Électronique numérique : échantillonnage et filtrage

Cours · électronique (PT), chapitre 4 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'échantillonnage : on relève la valeur d'un signal continu à intervalles réguliers Te.

La physique expérimentale contemporaine n'observe presque plus un signal analogique dans sa continuité : elle l'acquiert, le stocke et le traite sous forme d'une suite finie de nombres. Entre le capteur, qui délivre une tension continûment variable, et l'ordinateur, qui ne manipule que des entiers, s'interpose une chaîne d'acquisition numérique. Ce chapitre, à vocation essentiellement expérimentale, en décrit les deux frontières — le convertisseur analogique-numérique (CAN) à l'entrée, le convertisseur numérique-analogique (CNA) à la sortie — et les deux opérations irréversibles qu'elles imposent : la quantification des amplitudes et l'échantillonnage du temps.

L'échantillonnage, opération apparemment anodine, obéit à une contrainte incontournable : la condition de Nyquist-Shannon. La violer fait surgir le redoutable repliement de spectre, où des fréquences trop élevées se déguisent en fréquences plus basses inexistantes. On montrera enfin qu'une fois le signal numérisé, un simple calcul récursif — une équation aux différences — reproduit l'action d'un filtre passe-bas analogique : c'est le filtrage numérique, dont la souplesse a fait la fortune du traitement du signal moderne.

Conformément au programme, ce thème prolonge l'étude des circuits linéaires de première année et se veut illustratif : le repliement est présenté qualitativement au moyen d'expériences démonstratives, l'objectif étant de savoir choisir une fréquence d'échantillonnage et d'interpréter un spectre.

4.1 La chaîne d'acquisition numérique

4.1.1 Vue d'ensemble

Numériser puis restituer un signal analogique met en jeu une succession d'étages, que l'on peut représenter comme une chaîne orientée du monde continu vers le monde discret, puis retour.

le filtre anti-repliement (analogique) limite la bande du signal avant toute numérisation ;
l'échantillonneur-bloqueur prélève et fige la valeur du signal aux instants $t_{n} = n T_{e}$ ;
le CAN associe à chaque valeur bloquée un entier codé sur $N$ bits (quantification) ;
le traitement numérique transforme la suite $x [n]$ en une suite $y [n]$ (ici, un filtrage) ;
le CNA reconstruit un signal analogique par paliers, lissé par un filtre de reconstruction.

Deux discrétisations coexistent donc : celle du temps (échantillonnage) et celle de l'amplitude (quantification). Ce sont deux opérations distinctes, aux conséquences distinctes.

4.2 Conversion analogique-numérique et quantification

4.2.1 Le pas de quantification

Un CAN dispose d'une plage d'entrée (calibre) de largeur $Δ V$ (par exemple $0$ à $5 V$ , ou $\pm 10 V$ ) et code la tension sur $N$ bits, soit $2^{N}$ niveaux discrets. Il ne peut donc distinguer que des marches de tension régulièrement espacées.

Définition 4.1Résolution et pas de quantification

Un CAN de calibre $Δ V$ codant sur $N$ bits partage sa plage d'entrée en $2^{N}$ intervalles égaux. Le pas de quantification (ou quantum) est la plus petite variation de tension discernable :

$q = \frac{Δ V}{2 ^{N}} .$

Le nombre de bits $N$ est la résolution du convertisseur. Chaque tension d'entrée $v$ est arrondie au niveau le plus proche, produisant un entier $n = round (v / q)$ .

Exemple 4.2CAN d'une carte d'acquisition

Une carte usuelle possède un CAN $12$ bits sur un calibre $\pm 10 V$ , soit $Δ V = 20 V$ . Le pas vaut

$q = \frac{20}{2 ^{12}} = \frac{20}{4096} \approx 4.9 mV .$

Deux tensions distantes de moins de $4.9 mV$ sont converties en un même entier : elles sont indiscernables.

4.2.2 Le bruit de quantification

L'arrondi commet une erreur $ε = v_{cod e ˊ} - v$ bornée par $\pm q /2$ . Si le signal balaie de nombreux niveaux, cette erreur se comporte comme un bruit aléatoire uniforme sur $[- q /2, q /2]$ .

Proposition 4.3Erreur de quantification

L'erreur de quantification est bornée par $∣ ε ∣ \leq q /2$ . Assimilée à une variable aléatoire uniforme sur $[- q /2, q /2]$ , elle a une valeur efficace

$ε_{eff} = \frac{q}{12} .$

Augmenter la résolution $N$ d'un bit divise $q$ par deux et fait donc chuter le bruit de quantification d'environ $6 d B$ . C'est le sens de la règle « $\approx 6 d B$ par bit ».

Démonstration (Valeur efficace de l'arrondi)

Pour une loi uniforme de densité $1/ q$ sur $[- q /2, q /2]$ , la valeur quadratique moyenne s'écrit

$ε_{eff}^{2} = \frac{1}{q} \int_{- q /2}^{q /2} ε^{2} d ε = \frac{1}{q} \cdot \frac{2}{3} (\frac{q}{2})^{3} = \frac{q ^{2}}{12},$

d'où $ε_{eff} = q / 12$ . Le rapport signal-sur-bruit d'un CAN pleine échelle croît alors linéairement avec $N$ (en décibels).

iRemarque

La quantification est irréversible : l'information perdue à l'arrondi ne se récupère jamais. On la rend négligeable en choisissant une résolution suffisante ( $12$ à $16$ bits en instrumentation courante, $24$ bits en audio de studio).

4.3 Échantillonnage d'un signal

4.3.1 Échantillonner : discrétiser le temps

L'échantillonnage est l'opération duale de la quantification : elle discrétise non l'amplitude mais le temps.

Définition 4.4Échantillonnage

Échantillonner un signal $s (t)$ consiste à ne conserver que ses valeurs aux instants $t_{n} = n T_{e}$ ( $n \in Z$ ), régulièrement espacés de la période d'échantillonnage $T_{e}$ . La fréquence d'échantillonnage est

$f_{e} = \frac{1}{T _{e}} .$

Le signal échantillonné est la suite de nombres $x [n] = s (n T_{e})$ .

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