} \frac{d e}{d t} + b_{0} e .$

La linéarité vient de ce que l'équation est linéaire ; l'invariance, de ce que les coefficients $a_{i}, b_{j}$ sont constants (indépendants de $t$ ). L'entier $n$ (degré du membre de gauche, avec $a_{n} \neq = 0$ ) est l'ordre du système.

Exemple 1.2Le circuit RC est LCI

Pour un circuit RC série, la tension de sortie aux bornes du condensateur vérifie $R C \frac{d s}{d t} + s = e$ . Les coefficients $R C$ et $1$ sont constants : le système est bien LCI, d'ordre 1. En revanche un circuit contenant une diode ( $i = I_{s} (e^{u / U_{T}} - 1)$ ) n'est pas linéaire.

1.1.2 Non-linéarités usuelles

Un composant est linéaire tant que sa caractéristique est une droite passant par l'origine. Les écarts au modèle LCI les plus fréquents en électronique sont la saturation (l'ALI ne peut délivrer plus que $\pm V_{s a t}$ ), le seuil (diode), et l'hystérésis (comparateur, ferromagnétique). Le modèle LCI reste valide en petits signaux autour d'un point de fonctionnement.

1.2 Fonction de transfert

1.2.1 Fonction de transfert harmonique $H (j ω)$

En régime sinusoïdal forcé de pulsation $ω$ , on associe à chaque signal réel sa grandeur complexe : $e (t) = E_{0} cos (ω t) \to e = E_{0} e^{j ω t}$ , de même pour $s$ . La dérivation temporelle devient une multiplication par $j ω$ : $\frac{d}{d t} \leftrightarrow \times j ω$ .

Définition 1.3Fonction de transfert harmonique

La fonction de transfert harmonique d'un système LCI est le rapport des amplitudes complexes de sortie et d'entrée en régime sinusoïdal établi :

$H (j ω) = \frac{s}{e} .$

Son module $∣ H (j ω) ∣ = \frac{S _{0}}{E _{0}}$ est le gain, son argument $ar g H (j ω) = φ_{s} - φ_{e}$ est le déphasage sortie/entrée.

En reportant $s = H e$ dans l'équation différentielle et en remplaçant chaque dérivée par $j ω$ :

$H (j ω) = \frac{b _{0} + b _{1} ( j ω ) + \dots + b _{m} ( j ω ) ^{m}}{a _{0} + a _{1} ( j ω ) + \dots + a _{n} ( j ω ) ^{n}} .$

1.2.2 Fonction de transfert opérationnelle $H (p)$

Définition 1.4Fonction de transfert opérationnelle

On appelle fonction de transfert opérationnelle la fraction rationnelle

$H (p) = \frac{b _{0} + b _{1} p + \dots + b _{m} p ^{m}}{a _{0} + a _{1} p + \dots + a _{n} p ^{n}}$

où $p$ est la variable de Laplace, utilisée ici comme simple notation symbolique de l'opérateur de dérivation : à chaque puissance $p^{k}$ correspond une dérivée $\frac{d ^{k}}{d t ^{k}}$ . On passe de $H (p)$ à $H (j ω)$ par la substitution $p \to j ω$ .

Attention

En PT, $p$ n'est pas la variable d'une transformée de Laplace (hors programme) : c'est un opérateur de dérivation, un pur outil d'écriture qui rend l'algèbre des systèmes bouclés plus lisible. On écrit indifféremment $s ˙ \leftrightarrow p s$ et $s ¨ \leftrightarrow p^{2} s$ .

Méthode : Trois visages d'un même système

Le triangle fondamental de ce chapitre relie trois représentations équivalentes d'un système LCI :

$temporel e ˊ quation diff e ˊ rentielle d / d t \to p p \to d / d t op e ˊ rationnel H (p) p \to j ω fr e ˊ quentiel H (j ω) .$

Transposer une représentation dans une autre est la capacité exigible centrale :

Éq. diff. $\to H (p)$ : remplacer $\frac{d ^{k} s}{d t ^{k}}$ par $p^{k} s$ , factoriser $s$ et $e$ , former le rapport $H (p) = s / e$ .
$H (p) \to$ éq. diff. : écrire $H (p) = N (p) / D (p)$ , donc $D (p) s = N (p) e$ , puis rendre à chaque $p^{k}$ sa dérivée.
$H (p) \to H (j ω)$ : substituer $p \to j ω$ pour l'étude fréquentielle (diagramme de Bode).

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