Des édifices ordonnés : les cristaux

Cours complet · enseignement scientifique (première), chapitre 2 · première, enseignement scientifique

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2.1 Introduction : pourquoi le sel est-il fait de petits cubes ?

Versez du sel fin dans le creux de votre main et regardez-le à la loupe. Vous n'y verrez pas de la poudre, mais des cubes — des cubes minuscules, aux faces planes et aux arêtes vives, parfois ébréchés, presque tous semblables. Personne ne les a taillés. Ils se sont formés seuls, en quelques heures, par évaporation d'une eau salée.

Cette petite observation est un scandale. Pourquoi une matière qui a été dissoute, mélangée, brassée, choisirait-elle en séchant une forme aussi géométrique ? D'où vient l'angle droit ? Comment des milliards de milliards d'objets invisibles peuvent-ils s'accorder sur une direction commune, sans chef d'orchestre ?

La réponse tient en un mot, et ce mot est le sujet du chapitre : le sel est un cristal. Ses constituants ne sont pas empilés au hasard : ils occupent des positions régulières, répétées à l'identique dans les trois directions de l'espace, sur des distances immenses au regard de leur taille. Le cube que vous voyez à la loupe n'est que la trace visible, agrandie mille millions de fois, d'un ordre qui règne à l'échelle des ions.

Ce chapitre suit ce fil, du plus petit au plus grand.

Décrire. Il existe une manière économique de dire l'ordre d'un cristal : la maille. Un tout petit volume, et une règle de répétition. Nous apprendrons à la représenter dans l'espace et à en compter les occupants.
Prédire. L'organisation microscopique n'est pas une curiosité décorative : elle commande des propriétés que l'on mesure, à commencer par la masse volumique. Nous calculerons la masse volumique du sel sans jamais peser de sel.
Classer, et se repérer. Atome, maille, cristal, minéral, roche : cinq mots, cinq échelles, dix puissances de dix. Les confondre rend toute la géologie incompréhensible.
Comparer. Le vivant fabrique lui aussi des cristaux — coquilles, os, dents, calculs. Et, à l'inverse, certaines matières solides sont désordonnées : le verre. Une même lave donne l'un ou l'autre selon la vitesse à laquelle elle refroidit.

iRemarqueUne compétence transversale : voir dans l'espace

Ce chapitre est celui du livre qui demande le plus de représentation dans l'espace. Perspective cavalière, comptage d'objets partagés entre plusieurs volumes, passage d'un dessin plan à un solide : ces gestes s'apprennent, et ils servent bien au-delà des cristaux — en géométrie, en dessin technique, en imagerie médicale. Prenez le temps de refaire les figures à la main : c'est ainsi qu'on les comprend.

2.2 L'état cristallin : un empilement qui se répète

2.2.1 Le sel : un empilement régulier d'ions

Proposition 2.1Le chlorure de sodium solide est un cristal

Le chlorure de sodium solide (présent dans les roches, ou issu de l'évaporation de l'eau de mer) est constitué d'un empilement régulier d'ions : c'est l'état cristallin.

Deux mots comptent dans cette phrase. Ions : le sel solide n'est pas fait de molécules « $NaCl$ » individuelles, mais d'ions sodium $Na X^{+}$ et d'ions chlorure $Cl X^{-}$ en nombre égal, chacun attiré par tous ses voisins de charge opposée. Régulier : leurs positions ne sont pas quelconques, elles se répètent périodiquement dans les trois directions de l'espace.

D'où vient le sel que nous mangeons ? De deux sources, et elles disent déjà quelque chose. Le sel gemme est extrait de couches rocheuses — des dépôts d'anciennes mers évaporées, comme à Varangéville en Lorraine ou dans les mines de Wieliczka en Pologne. Le sel marin est récolté dans les marais salants de Guérande ou de Camargue, où le Soleil et le vent concentrent l'eau de mer jusqu'à ce que le sel cristallise. Dans les deux cas, la même chose s'est produite : de l'eau salée s'est évaporée, et les ions, de plus en plus serrés, ont fini par s'assembler selon le seul arrangement qui les satisfasse tous.

La maille cubique du chlorure de sodium, dessinée en perspective cavalière.

Les ions chlorure, plus gros, occupent les sommets et le centre des faces du cube ; les ions sodium, plus petits, occupent le milieu des arêtes et le centre. Aucun ion n'est apparié à un autre en particulier : chacun est entouré de six voisins de charge opposée, comme le montre le panneau de droite. Il n'y a pas de « molécule de sel ».</div>

iRemarqueUne idée fausse tenace : la « molécule de sel »

On écrit $NaCl$ , et l'on croit volontiers qu'il existe quelque part une petite molécule faite d'un atome de sodium accroché à un atome de chlore. Il n'en est rien dans le solide. La formule $NaCl$ n'indique qu'une proportion : il y a autant d'ions sodium que d'ions chlorure. C'est exactement ce que la première structure cristalline jamais résolue, celle du sel, a révélé en $1913$ — au grand scandale de certains chimistes de l'époque, qui n'imaginaient pas un solide sans molécules. Nous y reviendrons dans la section d'histoire des sciences.

2.2.2 Réseau, motif, maille : trois mots pour une seule idée

Définition 2.2Cristal

Un cristal est un solide dont les entités constitutives — atomes, ions ou molécules — sont disposées de façon ordonnée et périodique : le même arrangement se répète à l'identique, à intervalles réguliers, dans les trois directions de l'espace.

Définition 2.3Maille

La maille est le plus petit volume qui, répété par translations dans les trois directions de l'espace, reconstitue tout le cristal. Elle est caractérisée par la longueur de ses arêtes — les paramètres de maille, notés $a$ , $b$ , $c$ — et par les angles entre elles.

Pour le chlorure de sodium, la maille est un cube d'arête $a = 0, 564$ nm, soit $5, 64 \times 1 0^{- 10}$ m.

Définition 2.4Réseau, motif

Le réseau est l'ensemble des positions régulièrement espacées obtenues en répétant la maille. Le motif est le groupe d'entités que l'on place en chaque position du réseau. Un cristal, c'est donc : un motif $+$ un réseau.

L'image du papier peint aide à ne plus confondre ces mots. Le motif, c'est le dessin — une fleur, un oiseau. Le réseau, c'est la grille invisible qui dit où recopier le dessin. Le papier peint, c'est le cristal. Deux papiers peints peuvent avoir la même grille et des dessins différents, ou le même dessin sur des grilles différentes.

Exemple 2.5Quelques paramètres de maille

Cristal	Type de maille	Paramètre $a$
Chlorure de sodium (halite)	cubique	$0, 564$ nm
Fer $α$ (à température ambiante)	cubique centré	$0, 287$ nm
Fer $γ$ (au-delà de $912^{\circ}$ C)	cubique à faces centrées	$0, 359$ nm
Cuivre	cubique à faces centrées	$0, 361$ nm
Diamant	cubique	$0, 357$ nm
Glace ordinaire	hexagonale	$0, 452$ nm

Toutes ces longueurs sont de l'ordre du dixième de nanomètre à quelques dixièmes de nanomètre. C'est l'ordre de grandeur du contact entre deux atomes : rien de plus normal, puisqu'une maille contient précisément quelques atomes en contact.

2.2.3 Représenter un cristal : la perspective cavalière et le modèle 3D

Un cristal est un objet de l'espace ; une feuille est un plan. Tout le problème de la représentation tient dans ce désaccord. La convention retenue au lycée est la perspective cavalière : les faces parallèles au plan de la feuille sont dessinées en vraie grandeur, et la troisième direction — la fuyante — est tracée en oblique, avec une longueur réduite.

Méthode : Représenter une maille cubique en perspective cavalière

Tracer la face avant en vraie grandeur : ici un carré de côté $a$ , avec ses angles droits.
Choisir l'angle de fuite, en général $4 5^{\circ}$ , et le coefficient de réduction, en général $0, 5$ . Depuis chaque sommet du carré, tracer un segment oblique de longueur $0, 5 a$ .
Fermer la face arrière, identique à la face avant.
Distinguer le visible du caché : les trois arêtes qui aboutissent au sommet arrière situé « derrière » le solide se dessinent en pointillés.
Placer les entités, en respectant leurs positions relatives, et en dessinant d'abord celles du fond puis celles du premier plan : ce sont les plus proches qui masquent les autres.

Attention à un piège d'interprétation. En perspective cavalière, les longueurs de la fuyante ne sont pas à l'échelle et les angles droits de l'espace ne se voient pas comme des angles droits sur la feuille. Une maille cubique dessinée ainsi est un cube, même si elle ne ressemble pas à un cube.

$\leftrightarrow$ Représentation dans l'espace, perspective cavalière : le vocabulaire est celui de la géométrie du collège et de la seconde.

Méthode : Utiliser une représentation en trois dimensions informatisée
du cristal de chlorure de sodium</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text"> Les logiciels de visualisation moléculaire (Jmol, Mol, Avogadro, les visionneuses en ligne des banques de structures) affichent une maille et permettent de la faire tourner. Ce n'est pas un jouet : c'est l'instrument qui lève l'ambiguïté du dessin plan. Procéder ainsi.

Identifier les espèces avant tout : quelle couleur pour quel ion ? Un modèle sans légende ne se lit pas. Ici, le plus gros est l'ion chlorure (rayon $0, 181$ nm), le plus petit l'ion sodium ( $0, 102$ nm).
Choisir le mode d'affichage. Le mode « boules et bâtons » montre les positions* et les voisinages ; le mode « compact », où les ions sont dessinés à leur vraie taille et se touchent, montre le remplissage de l'espace. Les deux disent la même structure, mais ne répondent pas à la même question.
Tourner la maille jusqu'à retrouver, de face, l'alternance en damier des deux ions ; puis tourner encore, et vérifier que cette alternance se retrouve dans toutes les directions.
Compter les voisins immédiats d'un ion : on doit en trouver six, aux sommets d'un octaèdre.
Étendre la vue à plusieurs mailles ( $3 \times 3 \times 3$ , puis davantage) : c'est la seule façon de voir que la maille n'est pas un objet isolé mais un découpage de l'empilement.
Revenir au dessin : refaire à la main, en perspective cavalière, ce que le logiciel a montré. La compétence visée est là.

iRemarquePourquoi les ions ne s'apparient pas

Chaque ion $Na X^{+}$ attire tous les $Cl X^{-}$ et repousse tous les $Na X^{+}$ ; l'attraction électrique n'a ni direction privilégiée ni partenaire attitré. L'empilement observé est celui qui rend l'ensemble le plus stable possible : maximiser le nombre de voisins de charge opposée, tout en tenant compte de la taille des ions. Avec les rayons du sodium et du chlorure, l'arrangement gagnant place six voisins autour de chacun. Avec des ions de tailles différentes, ce nombre change : dans le chlorure de césium, chaque ion a huit voisins.

2.3 De la maille au cristal : ce que le microscopique impose au

macroscopique

2.3.1 Compter les entités d'une maille

Une maille n'est pas un sac fermé : c'est un découpage. Les entités posées sur une face, une arête ou un sommet sont partagées avec les mailles voisines, et il faut en tenir compte pour savoir combien il y en a « par maille ».

Méthode : Compter les entités d'une maille cubique

On compte la part de chaque entité qui revient à la maille considérée.

une entité au centre du cube appartient à une seule maille : elle compte pour $1$ ;
une entité au centre d'une face est partagée entre $2$ mailles : elle compte pour $\frac{1}{2}$ ;
une entité au milieu d'une arête est partagée entre $4$ mailles : elle compte pour $\frac{1}{4}$ ;
une entité à un sommet est partagée entre $8$ mailles : elle compte pour $\frac{1}{8}$ .

On additionne ensuite les parts. Le résultat est toujours un nombre entier — c'est le contrôle du calcul.

Les trois empilements cubiques les plus courants, et le décompte des entités

qui reviennent à chaque maille. De gauche à droite, le remplissage de l'espace devient de plus en plus serré : c'est ce qui explique qu'un même métal soit plus dense sous l'une de ces formes que sous l'autre.</div>

Exemple 2.6Le décompte du chlorure de sodium

Reprenons la maille du sel. Les ions chlorure occupent les $8$ sommets et le centre des $6$ faces : $8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4 ions chlorure .$ Les ions sodium occupent le milieu des $12$ arêtes et le centre du cube : $12 \times \frac{1}{4} + 1 = 3 + 1 = 4 ions sodium .$ La maille contient donc $4$ ions de chaque sorte, soit $4$ « motifs $NaCl$ ». Le rapport $1 : 1$ de la formule chimique est bien respecté — c'est la vérification à faire systématiquement.

2.3.2 La masse volumique, calculée sans jamais peser

Voici le moment où la structure microscopique cesse d'être un dessin et devient une prédiction mesurable.

Proposition 2.7La structure microscopique commande des propriétés

macroscopiques</div><div class='text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text'> Plus généralement, la structure microscopique d'un cristal conditionne certaines de ses propriétés macroscopiques, notamment la masse volumique.

Si l'on connaît la maille — sa taille et son contenu — on connaît la masse enfermée dans un volume connu, donc la masse volumique. Le calcul se fait sur une maille et le résultat vaut pour le cristal entier, aussi gros soit-il : la périodicité fait que ce qui est vrai d'une maille est vrai de toutes.

Méthode : Relier l'organisation de la maille à la structure macroscopique
du cristal</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text"> Pour passer du microscopique au macroscopique, trois questions, toujours les mêmes.

Que contient la maille ? Compter les entités par les parts ( $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ , $1$ ), et vérifier que la formule chimique est respectée.
Quelle masse cela représente-t-il ? La masse d'un motif vaut $M / N_{A}$ , où $M$ est la masse molaire et $N_{A} = 6, 02 \times 1 0^{23}$ mol $^{- 1}$ le nombre d'Avogadro. Si la maille contient $Z$ motifs, sa masse vaut $m_{maille} = Z \times M / N_{A}$ .
Quel volume occupe-t-elle ? Pour une maille cubique d'arête $a$ , $V_{maille} = a^{3}$ .

D'où la masse volumique du cristal : $ρ = \frac{m _{maille}}{V _{maille}} = \frac{Z \times M}{N _{A} \times a ^{3}}$ Le piège est celui des unités. Une masse molaire est en g $\cdot$ mol $^{- 1}$ , un paramètre de maille en nanomètres, une masse volumique en g $\cdot$ cm $^{- 3}$ ou en kg $\cdot$ m $^{- 3}$ . Convertir avant de calculer, et se rappeler que le cube d'une longueur multiplie l'erreur par trois si l'on se trompe de puissance de dix.

$\leftrightarrow$ Grandeurs et mesures ; grands nombres, petits nombres, puissances de $10$ : voir l'annexe « Automatismes » de la partie mathématique.

Exemple 2.8La masse volumique du sel, prédite puis vérifiée

Données : $a = 0, 564$ nm $= 5, 64 \times 1 0^{- 8}$ cm ; $Z = 4$ motifs par maille ; $M (NaCl) = 58, 5$ g $\cdot$ mol $^{- 1}$ ; $N_{A} = 6, 02 \times 1 0^{23}$ mol $^{- 1}$ .

Volume de la maille : $V = a^{3} = (5, 64 \times 1 0^{- 8})^{3} = 1, 79 \times 1 0^{- 22} cm^{3} .$ Masse de la maille : $m = \frac{4 \times 58 , 5}{6 , 02 \times 1 0 ^{23}} = 3, 89 \times 1 0^{- 22} g .$ D'où $ρ = \frac{3 , 89 \times 1 0 ^{- 22}}{1 , 79 \times 1 0 ^{- 22}} \approx 2, 17 g \cdot cm^{- 3} .$ La valeur mesurée sur un cristal de halite est $2, 16$ g $\cdot$ cm $^{- 3}$ . Un écart de moins d'un demi pour cent. Nous n'avons pourtant pesé aucun sel : nous avons seulement décrit un arrangement d'ions, et le monde macroscopique nous a donné raison.

iRemarqueCe que cet accord démontre

Il faut mesurer la portée de ce petit calcul. Une hypothèse invisible — « les ions sont rangés ainsi, avec cette périodicité » — produit un nombre que n'importe qui peut vérifier avec une balance et une éprouvette. Si l'accord n'avait pas eu lieu, c'est le modèle qu'il aurait fallu changer. C'est le mécanisme même de la validation en sciences : une théorie n'a de valeur que si elle s'expose à être démentie par une mesure.

2.3.3 La forme extérieure : ce que la maille impose, et ce qu'elle

n'impose pas

Revenons au grain de sel du début. Sa forme cubique n'est pas un hasard : elle prolonge, à notre échelle, la géométrie cubique de la maille. Ce lien du microscopique au macroscopique est réel — mais il est plus subtil qu'il n'y paraît.

À gauche : deux minéraux dont le réseau est cubique, mais qui ne se

présentent pas sous la même forme. La maille contraint l'ensemble des formes possibles ; elle n'en désigne pas une seule. À droite : deux sections de quartz de tailles et de proportions très différentes. Les faces n'ont pas la même largeur, mais les angles qu'elles font entre elles sont identiques. C'est la loi de constance des angles, énoncée par Sténon en $1669$ .</div>

◆Théorème 2.9Loi de constance des angles (Sténon,

1669

)

Pour une espèce cristalline donnée, les angles entre deux faces correspondantes sont les mêmes sur tous les échantillons, quelles que soient leur taille et leurs proportions.

Cette loi est remarquable à double titre. D'abord parce qu'elle est vraie, et vérifiable à la main avec un rapporteur, sur des cailloux ramassés dans deux pays différents. Ensuite parce qu'elle a été énoncée en $1669$ , cent quinze ans avant la première hypothèse sur la structure interne des cristaux, et deux siècles et demi avant qu'on ne la « voie ». Une régularité mesurée peut donc précéder de très loin son explication.

iRemarquePourquoi les faces sont planes

Un cristal qui grandit ajoute des entités couche par couche, sur des plans du réseau. Les faces que l'on observe correspondent aux plans les plus denses de ce réseau, ceux qui croissent le plus lentement. Les proportions des faces, elles, dépendent des conditions de croissance : température, concentration, présence d'impuretés, place disponible. D'où le résultat : les directions sont fixées par le réseau, les tailles par l'histoire du cristal. Un cristal de neige et un cristal de quartz racontent chacun sa propre histoire de croissance avec les mêmes angles.

Exemple 2.10Quand un cristal n'a pas de belles faces

Dans un granite, les cristaux sont serrés les uns contre les autres : chacun a grandi jusqu'à buter sur ses voisins et n'a pas pu développer ses faces. On n'y voit donc pas de jolis polyèdres, mais des grains aux contours irréguliers. L'ordre interne, lui, est intact. Ne pas avoir de belles faces n'empêche pas d'être un cristal — c'est l'erreur d'interprétation la plus fréquente devant un échantillon.

2.4 Atome, maille, cristal, minéral, roche : cinq échelles emboîtées

2.4.1 Cinq mots à ne pas confondre

Définition 2.11Minéral

Un minéral est une espèce solide naturelle définie par deux caractères : sa composition chimique et son organisation cristalline. Changer l'un des deux, c'est changer de minéral.

Définition 2.12Roche

Une roche est un matériau naturel formé de l'association de cristaux d'un même minéral ou de plusieurs minéraux. Une roche formée d'un seul minéral est dite monominérale (le calcaire pur, fait de calcite ; le quartzite, fait de quartz) ; la plupart sont polyminérales (le granite).

Proposition 2.13Minéraux et roches

Ainsi les minéraux se caractérisent par leur composition chimique et leur organisation cristalline. Une roche est formée de l'association de cristaux d'un même minéral ou de plusieurs minéraux.

L'ordre des mots dit l'emboîtement : des atomes ou des ions forment un motif, le motif répété sur un réseau forme un cristal, une population de cristaux d'une même espèce définit un minéral, et l'assemblage de cristaux de un ou plusieurs minéraux fait une roche.

Les cinq niveaux d'organisation de la matière minérale, placés sur une

échelle logarithmique. Entre l'ion et la roche, il y a un facteur un milliard à dix milliards. La limite de l'œil nu, vers $0, 1$ mm, tombe au milieu du domaine des cristaux : certains se voient, la plupart non.</div>

Méthode : Distinguer atome ou molécule, maille, cristal, minéral, roche

Pour situer un objet dans cette hiérarchie, se poser deux questions dans l'ordre : quelle taille ? et quelle nature d'objet ?

Niveau	Taille typique	Nature
Atome, ion, molécule	$1 0^{- 10}$ à $1 0^{- 9}$ m	une entité chimique
Maille	$1 0^{- 10}$ à $1 0^{- 9}$ m	un volume de description
Cristal (grain)	$1 0^{- 6}$ à $1 0^{- 2}$ m	un édifice ordonné continu
Minéral	---	une espèce, pas un objet
Roche	$1 0^{- 2}$ m et au-delà	un assemblage de cristaux

Trois pièges classiques.

La maille n'est pas un objet, c'est un découpage de pensée : on ne peut pas « prendre une maille » entre ses doigts, ni la voir isolée.
Le minéral n'est pas une taille mais une espèce, comme « chêne » est une espèce d'arbre. On dit « un cristal de quartz », pas « un minéral de $3$ cm ».
Une roche n'est pas un minéral : le granite n'existe pas comme espèce minérale, c'est un assemblage de quartz, de feldspaths et de micas.

$\leftrightarrow$ Grands nombres, petits nombres, puissances de $10$ : tout ce paragraphe se manipule en écriture scientifique.

Exemple 2.14Un grain de sel de table, en chiffres

Un grain de sel fin mesure environ $0, 5$ mm d'arête, soit $5 \times 1 0^{- 4}$ m. La maille mesure $5, 64 \times 1 0^{- 10}$ m. Le long d'une arête du grain, on empile donc $\frac{5 \times 1 0 ^{- 4}}{5 , 64 \times 1 0 ^{- 10}} \approx 8, 9 \times 1 0^{5} mailles,$ soit près d'un million. Dans le grain entier, il y a le cube de ce nombre : $(8, 9 \times 1 0^{5})^{3} \approx 7 \times 1 0^{17} mailles,$ et donc environ $4 \times 7 \times 1 0^{17} \approx 3 \times 1 0^{18}$ paires d'ions, soit près de six milliards de milliards d'ions. Voilà pourquoi l'ordre cristallin est si parfait à notre échelle : les irrégularités inévitables se noient dans un nombre pareil.

2.4.2 Identifier des structures cristallines sur un échantillon ou une

image

Méthode : Reconnaître un cristal

Devant un échantillon, une photographie ou une image de microscope, chercher les indices dans cet ordre.

Des faces planes et des arêtes rectilignes. Un cristal libre de croître présente des surfaces géométriques, brillantes, et non des courbes.
Des angles qui se répètent. Sur plusieurs cristaux du même échantillon, les mêmes angles reviennent — $12 0^{\circ}$ pour le quartz, $9 0^{\circ}$ pour la halite ou la pyrite.
Des clivages. Beaucoup de cristaux se cassent selon des plans privilégiés, ceux du réseau : les fragments de calcite sont tous des rhomboèdres, ceux du mica des feuillets, ceux de la halite des cubes.
Des grains jointifs de formes polygonales, dans une roche : le cristal existe même sans faces libres (voir plus haut).
Au microscope polarisant, sur une lame mince : chaque minéral prend des teintes caractéristiques et s'éteint tous les $9 0^{\circ}$ de rotation. Un verre, lui, reste noir en toute position — c'est le test décisif.
Pour trancher vraiment : la diffraction des rayons X. Un cristal produit des taches régulières, une matière amorphe des anneaux flous. C'est la seule preuve directe de l'ordre à longue distance.

Se méfier des faux amis : un galet poli n'est pas moins cristallin qu'un prisme de quartz ; à l'inverse, un objet aux faces planes peut avoir été taillé (silex, verre). La forme extérieure est un indice, pas une preuve.

Exemple 2.15Trois échantillons à lire

Un bloc de granite. À l'œil nu : des grains de quelques millimètres, jointifs, de trois couleurs. Le blanc ou rose est du feldspath, le gris translucide du quartz, le noir brillant en paillettes du mica. Trois minéraux, donc une roche polyminérale, entièrement cristallisée.
Un morceau d'obsidienne. Noir, luisant, sans le moindre grain, et cassé en surfaces courbes concaves. Aucun cristal : c'est un verre.
Un cristal de gypse. Transparent, en lames, se rayant à l'ongle, et se clivant en feuillets souples. Un seul minéral, de grandes faces bien développées : il a poussé librement, dans une cavité.

2.5 Un même composé, plusieurs cristaux

2.5.1 Le polymorphisme

Proposition 2.16Plusieurs structures pour une même formule

Un composé de formule chimique donnée peut cristalliser sous différents types de structures.

La composition chimique ne suffit donc pas à définir un minéral : il faut préciser l'arrangement. Deux structures différentes pour une même formule donnent deux minéraux différents, aux propriétés différentes. Ce phénomène s'appelle le polymorphisme.

Le cas le plus spectaculaire est celui du carbone. Un seul élément, deux minéraux qui n'ont rien de commun à nos yeux.

Les deux formes cristallines les plus connues du carbone. Le diamant est un

réseau tridimensionnel où chaque atome est lié à quatre voisins ; le graphite est un empilement de feuillets solides très faiblement liés entre eux. Mêmes atomes, arrangements différents, propriétés opposées.</div>

Exemple 2.17Le carbone : de la mine de crayon à la bague

Le graphite laisse une trace sur le papier parce que ses feuillets se détachent au moindre frottement ; c'est aussi un lubrifiant solide et un bon conducteur électrique. Le diamant, lui, est le plus dur des minéraux naturels (dureté $10$ sur l'échelle de Mohs), transparent et isolant. La différence tient uniquement à la manière dont les mêmes atomes de carbone sont liés. À la pression et à la température ordinaires, c'est le graphite qui est la forme stable : un diamant est, très lentement, en train de devenir du graphite. À l'échelle humaine, cette transformation est parfaitement inobservable.

Exemple 2.18Le carbonate de calcium : calcite et aragonite

Le composé $CaCO X_{3}$ cristallise principalement sous deux formes.

	Calcite	Aragonite
Formule	$CaCO X_{3}$	$CaCO X_{3}$
Système cristallin	rhomboédrique	orthorhombique
Masse volumique	$2, 71$ g $\cdot$ cm $^{- 3}$	$2, 93$ g $\cdot$ cm $^{- 3}$
Dureté (Mohs)	$3$	$3, 5$ à $4$
Stabilité	stable	métastable

Même formule, mêmes atomes, et pourtant $8 %$ d'écart sur la masse volumique : l'aragonite est plus compacte. Ce couple jouera un rôle central dans la section consacrée aux cristaux du vivant, car les mollusques fabriquent les deux, et choisissent lequel produire selon la couche de coquille qu'ils construisent.

Exemple 2.19Le fer, qui change de structure en chauffant

À température ambiante, le fer cristallise en cubique centré (fer $α$ , $a = 0, 287$ nm, $2$ atomes par maille). Au-delà de $912^{\circ}$ C, il bascule en cubique à faces centrées (fer $γ$ , $a = 0, 359$ nm, $4$ atomes par maille), un empilement plus serré. Le calcul de masse volumique donne $7, 84$ g $\cdot$ cm $^{- 3}$ pour le premier et $8, 05$ g $\cdot$ cm $^{- 3}$ pour le second : en changeant de structure, le métal gagne près de $3 %$ de densité sans changer un seul atome. Toute la métallurgie de l'acier — trempe, recuit, revenu — exploite ces changements de structure et la vitesse à laquelle on les impose.

2.6 Les cristaux du vivant

2.6.1 Le vivant est un cristallographe

Proposition 2.20Des cristaux chez les êtres vivants

Des structures cristallines existent aussi dans les organismes biologiques (coquille, squelette, calcul, etc.).

Fabriquer un cristal n'est donc pas le privilège de la géologie. De nombreux organismes précipitent des minéraux, à température ordinaire, dans l'eau, et avec une maîtrise de la forme et de la taille que l'industrie leur envie. On appelle ce processus la biominéralisation.

Structure	Minéral	Formule	Organisme
Coquille (couche externe)	calcite	$CaCO X_{3}$	mollusques
Nacre (couche interne)	aragonite	$CaCO X_{3}$	mollusques
Test, squelette	calcite	$CaCO X_{3}$	oursins, coraux
Coccolithes	calcite	$CaCO X_{3}$	algues unicellulaires
Os	hydroxyapatite	$Ca X_{10} (PO X_{4}) X_{6} (OH) X_{2}$	vertébrés
Émail dentaire	hydroxyapatite	$Ca X_{10} (PO X_{4}) X_{6} (OH) X_{2}$	vertébrés
Otolithe (équilibre)	aragonite	$CaCO X_{3}$	poissons
Calcul rénal (le plus fréquent)	whewellite	$CaC X_{2} O X_{4} \cdot H X_{2} O$	être humain

iRemarqueUne exception instructive : les diatomées

Les diatomées, algues unicellulaires, se construisent une enveloppe de silice d'une finesse extraordinaire, criblée de pores réguliers. On serait tenté d'y voir un cristal : ce n'en est pas un. Cette silice est amorphe — de l'opale. La régularité que l'on admire au microscope est donc d'origine biologique, imposée par la cellule, et non cristallographique. Voilà un excellent contre-exemple pour se rappeler qu'une belle géométrie ne prouve pas l'ordre atomique.

Coupe d'une coquille de mollusque et zoom sur la nacre. Le même composé, le

carbonate de calcium, y est déposé sous deux formes cristallines différentes : la calcite en prismes dans la couche externe, l'aragonite en plaquettes dans la nacre. La cellule ne se contente pas de fabriquer un minéral : elle choisit sa variété, sa taille, son orientation et sa place.</div>

Méthode : Identifier des structures cristallines chez les êtres vivants

Repérer la partie minérale. Elle est en général dure, cassante, et résiste à la calcination alors que la matière organique brûle. Le test le plus simple : une goutte d'acide chlorhydrique dilué fait effervescence sur un carbonate ( $CaCO X_{3}$ ), pas sur un phosphate.
Observer la forme et la répétition. Prismes accolés, plaquettes empilées, aiguilles orientées : la régularité de l'assemblage est le premier indice.
Chercher l'orientation commune. Dans la nacre, toutes les plaquettes ont la même orientation cristalline sur de grandes surfaces — d'où les irisations, qui sont un phénomène optique de couches régulières.
Confirmer par une analyse. Diffraction des rayons X ou spectroscopie infrarouge donnent la réponse sans ambiguïté, et distinguent même deux polymorphes comme la calcite et l'aragonite.
Ne pas oublier la matrice organique. Un biominéral est presque toujours un composite : des cristaux enrobés de protéines et de sucres. C'est cette matrice qui commande où et comment le cristal pousse.

Exemple 2.21La nacre, un matériau que l'on cherche à copier

La nacre est faite de plaquettes d'aragonite d'environ $0, 5$ micromètre d'épaisseur, empilées comme un mur de briques, séparées par des feuillets de matière organique de quelques dizaines de nanomètres. Elle contient environ $95 %$ de minéral en masse. Or l'aragonite pure est cassante, tandis que la nacre est remarquablement tenace : une fissure qui s'y propage doit sans cesse contourner des plaquettes et déchirer de la matière organique, ce qui consomme énormément d'énergie. Ce principe — un minéral fragile rendu tenace par une architecture — inspire aujourd'hui la conception de céramiques techniques.

Exemple 2.22Lire l'âge d'un poisson dans un cristal

Les otolithes sont de petites concrétions d'aragonite situées dans l'oreille interne des poissons ; elles participent à l'équilibre et à l'audition. Elles grandissent en déposant des couches, plus ou moins riches en matière organique selon la saison, ce qui produit des stries de croissance visibles au microscope. Les compter donne l'âge du poisson, comme on compte les cernes d'un arbre. Cette méthode est utilisée en routine pour la gestion des stocks de pêche.

Exemple 2.23Une roche entièrement fabriquée par des cellules

Les falaises de craie du Bassin parisien, de Normandie ou du Kent sont constituées, pour l'essentiel, de coccolithes : de minuscules plaquettes de calcite, de quelques micromètres, sécrétées par des algues unicellulaires marines et accumulées au fond de la mer pendant des millions d'années. Une roche sédimentaire de plusieurs centaines de mètres d'épaisseur, faite de cristaux biologiques. La frontière entre le minéral et le vivant est ici une question de point de vue et d'échelle de temps.

iRemarqueLes cristaux et la médecine : les calculs

Un calcul rénal est un cristal — ou plutôt un agglomérat de cristaux — qui s'est formé là où il n'aurait pas dû. Le plus fréquent est l'oxalate de calcium monohydraté ; viennent ensuite des phosphates de calcium, l'acide urique, et d'autres composés plus rares. L'analyse d'un calcul par spectroscopie infrarouge identifie sa composition et son organisation, ce qui oriente le traitement et la prévention : la cause n'est pas la même selon le minéral trouvé. La mesure la plus efficace reste d'une grande banalité : boire suffisamment, pour que les ions restent assez dilués pour ne pas cristalliser. Quant à l'élimination, une technique répandue, la lithotritie extracorporelle, consiste précisément à fragmenter le calcul par des ondes de choc — c'est-à-dire à casser un cristal avec du son.

2.7 Quand l'ordre manque : les solides amorphes

2.7.1 Le verre : mêmes atomes, aucune périodicité

Proposition 2.24Les solides amorphes

Dans le cas des solides amorphes, l'empilement d'entités se fait sans ordre géométrique. C'est le cas du verre.

Un solide amorphe est bien un solide : il est rigide, il a une forme propre. Ce qui lui manque n'est pas la cohésion, c'est la périodicité. Chaque atome y a bien le bon nombre de voisins à la bonne distance — l'ordre à courte distance est respecté — mais rien ne se répète : connaissant une région, on ne peut pas prédire ce qu'il y a dix nanomètres plus loin.

La même matière, le dioxyde de silicium, sous ses deux états, représentée en

deux dimensions pour la lisibilité. À gauche, l'état cristallin : le même anneau se répète indéfiniment. À droite, l'état amorphe : chaque atome de silicium a toujours le même nombre de voisins oxygène, mais les anneaux n'ont plus la même taille et le motif ne se répète jamais. La différence n'est pas dans les liaisons, elle est dans l'ordre à longue distance.</div>

Définition 2.25Solide amorphe, verre

Un solide amorphe est un solide dont les entités constitutives ne sont pas disposées de façon périodique. Le verre en est l'exemple le plus courant : c'est un liquide qui a été refroidi assez vite pour se figer avant d'avoir eu le temps de s'ordonner.

iRemarqueNon, les vitraux ne coulent pas

On lit souvent que les vitraux des cathédrales seraient plus épais en bas parce que le verre, « liquide très visqueux », se serait écoulé au cours des siècles. C'est faux, et pour deux raisons. D'abord, la viscosité du verre à température ambiante est telle que l'écoulement serait totalement imperceptible sur des durées bien plus longues que l'âge de l'Univers. Ensuite, l'explication du phénomène observé est prosaïque : les verres soufflés au plateau étaient d'épaisseur inégale, et les maîtres verriers plaçaient — logiquement — le côté épais en bas. L'histoire est instructive : une explication séduisante, répétée partout, peut être fausse, et il suffit parfois d'un ordre de grandeur pour le montrer.

Exemple 2.26Comment fabrique-t-on du verre ?

Le verre à vitre ordinaire s'obtient en fondant vers $1500^{\circ}$ C un mélange de sable (silice, $SiO X_{2}$ ), de carbonate de sodium (fondant, qui abaisse la température de fusion) et de calcaire (stabilisant, qui rend le verre résistant à l'eau). Le liquide obtenu est ensuite refroidi assez rapidement pour que les atomes n'aient pas le temps de se ranger. On peut aussi obtenir du verre de silice pure, mais il faut monter beaucoup plus haut en température : c'est pourquoi il est réservé aux usages exigeants, comme l'optique et les fibres de télécommunication.

2.7.2 Cristal ou verre ? Le refroidissement décide

Proposition 2.27Verre et roches volcaniques

Certaines roches volcaniques contiennent du verre, issu de la solidification très rapide d'une lave.

Une lave est un liquide à environ $1000$ – $1200^{\circ}$ C. En refroidissant, ses atomes tendent à se ranger en cristaux ; mais se ranger prend du temps. Si le refroidissement est lent, tous les atomes trouvent leur place et la roche est entièrement cristallisée. S'il est brutal, ils sont figés en désordre et la roche est un verre. Entre les deux, on obtient un mélange.

Trois refroidissements, trois roches. Plus la solidification est lente, plus

les cristaux ont le temps de grandir : de l'obsidienne, entièrement vitreuse, au granite, entièrement cristallisé en grains visibles. La texture d'une roche est donc la mémoire de la vitesse à laquelle elle s'est refroidie — et donc du lieu où elle l'a fait.</div>

Méthode : Mettre en relation la structure d'une roche et les conditions de
son refroidissement</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text"> Devant une roche magmatique, raisonner en trois temps.

Décrire la texture. Voit-on des cristaux ? De quelle taille ? Sont-ils tous visibles, ou noyés dans une pâte ? Y a-t-il du verre — c'est-à-dire une matière homogène, luisante, sans grain, à cassure courbe ?
Conclure sur la vitesse de refroidissement.

Gros cristaux, tous jointifs (texture grenue) : refroidissement très lent, de l'ordre de milliers à millions d'années.
Petits cristaux dans une pâte (texture microlitique) : refroidissement rapide, de l'ordre de l'heure au jour.
Pas de cristal du tout (texture vitreuse) : refroidissement brutal, de l'ordre de la seconde à la minute.

En déduire le lieu. Un refroidissement lent suppose une lave restée enfouie et isolée : une roche plutonique, cristallisée en profondeur, comme le granite ou le gabbro. Un refroidissement rapide suppose une arrivée en surface : une roche volcanique, comme le basalte, la rhyolite ou l'obsidienne. Une trempe dans l'eau de mer ou l'air froid donne le verre.

Une lecture fine : les roches à deux temps. Beaucoup de laves contiennent de gros cristaux isolés dans une pâte à petits cristaux. Cela ne se contredit pas : les gros ont grandi lentement en profondeur, dans la chambre magmatique, avant que l'éruption ne projette le tout en surface où le reste a figé rapidement. La roche garde alors la trace de deux histoires thermiques successives.

Exemple 2.28L'obsidienne, premier matériau technique de l'humanité

L'obsidienne est un verre volcanique noir, issu de laves riches en silice refroidies brutalement. Sa cassure est conchoïdale : elle produit des surfaces courbes et des arêtes d'une finesse extrême, bien plus tranchantes qu'une lame d'acier ordinaire. Les sociétés préhistoriques l'ont aussitôt comprise : dès le Néolithique, l'obsidienne des îles de Mélos, de Lipari ou de Sardaigne circulait sur des centaines de kilomètres à travers la Méditerranée. Comme chaque gisement a une composition chimique légèrement différente, on peut aujourd'hui identifier la provenance d'un éclat retrouvé en fouille : la géochimie a permis de reconstituer des routes commerciales vieilles de sept mille ans.

iRemarqueUn piège : les orgues basaltiques

Les célèbres colonnes hexagonales du basalte — la Chaussée des Géants en Irlande, les orgues de Saint-Flour ou de Bort-les-Orgues — ne sont pas des cristaux géants. Elles résultent de la fracturation de la coulée pendant son refroidissement : en se contractant, la roche se fissure selon un réseau qui tend spontanément vers des polygones à six côtés, comme la boue qui sèche. Belle géométrie, échelle métrique, mais aucune périodicité atomique : ce n'est pas de la cristallographie.

2.8 Les cristaux, la société et l'environnement

Ce que l'on fait des cristaux, et ce que l'on croit à leur sujet, déborde largement la minéralogie. Trois exemples, très différents, de ce débordement.

Les croyances.

On attribue depuis longtemps aux « pierres » des vertus thérapeutiques : améthyste contre l'anxiété, quartz rose pour l'affection, et ainsi de suite. Ces pratiques, regroupées sous le nom de lithothérapie, n'ont aucun fondement expérimental : aucun mécanisme physique ou chimique connu ne relie la présence d'un minéral à un effet sur l'organisme, et aucun essai clinique sérieux n'a mis en évidence d'effet au-delà de l'effet placebo. Le vocabulaire scientifique y est pourtant abondamment employé — « vibrations », « énergie », « fréquence » — ce qui est un signal utile : le recours au lexique de la science n'est pas la science. La question intéressante n'est pas de moquer ces croyances, mais de comprendre pourquoi les cristaux les attirent : leur perfection géométrique, leur transparence et leur rareté leur ont valu, dans toutes les cultures, un statut à part.

Le danger.

L'amiante désigne un ensemble de minéraux silicatés naturels qui cristallisent en fibres extrêmement fines. Ces fibres, inhalées, se logent durablement dans les poumons et provoquent des maladies graves, notamment le mésothéliome, un cancer de la plèvre. C'est ici la structure cristalline elle-même — la forme fibreuse — qui fait le danger, et non seulement la composition chimique. Longtemps loué pour ses qualités d'isolant et d'ignifuge, l'amiante a été interdit en France à compter du $1 < s u p > er < / s u p >$ janvier $1997$ ; le désamiantage des bâtiments construits avant cette date se poursuit aujourd'hui encore. L'affaire est devenue un cas d'école du délai entre les premières alertes scientifiques et la décision publique.

La ressource.

Certains cristaux rares — ou plutôt certains minéraux porteurs d'éléments recherchés — sont devenus des enjeux stratégiques. Les métaux nécessaires aux aimants permanents, aux batteries ou aux écrans se trouvent dans des minerais dont l'extraction et la purification consomment beaucoup d'énergie, produisent des résidus difficiles à gérer, et sont concentrées dans un petit nombre de pays. La question posée n'est pas scientifique mais politique et environnementale : à quelles conditions exploiter, et comment recycler ce que l'on a déjà extrait ?

2.9 Histoire des sciences : comment a-t-on su ?

2.9.1 Deviner l'invisible : de Sténon à Bravais

$1669$ — Sténon mesure des angles. Le Danois Niels Stensen, dit Nicolas Sténon, médecin et naturaliste installé à Florence, publie De solido intra solidum naturaliter contento. Il y compare des sections de cristaux de quartz de tailles et de formes très diverses, et constate que les angles entre faces correspondantes sont toujours les mêmes. Il ne propose aucune explication. Mais il a fait le geste décisif : mesurer ce que les autres se contentaient d'admirer.

$1783$ — Romé de l'Isle généralise. Jean-Baptiste Romé de l'Isle publie une Cristallographie en quatre volumes et étend la loi de constance des angles à des dizaines d'espèces, en s'aidant d'un goniomètre. La loi devient une propriété générale des cristaux, et non une curiosité du quartz.

$1784$ — Haüy invente la maille. L'abbé René-Just Haüy, minéralogiste français, publie son Essai d'une théorie sur la structure des cristaux. Il y avance une idée d'une audace remarquable : tout cristal est un empilement de petits volumes identiques, invisibles, qu'il nomme molécules intégrantes. Le clivage de la calcite, qui donne toujours des rhomboèdres de plus en plus petits, en est pour lui la preuve. On raconte qu'un cristal tombé et brisé chez un collectionneur lui aurait mis la puce à l'oreille ; l'anecdote est peut-être embellie, mais elle dit bien la nature du raisonnement : ce sont les fragments qui trahissent la structure. Haüy est ainsi l'inventeur de la maille, cent trente ans avant qu'on ne puisse la voir.

$1848$ - $1850$ — Bravais dénombre les possibles. Auguste Bravais, physicien et ancien officier de marine, démontre qu'il n'existe, dans l'espace, que quatorze façons de disposer des points de manière périodique. La diversité apparemment infinie des cristaux se ramène ainsi à un petit nombre de réseaux. C'est une démarche typique des sciences : réduire une profusion d'observations à une classification close, obtenue par le raisonnement.

2.9.2 Voir enfin : les rayons X

Avril $1912$ — Laue fait le pari. Max von Laue raisonne ainsi : si les cristaux sont bien des empilements réguliers dont le pas vaut quelques dixièmes de nanomètre, et si les rayons X découverts par Röntgen en $1895$ sont bien des ondes de longueur d'onde comparable, alors un cristal doit diffracter les rayons X comme un réseau optique diffracte la lumière. L'expérience est menée par Walter Friedrich et Paul Knipping : sur la plaque apparaissent des taches régulières. D'un seul coup, deux questions sont tranchées — les rayons X sont des ondes, et les cristaux sont périodiques. Prix Nobel de physique en $1914$ .

$1913$ — Les Bragg lisent les taches. William Henry Bragg et son fils William Lawrence Bragg comprennent comment remonter de la figure de diffraction à la position des atomes. Ils appliquent leur méthode au chlorure de sodium et publient la toute première structure cristalline jamais déterminée. Le résultat fait scandale : il n'y a pas de molécule $NaCl$ , seulement des ions alternés. Prix Nobel de physique en $1915$ ; William Lawrence Bragg, âgé de vingt-cinq ans, reste à ce jour le plus jeune lauréat scientifique.

$1945$ - $1969$ — Dorothy Hodgkin résout l'inextricable. La chimiste britannique Dorothy Crowfoot Hodgkin applique la diffraction des rayons X à des molécules biologiques de plus en plus grosses : la pénicilline en $1945$ , la vitamine $B X_{12}$ en $1956$ , l'insuline en $1969$ après trente-quatre ans de travail. Prix Nobel de chimie en $1964$ . La cristallographie est devenue l'instrument des sciences de la vie.

$1952$ - $1953$ — La photographie $51$ . À Londres, Rosalind Franklin et Raymond Gosling obtiennent des clichés de diffraction de fibres d'ADN d'une qualité inédite. L'un d'eux, connu sous le nom de « photo $51$ », montre une croix caractéristique d'une structure en hélice. Communiqué à James Watson sans l'accord de Franklin, il joue un rôle décisif dans le modèle en double hélice publié en $1953$ . L'épisode est aujourd'hui un cas d'école sur la reconnaissance des contributions scientifiques et sur la place faite aux femmes dans la recherche.

$1982$ — Shechtman contre l'évidence. Le $8$ avril $1982$ , dans un laboratoire américain, l'Israélien Dan Shechtman observe sur un alliage d'aluminium et de manganèse une figure de diffraction impossible : elle présente une symétrie d'ordre cinq, dont on démontrait depuis Bravais qu'elle est incompatible avec la périodicité. Il note dans son cahier : « il n'y a pas d'objet comme celui-là ». Il lui faut deux ans pour publier, et il essuie des années de moquerie, y compris de Linus Pauling, deux fois prix Nobel. La suite lui donne raison : ces quasi-cristaux sont ordonnés sans être périodiques. En $1992$ , l'Union internationale de cristallographie a dû réécrire sa définition du mot « cristal » ; en $2011$ , Shechtman a reçu le prix Nobel de chimie.

iRemarqueCe que l'affaire des quasi-cristaux enseigne

Elle ne dit pas que « les scientifiques avaient tort et qu'il faut se méfier de la science ». Elle dit quelque chose de plus fin. Une communauté savante résiste, et c'est normal : une observation isolée qui contredit un théorème est d'abord suspecte, et elle doit l'être. Ce qui a tranché n'est ni l'autorité de Pauling ni l'obstination de Shechtman, mais l'accumulation d'expériences indépendantes et reproductibles. La science ne progresse pas parce que ses membres seraient plus ouverts d'esprit que les autres, mais parce qu'elle s'est dotée de procédures qui finissent par avoir raison des convictions.

2.10 Bilan

Ce qu'il faut savoir

Le chlorure de sodium solide est constitué d'un empilement régulier d'ions $Na X^{+}$ et $Cl X^{-}$ : c'est l'état cristallin. Il n'y a pas de molécule de sel.
La structure microscopique d'un cristal conditionne certaines de ses propriétés macroscopiques, notamment la masse volumique.
Un composé de formule chimique donnée peut cristalliser sous différentes structures : c'est le polymorphisme.
Un minéral est défini par sa composition chimique et son organisation cristalline ; une roche est un assemblage de cristaux d'un ou plusieurs minéraux.
Des structures cristallines existent aussi chez les êtres vivants : coquilles, squelettes, dents, calculs.
Dans un solide amorphe, l'empilement se fait sans ordre géométrique. C'est le cas du verre ; certaines roches volcaniques en contiennent, issu d'une solidification très rapide de la lave.

Ce qu'il faut savoir faire

Représenter une maille cubique en perspective cavalière, et exploiter une représentation en trois dimensions informatisée du cristal de chlorure de sodium.
Compter les entités d'une maille par leurs parts ( $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ , $1$ ), et vérifier la formule chimique.
Relier l'organisation de la maille à la structure macroscopique du cristal, en particulier calculer une masse volumique par $ρ = Z M / (N_{A} a^{3})$ .
Distinguer, en échelle et en nature, atome ou molécule, maille, cristal, minéral, roche.
Identifier des structures cristallines sur un échantillon ou une image, et chez les êtres vivants.
Mettre en relation la structure amorphe ou cristalline d'une roche et les conditions de son refroidissement.

Trois chiffres à retenir

$0, 564$ nm est l'arête de la maille du sel. $4$ est le nombre de motifs $NaCl$ qu'elle contient. $1 0^{10}$ est le facteur d'échelle qui sépare un ion d'un bloc de roche.

Ce que ce chapitre dit de la science elle-même

La maille est le personnage principal de ce chapitre, et son histoire mérite qu'on la relise. Elle a d'abord été une hypothèse : Haüy, en $1784$ , imagine des briques invisibles pour rendre compte de deux faits mesurés, la constance des angles et le clivage. Elle est ensuite devenue une méthode de calcul, qui prédit une masse volumique vérifiable à la balance. Elle n'a été vue qu'en $1912$ , cent vingt-huit ans après avoir été imaginée. Une idée scientifique n'a donc pas besoin d'être visible pour être vraie ; il lui suffit d'être féconde, c'est-à-dire de produire des prédictions que l'expérience peut démentir.

Et quand, en $1982$ , une observation a semblé la contredire, la théorie n'a pas été jetée : elle a été élargie. Retenez cette différence — entre une théorie réfutée et une théorie débordée, il y a tout l'écart entre l'erreur et le progrès.

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