Oscillateurs

Cours · électronique (PT), chapitre 3 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le démarrage d'un oscillateur : l'amplitude croît depuis le bruit, puis se stabilise quand l'amplificateur sature.

Comment un circuit alimenté par une tension continue peut-il produire, de lui-même, un signal périodique ? Ce chapitre répond à cette question en distinguant deux grandes familles : les oscillateurs quasi-sinusoïdaux, qui exploitent l'instabilité d'un système linéaire bouclé, et les oscillateurs de relaxation, qui reposent sur la commutation d'un comparateur à hystérésis.

Un oscillateur est un dispositif qui délivre un signal périodique en l'absence de tout signal d'entrée : l'énergie est fournie par l'alimentation continue, seule source du montage. Nous avons vu au chapitre précédent qu'un système linéaire bouclé peut être instable lorsque sa fonction de transfert en boucle fermée possède des pôles à partie réelle positive. Loin d'être un défaut, cette instabilité est ici recherchée : c'est elle qui fait démarrer les oscillations. La croissance exponentielle prédite par le modèle linéaire est ensuite bornée par une non-linéarité (saturation de l'amplificateur), qui fixe l'amplitude du régime permanent.

3.1 Auto-oscillation d'un système linéaire bouclé

3.1.1 Principe du bouclage instable

On considère une chaîne directe de gain (ou de fonction de transfert) $A$ rebouclée sur elle-même par une chaîne de retour $B (j ω)$ , sans signal appliqué à l'entrée.

En parcourant la boucle, le signal $s$ est ramené à l'entrée sous la forme $B s$ , puis réamplifié en $A B s$ . Pour qu'un signal non nul puisse exister et se reproduire identique à lui-même après un tour complet de boucle, il faut que le gain de boucle ouverte $T (j ω) = A B (j ω)$ vaille exactement $1$ .

Définition 3.1Condition de Barkhausen

Un système linéaire bouclé peut entretenir une oscillation sinusoïdale de pulsation $ω_{0}$ si le gain de boucle $T (j ω) = A B (j ω)$ satisfait, à cette pulsation, la condition d'oscillation (ou condition de Barkhausen) :

$T (j ω_{0}) = 1 ⟺ {∣ T (j ω_{0}) ∣ ar g T (j ω_{0}) = 1 = 0 [2 π] (condition sur le gain) (condition sur la phase)$

La condition de phase fixe la pulsation d'oscillation $ω_{0}$ ; la condition de gain fixe la valeur d'amplification nécessaire.

ImportantDémarrage : inégalité stricte

La condition $∣ T (j ω_{0}) ∣ = 1$ correspond à des pôles exactement sur l'axe imaginaire : mathématiquement, une oscillation d'amplitude constante mais indéterminée. En pratique, un tel équilibre est impossible à maintenir. Pour que les oscillations démarrent spontanément (à partir du bruit), on impose un gain légèrement supérieur :

$∣ T (j ω_{0}) ∣ > 1$

Les pôles sont alors à partie réelle strictement positive : l'amplitude croît exponentiellement jusqu'à ce que la saturation la limite.

3.1.2 Lecture sur l'équation différentielle

La condition de démarrage se lit directement sur l'équation différentielle du montage. Le bouclage d'un filtre passe-bande du second ordre par un amplificateur conduit génériquement à une équation de la forme

$s ¨ + \frac{ω _{0}}{Q _{eff}} s ˙ + ω_{0}^{2} s = 0,$

où le facteur de qualité effectif $Q_{eff}$ dépend du gain $A$ de l'amplificateur. Le coefficient d'amortissement est $\frac{ω _{0}}{Q _{eff}}$ ; son signe gouverne le comportement :

si le coefficient de $s ˙$ est positif, l'amortissement dissipe l'énergie et toute oscillation s'éteint ;
si ce coefficient est négatif, l'amplitude croît exponentiellement : les oscillations démarrent ;
s'il est nul, on a une oscillation sinusoïdale idéale à la pulsation $ω_{0}$ .

Méthode : Analyser le démarrage

Pour établir la condition de démarrage d'un oscillateur quasi-sinusoïdal :

écrire l'équation différentielle vérifiée par la tension de sortie (loi des nœuds en termes de potentiels, ALI idéal en régime linéaire) ;
l'identifier à $s ¨ + 2 λ s ˙ + ω_{0}^{2} s = 0$ ;
exprimer la pulsation propre $ω_{0}$ (fixée par les composants) ;
écrire l'inégalité $λ < 0$ (coefficient de $s ˙$ négatif) : elle donne la condition sur le gain assurant le démarrage.

3.2 L'oscillateur à pont de Wien

3.2.1 Structure du montage

Le pont de Wien est l'oscillateur quasi-sinusoïdal de référence. Il associe un amplificateur non inverseur de gain $A = 1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}$ (chaîne directe) et un filtre passe-bande $R C$ (chaîne de retour) rebouclé sur l'entrée non inverseuse.

iRemarque

La partie supérieure ( $R_{1}$ , $R_{2}$ sur l'entrée inverseuse) réalise l'amplificateur non inverseur de gain $A$ . La partie inférieure ( $R$ et $C$ en série, $R$ et $C$ en parallèle) constitue le filtre de Wien, ramenant vers $V_{+}$ une fraction $B$ de la sortie.

3.2.2 Fonction de transfert du filtre de Wien

Notons $Z_{s} = R + \frac{1}{j C ω}$ l'impédance de la branche série et $Z_{p} = \frac{R}{1 + j R C ω}$ celle de la branche parallèle ( $R$ et $C$ en parallèle). Le filtre étant un diviseur de tension,

$B (j ω) = \frac{Z _{p}}{Z _{s} + Z _{p}} = \frac{1}{3 + j ( R C ω - \frac{1}{R C ω} )} .$

En posant $ω_{0} = \frac{1}{R C}$ et $x = \frac{ω}{ω _{0}} = R C ω$ ,

$B (j ω) = \frac{1}{3 + j ( x - \frac{1}{x} )}$

C'est un passe-bande : le module est maximal (égal à $1/3$ ) et la phase est nulle en $x = 1$ , c'est-à-dire à $ω = ω_{0} = 1/ R C$ .

3.2.3 Conditions d'oscillation

Le gain de boucle vaut $T (j ω) = A B (j ω)$ avec $A$ réel positif.

Condition de phase. $ar g T = 0$ impose une partie imaginaire nulle au dénominateur de $B$ , soit $x - \frac{1}{x} = 0$ , donc $x = 1$ :

$ω_{0} = \frac{1}{R C} (f_{0} = \frac{1}{2 π R C}) .$

Condition de gain. À $ω_{0}$ , $B = 1/3$ , donc $T = A /3$ . La condition de Barkhausen $∣ T ∣ = 1$ donne $A = 3$ , c'est-à-dire

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