Un niveau d'organisation : les éléments chimiques

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1.1 Introduction : comment, à partir du seul élément hydrogène, la

diversité des éléments chimiques est-elle apparue ?

Prenez n'importe quoi : cette page, l'air que vous respirez, votre main, une étoile. Tout est fait de la même petite centaine de briques, les éléments chimiques. Ce n'est déjà pas banal. Mais il y a plus étrange encore : ces briques n'ont pas toujours existé. Il y a $13, 8$ milliards d'années, l'Univers ne contenait pratiquement rien d'autre que de l'hydrogène et de l'hélium. Ni carbone, ni oxygène, ni fer, ni or. Autrement dit : aucun des atomes dont vous êtes fait n'existait.

La question de ce chapitre est donc celle d'une origine. Comment, à partir du seul élément hydrogène, la diversité des éléments chimiques est-elle apparue ? La réponse tient en une phrase, mais c'est une phrase qu'il a fallu un siècle et demi pour écrire : les éléments sont fabriqués dans les étoiles.

Ce chapitre ne se contentera pas de vous donner cette réponse. Il montrera comment on l'a obtenue. Car il faut mesurer la gêne du problème : on ne peut pas aller voir. Le cœur du Soleil est à $150$ millions de kilomètres et sous $150$ millions de tonnes par mètre carré de pression ; aucune sonde n'y descendra jamais. Et pourtant nous savons qu'il y règne environ $15$ millions de degrés, que quatre noyaux d'hydrogène y fusionnent en un noyau d'hélium, et que cela dure depuis $4, 6$ milliards d'années. Ce savoir-là n'est pas une croyance : il a été construit, discuté, contesté, corrigé. Le suivre pas à pas, c'est comprendre ce qu'est une connaissance scientifique.

Trois fils courent dans ce chapitre.

Compter. De quoi le monde est-il fait, et en quelle proportion ? Nous verrons qu'une même réalité peut donner deux graphiques opposés selon la manière dont on compte — et qu'aucun des deux n'est faux.
Fabriquer. Les noyaux se transforment. Deux mécanismes s'opposent, la fusion et la fission, et l'on doit savoir les reconnaître sur une équation.
Défaire. Certains noyaux sont instables : ils se désintègrent. Le moment où un noyau donné le fera est imprévisible, et pourtant le comportement d'un échantillon obéit à une loi d'une régularité parfaite. Ce paradoxe apparent est l'un des plus beaux exemples de ce que les mathématiques du hasard apportent aux sciences de la nature ; il fournit aussi, en prime, une horloge qui permet de dater une peinture rupestre, un os, ou la Terre elle-même.

iRemarqueUn chapitre à quatre disciplines

Vous verrez ici de la physique (les noyaux), de la chimie (les éléments et leurs proportions), des sciences de la vie et de la Terre (la composition du globe et des êtres vivants, la datation), et des mathématiques (suites géométriques, probabilités, lectures graphiques). C'est voulu : l'enseignement scientifique n'a pas de cloisons. Les renvois vers la partie mathématique du livre sont signalés par le symbole $\leftrightarrow$ , comme dans le programme officiel.

1.2 Le vocabulaire du noyau : élément, nucléide, isotope

Avant de raconter la fabrique des éléments, il faut fixer trois mots. Ils sont souvent confondus, et la confusion rend tout le reste incompréhensible.

Un atome est constitué d'un noyau, minuscule et massif, autour duquel se répartissent des électrons. Le noyau contient deux sortes de particules, appelées ensemble nucléons : les protons, de charge électrique positive, et les neutrons, de charge nulle.

Définition 1.1Numéro atomique, nombre de masse, notation d'un noyau

Le numéro atomique $Z$ est le nombre de protons du noyau. Le nombre de masse $A$ est le nombre total de nucléons, protons et neutrons confondus. Le nombre de neutrons vaut donc $A - Z$ . On note un noyau $_{Z}^{A} X$ où $X$ est le symbole chimique. Ainsi $_{6}^{12} C$ est un noyau de carbone à $6$ protons et $6$ neutrons.

Définition 1.2Élément chimique

Un élément chimique est l'ensemble des atomes ayant le même numéro atomique $Z$ . C'est $Z$ , et lui seul, qui fait l'identité chimique : tout noyau à $6$ protons est du carbone, quel que soit son nombre de neutrons.

Définition 1.3Isotopes

Deux noyaux sont isotopes lorsqu'ils ont le même $Z$ mais des $A$ différents : même élément, nombres de neutrons différents. Le carbone possède ainsi trois isotopes naturels : $_{6}^{12} C$ (le plus abondant, $98, 9 %$ ), $_{6}^{13} C$ ( $1, 1 %$ ) et $_{6}^{14} C$ , présent à l'état de traces — et radioactif.

iRemarquePourquoi cette distinction est décisive ici

Les isotopes d'un élément ont exactement les mêmes propriétés chimiques : une plante ne fait aucune différence entre le carbone 12 et le carbone 14, et les absorbe dans la proportion où elle les trouve. En revanche, ils n'ont pas du tout les mêmes propriétés nucléaires : le carbone 12 est stable pour l'éternité, le carbone 14 se désintègre. Toute la datation au carbone 14 repose sur cet écart entre l'indifférence de la chimie et la sévérité du noyau.

Aujourd'hui, $118$ éléments chimiques sont recensés. Parmi eux, $94$ existent à l'état naturel sur Terre ; les autres n'ont été obtenus qu'artificiellement, dans des accélérateurs, et disparaissent en une fraction de seconde. Et parmi ces éléments, $80$ seulement possèdent au moins un isotope stable, c'est-à-dire un noyau qui ne se désintègre pas. C'est cette « centaine d'éléments chimiques stables » dont parle le programme, et dont il faut expliquer l'existence.

Exemple 1.4Deux trous dans le tableau périodique

Entre l'hydrogène ( $Z = 1$ ) et le plomb ( $Z = 82$ ), deux éléments seulement n'ont aucun isotope stable : le technétium ( $Z = 43$ ) et le prométhium ( $Z = 61$ ). Ils ont d'ailleurs été prédits par Mendeleïev comme cases vides, puis longtemps cherchés en vain dans les minerais terrestres — pour une raison que l'on ne comprendra qu'au XX^e siècle : ils n'y sont pas parce qu'ils se sont désintégrés depuis longtemps. Le technétium a finalement été produit artificiellement en 1937. Au-delà du plomb, plus aucun élément n'a d'isotope stable.

1.3 De quoi le monde est-il fait ? L'abondance des éléments chimiques

1.3.1 Un premier savoir : la matière n'est pas répartie au hasard

Proposition 1.5La composition de l'Univers, de la Terre et des êtres vivants

La matière connue de l'Univers est formée principalement d'hydrogène et d'hélium, alors que la Terre est surtout constituée d'oxygène, d'hydrogène, de fer, de silicium, de magnésium, et les êtres vivants de carbone, hydrogène, oxygène et azote.

Trois compositions, trois listes différentes. Aucune n'est un hasard : chacune est la trace d'une histoire — celle du Big Bang pour l'Univers, celle de la formation d'une planète rocheuse pour la Terre, celle de la chimie du carbone en milieu aqueux pour le vivant.

Les ordres de grandeur méritent d'être retenus, au moins grossièrement.

L'Univers (sa matière ordinaire) : environ $74 %$ d'hydrogène et $24 %$ d'hélium en masse. Tout le reste — tous les autres éléments réunis — pèse environ $2 %$ . Si l'on compte non plus les masses mais les atomes, le déséquilibre est encore plus violent : $92$ atomes sur $100$ sont de l'hydrogène, $8$ sont de l'hélium, et il en reste moins de deux pour mille pour tous les autres.
La Terre entière : le fer ( $\approx 32 %$ en masse, concentré dans le noyau) et l'oxygène ( $\approx 30 %$ ) dominent, devant le silicium ( $\approx 15 %$ ) et le magnésium ( $\approx 14 %$ ).
La croûte terrestre, la seule partie que nous touchions : l'oxygène ( $\approx 47 %$ en masse) et le silicium ( $\approx 28 %$ ) écrasent tout le reste. En nombre d'atomes, l'oxygène représente même près de $60 %$ de la croûte et le silicium $20 %$ ; l'hydrogène, presque invisible en masse (moins de $0, 2 %$ ), y occupe pourtant le troisième rang en nombre d'atomes (environ $3 %$ ), apporté par l'eau des océans et des roches hydratées. C'est à ce titre qu'il figure dans la liste du programme pour la Terre.
Un être humain : oxygène $\approx 65 %$ , carbone $\approx 18 %$ , hydrogène $\approx 10 %$ , azote $\approx 3 %$ en masse. Ces quatre éléments, dont on retient l'acronyme CHON, forment plus de $96 %$ de la masse d'un organisme.

Composition comparée de la matière ordinaire de l'Univers, du globe

terrestre, de la croûte terrestre et du corps humain, en proportion de masse. Une même couleur désigne partout le même élément. Aucun des quatre classements ne ressemble aux autres : l'hydrogène, écrasant dans l'Univers, ne pèse plus rien dans la croûte ; le fer, invisible dans l'Univers, domine le globe terrestre.</div>

1.3.2 Le piège du comptage : deux graphiques, une seule réalité

Voici maintenant une difficulté que le programme demande explicitement de travailler, et qui est bien plus qu'une finesse technique. Reprenons le corps humain. En masse, l'oxygène arrive largement en tête. Mais un atome d'oxygène est $16$ fois plus lourd qu'un atome d'hydrogène. Si l'on compte non plus des kilogrammes mais des atomes, le classement bascule : l'hydrogène passe premier avec près de deux atomes sur trois.

La composition d'un même corps humain, représentée de deux façons.

À gauche, on compte des masses ; à droite, on compte des atomes. Le premier du classement change. Les deux graphiques sont exacts : ils ne répondent simplement pas à la même question.</div>

Méthode : Produire et analyser une représentation graphique de
l'abondance des éléments</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text"> Face à un tableau de composition, procéder dans cet ordre.

Identifier la grandeur comptée. Masse ? nombre d'atomes ? volume ? Sans cette information, un graphique d'abondance ne veut rien dire.
Vérifier que le total fait $100 %$ . Sinon, un poste « autres » manque : le rajouter plutôt que de laisser croire à un oubli.
Choisir la représentation selon la question posée. Un diagramme circulaire ou une barre empilée à $100 %$ montrent la part de chacun dans un tout ; un diagramme en barres juxtaposées compare des postes entre eux ; plusieurs barres empilées côte à côte comparent des compositions.
Garder une couleur par élément d'un graphique à l'autre : c'est ce qui rend la comparaison lisible (voir la figure ci-dessus).
Se méfier des écrasements d'échelle. Quand un poste vaut $92 %$ et un autre $0, 01 %$ , le second est invisible : il faut l'écrire en toutes lettres, ou changer d'échelle.
Conclure par une phrase, pas par un dessin : « dans la croûte terrestre, deux éléments seulement représentent les trois quarts de la masse ».

$\leftrightarrow$ Tableaux croisés, représentations de données et calcul algébrique : voir le chapitre « Analyse de l'information chiffrée » de la partie mathématique.

Exemple 1.6Passer des masses aux nombres d'atomes

Dans un adulte de $70$ kg on compte environ $45, 5$ kg d'oxygène et $7, 0$ kg d'hydrogène. Les masses molaires valent $M (O) = 16$ g $\cdot$ mol $^{- 1}$ et $M (H) = 1, 0$ g $\cdot$ mol $^{- 1}$ . Donc $n (O) = \frac{45 500}{16} \approx 2840 mol, n (H) = \frac{7 000}{1 , 0} = 7000 mol .$ Il y a donc environ $2, 5$ fois plus d'atomes d'hydrogène que d'atomes d'oxygène, alors qu'ils pèsent $6, 5$ fois moins. Le renversement du classement vient tout entier de là.

iRemarqueCe que ce renversement enseigne sur la science

Deux graphiques contradictoires, tous deux honnêtes : voilà une leçon de méthode qui dépasse de loin la chimie. Un chiffre n'a de sens qu'accompagné de la question à laquelle il répond. C'est aussi le premier réflexe critique à avoir devant un graphique lu dans la presse ou sur un réseau social : qu'est-ce qui a été compté, exactement ?

1.4 La fabrique des éléments : les réactions nucléaires dans les étoiles

1.4.1 Le savoir à construire

Proposition 1.7Les éléments chimiques sont fabriqués dans les étoiles

Les noyaux des atomes de la centaine d'éléments chimiques stables résultent de réactions nucléaires qui se produisent au sein des étoiles à partir de l'hydrogène initial.

Une étoile n'est pas seulement une source de lumière : c'est un réacteur nucléaire. Elle assemble les noyaux légers en noyaux plus lourds, et rejette dans l'espace, en mourant, la matière qu'elle a fabriquée. Les atomes de carbone de votre peau, le fer de votre sang, le calcium de vos os ont tous été produits dans le cœur d'étoiles mortes avant que le Soleil n'existe.

1.4.2 Trois lieux de fabrication

Il faut distinguer trois épisodes, très différents par leur durée et par leur production.

Les trois premières minutes.

Dans l'Univers primitif, extrêmement chaud et dense, les protons et les neutrons ont pu s'assembler. Cet épisode, appelé nucléosynthèse primordiale, dure environ trois minutes et s'arrête net : l'Univers, en se dilatant, refroidit trop vite. Il en sort environ $75 %$ d'hydrogène et $25 %$ d'hélium en masse, plus des traces de deutérium, d'hélium 3 et de lithium 7. Aucun noyau plus lourd. C'est là le point crucial : le carbone, l'oxygène, le fer n'existaient pas encore.

Le cœur des étoiles.

Quelques centaines de millions d'années plus tard, la gravitation rassemble ce gaz en étoiles. Au centre, la température atteint des millions de degrés et la fusion démarre. Dans le Soleil, quatre noyaux d'hydrogène finissent par donner un noyau d'hélium. Dans les étoiles plus massives, l'hélium fusionne à son tour en carbone, puis en oxygène, néon, magnésium, silicium… jusqu'au fer. Et là, la chaîne s'arrête : au-delà du fer, assembler des noyaux ne libère plus d'énergie, elle en consomme. Le fer est le terminus de la fusion stellaire.

Les cataclysmes.

Comment fabriquer alors le cuivre, l'argent, l'or, l'uranium ? Il faut des évènements violents et brefs, où les noyaux sont noyés sous un flot de neutrons qu'ils capturent les uns après les autres : les explosions d'étoiles massives (supernovæ) et les collisions d'étoiles à neutrons. Le $17$ août $2017$ , une telle collision a été détectée par ses ondes gravitationnelles (évènement GW170817) ; l'analyse du spectre de la lueur qui a suivi a permis d'y identifier du strontium (résultat publié en $2019$ ) — la première observation directe de la fabrication d'un élément lourd.

Les trois lieux de fabrication des éléments chimiques. Chaque étape

part de ce que la précédente a laissé : l'hydrogène primordial alimente les étoiles, et les étoiles alimentent les cataclysmes. Aucune n'aurait suffi seule.</div>

1.4.3 Fusion et fission : les distinguer sur une équation

Définition 1.8Réaction nucléaire

Une réaction nucléaire est une transformation qui modifie les noyaux eux-mêmes, et non la seule répartition des électrons comme le fait une réaction chimique. Dans toute réaction nucléaire, deux quantités se conservent : le nombre total de nucléons $A$ et la charge totale $Z$ .

Définition 1.9Fusion, fission

La fusion est l'assemblage de plusieurs noyaux légers en un noyau plus lourd. La fission est la rupture d'un noyau lourd en deux noyaux de masses intermédiaires, généralement provoquée par l'impact d'un neutron. Les deux libèrent de l'énergie, mais sur des matériaux opposés : la fusion sur les noyaux légers, la fission sur les noyaux très lourds.

Fusion et fission. À gauche, la réaction visée par le projet ITER ;

à droite, la fission de l'uranium 235 exploitée dans les centrales nucléaires. Dans les deux cas, $A$ et $Z$ se conservent : on peut le vérifier sur les équations.</div>

Méthode : Reconnaître une fusion ou une fission sur une équation

L'équation d'une réaction nucléaire étant fournie, il suffit de trois observations.

Compter les noyaux de chaque côté. Plusieurs noyaux à gauche, un seul (plus lourd) à droite $\Rightarrow$ fusion. Un seul noyau lourd à gauche, deux noyaux à droite $\Rightarrow$ fission.
Regarder les nombres de masse. La fusion part de noyaux légers ( $A$ petit : H, He, C, O…). La fission part d'un noyau très lourd ( $A$ grand : U, Pu…) et donne deux fragments de $A$ intermédiaires.
Vérifier les conservations, ce qui contrôle la lecture : $\sum A_{avant} = \sum A_{apr e ˋ s} et \sum Z_{avant} = \sum Z_{apr e ˋ s} .$

Attention : la présence d'un neutron ne suffit pas à trancher. Un neutron entrant à gauche sur un noyau lourd signale une fission ; des neutrons sortants à droite d'un assemblage de noyaux légers accompagnent une fusion.

$\leftrightarrow$ Calcul algébrique : les deux conservations forment un petit système d'équations à résoudre pour retrouver un noyau manquant.

Exemple 1.10Quatre équations à classer

$_{6}^{12} C +_{2}^{4} He_{92}^{235} U +_{0}^{1} n_{2}^{4} He +_{2}^{4} He_{94}^{239} Pu +_{0}^{1} n ⟶_{8}^{16} O ⟶_{54}^{140} Xe +_{38}^{94} Sr + 2_{0}^{1} n ⟶_{4}^{8} Be ⟶_{54}^{134} Xe +_{40}^{103} Zr + 3_{0}^{1} n fusion (deux noyaux l e ˊ gers \to un seul) fission (un noyau lourd \to deux fragments) fusion fission$

Vérification sur la dernière : $239 + 1 = 240$ et $134 + 103 + 3 \times 1 = 240$ ; $94 + 0 = 94$ et $54 + 40 = 94$ . Les deux conservations sont satisfaites.

iRemarqueCe que le Soleil consomme

Le Soleil transforme environ $600$ millions de tonnes d'hydrogène par seconde en $596$ millions de tonnes d'hélium. La différence, quelque $4$ millions de tonnes par seconde, est rayonnée sous forme d'énergie. Rassurez-vous : cela dure depuis $4, 6$ milliards d'années et durera encore à peu près autant. Le Soleil, avec sa masse de $2 \times 1 0^{30}$ kg, a de la réserve.

iRemarqueReproduire la fusion sur Terre : une difficulté d'échelle

La fusion est propre — pas de déchets à vie longue — et son combustible est abondant. Mais elle exige de vaincre la répulsion électrique entre deux noyaux positifs, donc des températures de l'ordre de la centaine de millions de degrés. Le projet international ITER, en construction à Cadarache (Bouches-du-Rhône) depuis l'accord signé le $21$ novembre $2006$ par $35$ pays, vise la réaction $_{1}^{2} H +_{1}^{3} H \to_{2}^{4} He +_{0}^{1} n$ et un gain de dix : $500$ MW produits pour $50$ MW injectés. En $2024$ , un calendrier révisé plaçait le premier plasma en $2034$ . Par ailleurs, une autre voie — la fusion par confinement inertiel — a franchi un seuil symbolique le $5$ décembre $2022$ au National Ignition Facility (Californie) : $2, 05$ MJ de laser ont produit $3, 15$ MJ de fusion. Il s'agit du bilan de la cible, non de l'installation entière ; la fusion électrogène reste devant nous.

1.5 La radioactivité : des noyaux instables et un hasard irréductible

1.5.1 Tous les noyaux ne durent pas

Proposition 1.11Des noyaux instables : la radioactivité

Certains noyaux sont instables et se désintègrent (radioactivité).

Un noyau instable se transforme spontanément en un autre noyau, en émettant une particule et un rayonnement. Personne ne le provoque, personne ne le déclenche : cela se produit tout seul, et rien de ce que nous savons faire — chauffer, comprimer, dissoudre — ne modifie ce comportement.

Définition 1.12Désintégration radioactive

La désintégration radioactive est la transformation spontanée d'un noyau instable, dit radioactif, en un noyau différent, avec émission d'une particule. On distingue principalement :

la radioactivité $α$ : émission d'un noyau d'hélium $_{2}^{4} He$ ;
la radioactivité $β^{-}$ : émission d'un électron $_{- 1}^{0} e$ ;
la radioactivité $β^{+}$ : émission d'un positon $_{1}^{0} e$ , particule de même masse que l'électron mais de charge opposée ;
l'émission $γ$ : rayonnement électromagnétique très énergétique, qui accompagne souvent les précédentes.

Exemple 1.13Trois désintégrations à connaître

$_{92}^{238} U_{6}^{14} C_{9}^{18} F ⟶_{90}^{234} Th +_{2}^{4} He ⟶_{7}^{14} N +_{- 1}^{0} e ⟶_{8}^{18} O +_{1}^{0} e (α) (β^{-}) (β^{+})$

Les conservations de $A$ et de $Z$ valent ici aussi. Sur la deuxième : $14 = 14 + 0$ et $6 = 7 + (- 1)$ . Un neutron s'est changé en proton : le nombre de masse n'a pas bougé, mais l'élément a changé. Le carbone est devenu de l'azote.

Définition 1.14Activité, becquerel

L'activité $A$ d'un échantillon est le nombre de désintégrations qui s'y produisent par seconde. Elle s'exprime en becquerels (Bq) : $1$ Bq $= 1$ désintégration par seconde. C'est une unité minuscule : un adulte de $70$ kg possède une activité naturelle de l'ordre de $8000$ Bq, due essentiellement au potassium 40 et au carbone 14 de son propre corps.

1.5.2 Le cœur du sujet : l'instant de désintégration est aléatoire

Proposition 1.15Le hasard au cœur de la radioactivité

L'instant de désintégration d'un noyau radioactif individuel est aléatoire.

Il ne s'agit pas d'une ignorance provisoire que de meilleurs instruments lèveraient un jour. Aucune information sur le noyau — son âge, son passé, son environnement — ne permet de prédire quand il se désintégrera. Un noyau de carbone 14 vieux de dix mille ans a exactement la même chance de se désintégrer dans la seconde qui vient qu'un noyau formé à l'instant. Le noyau n'a pas de mémoire, et il ne vieillit pas.

Ce savoir heurte l'intuition. Nous sommes habitués à ce que les choses s'usent : une ampoule grille d'autant plus volontiers qu'elle a longtemps servi. Le noyau, lui, ne s'use pas. Ce qui diminue avec le temps, ce n'est pas la « santé » de chaque noyau, c'est simplement le nombre de noyaux qui restent.

Un échantillon de

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noyaux radioactifs, photographié à trois

instants. Le tirage est un tirage au sort : d'une expérience à l'autre, ce ne sont jamais les mêmes noyaux qui disparaissent, et le compte final n'est jamais exactement $18$ puis $9$ . C'est parce qu'un échantillon réel contient des milliards de milliards de noyaux que la loi statistique devient une loi pratiquement exacte.</div>

iRemarqueLe hasard microscopique et la régularité macroscopique

Voici le point de bascule intellectuel du chapitre. Chaque noyau est imprévisible, mais leur ensemble est prévisible. C'est exactement ce qui se passe dans un casino : nul ne sait ce que donnera le prochain lancer de dé, mais sur un million de lancers la proportion de « six » sera très proche de $1/6$ . Cette montée du hasard individuel vers la certitude collective porte un nom en mathématiques : c'est la loi des grands nombres.

$\leftrightarrow$ Phénomènes aléatoires : voir le chapitre « Phénomènes aléatoires » de la partie mathématique. La désintégration d'un noyau pendant une demi-vie est une épreuve de Bernoulli de probabilité $p = 0, 5$ , et l'observation de plusieurs demi-vies successives est une répétition d'épreuves identiques et indépendantes.

1.6 La demi-vie : une horloge dans le noyau

1.6.1 Définition et propriété caractéristique

Proposition 1.16La demi-vie

La demi-vie d'un noyau radioactif est la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux initialement présents dans un échantillon macroscopique se soit désintégrée. Cette demi-vie est caractéristique du noyau radioactif considéré.

Deux idées, à ne pas confondre. La première définit une durée. La seconde dit que cette durée est une signature : elle ne dépend ni de la quantité de matière, ni de la température, ni de l'état chimique de l'échantillon. Le carbone 14 a la même demi-vie dans un os, dans un morceau de bois ou dans un gaz.

Définition 1.17Demi-vie

La demi-vie $t_{1/2}$ d'un nucléide radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux d'un échantillon macroscopique se sont désintégrés. Le mot « macroscopique » est essentiel : la définition n'a de sens que pour un très grand nombre de noyaux.

Les demi-vies connues s'étalent sur un domaine vertigineux : de la fraction de seconde à des milliards d'années. C'est cette dispersion qui rend la radioactivité si utile — pour chaque échelle de temps à mesurer, il existe une horloge adaptée.

Nucléide	Usage typique	Demi-vie
Fluor 18 ( $_{9}^{18} F$ )	imagerie TEP	$110$ min
Technétium 99m ( $_{43}^{99 m} Tc$ )	scintigraphie	$6, 0$ h
Radon 222 ( $_{86}^{222} Rn$ )	gaz naturel du sol	$3, 8$ j
Iode 131 ( $_{53}^{131} I$ )	thyroïde	$8, 0$ j
Polonium 210 ( $_{84}^{210} Po$ )	--	$138$ j
Cobalt 60 ( $_{27}^{60} Co$ )	radiothérapie	$5, 3$ ans
Césium 137 ( $_{55}^{137} Cs$ )	retombées	$30$ ans
Radium 226 ( $_{88}^{226} Ra$ )	--	$1600$ ans
Carbone 14 ( $_{6}^{14} C$ )	archéologie	$5730$ ans
Potassium 40 ( $_{19}^{40} K$ )	géologie	$1, 25 \times 1 0^{9}$ ans
Uranium 238 ( $_{92}^{238} U$ )	âge de la Terre	$4, 47 \times 1 0^{9}$ ans

1.6.2 La loi de décroissance : une suite géométrique

Puisque la moitié des noyaux disparaît à chaque demi-vie, le nombre de noyaux restants se calcule sans effort. Notons $N_{0}$ le nombre initial et $N (n)$ le nombre restant au bout de $n$ demi-vies : $N (0) = N_{0}, N (1) = \frac{N _{0}}{2}, N (2) = \frac{N _{0}}{4}, N (3) = \frac{N _{0}}{8}, \dots$

◆Théorème 1.18Loi de décroissance radioactive

Au bout de $n$ demi-vies, le nombre de noyaux non désintégrés vaut $N (n) = N_{0} \times (\frac{1}{2})^{n} = N_{0} \times 0, 5^{n}$ La suite $(N (n))$ est une suite géométrique de raison $q = 0, 5$ , à termes strictement positifs : à chaque demi-vie, le nombre de noyaux est multiplié par $0, 5$ , soit un taux d'évolution de $- 50 %$ .

La même loi s'écrit pour une durée $t$ quelconque, en remarquant que $t$ correspond à $n = t / t_{1/2}$ demi-vies : $N (t) = N_{0} \times 0, 5^{t / t_{1/2}} .$ L'activité $A$ de l'échantillon, proportionnelle au nombre de noyaux présents, suit exactement la même loi : $A (t) = A_{0} \times 0, 5^{t / t_{1/2}}$ .

iRemarqueUne notation venue des mathématiques

On écrit ici $N (n)$ plutôt que $N_{n}$ : c'est la notation fonctionnelle recommandée par le programme de mathématiques pour les premières modélisations par une suite. Elle rappelle qu'à chaque rang $n$ on associe une valeur, comme une fonction associe une image à un antécédent.

$\leftrightarrow$ Suites géométriques à termes strictement positifs, décroissance exponentielle : voir le chapitre « Variation exponentielle » de la partie mathématique. L'écriture $0, 5^{t / t_{1/2}}$ avec $t / t_{1/2}$ non entier y est justifiée : c'est le prolongement de la suite géométrique en une fonction exponentielle.

La courbe de décroissance radioactive. Les points violets sont les

valeurs aux demi-vies entières : ils forment une suite géométrique de raison $0, 5$ . La construction en tirets orange montre la lecture graphique de la demi-vie : partir de $N_{0} /2$ sur l'axe vertical, rejoindre la courbe, redescendre sur l'axe des temps.</div>

Méthode : Calculer le nombre de noyaux restants au bout de $n$ demi-vies

Compter les demi-vies : $n = \frac{Δ t}{t _{1/2}}$ , où $Δ t$ est la durée écoulée. Attention aux unités : $Δ t$ et $t_{1/2}$ doivent être exprimées dans la même.
Appliquer la loi : $N = N_{0} \times 0, 5^{n}$ . Si $n$ est entier et petit, on peut simplement diviser par $2$ autant de fois ; sinon on utilise la touche $x^{y}$ de la calculatrice.
Contrôler l'ordre de grandeur : après $10$ demi-vies il reste environ un millième ( $0, 5^{10} \approx 1/1 024$ ) ; après $20$ demi-vies, environ un millionième. Un résultat qui ne respecte pas ces repères est faux.

Problème de seuil. Pour savoir au bout de combien de demi-vies il reste moins d'une fraction $f$ de l'échantillon, on cherche le plus petit entier $n$ tel que $0, 5^{n} < f$ , en testant $n = 1, 2, 3, \dots$ ou en lisant la courbe.

$\leftrightarrow$ Lectures graphiques (résolution d'équations et d'inéquations, recherche d'images et d'antécédents).

Exemple 1.19Un calcul et un seuil

Un échantillon contient $N_{0} = 8, 0 \times 1 0^{12}$ noyaux d'iode 131 ( $t_{1/2} = 8, 0$ j).

Au bout de $24$ jours : $n = 24/8, 0 = 3$ , donc $N = 8, 0 \times 1 0^{12} \times 0, 5^{3} = 1, 0 \times 1 0^{12}$ noyaux.
Au bout de $12$ jours : $n = 12/8, 0 = 1, 5$ , donc $N = 8, 0 \times 1 0^{12} \times 0, 5^{1, 5} \approx 8, 0 \times 1 0^{12} \times 0, 354 \approx 2, 8 \times 1 0^{12}$ noyaux. La demi-vie n'oblige pas à travailler par pas entiers.
Pour qu'il en reste moins de $1 %$ : $0, 5^{6} = 0, 0156$ et $0, 5^{7} = 0, 0078$ . Il faut donc $n = 7$ demi-vies, soit $56$ jours.

Méthode : Déterminer une demi-vie à partir d'une représentation graphique

On dispose de la courbe de $N (t)$ ou de $A (t)$ .

Lire l'ordonnée à l'origine $N_{0}$ (ou $A_{0}$ ) : c'est la valeur pour $t = 0$ .
Calculer la moitié de cette valeur, $N_{0} /2$ .
Reporter horizontalement jusqu'à la courbe, puis redescendre verticalement sur l'axe des temps : l'abscisse obtenue est $t_{1/2}$ (voir la figure ci-dessus).
Vérifier en recommençant à partir de $N_{0} /4$ : on doit trouver $2 t_{1/2}$ . Si les deux lectures ne concordent pas, c'est que la lecture est imprécise… ou que la courbe n'est pas une décroissance radioactive.

Précaution de tracé : choisir une échelle où la courbe descend franchement sur la hauteur de la feuille. Une courbe écrasée près de l'axe rend la lecture illusoire.

1.7 Dater : lire le temps dans les noyaux

Une horloge utilisable doit satisfaire trois conditions : partir d'un état connu, avancer à un rythme connu, et n'être remontée par personne. La radioactivité les remplit toutes les trois. C'est ce qui en fait l'instrument de mesure du temps le plus important dont disposent l'archéologie et la géologie.

Méthode : Utiliser une décroissance radioactive pour une datation

Identifier l'horloge : quel nucléide, quelle demi-vie $t_{1/2}$ ? Choisir un nucléide dont la demi-vie est du même ordre de grandeur que l'âge cherché — sinon la mesure n'a aucune sensibilité.
Identifier l'état initial : que valait la grandeur mesurée au moment que l'on veut dater ? Pour le carbone 14, c'est le rapport $_{14} C /_{12} C$ de l'atmosphère, supposé identique à celui d'aujourd'hui.
Calculer le rapport $\frac{N}{N _{0}}$ (ou $\frac{A}{A _{0}}$ ) à partir de la mesure.
Résoudre $0, 5^{n} = \frac{N}{N _{0}}$ , par lecture graphique ou en tâtonnant sur $n$ à la calculatrice, puis conclure : $Δ t = n \times t_{1/2} .$
Critiquer : les hypothèses tiennent-elles ? l'échantillon a-t-il pu être contaminé ? l'ordre de grandeur est-il crédible ?

1.7.1 Le carbone 14, horloge de l'archéologie

Le cycle du carbone 14 et le principe de la datation. Le point délicat

n'est pas la loi de décroissance — elle est sûre — mais l'hypothèse de l'étape 2 : que le rapport atmosphérique était le même autrefois qu'aujourd'hui. C'est cette hypothèse qui a dû être corrigée, par étalonnage sur des cernes d'arbres d'âge connu.</div>

Exemple 1.20Les charbons de Lascaux

Dans la grotte de Lascaux (découverte le $12$ septembre $1940$ ), des charbons de bois abandonnés par les peintres présentent un rapport $_{14} C /_{12} C$ égal au huitième de celui d'un organisme vivant. Or $1/8 = 0, 5^{3}$ : il s'est écoulé $n = 3$ demi-vies, soit $3 \times 5730 = 17190$ ans. Les peintures ont donc environ $17000$ ans.

iRemarqueLes limites de la méthode, et comment on les a repoussées

Trois précautions accompagnent toute datation au carbone 14. Un. Elle ne date que de la matière autrefois vivante : ni une pierre, ni un métal. Deux. Elle date la mort de l'organisme, pas la fabrication de l'objet — dater une poutre, c'est dater l'abattage de l'arbre, qui peut précéder de longtemps la construction. Trois. L'hypothèse d'un rapport atmosphérique constant est fausse en toute rigueur : les essais nucléaires atmosphériques des années $1950$ - $1960$ l'ont fait presque doubler, et la combustion des énergies fossiles — dont le carbone, très ancien, ne contient plus de carbone 14 — le fait au contraire baisser. On corrige donc les âges bruts par des courbes d'étalonnage construites sur des bois dont on compte les cernes annuels un à un.

1.7.2 D'autres horloges, pour d'autres échelles de temps

Pour dater une roche vieille de milliards d'années, le carbone 14 est inutilisable : après $50000$ ans il n'en reste rien. Il faut alors des nucléides de très longue demi-vie, et l'on ne mesure plus le nucléide radioactif seul mais le couple qu'il forme avec le noyau stable issu de sa désintégration : potassium 40 / argon 40, rubidium 87 / strontium 87, uranium 238 / plomb 206.

Exemple 1.21L'âge de la Terre

En $1956$ , le géochimiste américain Clair Patterson publie, à partir des isotopes du plomb mesurés dans la météorite de Canyon Diablo, la valeur de $4, 55$ milliards d'années pour l'âge de la Terre. La valeur retenue aujourd'hui, $4, 54$ milliards d'années, en est indiscernable. Cette histoire est reprise en détail au chapitre consacré à l'âge de la Terre.

1.8 Les noyaux radioactifs en médecine, et les précautions

1.8.1 Diagnostiquer et soigner avec des noyaux

Méthode : Expliquer l'utilisation de noyaux radioactifs en médecine

Toute application médicale se justifie en répondant à trois questions.

Diagnostiquer ou soigner ? En diagnostic, on cherche à voir : on injecte une très faible quantité d'un nucléide qui émet un rayonnement $γ$ traversant les tissus, et des détecteurs extérieurs reconstruisent l'image. La scintigraphie utilise le technétium 99m ( $t_{1/2} = 6$ h), la tomographie par émission de positons (TEP) le fluor 18 ( $t_{1/2} = 110$ min) fixé sur une molécule de sucre, qui se concentre là où les cellules consomment le plus d'énergie — souvent une tumeur. En thérapie, au contraire, on cherche à détruire : on utilise un rayonnement peu pénétrant qui dépose son énergie sur place, comme l'iode 131 ( $t_{1/2} = 8$ j) qui se fixe naturellement sur la thyroïde et irradie les cellules cancéreuses de l'intérieur.
Pourquoi ce nucléide-là ? Deux critères. Le ciblage : la molécule qui le transporte doit aller là où l'on veut. La demi-vie : assez longue pour que l'examen ait lieu, assez courte pour que le patient cesse vite d'être irradié. Six heures pour le technétium, c'est le temps d'un examen, et il n'en reste qu'un centième après deux jours.
Quel bénéfice pour quel risque ? Une dose est toujours reçue. L'acte n'est justifié que si l'information gagnée ou le traitement obtenu valent mieux que le risque encouru. C'est le principe de justification, inscrit dans la réglementation.

iRemarqueUne contrainte logistique qui vient de la demi-vie

Le technétium 99m ne se transporte pas : en $24$ h, il en resterait un seizième. Les hôpitaux reçoivent donc un « générateur » contenant du molybdène 99 ( $t_{1/2} = 66$ h), qui produit sur place le technétium au fur et à mesure des besoins. Le fluor 18, avec ses $110$ minutes, impose plus encore : un cyclotron doit se trouver à moins d'une ou deux heures de route du service de TEP. La physique du noyau dessine ici la carte hospitalière d'un pays.

1.8.2 Les précautions

Définition 1.22Dose absorbée, dose efficace

La dose absorbée mesure l'énergie déposée par le rayonnement dans un kilogramme de matière ; elle s'exprime en grays (Gy). La dose efficace, en sieverts (Sv), pondère cette énergie selon la nocivité du rayonnement et la sensibilité des organes touchés : c'est elle qui sert à évaluer un risque sanitaire. Ne pas confondre avec le becquerel, qui compte des désintégrations et ne dit rien, à lui seul, du danger.

Méthode : Citer quelques précautions inhérentes à l'utilisation de
substances radioactives</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text"> Trois protections physiques, faciles à retenir et à justifier.

Le temps : la dose reçue est proportionnelle à la durée d'exposition. On limite donc le temps passé auprès de la source, et l'on prépare son geste avant de s'approcher.
La distance : le débit de dose décroît comme l'inverse du carré de la distance. Passer de $50$ cm à $2$ m, c'est diviser la dose par $16$ . D'où l'usage de pinces longues.
L'écran : un rayonnement $α$ est arrêté par une feuille de papier, un $β$ par quelques millimètres d'aluminium, un $γ$ exige plusieurs centimètres de plomb ou du béton.

S'y ajoutent des précautions d'organisation : confinement des sources et étiquetage (le trèfle radioactif), port d'un dosimètre individuel par les personnels, gestion et stockage des déchets, ventilation des locaux, et deux principes réglementaires — la justification de tout acte et l'optimisation, qui impose de maintenir les doses aussi basses que raisonnablement possible.

Quelques ordres de grandeur de doses efficaces. L'exposition moyenne

totale en France est d'environ $4, 5$ mSv par an, dont les deux tiers d'origine naturelle — le radon du sol en étant la principale contribution. La limite réglementaire de $1$ mSv par an pour le public ne comptabilise ni cette exposition naturelle, ni les actes médicaux, qui relèvent d'une justification au cas par cas.</div>

iRemarqueSciences, société et environnement

La radioactivité est le domaine où le grand public surestime le plus certains risques et en ignore d'autres. Le radon, gaz radioactif naturel issu de l'uranium des roches granitiques, est en France la première source d'exposition et un facteur reconnu de cancer du poumon ; le niveau de référence retenu dans les bâtiments est de $300$ Bq par mètre cube, et la parade principale — aérer et ventiler — ne coûte presque rien. À l'autre bout, la même physique nucléaire alimente des débats de société qui, eux, ne se tranchent pas au tableau : le devenir des déchets à vie longue, la place du nucléaire dans les politiques énergétiques, l'exploitation des terres rares nécessaires aux technologies bas carbone. La science éclaire ces décisions ; elle ne les prend pas.

1.9 Histoire des sciences : comment a-t-on su ?

1.9.1 De Fraunhofer à Bethe : lire la composition des étoiles

Comment savoir de quoi est fait un objet qu'on ne touchera jamais ? Toute la réponse tient dans la lumière qu'il envoie.

$1814$ — Fraunhofer voit des raies noires. L'opticien bavarois Joseph von Fraunhofer, en cherchant à améliorer ses lentilles, décompose la lumière du Soleil et y découvre des centaines de raies sombres. Il en cartographie $574$ et désigne les plus fortes par des lettres. Il ne sait pas ce qu'elles signifient. Il les mesure, et c'est déjà beaucoup : un fait précis, reproductible, en attente d'explication.

$1859$ - $1860$ — Kirchhoff et Bunsen les font parler. À Heidelberg, Gustav Kirchhoff et Robert Bunsen établissent que chaque élément chimique porté à haute température émet un jeu de raies qui lui est propre — une signature. Et que les raies noires du Soleil coïncident avec les raies brillantes de certains éléments : elles trahissent l'absorption par les gaz de l'atmosphère solaire. On peut donc analyser chimiquement une étoile à distance. L'idée est si puissante qu'elle fait tomber, en une décennie, une frontière que l'on croyait infranchissable.

$1868$ — Un élément découvert dans le ciel avant la Terre. Lors de l'éclipse totale du $18$ août $1868$ , Jules Janssen observe dans le spectre solaire une raie jaune qui ne correspond à aucun élément connu. Norman Lockyer l'observe indépendamment quelques semaines plus tard et propose, avec Edward Frankland, de nommer hélium l'élément inconnu — du grec hêlios, le Soleil. Il faudra attendre $1895$ et William Ramsay pour en trouver sur Terre. Un élément a donc été découvert à $150$ millions de kilomètres avant de l'être sous nos pieds.

$1925$ — Cecilia Payne : les étoiles sont faites d'hydrogène. Dans sa thèse de doctorat, Cecilia Payne montre, en appliquant la physique atomique nouvelle aux spectres stellaires, que les étoiles sont composées presque uniquement d'hydrogène et d'hélium. Le résultat contredit la conviction de l'époque, selon laquelle les étoiles auraient une composition voisine de celle de la Terre. Son directeur de thèse, Henry Norris Russell, la persuade d'écrire que ce résultat est « presque certainement irréel ». Quatre ans plus tard, il parvient au même résultat par une autre voie et le publie. Payne avait raison. L'épisode dit beaucoup, à la fois sur la résistance des communautés savantes aux résultats dérangeants et sur la place faite aux femmes dans la science du XX^e siècle.

$1920$ - $1939$ — D'où vient l'énergie ? Francis Aston mesure en $1920$ que quatre noyaux d'hydrogène pèsent un peu plus qu'un noyau d'hélium — l'écart est inférieur à un pour cent. La même année, Arthur Eddington en tire la conclusion : si les étoiles transforment de l'hydrogène en hélium, cette différence de masse peut être la source de leur énergie. L'idée met vingt ans à devenir une théorie quantitative ; en $1938$ - $1939$ , Hans Bethe publie les chaînes de réactions qui produisent l'énergie stellaire, la chaîne proton-proton et le cycle du carbone. Il recevra le prix Nobel de physique en $1967$ .

$1953$ - $1957$ — Jusqu'au fer, et au-delà. Restait une énigme : le carbone. Sa formation à partir de trois noyaux d'hélium semblait impossible. En $1953$ , Fred Hoyle prédit, par un raisonnement audacieux — le carbone existe, donc la nature doit avoir un moyen de le faire — l'existence d'un état excité particulier du carbone 12 ; l'équipe de William Fowler le trouve expérimentalement la même année. En $1957$ , l'article de Margaret Burbidge, Geoffrey Burbidge, William Fowler et Fred Hoyle, resté célèbre sous le sigle B $^{2}$ FH, décrit l'ensemble des processus qui fabriquent les éléments dans les étoiles. La question posée en tête de ce chapitre reçoit là sa réponse.

1.9.2 Becquerel, les Curie et la découverte de la radioactivité

Mars $1896$ — un hasard bien exploité. Henri Becquerel étudie la fluorescence des sels d'uranium et suppose qu'exposés au Soleil, ils émettraient des rayons capables d'impressionner une plaque photographique. Le temps est couvert ; il range plaques et sels dans un tiroir. En développant les plaques le $1 < s u p > er < / s u p >$ mars, il découvre une image intense. L'émission n'avait donc rien à voir avec le Soleil : elle venait de l'uranium lui-même. Il communique le résultat à l'Académie des sciences le $2$ mars $1896$ . Le hasard a sa part — mais seul un esprit préparé développe une plaque qu'il croyait inutile.

$1898$ — Marie Curie mesure au lieu de regarder. Marie Curie choisit ce phénomène obscur comme sujet de thèse. Sa décision méthodologique est décisive : plutôt que d'observer des plaques photographiques, elle mesure le courant que le rayonnement fait passer dans l'air, à l'aide d'un électromètre et d'un quartz piézoélectrique mis au point par Pierre et Jacques Curie. Elle établit alors deux faits. Premièrement, l'intensité du rayonnement est proportionnelle à la quantité d'uranium présente, et indépendante de la combinaison chimique : c'est donc une propriété de l'atome. Deuxièmement, certains minerais rayonnent plus que leur teneur en uranium ne le permet : il doit s'y trouver un élément inconnu, bien plus actif. Elle forge le mot radioactivité. En juillet $1898$ , Pierre et Marie Curie annoncent le polonium ; en décembre, le radium. Il faudra ensuite traiter plusieurs tonnes de résidus de pechblende pour en isoler, en $1902$ , un décigramme de chlorure de radium.

La suite. Prix Nobel de physique $1903$ (Becquerel et les époux Curie) ; prix Nobel de chimie $1911$ (Marie Curie seule). Ernest Rutherford et Frederick Soddy établissent en $1902$ - $1903$ que la radioactivité est une transmutation : un élément se change en un autre — ce que la chimie tenait pour impossible depuis Lavoisier. En janvier $1934$ , Irène Joliot-Curie et Frédéric Joliot produisent les premiers noyaux radioactifs artificiels ; prix Nobel de chimie l'année suivante. En décembre $1938$ , Otto Hahn et Fritz Strassmann trouvent du baryum après avoir bombardé de l'uranium par des neutrons, sans comprendre ce qu'ils voient ; c'est Lise Meitner, réfugiée en Suède, et son neveu Otto Frisch qui donnent l'interprétation dans Nature le $11$ février $1939$ et forgent le mot fission.

iRemarqueLe prix payé

Marie Curie meurt le $4$ juillet $1934$ d'une anémie aplasique, très probablement liée à ses expositions prolongées. Ses carnets de laboratoire sont encore aujourd'hui trop radioactifs pour être consultés sans précaution. Les règles de radioprotection décrites plus haut n'existaient pas : elles ont été écrites après coup, avec le savoir acquis — et parfois au prix de la vie de ceux qui l'ont acquis. C'est aussi cela, l'histoire d'une science.

1.10 Bilan

Ce qu'il faut savoir

Les noyaux de la centaine d'éléments chimiques stables résultent de réactions nucléaires au sein des étoiles, à partir de l'hydrogène initial.
La matière connue de l'Univers est principalement faite d'hydrogène et d'hélium ; la Terre, surtout d'oxygène, d'hydrogène, de fer, de silicium et de magnésium ; les êtres vivants, de carbone, d'hydrogène, d'oxygène et d'azote.
Certains noyaux sont instables et se désintègrent : c'est la radioactivité.
L'instant de désintégration d'un noyau individuel est aléatoire.
La demi-vie $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux d'un échantillon macroscopique se sont désintégrés ; elle est caractéristique du noyau considéré.

Ce qu'il faut savoir faire

Produire et analyser des représentations graphiques de l'abondance des éléments, en précisant toujours ce qui est compté.
Reconnaître, sur une équation fournie, une fusion (noyaux légers $\to$ noyau plus lourd) d'une fission (noyau lourd $\to$ deux fragments), et vérifier les conservations de $A$ et $Z$ .
Calculer $N (n) = N_{0} \times 0, 5^{n}$ , y compris pour $n$ non entier.
Déterminer une demi-vie sur un graphique et vérifier la lecture.
Dater un échantillon à partir d'une décroissance radioactive, et critiquer les hypothèses de la datation.
Expliquer un usage médical (diagnostic ou thérapie) en justifiant le choix du nucléide par son ciblage et sa demi-vie.
Citer des précautions : temps, distance, écran, confinement, dosimétrie, justification et optimisation des doses.

Trois chiffres à retenir

$92 %$ des atomes de l'Univers sont de l'hydrogène. $5730$ ans est la demi-vie du carbone 14. $0, 5^{n}$ est la fraction restante après $n$ demi-vies — et $0, 5^{10}$ vaut environ un millième.

Ce que ce chapitre dit de la science elle-même

Nous n'irons jamais au cœur du Soleil, et pourtant nous savons ce qui s'y passe : le savoir scientifique n'a pas besoin d'aller voir, il a besoin de mesurer, de raisonner et de confronter. Une raie noire dans un spectre, en $1814$ , ne signifiait rien ; il a fallu quarante-cinq ans pour la faire parler, et un siècle et demi pour boucler l'histoire jusqu'à B $^{2}$ FH. Une plaque photographique voilée dans un tiroir, en $1896$ , aurait pu être jetée. Et une thèse de doctorat exacte a été publiée en $1925$ avec la mention que son résultat était « presque certainement irréel ».

Le hasard, enfin, n'est pas ici l'ennemi de la connaissance : c'est son objet. De l'imprévisibilité totale d'un noyau unique naît, par le seul effet du grand nombre, une loi si régulière qu'on l'utilise pour dater des peintures vieilles de dix-sept mille ans. Voilà peut-être ce qu'il faut retenir de ce chapitre, bien au-delà des noyaux : savoir n'est pas tout prévoir.

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