Oscillateurs

Cours complet · électronique (PT), chapitre 3 · CPGE PT (2e année)

Comment un circuit alimenté par une tension continue peut-il produire, de lui-même, un signal périodique ? Ce chapitre répond à cette question en distinguant deux grandes familles : les oscillateurs quasi-sinusoïdaux, qui exploitent l'instabilité d'un système linéaire bouclé, et les oscillateurs de relaxation, qui reposent sur la commutation d'un comparateur à hystérésis.

Un oscillateur est un dispositif qui délivre un signal périodique en l'absence de tout signal d'entrée : l'énergie est fournie par l'alimentation continue, seule source du montage. Nous avons vu au chapitre précédent qu'un système linéaire bouclé peut être instable lorsque sa fonction de transfert en boucle fermée possède des pôles à partie réelle positive. Loin d'être un défaut, cette instabilité est ici recherchée : c'est elle qui fait démarrer les oscillations. La croissance exponentielle prédite par le modèle linéaire est ensuite bornée par une non-linéarité (saturation de l'amplificateur), qui fixe l'amplitude du régime permanent.

3.1 Auto-oscillation d'un système linéaire bouclé

3.1.1 Principe du bouclage instable

On considère une chaîne directe de gain (ou de fonction de transfert) $A$ rebouclée sur elle-même par une chaîne de retour $B (j ω)$ , sans signal appliqué à l'entrée.

En parcourant la boucle, le signal $s$ est ramené à l'entrée sous la forme $B s$ , puis réamplifié en $A B s$ . Pour qu'un signal non nul puisse exister et se reproduire identique à lui-même après un tour complet de boucle, il faut que le gain de boucle ouverte $T (j ω) = A B (j ω)$ vaille exactement $1$ .

Définition 3.1Condition de Barkhausen

Un système linéaire bouclé peut entretenir une oscillation sinusoïdale de pulsation $ω_{0}$ si le gain de boucle $T (j ω) = A B (j ω)$ satisfait, à cette pulsation, la condition d'oscillation (ou condition de Barkhausen) :

$T (j ω_{0}) = 1 ⟺ {∣ T (j ω_{0}) ∣ ar g T (j ω_{0}) = 1 = 0 [2 π] (condition sur le gain) (condition sur la phase)$

La condition de phase fixe la pulsation d'oscillation $ω_{0}$ ; la condition de gain fixe la valeur d'amplification nécessaire.

ImportantDémarrage : inégalité stricte

La condition $∣ T (j ω_{0}) ∣ = 1$ correspond à des pôles exactement sur l'axe imaginaire : mathématiquement, une oscillation d'amplitude constante mais indéterminée. En pratique, un tel équilibre est impossible à maintenir. Pour que les oscillations démarrent spontanément (à partir du bruit), on impose un gain légèrement supérieur :

$∣ T (j ω_{0}) ∣ > 1$

Les pôles sont alors à partie réelle strictement positive : l'amplitude croît exponentiellement jusqu'à ce que la saturation la limite.

3.1.2 Lecture sur l'équation différentielle

La condition de démarrage se lit directement sur l'équation différentielle du montage. Le bouclage d'un filtre passe-bande du second ordre par un amplificateur conduit génériquement à une équation de la forme

$s ¨ + \frac{ω _{0}}{Q _{eff}} s ˙ + ω_{0}^{2} s = 0,$

où le facteur de qualité effectif $Q_{eff}$ dépend du gain $A$ de l'amplificateur. Le coefficient d'amortissement est $\frac{ω _{0}}{Q _{eff}}$ ; son signe gouverne le comportement :

si le coefficient de $s ˙$ est positif, l'amortissement dissipe l'énergie et toute oscillation s'éteint ;
si ce coefficient est négatif, l'amplitude croît exponentiellement : les oscillations démarrent ;
s'il est nul, on a une oscillation sinusoïdale idéale à la pulsation $ω_{0}$ .

Méthode : Analyser le démarrage

Pour établir la condition de démarrage d'un oscillateur quasi-sinusoïdal :

écrire l'équation différentielle vérifiée par la tension de sortie (loi des nœuds en termes de potentiels, ALI idéal en régime linéaire) ;
l'identifier à $s ¨ + 2 λ s ˙ + ω_{0}^{2} s = 0$ ;
exprimer la pulsation propre $ω_{0}$ (fixée par les composants) ;
écrire l'inégalité $λ < 0$ (coefficient de $s ˙$ négatif) : elle donne la condition sur le gain assurant le démarrage.

3.2 L'oscillateur à pont de Wien

3.2.1 Structure du montage

Le pont de Wien est l'oscillateur quasi-sinusoïdal de référence. Il associe un amplificateur non inverseur de gain $A = 1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}$ (chaîne directe) et un filtre passe-bande $R C$ (chaîne de retour) rebouclé sur l'entrée non inverseuse.

iRemarque

La partie supérieure ( $R_{1}$ , $R_{2}$ sur l'entrée inverseuse) réalise l'amplificateur non inverseur de gain $A$ . La partie inférieure ( $R$ et $C$ en série, $R$ et $C$ en parallèle) constitue le filtre de Wien, ramenant vers $V_{+}$ une fraction $B$ de la sortie.

3.2.2 Fonction de transfert du filtre de Wien

Notons $Z_{s} = R + \frac{1}{j C ω}$ l'impédance de la branche série et $Z_{p} = \frac{R}{1 + j R C ω}$ celle de la branche parallèle ( $R$ et $C$ en parallèle). Le filtre étant un diviseur de tension,

$B (j ω) = \frac{Z _{p}}{Z _{s} + Z _{p}} = \frac{1}{3 + j ( R C ω - \frac{1}{R C ω} )} .$

En posant $ω_{0} = \frac{1}{R C}$ et $x = \frac{ω}{ω _{0}} = R C ω$ ,

$B (j ω) = \frac{1}{3 + j ( x - \frac{1}{x} )}$

C'est un passe-bande : le module est maximal (égal à $1/3$ ) et la phase est nulle en $x = 1$ , c'est-à-dire à $ω = ω_{0} = 1/ R C$ .

3.2.3 Conditions d'oscillation

Le gain de boucle vaut $T (j ω) = A B (j ω)$ avec $A$ réel positif.

Condition de phase. $ar g T = 0$ impose une partie imaginaire nulle au dénominateur de $B$ , soit $x - \frac{1}{x} = 0$ , donc $x = 1$ :

$ω_{0} = \frac{1}{R C} (f_{0} = \frac{1}{2 π R C}) .$

Condition de gain. À $ω_{0}$ , $B = 1/3$ , donc $T = A /3$ . La condition de Barkhausen $∣ T ∣ = 1$ donne $A = 3$ , c'est-à-dire

$1 + \frac{R _{2}}{R _{1}} = 3 ⟺ R_{2} = 2 R_{1} .$

Pour démarrer les oscillations, on choisit

$A > 3 soit R_{2} > 2 R_{1} .$

Exemple 3.2Équation différentielle du pont de Wien

Montrer que la tension de sortie du pont de Wien vérifie

$s ¨ + \frac{3 - A}{R C} s ˙ + \frac{1}{( R C ) ^{2}} s = 0,$

et en déduire la condition de démarrage.

Démonstration

L'ALI idéal en régime linéaire impose $V_{+} = V_{-}$ . Le diviseur $R_{1}, R_{2}$ donne $V_{-} = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} s = \frac{s}{A}$ . Par ailleurs $V_{+}$ est la tension aux bornes de la branche parallèle du filtre de Wien, reliée à $s$ par $V_{+} = B s$ avec le $B$ trouvé plus haut. La relation $B (j ω) = \frac{1}{3 + j ( x - 1/ x )}$ se réécrit $s = (3 + j x + \frac{1}{j x}) V_{+}$ ; en remplaçant $j ω$ par $\frac{d}{d t}$ (donc $j x = R C \frac{d}{d t}$ et $\frac{1}{j x} = \frac{1}{R C} \int d t$ ),

$s = (3 + R C \frac{d}{d t} + \frac{1}{R C} \int) V_{+} = (3 + R C \frac{d}{d t} + \frac{1}{R C} \int) \frac{s}{A} .$

On multiplie par $A$ , on dérive une fois pour supprimer l'intégrale, puis on regroupe :

$R C s ¨ + (3 - A) s ˙ + \frac{1}{R C} s = 0 ⟺ s ¨ + \frac{3 - A}{R C} s ˙ + \frac{1}{( R C ) ^{2}} s = 0.$

On lit $ω_{0}^{2} = \frac{1}{( R C ) ^{2}}$ donc $ω_{0} = \frac{1}{R C}$ , et le coefficient de $s ˙$ vaut $\frac{3 - A}{R C}$ . Le démarrage exige un amortissement négatif : $3 - A < 0$ , soit $A > 3$ . $□$

3.3 Rôle des non-linéarités et distorsion

3.3.1 Stabilisation de l'amplitude

Le modèle linéaire prévoit, pour $A > 3$ , une amplitude qui croît indéfiniment : $s (t) \sim e^{+ λ t} cos ω_{0} t$ avec $λ = \frac{A - 3}{2 R C} > 0$ . Cette divergence est irréaliste : la tension de sortie est bornée par les tensions d'alimentation $\pm V_{sat}$ .

ImportantMécanisme d'auto-stabilisation

Lorsque l'amplitude augmente, l'ALI sature sur les crêtes du signal : son gain différentiel effectif diminue. Le gain moyen sur une période chute alors de sa valeur « petit signal » ( $A > 3$ ) vers la valeur critique $A_{eff} = 3$ . Le système s'auto-régule autour de la condition de Barkhausen : l'amplitude se stabilise à la valeur pour laquelle le gain effectif vaut exactement $3$ .

Ainsi la non-linéarité joue un double rôle : sans elle, pas de limitation d'amplitude ; mais elle introduit aussi une déformation du signal.

3.3.2 Distorsion et compromis

Définition 3.3Taux de distorsion harmonique

Un signal réel de période $T$ se décompose en série de Fourier : fondamental de valeur efficace $S_{1}$ et harmoniques $S_{2}, S_{3}, \dots$ Le taux de distorsion harmonique mesure l'écart à la sinusoïde pure :

$THD = \frac{S _{2}^{2} + S _{3}^{2} + \dots}{S _{1}} .$

Il est nul pour une sinusoïde parfaite.

AttentionCompromis démarrage / pureté spectrale

Si $A$ est très proche de $3$ (par valeur supérieure) : le signal est très proche d'une sinusoïde (faible distorsion, spectre quasi monochromatique), mais le démarrage est lent et peut ne pas s'amorcer si les composants dérivent.
Si $A$ est nettement supérieur à $3$ : démarrage rapide et sûr, mais l'ALI sature fortement, le signal se déforme (crêtes aplaties) et le spectre s'enrichit d'harmoniques impairs. La distorsion augmente.

Un bon oscillateur quasi-sinusoïdal choisit $A$ légèrement supérieur à $3$ , souvent complété par un dispositif de contrôle automatique de gain (thermistance, diodes) pour concilier démarrage fiable et faible distorsion.

iRemarqueSpectre

Un signal sinusoïdal pur possède un spectre à une seule raie ( $f_{0}$ ). La saturation symétrique de l'ALI ajoute des harmoniques impairs ( $3 f_{0}$ , $5 f_{0}, \dots$ ) : plus la saturation est marquée, plus ces raies sont importantes.

3.4 Oscillateurs de relaxation

3.4.1 Principe

Un oscillateur de relaxation n'exploite aucune résonance : il fait commuter périodiquement un comparateur entre deux états de saturation. Il associe un comparateur à hystérésis (trigger de Schmitt, vu au chapitre précédent) et un circuit intégrateur $R C$ . La charge et la décharge du condensateur amènent alternativement la tension de commande au-delà des seuils de basculement.

Définition 3.4Multivibrateur astable

Un multivibrateur astable est un oscillateur de relaxation qui ne possède aucun état stable : il bascule spontanément et indéfiniment entre ses deux états de saturation, générant un signal carré en sortie du comparateur et un signal (quasi) triangulaire aux bornes du condensateur.

3.4.2 Montage astable à un ALI

Le montage le plus simple reboucle un trigger de Schmitt inverseur sur un circuit $R C$ .

L'ALI fonctionne en comparateur : sa sortie ne prend que deux valeurs, $u = + V_{sat}$ ou $u = - V_{sat}$ . La fraction ramenée sur l'entrée non inverseuse vaut $V_{+} = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} u = k u$ avec $k = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}$ . Le condensateur, chargé à travers $R$ depuis la sortie, impose $V_{-} = u_{C}$ .

3.4.3 Séquences de fonctionnement

Proposition 3.5Seuils de basculement

Le comparateur bascule lorsque $u_{C}$ atteint l'un des deux seuils

$V_{+} = \pm k V_{sat}, k = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} .$

Décrivons un cycle en supposant qu'à $t = 0$ , $u = + V_{sat}$ (donc $V_{+} = + k V_{sat}$ ) :

Phase de charge. La sortie étant à $+ V_{sat}$ , $C$ se charge à travers $R$ : $u_{C}$ croît exponentiellement vers $+ V_{sat}$ .
Basculement haut. Dès que $u_{C}$ atteint le seuil $+ k V_{sat}$ , on a $V_{-} > V_{+}$ : la sortie bascule à $- V_{sat}$ . Le seuil devient $- k V_{sat}$ .
Phase de décharge. La sortie étant à $- V_{sat}$ , $C$ se décharge puis se recharge en sens inverse : $u_{C}$ décroît exponentiellement vers $- V_{sat}$ .
Basculement bas. Dès que $u_{C}$ atteint $- k V_{sat}$ , la sortie rebascule à $+ V_{sat}$ . Le cycle recommence.

3.4.4 Calcul de la période

Pendant la phase de charge, $u_{C}$ suit la loi du premier ordre du circuit $R C$ soumis à l'échelon $+ V_{sat}$ :

$u_{C} (t) = + V_{sat} + (u_{C} (0) - V_{sat}) e^{- t / R C}, τ = R C .$

En début de charge $u_{C} (0) = - k V_{sat}$ ; la charge s'arrête quand $u_{C} = + k V_{sat}$ . En reportant :

$k V_{sat} = V_{sat} + (- k V_{sat} - V_{sat}) e^{- T_{1} / R C} ⟹ e^{- T_{1} / R C} = \frac{1 - k}{1 + k},$

d'où $T_{1} = R C ln \frac{1 + k}{1 - k}$ . Par symétrie, la phase de décharge dure le même temps $T_{2} = T_{1}$ . La période totale $T = T_{1} + T_{2}$ s'écrit donc :

$T = 2 R C ln \frac{1 + k}{1 - k} = 2 R C ln (1 + \frac{2 R _{1}}{R _{2}})$

en remplaçant $k = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}$ .

Important

La période ne dépend pas de $V_{sat}$ : elle est fixée uniquement par $R C$ et par le rapport $R_{1} / R_{2}$ . C'est un avantage majeur, l'alimentation n'influençant pas la fréquence.

Exemple 3.6Fréquence d'un astable

On prend $R = 10 k Ω$ , $C = 10 nF$ et $R_{1} = R_{2}$ . Calculer la fréquence des oscillations.

Démonstration

Avec $R_{1} = R_{2}$ , $k = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{1}{2}$ . La période vaut

$T = 2 R C ln \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} = 2 R C ln 3.$

Numériquement $R C = 1 0^{4} \times 1 0^{- 8} = 1 0^{- 4} s$ , donc $T = 2 \times 1 0^{- 4} \times ln 3 \approx 2.2 \times 1 0^{- 4} s$ , soit

$f = \frac{1}{T} \approx 4.55 k Hz .$

$□$

3.4.5 Génération d'un vrai signal triangulaire

Aux bornes du condensateur, $u_{C}$ est constitué de morceaux d'exponentielles : il n'est triangulaire qu'approximativement. Pour obtenir un signal triangulaire rigoureux, on remplace le circuit $R C$ passif par un intégrateur actif (ALI monté en intégrateur). Le comparateur délivre alors un carré $u = \pm V_{sat}$ , et l'intégrateur produit une tension dont la dérivée est constante :

$v (t) = - \frac{1}{R C} \int u d t .$

Comme $u$ est constant par morceaux, $v$ varie linéairement : les rampes sont de vraies droites. On obtient un générateur triangulaire/carré de qualité, dont la période se calcule par intégration directe des rampes.

Méthode : Établir les caractéristiques d'un astable

Identifier le comparateur à hystérésis et déterminer ses deux seuils $\pm k V_{sat}$ .
Écrire l'équation d'évolution de la tension de commande ( $u_{C}$ ) sur une phase (charge $R C$ passif : exponentielle ; intégrateur actif : rampe linéaire).
Traduire chaque basculement par l'atteinte d'un seuil : en déduire la durée de chaque phase.
Sommer les durées pour obtenir la période, puis $f = 1/ T$ .

3.5 Portrait de phase et lecture spectrale

3.5.1 Portrait de phase

Le portrait de phase d'un oscillateur est la trajectoire décrite dans le plan $(s, s ˙)$ (ou $(s, s ˙ / ω_{0})$ ) au cours du temps. Il caractérise visuellement le régime permanent, indépendamment de l'origine des temps.

Oscillateur quasi-sinusoïdal en régime établi : la trajectoire est une courbe fermée quasi elliptique (cercle si l'on normalise par $ω_{0}$ ). Le transitoire de démarrage apparaît comme une spirale qui s'enroule vers ce cycle limite.
Oscillateur de relaxation : le portrait de phase est une courbe fermée anguleuse, marquée par les basculements brusques.

Définition 3.7Cycle limite

Un cycle limite est une trajectoire fermée isolée du portrait de phase vers laquelle convergent les trajectoires voisines. Son existence traduit un régime périodique auto-entretenu d'amplitude fixée, indépendante des conditions initiales : c'est la signature d'un oscillateur.

3.5.2 Lecture du spectre

Le spectre (obtenu par analyse de Fourier) distingue immédiatement les deux familles :

un oscillateur quasi-sinusoïdal peu distordu présente une raie dominante à $f_{0}$ et de faibles harmoniques ;
un signal carré ne contient que les harmoniques impairs, d'amplitude décroissant en $1/ n$ ( $f_{0}, 3 f_{0}, 5 f_{0}, \dots$ ) ;
un signal triangulaire contient aussi les seuls harmoniques impairs, mais décroissant plus vite, en $1/ n^{2}$ : il est plus « propre » qu'un carré.

Capacité numérique : simuler l'évolution temporelle et le portrait de phase

On simule un oscillateur quasi-sinusoïdal à l'aide du modèle de Van der Pol, prototype des oscillateurs à cycle limite auto-stabilisé :

$x ¨ - μ (1 - x^{2}) x ˙ + ω_{0}^{2} x = 0.$

Le terme d'amortissement $- μ (1 - x^{2}) x ˙$ est négatif aux faibles amplitudes (démarrage : $∣ x ∣ < 1$ ) et positif aux fortes amplitudes ( $∣ x ∣ > 1$ ) : c'est la non-linéarité qui borne l'amplitude, comme la saturation de l'ALI.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

mu, w0 = 0.8, 1.0            # mu petit -> quasi-sinusoidal

def vdp(t, y):
    x, v = y
    return [v, mu*(1 - x**2)*v - w0**2*x]

t = np.linspace(0, 60, 4000)
sol = solve_ivp(vdp, (0, 60), [0.1, 0.0], t_eval=t, rtol=1e-8)
x, v = sol.y

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4))
ax[0].plot(t, x)                       # evolution temporelle
ax[0].set_xlabel("t"); ax[0].set_ylabel("x(t)")
ax[0].set_title("Signal genere")
ax[1].plot(x, v)                       # portrait de phase -> cycle limite
ax[1].set_xlabel("x"); ax[1].set_ylabel("dx/dt")
ax[1].set_title("Portrait de phase")
plt.tight_layout(); plt.show()

La trajectoire dans le plan $(x, x ˙)$ s'enroule, depuis les conditions initiales, vers un cycle limite unique : l'amplitude finale ne dépend pas du point de départ. En augmentant $μ$ , on passe continûment d'un signal quasi-sinusoïdal (cycle quasi circulaire, spectre à une raie) à un signal de relaxation (cycle anguleux, spectre riche en harmoniques).

Synthèse

Oscillateur = système auto-entretenu alimenté en continu, sans signal d'entrée : l'instabilité d'un bouclage est recherchée.
Condition de Barkhausen : $T (j ω_{0}) = A B (j ω_{0}) = 1$ , soit $∣ T ∣ = 1$ et $ar g T = 0$ . La phase fixe $ω_{0}$ , le gain fixe l'amplification. Démarrage : $∣ T (j ω_{0}) ∣ > 1$ (amortissement négatif dans l'équation différentielle).
Pont de Wien : $f_{0} = \frac{1}{2 π R C}$ , gain critique $A = 3$ ( $R_{2} = 2 R_{1}$ ) ; on prend $A$ légèrement supérieur à $3$ .
Non-linéarité (saturation de l'ALI) : limite l'amplitude (le gain effectif retombe à $3$ ) mais déforme le signal (harmoniques impairs, distorsion THD). Compromis démarrage / pureté spectrale.
Oscillateur de relaxation : comparateur à hystérésis (seuils $\pm k V_{sat}$ , $k = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}$ ) + circuit $R C$ . Astable : $T = 2 R C ln \frac{1 + k}{1 - k}$ , indépendante de $V_{sat}$ .
Sortie carrée + tension du condensateur (pseudo-triangulaire ; vraie triangle avec un intégrateur actif).
Portrait de phase : cycle limite quasi elliptique (quasi-sinusoïdal) ou anguleux (relaxation). Spectre : raie unique / harmoniques impairs en $1/ n$ (carré) ou $1/ n^{2}$ (triangle).

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>Exercices résolus

Exemple 3.8Condition d'oscillation sur une équation différentielle

Un oscillateur bouclé vérifie $s ¨ + (β - 5) ω_{0} s ˙ + ω_{0}^{2} s = 0$ , où $β$ est proportionnel au gain réglable. Pour quelles valeurs de $β$ les oscillations démarrent-elles ? Quelle est alors la pulsation observée juste au démarrage ?

Démonstration

Le coefficient de $s ˙$ vaut $(β - 5) ω_{0}$ . Le démarrage exige un amortissement négatif : $(β - 5) ω_{0} < 0$ , soit $β < 5$ . Au voisinage du seuil $β = 5$ , l'amortissement est quasi nul et l'oscillation est quasi sinusoïdale à la pulsation propre $ω_{0}$ . $□$

Exemple 3.9Réglage d'un pont de Wien

On veut réaliser un pont de Wien oscillant à $f_{0} = 1 k Hz$ avec des condensateurs $C = 15 nF$ . Déterminer $R$ , puis proposer $R_{1}$ et $R_{2}$ garantissant un démarrage sûr.

Démonstration

De $f_{0} = \frac{1}{2 π R C}$ on tire $R = \frac{1}{2 π f _{0} C} = \frac{1}{2 π \times 1 0 ^{3} \times 15 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 10.6 k Ω$ . Le gain critique est $A = 3$ ( $R_{2} = 2 R_{1}$ ). Pour un démarrage sûr on prend $A$ un peu supérieur, par exemple $A = 3, 1$ : avec $R_{1} = 10 k Ω$ , il faut $R_{2} = (A - 1) R_{1} = 2, 1 \times 10 k Ω = 21 k Ω$ . $□$

Exemple 3.10Amplitude et distorsion

Dans un pont de Wien, on augmente progressivement $A$ de $3, 05$ à $4$ . Décrire qualitativement l'évolution de l'amplitude de sortie et du taux de distorsion.

Démonstration

Pour $A > 3$ , l'amplitude croît jusqu'à ce que la saturation ramène le gain effectif à $3$ . Plus $A$ est grand, plus l'amplitude d'équilibre se rapproche de $V_{sat}$ et plus l'ALI passe de temps en saturation : les crêtes s'aplatissent. Le fondamental à $f_{0}$ reste dominant, mais les harmoniques impairs ( $3 f_{0}, 5 f_{0}$ ) croissent : le THD augmente. À $A = 3, 05$ le signal est presque sinusoïdal (THD faible), à $A = 4$ il est nettement distordu. $□$

Exemple 3.11Seuils d'un trigger de Schmitt inverseur

Un comparateur à hystérésis inverseur a $R_{1} = 2.2 k Ω$ , $R_{2} = 10 k Ω$ et $V_{sat} = 14 V$ . Calculer $k$ et les deux seuils de basculement.

Démonstration

$k = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{2 , 2}{12 , 2} \approx 0, 180$ . Les seuils sont $\pm k V_{sat} = \pm 0, 180 \times 14 \approx \pm 2.5 V$ . La sortie bascule donc chaque fois que la tension d'entrée franchit $+ 2.5 V$ ou $- 2.5 V$ . $□$

Exemple 3.12Période d'un astable

Reprendre le montage précédent en le rebouclant sur un circuit $R C$ avec $R = 47 k Ω$ et $C = 4.7 nF$ . Calculer la période et la fréquence.

Démonstration

$R C = 47 \times 1 0^{3} \times 4, 7 \times 1 0^{- 9} \approx 2.21 \times 1 0^{- 4} s$ . Avec $k = 0, 180$ ,

$\frac{1 + k}{1 - k} = \frac{1 , 180}{0 , 820} \approx 1, 44, ln 1, 44 \approx 0, 363.$

Donc $T = 2 R C ln \frac{1 + k}{1 - k} \approx 2 \times 2, 21 \times 1 0^{- 4} \times 0, 363 \approx 1.6 \times 1 0^{- 4} s$ , soit $f \approx 6.2 k Hz$ . $□$

Exemple 3.13Générateur triangulaire à intégrateur

Un astable associe un comparateur à hystérésis (seuils $\pm V_{h}$ ) et un intégrateur de constante $τ = R C$ recevant $\pm V_{sat}$ . Montrer que le signal de sortie de l'intégrateur est un triangle et exprimer sa période.

Démonstration

Pendant une phase, l'entrée de l'intégrateur est constante ( $+ V_{sat}$ ), donc $v (t) = v (0) - \frac{V _{sat}}{R C} t$ : une rampe linéaire (vrai triangle). La rampe balaie l'intervalle $[- V_{h}, + V_{h}]$ , soit une amplitude $2 V_{h}$ , à la vitesse $\frac{V _{sat}}{R C}$ . La demi-période vaut donc $T /2 = \frac{2 V _{h}}{V _{sat} / R C} = \frac{2 R C V _{h}}{V _{sat}}$ , d'où

$T = \frac{4 R C V _{h}}{V _{sat}} .$

$□$

Exemple 3.14Spectre d'un signal carré

Le signal carré d'un astable a pour amplitude $V_{sat} = 12 V$ et fréquence $f_{0}$ . Rappeler la décomposition en série de Fourier et l'amplitude du fondamental.

Démonstration

Un carré symétrique d'amplitude $V_{sat}$ se décompose en harmoniques impairs :

$u (t) = \frac{4 V _{sat}}{π} n impair \sum \frac{1}{n} sin (2 π n f_{0} t) = \frac{4 V _{sat}}{π} (sin ω_{0} t + \frac{1}{3} sin 3 ω_{0} t + \dots) .$

Le fondamental a pour amplitude $\frac{4 V _{sat}}{π} = \frac{4 \times 12}{π} \approx 15.3 V$ : elle dépasse $V_{sat}$ , les harmoniques rétablissant la forme carrée. $□$

Exercices d'entraînement

Barkhausen. Un gain de boucle vaut $T (j ω) = \frac{K}{1 + j Q ( ω / ω _{0} - ω _{0} / ω )}$ . Déterminer la pulsation d'oscillation et la valeur minimale de $K$ assurant le démarrage.

Phase impose la fréquence. Expliquer pourquoi, dans un oscillateur bouclé, c'est la condition de phase et non celle de gain qui sélectionne la fréquence d'oscillation.

Pont de Wien. Retrouver $B (j ω) = \frac{1}{3 + j ( x - 1/ x )}$ à partir des impédances des deux branches $R C$ , puis vérifier que $∣ B ∣_{m a x} = 1/3$ .

Réglage. On dispose de $R = 15 k Ω$ et souhaite $f_{0} = 2 k Hz$ . Calculer $C$ , puis $R_{1}, R_{2}$ pour $A = 3, 05$ .

Équation différentielle. À partir de $s ¨ + \frac{3 - A}{R C} s ˙ + \frac{s}{( R C ) ^{2}} = 0$ , exprimer le taux de croissance $λ$ de l'amplitude au démarrage pour $A > 3$ . Application : $A = 3, 2$ , $R C = 1 \times 1 0^{- 4} s$ .

Rôle de la saturation. Justifier qualitativement pourquoi le gain effectif d'un ALI saturé décroît quand l'amplitude augmente, et pourquoi il se stabilise à $3$ dans le pont de Wien.

Distorsion. Un oscillateur produit un fondamental à $5 V$ efficace et un harmonique 3 à $0.4 V$ efficace (autres négligeables). Calculer le THD.

Contrôle de gain. Proposer le principe d'un dispositif (thermistance ou diodes tête-bêche) réduisant automatiquement $A$ quand l'amplitude croît, et expliquer son intérêt.

Astable. Pour un astable à un ALI, $R_{1} = 10 k Ω$ , $R_{2} = 22 k Ω$ , $R = 33 k Ω$ , $C = 22 nF$ . Calculer $k$ , la période et la fréquence.

Indépendance en tension. Démontrer que la période d'un astable à comparateur ne dépend pas de $V_{sat}$ . Quel avantage pratique ?

Rapport cyclique. Comment modifier le montage astable pour rendre les durées de charge et de décharge différentes (rapport cyclique $\neq = 1/2$ ) ? Suggestion : deux chemins de charge distincts avec des diodes.

Triangle vs pseudo-triangle. Comparer la tension aux bornes du condensateur d'un astable $R C$ passif et la sortie d'un montage à intégrateur actif. Pourquoi le second donne-t-il un triangle rigoureux ?

Spectre. Tracer schématiquement les spectres d'un carré et d'un triangle de même fréquence $f_{0}$ , en précisant la loi de décroissance des harmoniques ( $1/ n$ contre $1/ n^{2}$ ).

Portrait de phase. Un relevé montre un cycle limite quasi circulaire. S'agit-il d'un oscillateur quasi-sinusoïdal ou de relaxation ? Justifier, et dire ce qu'on observe pour l'autre famille.

Simulation. Modifier le code Van der Pol pour $μ = 4$ . Décrire l'évolution attendue de la forme du signal, du portrait de phase et du spectre par rapport à $μ = 0, 8$ .

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