Rétroaction et amplificateur linéaire intégré

Cours complet · électronique (PT), chapitre 2 · CPGE PT (2e année)

L'amplificateur linéaire intégré (ALI), ou amplificateur opérationnel, est le composant actif central de l'électronique du signal. Associé à une rétroaction bien choisie, il permet de réaliser amplification, filtrage, intégration, comparaison, mise en forme de signaux. La clé de tous ces montages est une même idée : prélever une fraction du signal de sortie et la réinjecter à l'entrée. Selon que cette réinjection s'oppose ou renforce l'écart, on parle de rétroaction négative (stabilisante) ou positive (déstabilisante). Ce chapitre établit d'abord le formalisme général de la rétroaction, puis l'applique à l'ALI idéal en régime linéaire et en régime saturé, avant de discuter les limites de l'ALI réel.

2.1 Principe de la rétroaction

2.1.1 Structure d'un système bouclé

Un système asservi met en jeu deux blocs : une chaîne directe de fonction de transfert $H$ qui amplifie l'écart, et une chaîne de retour de fonction de transfert $G$ qui prélève une image de la sortie. Un comparateur (soustracteur) forme le signal d'erreur $ε = e - r$ , où $r = G s$ est le signal de retour.

Définition 2.1Fonction de transfert en boucle fermée

On appelle fonction de transfert en boucle ouverte le produit $T = H G$ (gain de boucle). La fonction de transfert en boucle fermée relie la sortie $s$ à l'entrée $e$ :

$H_{BF} = \frac{s}{e} = \frac{H}{1 + H G} .$

Démonstration (Établissement)

Le comparateur impose $ε = e - G s$ . La chaîne directe impose $s = H ε$ . En éliminant $ε$ :

$s = H (e - G s) ⟹ s (1 + H G) = H e ⟹ \frac{s}{e} = \frac{H}{1 + H G} .$

2.1.2 Rétroaction négative et vertus de la boucle

Lorsque le retour soustrait une image de la sortie ( $1 + H G$ au dénominateur avec $H G > 0$ aux basses fréquences), la rétroaction est dite négative. Elle possède trois vertus essentielles.

Proposition 2.2Insensibilité au gain de la chaîne directe

Si le gain de boucle est grand, $∣ H G ∣ ≫ 1$ , alors

$H_{BF} = \frac{H}{1 + H G} ≃ \frac{1}{G} .$

La fonction de transfert bouclée ne dépend plus (au premier ordre) que de la chaîne de retour $G$ .

iRemarque

La chaîne de retour est en pratique constituée de composants passifs et précis (résistances, condensateurs), tandis que $H$ (le gain de l'ALI) est énorme mais mal défini et dérive avec la température. La rétroaction transfère la précision du composant instable ( $H$ ) vers le réseau stable ( $G$ ).

ImportantTrois vertus de la rétroaction négative

Stabilisation du gain : $H_{BF} ≃ 1/ G$ indépendant des dérives de $H$ .
Linéarisation : si $H$ présente des non-linéarités (distorsion), la boucle les atténue d'un facteur $\approx 1 + H G$ , car l'erreur $ε$ ajuste l'entrée pour maintenir $s$ conforme.
Élargissement de la bande passante : le produit gain $\times$ bande est conservé (cf. § sec:gainbande).

AttentionRétroaction positive

Si le retour ajoute au lieu de retrancher, le dénominateur devient $1 - H G$ . Lorsque $H G \to 1$ , $H_{BF} \to \infty$ : le système peut osciller ou basculer. C'est le principe des oscillateurs (chapitre suivant) et du comparateur à hystérésis.

2.2 L'amplificateur linéaire intégré idéal

2.2.1 Symbole, bornes et modèle idéal

L'ALI possède deux entrées, l'entrée non inverseuse ( $+$ , tension $V_{+}$ ) et l'entrée inverseuse ( $-$ , tension $V_{-}$ ), une sortie de tension $V_{s}$ , et deux bornes d'alimentation $\pm V_{cc}$ (souvent omises sur les schémas). Il amplifie la tension différentielle $ε = V_{+} - V_{-}$ .

Définition 2.3Modèle de l'ALI idéal

L'ALI idéal est défini par les hypothèses suivantes :

résistance d'entrée infinie : les courants d'entrée sont nuls, $i_{+} = i_{-} = 0$ ;
résistance de sortie nulle : la tension de sortie $V_{s}$ ne dépend pas du courant débité ;
gain différentiel infini en régime linéaire : $V_{s} = μ ε$ avec $μ \to \infty$ .

La tension de sortie est bornée par la saturation : $- V_{sat} \leq V_{s} \leq + V_{sat}$ , avec $V_{sat} ≲ V_{cc}$ .

iRemarqueOrdres de grandeur de l'ALI réel

Le gain différentiel statique vaut $μ_{0} \sim 1 0^{5}$ à $1 0^{6}$ ( $100 d B$ ), la fréquence de coupure en boucle ouverte $f_{0} \sim 10 H z$ , le produit gain-bande $μ_{0} f_{0} \sim 1 M H z$ . Le temps de réponse est de l'ordre de $1 μ s$ , la tension de saturation $V_{sat} \approx 14 V$ pour une alimentation $\pm 15 V$ .

2.2.2 Les deux régimes de fonctionnement

ImportantRégime linéaire ou saturé

Comme $μ \to \infty$ , la relation $V_{s} = μ ε$ n'a de sens fini que si $ε \to 0$ . Deux cas se présentent :

Régime linéaire : $V_{s}$ reste dans $[- V_{sat}, + V_{sat}]$ et

$ε = V_{+} - V_{-} = 0 ⟹ V_{+} = V_{-} .$

Ce régime n'est possible qu'en présence d'une rétroaction sur l'entrée inverseuse.

Régime saturé : $ε \neq = 0$ et la sortie est bloquée : $V_{s} = + V_{sat}$ si $ε > 0$ , $V_{s} = - V_{sat}$ si $ε < 0$ .

Dans tous les cas, $i_{+} = i_{-} = 0$ .

Méthode : Reconnaître le régime probable

Avant tout calcul, on examine le câblage de la rétroaction :

rétroaction (fil, résistance, condensateur) reliant la sortie à l'entrée $-$ : indice d'un régime linéaire stable, on pose $V_{+} = V_{-}$ ;
absence de rétroaction, ou rétroaction uniquement vers l'entrée $+$ : indice d'un régime saturé, on compare $V_{+}$ et $V_{-}$ pour déterminer le signe de $ε$ .

2.3 Montages fondamentaux en régime linéaire

Dans toute cette section, l'ALI est idéal et bouclé sur l'entrée $-$ : on écrit $V_{+} = V_{-}$ et $i_{+} = i_{-} = 0$ .

2.3.1 Amplificateur non inverseur

Proposition 2.4Amplificateur non inverseur

Avec une résistance $R_{2}$ entre la sortie et l'entrée $-$ , et $R_{1}$ entre l'entrée $-$ et la masse :

$\frac{s}{e} = 1 + \frac{R _{2}}{R _{1}} (\geq 1) .$

L'impédance d'entrée est infinie (le courant $i_{+} = 0$ ), l'impédance de sortie est nulle.

Démonstration

L'entrée $e$ est appliquée sur $V_{+}$ , donc $V_{+} = e$ . Le régime linéaire impose $V_{-} = V_{+} = e$ . Le diviseur de tension formé par $R_{2}$ (haut) et $R_{1}$ (bas), non chargé car $i_{-} = 0$ , donne

$V_{-} = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} s .$

En égalant $V_{-} = e$ :

$e = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} s ⟹ \frac{s}{e} = \frac{R _{1} + R _{2}}{R _{1}} = 1 + \frac{R _{2}}{R _{1}} . □$

2.3.2 Montage suiveur

Proposition 2.5Suiveur

En faisant $R_{2} = 0$ (fil direct sortie $\to$ entrée $-$ ) et $R_{1} \to \infty$ (branche du bas ouverte), le gain vaut $s / e = 1$ : c'est le suiveur, $s = e$ .

iRemarqueAdaptation d'impédance

Le suiveur recopie la tension mais présente une impédance d'entrée infinie et une impédance de sortie nulle. Placé entre deux étages, il évite qu'un étage aval « charge » l'étage amont : c'est l'adaptateur d'impédance idéal, essentiel pour la mise en cascade de filtres.

2.3.3 Amplificateur inverseur

Proposition 2.6Amplificateur inverseur

Avec $R_{1}$ entre l'entrée $e$ et le nœud $A$ (entrée $-$ ), et $R_{2}$ entre $A$ et la sortie, l'entrée $+$ à la masse :

$\frac{s}{e} = - \frac{R _{2}}{R _{1}} .$

L'impédance d'entrée du montage vaut $R_{1}$ .

Démonstration

L'entrée $+$ est à la masse : $V_{+} = 0$ , donc $V_{-} = 0$ (masse virtuelle). Le courant dans $R_{1}$ vaut $i_{1} = (e - V_{-}) / R_{1} = e / R_{1}$ . Comme $i_{-} = 0$ , tout ce courant traverse $R_{2}$ : $i_{1} = i_{2}$ . Or $i_{2} = (V_{-} - s) / R_{2} = - s / R_{2}$ . D'où

$\frac{e}{R _{1}} = - \frac{s}{R _{2}} ⟹ \frac{s}{e} = - \frac{R _{2}}{R _{1}} .$

L'impédance d'entrée est $Z_{e} = e / i_{1} = R_{1}$ , car le générateur voit $R_{1}$ suivie de la masse virtuelle. $□$

Attention

Contrairement au non inverseur, l'inverseur a une impédance d'entrée finie ( $R_{1}$ ) : il charge la source. Le non inverseur (et surtout le suiveur) est préférable pour prélever une tension sans la perturber.

2.3.4 Sommateur inverseur

Proposition 2.7Sommateur inverseur

Plusieurs entrées $e_{1}, e_{2}, \dots$ attaquent la masse virtuelle à travers des résistances $R_{1}, R_{2}, \dots$ , avec un retour $R$ :

$s = - R (\frac{e _{1}}{R _{1}} + \frac{e _{2}}{R _{2}} + \dots) .$

Si toutes les résistances d'entrée sont égales à $R$ , alors $s = - (e_{1} + e_{2} + \dots)$ .

Démonstration

Masse virtuelle : $V_{-} = 0$ . Les courants d'entrée $i_{k} = e_{k} / R_{k}$ se somment au nœud (loi des nœuds, $i_{-} = 0$ ) et traversent $R$ : $\sum_{k} e_{k} / R_{k} = - s / R$ , d'où le résultat. $□$

2.3.5 Intégrateur

Proposition 2.8Intégrateur

Avec $R$ en entrée et un condensateur $C$ dans le retour :

$s (t) = - \frac{1}{R C} \int_{0}^{t} e (τ) d τ + s (0) .$

En régime sinusoïdal, $H = \frac{s}{e} = - \frac{1}{j R C ω}$ .

Démonstration

Masse virtuelle : $V_{-} = 0$ . Courant d'entrée $i = e / R$ . Ce courant charge le condensateur : la tension aux bornes de $C$ est $V_{-} - s = - s$ , et $i = C \frac{d ( V _{-} - s )}{d t} = - C \frac{d s}{d t}$ . Donc

$\frac{e}{R} = - C \frac{d s}{d t} ⟹ \frac{d s}{d t} = - \frac{e}{R C},$

et l'intégration donne le résultat. En complexe, $d / d t \to j ω$ donne $H = - 1/ (j R C ω)$ . $□$

iRemarque

L'intégrateur pur a un gain infini à fréquence nulle et dérive donc en pratique : on place une résistance $R^{'}$ en parallèle sur $C$ (intégrateur « réel »), qui limite le gain statique à $- R^{'} / R$ et stabilise le point de fonctionnement.

2.3.6 Dérivateur

Proposition 2.9Dérivateur

En échangeant les rôles de $R$ et $C$ (condensateur en entrée, résistance $R$ dans le retour) :

$s (t) = - R C \frac{d e}{d t}, H = - j R C ω .$

Démonstration

Masse virtuelle : le courant d'entrée est celui du condensateur $i = C \frac{d e}{d t}$ . Il traverse $R$ : $s = V_{-} - R i = - R C \frac{d e}{d t}$ . $□$

Attention

Le dérivateur amplifie les hautes fréquences ( $∣ H ∣ = R C ω$ croît sans borne) : il est très sensible au bruit et facilement instable. On lui adjoint une résistance série $R_{1}$ en entrée pour limiter le gain au-delà de $ω \approx 1/ (R_{1} C)$ .

Montage	Relation entrée-sortie	Impédance d'entrée
Non inverseur	$s = (1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}) e$	$\infty$
Suiveur	$s = e$	$\infty$
Inverseur	$s = - \frac{R _{2}}{R _{1}} e$	$R_{1}$
Sommateur	$s = - R \sum_{k} e_{k} / R_{k}$	$R_{k}$ (par voie)
Intégrateur	$s = - \frac{1}{R C} \int e d t$	$R$
Dérivateur	$s = - R C \frac{d e}{d t}$	$1/ (j C ω)$

2.4 Régime saturé : comparateurs

Lorsqu'il n'y a pas de rétroaction sur l'entrée $-$ , l'ALI fonctionne en comparateur : la sortie ne peut prendre que deux valeurs, $+ V_{sat}$ ou $- V_{sat}$ .

2.4.1 Comparateur simple

Proposition 2.10Comparateur à un seuil

Sans aucune rétroaction, l'entrée $e$ étant appliquée sur $V_{+}$ et une référence $V_{r e ˊ f}$ sur $V_{-}$ :

$V_{s} = {+ V_{sat} - V_{sat} si e > V_{r e ˊ f}, si e < V_{r e ˊ f} .$

La sortie change d'état au seuil unique $e = V_{r e ˊ f}$ .

Démonstration

$ε = V_{+} - V_{-} = e - V_{r e ˊ f}$ . Comme $μ \to \infty$ , $V_{s} = μ ε$ sature : $V_{s} = + V_{sat}$ dès que $ε > 0$ , soit $e > V_{r e ˊ f}$ , et inversement. $□$

Attention

Le comparateur simple est sensible au bruit : quand $e$ oscille autour de $V_{r e ˊ f}$ , la sortie bascule intempestivement de nombreuses fois. Le trigger de Schmitt corrige ce défaut.

2.4.2 Comparateur à hystérésis (trigger de Schmitt)

On réinjecte une fraction de la sortie sur l'entrée non inverseuse ( $+$ ) : c'est une rétroaction positive, qui crée deux seuils distincts.

Proposition 2.11Trigger de Schmitt inverseur

L'entrée $e$ attaque l'entrée $-$ , la sortie est réinjectée sur $+$ via le diviseur $(R_{2}, R_{1})$ vers la masse. La tension sur l'entrée $+$ vaut

$V_{+} = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} V_{s} = k V_{s}, k = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} .$

Le basculement a lieu quand $e = V_{+}$ , ce qui définit deux seuils :

$V_{haut} = + k V_{sat}, V_{bas} = - k V_{sat} .$

Démonstration

Supposons $V_{s} = + V_{sat}$ : alors $V_{+} = + k V_{sat} = V_{haut}$ . La sortie reste haute tant que $ε = V_{+} - V_{-} = V_{haut} - e > 0$ , c'est-à-dire tant que $e < V_{haut}$ . Dès que $e$ dépasse $V_{haut}$ , $ε$ change de signe et la sortie bascule à $- V_{sat}$ . Le seuil de retour vaut alors $V_{+} = - k V_{sat} = V_{bas}$ , et il faut faire redescendre $e$ sous $V_{bas}$ pour rebasculer. $□$

ImportantLargeur d'hystérésis

L'écart entre les deux seuils, $Δ = V_{haut} - V_{bas} = 2 k V_{sat}$ , est la largeur du cycle d'hystérésis. Tant que le bruit reste d'amplitude inférieure à $Δ$ , la sortie ne bascule plus intempestivement : le trigger « immunise » la détection de seuil contre le bruit.

iRemarque

Pour un signal d'entrée sinusoïdal, la sortie du comparateur est un signal carré : le caractère non-linéaire du système génère des harmoniques absentes de l'entrée. C'est la base de la mise en forme et de la génération de signaux (multivibrateurs, chapitre suivant).

2.5 L'ALI réel : produit gain-bande et limites

2.5.1 Modèle du premier ordre

Définition 2.12ALI réel du premier ordre

En régime linéaire, l'ALI réel a un gain différentiel non infini, modélisé par un passe-bas du premier ordre :

$μ (ω) = \frac{μ _{0}}{1 + j \frac{ω}{ω _{0}}},$

où $μ_{0} \sim 1 0^{5}$ est le gain statique et $f_{0} = ω_{0} /2 π \sim 10 H z$ la fréquence de coupure en boucle ouverte. Le produit gain-bande $μ_{0} f_{0}$ est une constante caractéristique du composant.

◆Théorème 2.13Conservation du produit gain-bande

Pour le montage non inverseur de gain statique $A_{0} = 1 + R_{2} / R_{1}$ , la fréquence de coupure du montage bouclé $f_{c}$ vérifie

$A_{0} \times f_{c} = μ_{0} \times f_{0} = constante .$

Amplifier davantage réduit d'autant la bande passante.

Démonstration

La chaîne de retour du non inverseur vaut $G = R_{1} / (R_{1} + R_{2}) = 1/ A_{0}$ . La fonction de transfert bouclée est

$H_{BF} = \frac{μ}{1 + μ G} = \frac{μ _{0} / ( 1 + j ω / ω _{0} )}{1 + \frac{μ _{0} G}{1 + j ω / ω _{0}}} = \frac{μ _{0}}{1 + μ _{0} G + j ω / ω _{0}} .$

En divisant par $(1 + μ_{0} G)$ :

$H_{BF} = \frac{\frac{μ _{0}}{1 + μ _{0} G}}{1 + j \frac{ω}{ω _{0} ( 1 + μ _{0} G )}} .$

On lit un gain statique $A_{0} = \frac{μ _{0}}{1 + μ _{0} G} ≃ 1/ G$ et une pulsation de coupure $ω_{c} = ω_{0} (1 + μ_{0} G) ≃ ω_{0} μ_{0} G = ω_{0} μ_{0} / A_{0}$ . Donc $A_{0} ω_{c} = μ_{0} ω_{0}$ , soit $A_{0} f_{c} = μ_{0} f_{0}$ . $□$

Exemple 2.14Application numérique

Un ALI de produit gain-bande $μ_{0} f_{0} = 1 M H z$ monté en non inverseur de gain $A_{0} = 100$ a une bande passante $f_{c} = 1 M H z /100 = 10 k H z$ . En gain $A_{0} = 10$ , on obtient $f_{c} = 100 k H z$ .

2.5.2 Autres limitations

ImportantVitesse limite de balayage et saturation en courant

Vitesse limite de balayage (slew rate) : la sortie ne peut varier plus vite qu'une pente maximale $σ = \frac{d V _{s}}{d t}_{m a x}$ (typiquement $1 V / μ s$ ). Pour un signal sinusoïdal $V_{s} = V_{m} sin (ω t)$ , la pente maximale $V_{m} ω$ doit rester $\leq σ$ : au-delà, la sinusoïde est déformée en triangle.
Saturation de l'intensité de sortie : le courant débité est borné ( $∣ i_{s} ∣ \leq I_{m a x}$ , quelques $m A$ à quelques dizaines de $m A$ ). Une charge trop faible en sortie limite l'excursion de tension utile.

Ces effets se détectent expérimentalement : un signal qui « triangularise » aux fortes amplitudes trahit le slew rate ; un écrêtage précoce sous faible résistance de charge trahit la saturation en courant.

2.5.3 Stabilité : rétroaction sur la bonne entrée

Proposition 2.15Critère qualitatif de stabilité

Une rétroaction négative (sur l'entrée $-$ ) tend à ramener $ε$ vers zéro : elle stabilise le régime linéaire. Une rétroaction positive (sur l'entrée $+$ ) tend à amplifier $ε$ : elle pousse vers la saturation. D'où la règle pratique :

rétroaction sur $-$ seule $\Rightarrow$ probable régime linéaire stable ;
rétroaction sur $+$ seule (ou aucune) $\Rightarrow$ probable régime saturé.

Attention

La règle est qualitative. En présence des deux rétroactions (comme dans certains oscillateurs), ou d'un déphasage supplémentaire aux hautes fréquences, l'analyse fine passe par l'étude du dénominateur $1 + μ G$ : le système est instable si ce dénominateur s'annule pour une pulsation réelle (condition de Barkhausen, cf. chapitre oscillateurs).

Capacité numérique : Réponse d'un montage à ALI

Simuler en Python la réponse temporelle d'un intégrateur à ALI (schéma d'Euler sur $d s / d t = - e / R C$ ) et la déformation d'une sinusoïde par le slew rate (limitation de la pente à chaque pas). Comparer, sur le tracé de Bode du non inverseur, la coupure prédite par $A_{0} f_{c} = μ_{0} f_{0}$ .

Boucle fermée : $H_{BF} = \frac{H}{1 + H G}$ ; si $∣ H G ∣ ≫ 1$ , $H_{BF} ≃ 1/ G$ (gain fixé par la chaîne de retour).
La rétroaction négative stabilise le gain, linéarise et élargit la bande passante.
ALI idéal : $i_{+} = i_{-} = 0$ , gain infini. Régime linéaire (rétroaction sur $-$ ) $\Rightarrow$ $V_{+} = V_{-}$ ; régime saturé $\Rightarrow$ $V_{s} = \pm V_{sat}$ .
Montages linéaires : non inverseur $1 + R_{2} / R_{1}$ , suiveur $1$ , inverseur $- R_{2} / R_{1}$ , sommateur, intégrateur $- \frac{1}{R C} \int$ , dérivateur $- R C d / d t$ .
Comparateur simple : un seuil. Trigger de Schmitt (rétroaction sur $+$ ) : deux seuils $\pm k V_{sat}$ , $k = R_{1} / (R_{1} + R_{2})$ , largeur d'hystérésis $2 k V_{sat}$ .
ALI réel : produit gain-bande $A_{0} f_{c} = μ_{0} f_{0}$ constant ; limites = slew rate et saturation en courant.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.6 Exercices résolus

Exemple 2.16Amplificateur non inverseur : dimensionnement

On veut un gain $A_{0} = 21$ avec $R_{1} = 1 k Ω$ . Quelle valeur de $R_{2}$ ?

Démonstration

$A_{0} = 1 + R_{2} / R_{1} = 21 \Rightarrow R_{2} / R_{1} = 20 \Rightarrow R_{2} = 20 k Ω$ . Avec un produit gain-bande de $1 M H z$ , la bande passante vaut $f_{c} = 1 M H z /21 \approx 48 k H z$ . $□$

Exemple 2.17Masse virtuelle de l'inverseur

Dans l'inverseur ( $R_{1} = 2 k Ω$ , $R_{2} = 10 k Ω$ ), on applique $e = 0.5 V$ . Calculer $s$ , le courant $i_{1}$ et vérifier que $V_{-} = 0$ .

Démonstration

$s = - \frac{R _{2}}{R _{1}} e = - 5 \times 0, 5 = - 2.5 V$ . Le courant $i_{1} = e / R_{1} = 0, 5/2000 = 0.25 m A$ traverse $R_{2}$ : la chute vaut $R_{2} i_{1} = 10000 \times 0, 25 \cdot 1 0^{- 3} = 2.5 V$ , cohérente avec $V_{-} - s = 0 - (- 2, 5) = 2.5 V$ . La masse virtuelle $V_{-} = V_{+} = 0$ est confirmée. $□$

Exemple 2.18Sommateur : moyenne pondérée

Réaliser $s = - (2 e_{1} + 5 e_{2})$ avec un retour $R = 10 k Ω$ . Donner $R_{1}$ et $R_{2}$ .

Démonstration

$s = - R (e_{1} / R_{1} + e_{2} / R_{2})$ . On identifie $R / R_{1} = 2 \Rightarrow R_{1} = 5 k Ω$ et $R / R_{2} = 5 \Rightarrow R_{2} = 2 k Ω$ . $□$

Exemple 2.19Intégrateur soumis à un échelon

Un intégrateur ( $R = 10 k Ω$ , $C = 100 n F$ ) reçoit $e = 1 V$ constant, $s (0) = 0$ . Donner $s (t)$ et le temps pour atteindre $s = - 10 V$ .

Démonstration

$s (t) = - \frac{1}{R C} \int_{0}^{t} e d τ = - \frac{e}{R C} t$ . Ici $R C = 1 0^{4} \times 1 0^{- 7} = 1 m s$ , donc $s (t) = - 1000 t$ (V, $t$ en s), soit une rampe de pente $- 1000 V / s$ . On atteint $- 10 V$ en $t = 10 m s$ (avant saturation si $V_{sat} > 10 V$ ). $□$

Exemple 2.20Seuils d'un trigger de Schmitt

Trigger inverseur : $R_{1} = 1 k Ω$ , $R_{2} = 9 k Ω$ , $V_{sat} = 15 V$ . Donner les seuils et la largeur d'hystérésis.

Démonstration

$k = R_{1} / (R_{1} + R_{2}) = 1/10 = 0, 1$ . Seuils $V_{haut} = + 0, 1 \times 15 = 1.5 V$ et $V_{bas} = - 1.5 V$ . Largeur $Δ = 2 k V_{sat} = 3 V$ : tout bruit d'amplitude $< 1.5 V$ autour d'un seuil ne provoque plus de rebasculement. $□$

Exemple 2.21Produit gain-bande

Un ALI de gain statique $μ_{0} = 2 \cdot 1 0^{5}$ et de coupure $f_{0} = 8 H z$ est monté en non inverseur. Quel gain maximal $A_{0}$ permet une bande passante d'au moins $20 k H z$ (audio) ?

Démonstration

Produit gain-bande $μ_{0} f_{0} = 2 \cdot 1 0^{5} \times 8 = 1.6 M H z$ . La contrainte $A_{0} f_{c} = μ_{0} f_{0}$ avec $f_{c} \geq 20 k H z$ donne $A_{0} \leq \frac{1 , 6 \cdot 1 0 ^{6}}{2 \cdot 1 0 ^{4}} = 80$ . Le gain maximal est $A_{0} = 80$ . $□$

Exemple 2.22Détection du slew rate

Slew rate $σ = 1 V / μ s$ . À quelle fréquence une sinusoïde d'amplitude $V_{m} = 10 V$ commence-t-elle à être déformée ?

Démonstration

La pente maximale d'une sinusoïde est $V_{m} ω = V_{m} 2 π f$ . La déformation apparaît quand $V_{m} 2 π f = σ$ , soit $f = \frac{σ}{2 π V _{m}} = \frac{1 0 ^{6}}{2 π \times 10} \approx 16 k H z$ . Au-delà, la sinusoïde « triangularise ». $□$

Exemple 2.23Impédances et mise en cascade

Pourquoi insère-t-on un suiveur entre un filtre passif $R C$ passe-bas et un second filtre identique ?

Démonstration

Sans suiveur, le second $R C$ charge le premier : le diviseur de tension est modifié, la fonction de transfert n'est plus le produit des deux transferts isolés. Le suiveur, d'impédance d'entrée infinie et de sortie nulle, « isole » les étages : chaque filtre voit une source idéale et une charge infinie, si bien que le transfert global est le produit exact des transferts. C'est l'intérêt des montages de forte impédance d'entrée et faible impédance de sortie. $□$

2.7 Exercices d'entraînement

Non inverseur. Établir $s / e = 1 + R_{2} / R_{1}$ en repartant de $V_{+} = V_{-}$ et du diviseur de tension. Que devient le montage si $R_{1} \to \infty$ ?
Inverseur généralisé. Remplacer $R_{1}$ et $R_{2}$ par des impédances $Z_{1}$ et $Z_{2}$ . Montrer que $H = - Z_{2} / Z_{1}$ et retrouver l'intégrateur et le dérivateur comme cas particuliers.
Amplificateur de différence. Deux entrées $e_{1}$ (via $R$ sur $-$ ) et $e_{2}$ (via $R$ sur $+$ , ce dernier relié à la masse par $R$ ), retour $R$ sur $-$ . Établir $s = e_{2} - e_{1}$ .
Sommateur non inverseur. Deux entrées $e_{1}, e_{2}$ appliquées via des résistances égales sur l'entrée $+$ , gain fixé par $R_{1}, R_{2}$ sur $-$ . Établir la relation entrée-sortie.
Convertisseur courant-tension. Une photodiode débite un courant $i$ dans le retour $R$ , l'entrée $+$ à la masse. Montrer que $s = - R i$ et commenter l'impédance d'entrée (nulle).
Intégrateur réel. On place $R^{'}$ en parallèle sur $C$ . Établir $H = - \frac{R ^{'} / R}{1 + j R ^{'} C ω}$ et donner le gain statique et la coupure.
Dérivateur amélioré. Ajouter $R_{1}$ en série avec $C$ en entrée. Établir la fonction de transfert et montrer que le gain est borné aux hautes fréquences.
Filtre passe-bande à ALI. Entrée par $R_{1}$ et $C_{1}$ en série, retour $R_{2} ∥ C_{2}$ . Établir $H$ et identifier la nature du filtre.
Trigger non inverseur. Entrée $e$ sur $+$ via $R_{1}$ , retour de $s$ sur $+$ via $R_{2}$ , entrée $-$ à la masse. Établir les deux seuils $\pm \frac{R _{1}}{R _{2}} V_{sat}$ .
Comparateur à référence. Comparateur simple avec $V_{r e ˊ f} = 2 V$ sur $-$ et $e (t) = 3 sin (ω t)$ sur $+$ . Tracer $V_{s} (t)$ et donner le rapport cyclique du signal de sortie.
Multivibrateur astable. Un trigger de Schmitt inverseur dont l'entrée $-$ est chargée par un $R C$ depuis la sortie oscille spontanément. Établir la période $T = 2 R C ln (\frac{1 + k}{1 - k})$ avec $k = R_{1} / (R_{1} + R_{2})$ .
Gain-bande d'un inverseur. Montrer que pour l'inverseur de gain $- R_{2} / R_{1}$ , la coupure bouclée vérifie $(1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}) f_{c} = μ_{0} f_{0}$ (le facteur de bruit est $1 + R_{2} / R_{1}$ , non $R_{2} / R_{1}$ ).

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