Électronique numérique : échantillonnage et filtrage

Cours complet · électronique (PT), chapitre 4 · CPGE PT (2e année)

La physique expérimentale contemporaine n'observe presque plus un signal analogique dans sa continuité : elle l'acquiert, le stocke et le traite sous forme d'une suite finie de nombres. Entre le capteur, qui délivre une tension continûment variable, et l'ordinateur, qui ne manipule que des entiers, s'interpose une chaîne d'acquisition numérique. Ce chapitre, à vocation essentiellement expérimentale, en décrit les deux frontières — le convertisseur analogique-numérique (CAN) à l'entrée, le convertisseur numérique-analogique (CNA) à la sortie — et les deux opérations irréversibles qu'elles imposent : la quantification des amplitudes et l'échantillonnage du temps.

L'échantillonnage, opération apparemment anodine, obéit à une contrainte incontournable : la condition de Nyquist-Shannon. La violer fait surgir le redoutable repliement de spectre, où des fréquences trop élevées se déguisent en fréquences plus basses inexistantes. On montrera enfin qu'une fois le signal numérisé, un simple calcul récursif — une équation aux différences — reproduit l'action d'un filtre passe-bas analogique : c'est le filtrage numérique, dont la souplesse a fait la fortune du traitement du signal moderne.

Conformément au programme, ce thème prolonge l'étude des circuits linéaires de première année et se veut illustratif : le repliement est présenté qualitativement au moyen d'expériences démonstratives, l'objectif étant de savoir choisir une fréquence d'échantillonnage et d'interpréter un spectre.

4.1 La chaîne d'acquisition numérique

4.1.1 Vue d'ensemble

Numériser puis restituer un signal analogique met en jeu une succession d'étages, que l'on peut représenter comme une chaîne orientée du monde continu vers le monde discret, puis retour.

le filtre anti-repliement (analogique) limite la bande du signal avant toute numérisation ;
l'échantillonneur-bloqueur prélève et fige la valeur du signal aux instants $t_{n} = n T_{e}$ ;
le CAN associe à chaque valeur bloquée un entier codé sur $N$ bits (quantification) ;
le traitement numérique transforme la suite $x [n]$ en une suite $y [n]$ (ici, un filtrage) ;
le CNA reconstruit un signal analogique par paliers, lissé par un filtre de reconstruction.

Deux discrétisations coexistent donc : celle du temps (échantillonnage) et celle de l'amplitude (quantification). Ce sont deux opérations distinctes, aux conséquences distinctes.

4.2 Conversion analogique-numérique et quantification

4.2.1 Le pas de quantification

Un CAN dispose d'une plage d'entrée (calibre) de largeur $Δ V$ (par exemple $0$ à $5 V$ , ou $\pm 10 V$ ) et code la tension sur $N$ bits, soit $2^{N}$ niveaux discrets. Il ne peut donc distinguer que des marches de tension régulièrement espacées.

Définition 4.1Résolution et pas de quantification

Un CAN de calibre $Δ V$ codant sur $N$ bits partage sa plage d'entrée en $2^{N}$ intervalles égaux. Le pas de quantification (ou quantum) est la plus petite variation de tension discernable :

$q = \frac{Δ V}{2 ^{N}} .$

Le nombre de bits $N$ est la résolution du convertisseur. Chaque tension d'entrée $v$ est arrondie au niveau le plus proche, produisant un entier $n = round (v / q)$ .

Exemple 4.2CAN d'une carte d'acquisition

Une carte usuelle possède un CAN $12$ bits sur un calibre $\pm 10 V$ , soit $Δ V = 20 V$ . Le pas vaut

$q = \frac{20}{2 ^{12}} = \frac{20}{4096} \approx 4.9 mV .$

Deux tensions distantes de moins de $4.9 mV$ sont converties en un même entier : elles sont indiscernables.

4.2.2 Le bruit de quantification

L'arrondi commet une erreur $ε = v_{cod e ˊ} - v$ bornée par $\pm q /2$ . Si le signal balaie de nombreux niveaux, cette erreur se comporte comme un bruit aléatoire uniforme sur $[- q /2, q /2]$ .

Proposition 4.3Erreur de quantification

L'erreur de quantification est bornée par $∣ ε ∣ \leq q /2$ . Assimilée à une variable aléatoire uniforme sur $[- q /2, q /2]$ , elle a une valeur efficace

$ε_{eff} = \frac{q}{12} .$

Augmenter la résolution $N$ d'un bit divise $q$ par deux et fait donc chuter le bruit de quantification d'environ $6 d B$ . C'est le sens de la règle « $\approx 6 d B$ par bit ».

Démonstration (Valeur efficace de l'arrondi)

Pour une loi uniforme de densité $1/ q$ sur $[- q /2, q /2]$ , la valeur quadratique moyenne s'écrit

$ε_{eff}^{2} = \frac{1}{q} \int_{- q /2}^{q /2} ε^{2} d ε = \frac{1}{q} \cdot \frac{2}{3} (\frac{q}{2})^{3} = \frac{q ^{2}}{12},$

d'où $ε_{eff} = q / 12$ . Le rapport signal-sur-bruit d'un CAN pleine échelle croît alors linéairement avec $N$ (en décibels).

iRemarque

La quantification est irréversible : l'information perdue à l'arrondi ne se récupère jamais. On la rend négligeable en choisissant une résolution suffisante ( $12$ à $16$ bits en instrumentation courante, $24$ bits en audio de studio).

4.3 Échantillonnage d'un signal

4.3.1 Échantillonner : discrétiser le temps

L'échantillonnage est l'opération duale de la quantification : elle discrétise non l'amplitude mais le temps.

Définition 4.4Échantillonnage

Échantillonner un signal $s (t)$ consiste à ne conserver que ses valeurs aux instants $t_{n} = n T_{e}$ ( $n \in Z$ ), régulièrement espacés de la période d'échantillonnage $T_{e}$ . La fréquence d'échantillonnage est

$f_{e} = \frac{1}{T _{e}} .$

Le signal échantillonné est la suite de nombres $x [n] = s (n T_{e})$ .

4.3.2 Modélisation par le peigne de Dirac

Pour comprendre l'effet spectral de l'échantillonnage, on modélise le prélèvement idéal comme la multiplication du signal par un peigne de Dirac de période $T_{e}$ ,

$w_{T_{e}} (t) = n \in Z \sum δ (t - n T_{e}), s_{e} (t) = s (t) w_{T_{e}} (t) = n \in Z \sum s (n T_{e}) δ (t - n T_{e}) .$

La propriété décisive est que la transformée de Fourier d'un peigne de période $T_{e}$ est elle-même un peigne, de période $f_{e} = 1/ T_{e}$ dans le domaine des fréquences. Comme la multiplication temporelle se traduit par une convolution fréquentielle, le spectre du signal se trouve reproduit à l'identique autour de chaque multiple de $f_{e}$ .

◆Théorème 4.5Périodisation du spectre

Le spectre d'un signal échantillonné à la fréquence $f_{e}$ est périodique de période $f_{e}$ : c'est le spectre du signal analogique reproduit autour de chaque multiple de $f_{e}$ ,

$S_{e} (f) = f_{e} k \in Z \sum S (f - k f_{e}) .$

Le motif original centré sur $f = 0$ est la bande de base ; les copies centrées sur $\pm f_{e}, \pm 2 f_{e}, \dots$ sont les images (ou spectres translatés).

ImportantLire un spectre échantillonné

Un spectre calculé par transformée de Fourier discrète (FFT) sur $M$ échantillons pris à $f_{e}$ n'a de sens que sur $[0, f_{e} /2]$ . Au-delà, on ne voit que les images périodisées, sans information nouvelle. Toute l'information utile tient dans la bande $[0, f_{e} /2]$ .

Tant que les motifs ne se chevauchent pas, la bande de base reste intacte et le signal analogique peut être reconstruit exactement par un simple filtre passe-bas. Le chevauchement, lui, est catastrophique : c'est le repliement.

4.4 Le théorème de Nyquist-Shannon

4.4.1 La condition d'échantillonnage

Supposons le signal $s (t)$ à spectre borné : il ne contient aucune fréquence au-delà d'une fréquence maximale $f_{m a x}$ . Le motif de base occupe la bande $[- f_{m a x}, f_{m a x}]$ ; le premier motif translaté, centré sur $f_{e}$ , occupe $[f_{e} - f_{m a x}, f_{e} + f_{m a x}]$ . Les deux ne se chevauchent que si $f_{e} - f_{m a x} > f_{m a x}$ .

◆Théorème 4.6Critère de Nyquist-Shannon

Un signal de fréquence maximale $f_{m a x}$ est échantillonné sans perte d'information si et seulement si la fréquence d'échantillonnage vérifie

$f_{e} > 2 f_{m a x} .$

La fréquence $f_{N} = f_{e} /2$ est la fréquence de Nyquist : toute fréquence du signal doit lui rester inférieure. Sous cette condition, le signal analogique peut être reconstruit exactement à partir de ses échantillons.

Exemple 4.7Audio numérique

La bande audible s'étend jusqu'à $f_{m a x} \approx 20 k H z$ . La condition de Nyquist impose $f_{e} > 40 k H z$ : le standard du disque compact retient $f_{e} = 44.1 k H z$ , ménageant une marge pour le filtre anti-repliement.

Capacité numérique : Choisir la fréquence d'échantillonnage

Réaliser l'échantillonnage d'un signal revient à choisir $f_{e}$ en fonction de sa bande utile. On retient en pratique un facteur de sécurité : $f_{e} \approx 2, 5$ à $5$ fois $f_{m a x}$ , pour relâcher les contraintes sur la raideur du filtre anti-repliement.

4.4.2 Repliement de spectre (aliasing)

Lorsque la condition de Nyquist n'est pas respectée, $f_{e} < 2 f_{m a x}$ , les motifs spectraux se chevauchent : les hautes fréquences de la bande de base sont polluées par les basses fréquences du motif translaté. C'est le repliement de spectre (ou aliasing).

Concrètement, une composante de fréquence $f_{0} > f_{e} /2$ apparaît, après échantillonnage, sous une fréquence apparente $f_{a}$ repliée dans la bande $[0, f_{e} /2]$ .

Proposition 4.8Fréquence apparente

Une sinusoïde de fréquence $f_{0}$ échantillonnée à $f_{e}$ est indiscernable d'une sinusoïde de fréquence apparente

$f_{a} = ∣ f_{0} - k f_{e} ∣, k \in Z tel que f_{a} \in [0, f_{e} /2] .$

Toutes les fréquences $f_{0} + k f_{e}$ produisent les mêmes échantillons : elles sont des alias les unes des autres.

Exemple 4.9Fréquence fantôme sur l'oscilloscope

Un signal sinusoïdal à $f_{0} = 9 k H z$ échantillonné à $f_{e} = 10 k H z$ ( $f_{N} = 5 k H z$ ) apparaît à

$f_{a} = ∣ 9 - 10 ∣ = 1 k H z .$

L'oscilloscope numérique affiche une sinusoïde à $1 k H z$ qui n'existe pas : c'est un artefact de repliement. On l'observe aussi lorsqu'une roue filmée semble tourner à l'envers, ou qu'un rayon de roue paraît immobile sous un éclairage stroboscopique.

4.4.3 Le filtre anti-repliement

Méthode : Prévenir le repliement

On ne peut pas corriger le repliement après échantillonnage : les fréquences repliées sont irrémédiablement mêlées au signal utile. On le prévient en plaçant avant le CAN un filtre passe-bas analogique (dit anti-repliement). Protocole :

choisir $f_{e}$ selon la bande utile ( $f_{e} > 2 f_{m a x}$ ) ;
filtrer le signal analogique par un passe-bas de fréquence de coupure $f_{c} ≲ f_{e} /2$ ;
échantillonner le signal ainsi limité en bande.

Le filtre garantit que le signal effectivement numérisé respecte le critère de Nyquist, quel que soit le contenu haute fréquence (bruit, parasites) présent en amont.

Attention

Un filtre réel n'a pas de coupure infiniment raide : sa transition entre bande passante et bande atténuée occupe une largeur finie. C'est pourquoi on prend $f_{e}$ nettement supérieure à $2 f_{m a x}$ : la marge entre $f_{m a x}$ et $f_{e} /2$ laisse au filtre le temps d'atténuer. Un CD échantillonne à $44.1 k H z$ un signal utile borné à $20 k H z$ : les $2.05 k H z$ de marge accueillent la pente du filtre.

4.5 Reconstruction et conversion numérique-analogique

4.5.1 Le CNA et le blocage d'ordre zéro

Restituer un signal analogique à partir de la suite $y [n]$ est le rôle du CNA. Le convertisseur le plus simple maintient chaque valeur constante pendant une période $T_{e}$ : c'est le blocage d'ordre zéro, qui produit un signal en escalier.

L'escalier contient, outre la bande de base utile, les images spectrales autour de $f_{e}, 2 f_{e}, \dots$ . Un filtre de reconstruction passe-bas (coupure $\approx f_{e} /2$ ) lisse l'escalier et supprime ces images, restituant le signal analogique.

Proposition 4.10Filtre de reconstruction

Après un CNA à blocage d'ordre zéro, un passe-bas analogique de fréquence de coupure voisine de $f_{e} /2$ élimine les images spectrales et lisse le signal en escalier. Le blocage introduit par ailleurs une légère atténuation des hautes fréquences utiles (en $sinc$ ), parfois compensée numériquement en amont.

4.6 Filtrage numérique

4.6.1 L'équation aux différences

Une fois le signal sous forme de suite $x [n]$ , un traitement numérique le transforme en une suite $y [n]$ . Le plus utile en CPGE est le filtre récursif du premier ordre, où chaque sortie combine l'entrée courante et la sortie précédente.

Définition 4.11Filtre récursif du premier ordre

Un filtre numérique récursif du premier ordre est défini par l'équation aux différences

$y [n] = a y [n - 1] + b x [n],$

où $x [n]$ est l'échantillon d'entrée, $y [n]$ l'échantillon de sortie, et $a, b$ des coefficients réels. Le terme $a y [n - 1]$ rend le filtre récursif : la sortie dépend de son propre passé (mémoire).

iRemarque

Ce calcul est trivial à programmer : une boucle qui, à chaque nouvel échantillon, met à jour y = ay + bx. Aucune inductance, aucune dérive de composant : le « filtre » n'est qu'une ligne de code, d'où sa souplesse (on change de coupure en changeant un nombre).

4.6.2 Analogie avec le passe-bas RC

Le choix $b = 1 - a$ (avec $0 < a < 1$ ) donne un filtre passe-bas dont le comportement reproduit celui du circuit $R C$ . Établissons le lien.

Proposition 4.12Équivalence passe-bas RC / filtre récursif

Un passe-bas $R C$ de constante de temps $τ = R C$ obéit à $τ \frac{d y}{d t} + y = x$ . En discrétisant la dérivée par $\frac{d y}{d t} \approx \frac{y [ n ] - y [ n - 1 ]}{T _{e}}$ , on obtient

$y [n] = a y [n - 1] + (1 - a) x [n], a = \frac{τ}{τ + T _{e}} = \frac{1}{1 + 2 π f _{c} T _{e}},$

où $f_{c} = 1/ (2 π τ)$ est la fréquence de coupure. Le coefficient $a$ est d'autant plus proche de $1$ (mémoire longue, filtre plus sélectif) que la coupure $f_{c}$ est basse devant $f_{e}$ .

Démonstration (Passage de l'équation différentielle à la récurrence)

Partons de $τ y ˙ + y = x$ et remplaçons la dérivée par sa différence finie arrière à l'instant $t_{n}$ :

$τ \frac{y [ n ] - y [ n - 1 ]}{T _{e}} + y [n] = x [n] .$

En multipliant par $T_{e}$ et en regroupant les termes en $y [n]$ :

$(τ + T_{e}) y [n] = τ y [n - 1] + T_{e} x [n],$

d'où, en divisant par $τ + T_{e}$ ,

$y [n] = a \frac{τ}{τ + T _{e}} y [n - 1] + 1 - a \frac{T _{e}}{τ + T _{e}} x [n] .$

On vérifie bien $a + (1 - a) = 1$ : en régime continu ( $x [n]$ constant), la sortie converge vers l'entrée, comme un $R C$ chargé à sa valeur finale.

ImportantInterprétation du coefficient de mémoire

Le filtre récursif est une moyenne glissante exponentielle : $y [n] = (1 - a) \sum_{k \geq 0} a^{k} x [n - k]$ . Chaque échantillon passé pèse $a^{k}$ , décroissant géométriquement. Un $a$ proche de $1$ « se souvient » longtemps (lissage fort, coupure basse) ; un $a$ proche de $0$ suit l'entrée sans lisser (coupure haute).

Capacité numérique : Simuler un filtrage numérique

On génère un signal périodique bruité, on lui applique le filtre récursif $y [n] = a y [n - 1] + (1 - a) x [n]$ et l'on visualise son action passe-bas.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fe = 2000.0                # frequence d'echantillonnage (Hz)
duree = 0.1                # duree du signal (s)
t = np.arange(0, duree, 1.0 / fe)

# Signal utile a 20 Hz + parasite haute frequence a 400 Hz + bruit
x = np.sin(2*np.pi*20*t) + 0.6*np.sin(2*np.pi*400*t)
x += 0.2*np.random.randn(len(t))

# --- Filtre recursif du premier ordre (passe-bas) ---
fc = 40.0                          # frequence de coupure visee (Hz)
a = 1.0 / (1.0 + 2*np.pi*fc/fe)    # coefficient de memoire
y = np.zeros_like(x)
for n in range(1, len(x)):
    y[n] = a*y[n-1] + (1-a)*x[n]   # equation aux differences

print("coefficient a = %.4f" % a)

# --- Spectres avant / apres (rfft, signal reel) ---
f  = np.fft.rfftfreq(len(t), d=1.0/fe)
Sx = np.abs(np.fft.rfft(x)) / len(t)
Sy = np.abs(np.fft.rfft(y)) / len(t)

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(7, 6))
ax1.plot(t, x, color="0.6", label="entree bruitee")
ax1.plot(t, y, color="green", lw=2, label="sortie filtree")
ax1.set_xlabel("temps (s)"); ax1.legend()
ax2.plot(f, Sx, color="0.6", label="spectre entree")
ax2.plot(f, Sy, color="green", lw=2, label="spectre sortie")
ax2.set_xlim(0, 500); ax2.set_xlabel("frequence (Hz)"); ax2.legend()
plt.tight_layout(); plt.show()

La sortie ne conserve que la composante à $20 H z$ : le parasite à $400 H z$ et le bruit haute fréquence sont fortement atténués. Le spectre de sortie montre le pic utile intact et les hautes fréquences écrasées — action passe-bas conforme à l'analogie $R C$ .

4.7 Synthèse du chapitre

À retenir

Chaîne d'acquisition

Deux discrétisations : le temps (échantillonnage) et l'amplitude (quantification).
Ordre des étages : filtre anti-repliement $\to$ échantillonneur-bloqueur $\to$ CAN $\to$ traitement $\to$ CNA $\to$ filtre de reconstruction.

Quantification (CAN)

Pas de quantification $q = Δ V / 2^{N}$ ; erreur bornée $∣ ε ∣ \leq q /2$ , valeur efficace $q / 12$ ; opération irréversible.
Un bit de plus $\Rightarrow$ pas divisé par $2$ , bruit de quantification $- 6 d B$ .

Échantillonnage et Nyquist

$x [n] = s (n T_{e})$ , $f_{e} = 1/ T_{e}$ ; spectre périodisé de période $f_{e}$ (bande de base + images).
Nyquist-Shannon : $f_{e} > 2 f_{m a x}$ ; fréquence de Nyquist $f_{N} = f_{e} /2$ .
Si $f_{e} < 2 f_{m a x}$ : repliement, fréquence apparente $f_{a} = ∣ f_{0} - k f_{e} ∣ \in [0, f_{N}]$ .
Prévention : filtre anti-repliement passe-bas ( $f_{c} ≲ f_{e} /2$ ) avant le CAN. Non corrigible après.

Filtrage numérique

Filtre récursif du 1^er ordre : $y [n] = a y [n - 1] + b x [n]$ .
Passe-bas type $R C$ : $b = 1 - a$ , $a = \frac{τ}{τ + T _{e}} = \frac{1}{1 + 2 π f _{c} T _{e}}$ .
$a \to 1$ : mémoire longue, coupure basse, lissage fort. Moyenne glissante exponentielle.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.8 Exercices résolus

Exemple 4.13Pas d'un CAN 8 bits

Un CAN $8$ bits a un calibre $0$ – $5 V$ . Calculer le pas de quantification et l'erreur efficace.

Démonstration

Le pas vaut $q = Δ V / 2^{N} = 5/ 2^{8} = 5/256 \approx 19.5 mV$ . L'erreur efficace de quantification est $ε_{eff} = q / 12 \approx 19, 5/3, 46 \approx 5.6 mV$ . Une résolution de $8$ bits est donc grossière : passer à $12$ bits diviserait $q$ par $16$ .

Exemple 4.14Résolution nécessaire

On veut mesurer une tension sur $0$ – $10 V$ avec une incertitude de quantification inférieure à $1 mV$ . Combien de bits faut-il ?

Démonstration

On impose $q = 10/ 2^{N} \leq 1 mV = 1 0^{- 3}$ V, soit $2^{N} \geq 1 0^{4}$ . Comme $2^{13} = 8192 < 1 0^{4} < 16384 = 2^{14}$ , il faut $N = 14$ bits ( $q \approx 0.61 mV$ ). Un CAN $12$ bits ( $q \approx 2.4 mV$ ) serait insuffisant.

Exemple 4.15Choix de la fréquence d'échantillonnage

Un signal contient des composantes jusqu'à $15 k H z$ . On l'échantillonne à $f_{e} = 25 k H z$ . Le critère de Nyquist est-il respecté ? Quelle valeur minimale faut-il ?

Démonstration

Le critère impose $f_{e} > 2 f_{m a x} = 30 k H z$ . Or $f_{e} = 25 k H z < 30 k H z$ : le critère n'est pas respecté, il y aura repliement. Il faut $f_{e} > 30 k H z$ ; on choisirait en pratique $f_{e} = 40 k H z$ avec un filtre anti-repliement de coupure voisine de $18 k H z$ .

Exemple 4.16Fréquence apparente

Une sinusoïde à $f_{0} = 18 k H z$ est échantillonnée à $f_{e} = 20 k H z$ . Quelle fréquence l'oscilloscope affiche-t-il ?

Démonstration

La fréquence de Nyquist est $f_{N} = 10 k H z$ . Comme $f_{0} > f_{N}$ , il y a repliement. On cherche $k$ tel que $f_{a} = ∣ f_{0} - k f_{e} ∣ \in [0, f_{N}]$ :

$k = 1 : f_{a} = ∣ 18 - 20 ∣ = 2 k H z .$

L'oscilloscope affiche une sinusoïde fantôme à $2 k H z$ .

Exemple 4.17Alias multiples

À $f_{e} = 8 k H z$ , quelles fréquences réelles apparaissent toutes à la même fréquence apparente que $f_{0} = 3 k H z$ ?

Démonstration

Toutes les fréquences $f_{0} + k f_{e}$ et $- f_{0} + k f_{e}$ ( $k \in Z$ ) sont des alias de $3 k H z$ : $3, 5, 11, 13, 19, 21, \dots$ kHz (car $8 - 3 = 5$ , $8 + 3 = 11$ , $16 - 3 = 13$ , $16 + 3 = 19 \dots$ ). Toutes produisent les mêmes échantillons : l'échantillonnage à $8 k H z$ ne peut pas les distinguer.

Exemple 4.18Coefficient d'un filtre récursif

On veut un passe-bas numérique de coupure $f_{c} = 50 H z$ , échantillonné à $f_{e} = 1 k H z$ . Déterminer le coefficient $a$ de $y [n] = a y [n - 1] + (1 - a) x [n]$ .

Démonstration

On applique $a = \frac{1}{1 + 2 π f _{c} / f _{e}} = \frac{1}{1 + 2 π \cdot 50/1000} = \frac{1}{1 + 0 , 314} \approx 0, 761$ . Alors $b = 1 - a \approx 0, 239$ . Le coefficient $a$ proche de $1$ traduit une coupure basse devant $f_{e}$ : la sortie « moyenne » plusieurs échantillons.

Exemple 4.19Constante de temps équivalente

Le filtre précédent ( $a = 0, 761$ , $f_{e} = 1 k H z$ ) équivaut à quel circuit $R C$ ? Donner $τ$ et vérifier $f_{c}$ .

Démonstration

De $a = τ / (τ + T_{e})$ on tire $τ = a T_{e} / (1 - a)$ . Avec $T_{e} = 1/ f_{e} = 1 m s$ :

$τ = \frac{0 , 761 \times 1 0 ^{- 3}}{0 , 239} \approx 3.18 m s .$

La coupure vaut $f_{c} = 1/ (2 π τ) = 1/ (2 π \times 3, 18 \times 1 0^{- 3}) \approx 50 H z$ : cohérent avec la valeur visée.

Exemple 4.20Réponse indicielle numérique

On applique un échelon $x [n] = 1$ (pour $n \geq 0$ ) au filtre $y [n] = 0, 8 y [n - 1] + 0, 2 x [n]$ , avec $y [- 1] = 0$ . Calculer $y [0], y [1], y [2]$ et la limite.

Démonstration

On déroule la récurrence :

$y [0] = 0, 2, y [1] = 0, 8 \times 0, 2 + 0, 2 = 0, 36, y [2] = 0, 8 \times 0, 36 + 0, 2 = 0, 488.$

La sortie tend vers la solution stationnaire $y_{\infty} = 0, 8 y_{\infty} + 0, 2$ , soit $y_{\infty} = 1$ : comme un $R C$ , la sortie rejoint asymptotiquement l'entrée constante (charge exponentielle discrétisée).

4.9 Exercices d'entraînement

Pas de quantification. Un CAN $10$ bits a un calibre $\pm 2.5 V$ . Calculer $q$ et l'erreur efficace de quantification. Combien de niveaux distincts le convertisseur peut-il coder ?

Règle des 6 dB. Justifier qualitativement pourquoi ajouter un bit de résolution réduit le bruit de quantification d'environ $6 d B$ . De combien de bits faut-il augmenter la résolution pour diviser le bruit par $8$ ?

Deux discrétisations. Expliquer en quoi l'échantillonnage et la quantification sont deux opérations distinctes et indépendantes. Laquelle est concernée par le théorème de Nyquist-Shannon ?

Choix de $f_{e}$ (ECG). Un signal biomédical (ECG) a un spectre borné à $150 H z$ . Quelle fréquence d'échantillonnage minimale faut-il ? Quelle valeur pratique proposeriez-vous, et pourquoi une marge est-elle utile ?

Repliement. Une sinusoïde à $7 k H z$ est échantillonnée à $f_{e} = 5 k H z$ . Calculer la fréquence apparente. Recommencer pour $f_{0} = 12 k H z$ à $f_{e} = 5 k H z$ .

Spectre périodisé. Un signal contient les fréquences $2 k H z$ , $6 k H z$ et $11 k H z$ . On échantillonne à $f_{e} = 10 k H z$ . Indiquer les fréquences réellement observées dans la bande $[0, 5 k H z]$ après échantillonnage.

Roue de charrette. Un film à $24$ images par seconde montre une roue à $8$ rayons. À partir de quelle vitesse de rotation la roue semble-t-elle immobile ? À quelle vitesse paraît-elle tourner lentement à l'envers ? (Raisonner sur la fréquence de passage des rayons.)

Filtre anti-repliement. On souhaite numériser un signal à $f_{e} = 48 k H z$ . Préciser le type et la fréquence de coupure du filtre à placer avant le CAN. Peut-on corriger le repliement après échantillonnage ? Justifier.

Blocage d'ordre zéro. Décrire l'allure du signal en sortie d'un CNA à blocage d'ordre zéro. Quel étage faut-il ajouter pour restituer un signal analogique lisse, et à quelle fréquence de coupure ?

Coefficient de filtre. On veut un passe-bas numérique de coupure $100 H z$ à $f_{e} = 2 k H z$ . Calculer $a$ et $b$ de $y [n] = a y [n - 1] + b x [n]$ , puis la constante de temps $τ$ du $R C$ équivalent.

Réponse indicielle. Pour $y [n] = 0, 9 y [n - 1] + 0, 1 x [n]$ avec $y [- 1] = 0$ et un échelon unité, calculer $y [0]$ à $y [3]$ et la limite. Le filtre est-il rapide ou lent comparé à celui de coefficient $a = 0, 5$ ?

Effet du coefficient. On dispose de deux filtres récursifs passe-bas, l'un avec $a = 0, 3$ , l'autre avec $a = 0, 95$ , même $f_{e}$ . Lequel a la fréquence de coupure la plus basse ? Lequel lisse le plus fortement un signal bruité ? Justifier à l'aide de l'interprétation en moyenne glissante.

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