Projet expérimental et numérique

Cours complet · enseignement scientifique (première), chapitre 14 · première, enseignement scientifique

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés

14.1 Introduction : douze heures pour faire de la science, et non plus pour

l'apprendre

Tous les chapitres qui précèdent racontent des sciences déjà faites. On y voit des questions déjà tranchées, des mesures déjà réussies, des controverses déjà refermées. C'est nécessaire, mais c'est trompeur : la science ainsi présentée a l'air d'avancer en ligne droite, sans hésitation ni impasse. Elle n'avance jamais comme cela.

Ce chapitre-ci est d'une autre nature. Il ne contient aucun savoir nouveau à retenir. Il décrit une pratique : celle que vous allez conduire vous-même pendant une douzaine d'heures, en petit groupe, du début à la fin. Choisir une question. Trouver comment y répondre. Mesurer. Se tromper. Recommencer. Regarder ce que disent les chiffres — y compris quand ils ne disent pas ce qu'on espérait. Et rendre compte honnêtement de ce qu'on a trouvé.

Le programme officiel est clair sur ce point : « l'objectif est de confronter les élèves à la pratique d'une démarche scientifique expérimentale, de l'utilisation de matériels (capteurs et logiciels) ou de données expérimentales mises à disposition par des scientifiques à l'analyse critique des résultats ». Le mot qui compte, dans cette phrase, est le dernier.

Ce n'est pas un exposé. Un projet expérimental produit des données. Un travail qui se contente de rassembler ce que d'autres ont écrit, si soigné soit-il, n'est pas un projet expérimental et numérique.
Ce n'est pas non plus une démonstration. On ne « vérifie » pas un résultat connu d'avance en espérant retrouver le bon chiffre. On mesure, on compare, et si l'écart est trop grand, on en cherche la raison.
Un résultat décevant est un résultat. Une expérience qui ne donne pas ce qu'on attendait, analysée sérieusement, vaut infiniment mieux qu'un résultat parfait obtenu en arrangeant les mesures. Cela s'appelle l'honnêteté intellectuelle, et c'est la première compétence scientifique.

iRemarqueComment se servir de ce chapitre

Les premières sections donnent les outils : la démarche, la mesure et son incertitude, l'acquisition, le traitement, la restitution. Vient ensuite une section où quatre projets sont déroulés entièrement, avec leurs données réelles, leurs graphiques et leur analyse critique — c'est là qu'on voit comment tout cela s'articule. Le chapitre se termine par dix sujets de projet prêts à l'emploi, dont plusieurs reprennent les exemples semés au fil des treize chapitres précédents.

14.2 Ce que le programme demande, exactement

Proposition 14.1Les trois dimensions d'un projet expérimental et numérique

Le texte officiel énonce que, selon le cas, le projet peut revêtir trois dimensions :

« utilisation d'un capteur éventuellement mis en œuvre en classe » ;
« acquisition numérique de données ou utilisation de données expérimentales fournies par des scientifiques » ;
« traitement mathématique, représentation et interprétation de ces données ».

Et il ajoute : « selon les projets, l'une ou l'autre de ces dimensions peut être plus ou moins développée ; l'accent est mis sur la démarche de projet ».

Autrement dit, il n'est pas obligatoire de fabriquer soi-même son capteur, ni même de produire soi-même ses données. Mais il est toujours obligatoire de les traiter, de les représenter et de les interpréter.

iRemarqueLe cadre matériel

Le programme précise encore trois choses. Que « ce travail se déroule sur une douzaine d'heures, contigües ou réparties au long de l'année ». Qu'il « s'organise dans des conditions matérielles qui permettent un travail pratique effectif en petits groupes d'élèves ». Et que « l'objet d'étude peut être choisi librement, en lien avec le programme ou non », éventuellement dans le cadre d'un projet d'établissement ou d'une opération de sciences participatives.

La liberté est donc grande. Elle a une contrepartie : c'est à vous de choisir un sujet réalisable dans le temps et avec le matériel dont vous disposez. La première compétence d'un chercheur n'est pas de résoudre les problèmes difficiles, c'est de choisir ceux qu'il peut résoudre.

Ce que le programme prescrit : trois dimensions possibles, dont

la troisième est toujours requise, et une douzaine d'heures. La répartition proposée en bas n'a rien d'officiel, mais elle rappelle deux réalités : la phase de mesure est la plus longue, et la phase de traitement est presque toujours sous-estimée par les groupes qui la découvrent la veille de l'oral.</div>

14.3 La démarche expérimentale : ce que c'est, exactement

14.3.1 Le vocabulaire

Définition 14.2Fait, hypothèse, prédiction, protocole

Un fait est ce qui est observé et que d'autres peuvent observer aussi : « les élèves du couloir font du bruit ».

Une hypothèse est une explication proposée, provisoire, qui pourrait rendre compte du fait : « le niveau sonore du couloir dépend surtout du nombre d'élèves présents ».

Une prédiction est ce que l'hypothèse oblige à observer si elle est vraie : « alors le niveau doit monter de $3$ dB chaque fois que le nombre d'élèves double ».

Un protocole est la description, assez précise pour être suivie par quelqu'un d'autre, de ce qu'on va faire pour confronter la prédiction au réel.

iRemarqueLa différence entre une hypothèse et une opinion

Une hypothèse scientifique doit pouvoir être démentie. « Il y a du bruit parce que les jeunes sont mal élevés » n'est pas une hypothèse : aucune mesure ne pourrait la contredire. « Le niveau ne dépend pas du nombre d'élèves mais de la présence d'un adulte » en est une : il suffit de mesurer dans les deux situations. Le critère n'est pas que l'énoncé soit vrai, c'est qu'il prenne le risque d'être faux.

La démarche expérimentale, telle qu'on la pratique vraiment. Le

retour à l'étape précédente n'est pas un échec : c'est le fonctionnement normal. Un projet de douze heures parcourt cette boucle deux ou trois fois, et c'est très bien ainsi — la première hypothèse est presque toujours trop vague et le premier protocole presque toujours trop ambitieux.</div>

14.3.2 Ce qui distingue une expérience d'une observation

Définition 14.3Variable étudiée, variable mesurée, variables contrôlées,

témoin</div><div class='text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text'> Dans une expérience, on distingue :

la variable étudiée, celle qu'on fait varier volontairement (la longueur de la corde, la distance à la source) ;
la variable mesurée, celle qu'on relève (la fréquence, le niveau sonore) ;
les variables contrôlées, toutes les autres, qu'on maintient constantes ou dont on note la valeur (la tension de la corde, la température de la salle).

Un témoin est une situation identique en tout sauf sur la variable étudiée. Il sert à s'assurer que l'effet observé vient bien de là où on le croit.

Exemple 14.4Le témoin qui sauve un projet

Un groupe veut montrer qu'une plante pousse mieux avec de la musique. Il place un pot devant un haut-parleur et le compare à un pot laissé au fond de la salle. Le pot musical pousse mieux : victoire ?

Non. Les deux pots n'ont pas reçu la même lumière, ni la même température, ni la même attention. Le témoin correct est un second pot placé au même endroit, devant un haut-parleur éteint. Sans lui, l'expérience ne prouve rien — et avec lui, l'effet disparait le plus souvent. Ce n'est pas décevant : c'est ce qu'on appelle un résultat.

14.3.3 Trouver une question de projet

Méthode : Transformer une curiosité en question de projet

La difficulté d'un projet n'est presque jamais technique : elle est dans le choix de la question. Cinq critères, à passer en revue.

Mesurable. La question doit porter sur une grandeur qu'on sait relever avec le matériel disponible. « La musique adoucit-elle les mœurs ? » n'est pas mesurable ; « le niveau sonore du réfectoire baisse-t-il quand on y diffuse de la musique ? » l'est.
Comparative. Les bonnes questions comparent : deux situations, deux moments, deux objets — ou étudient l'effet d'une grandeur sur une autre. « Comment fonctionne l'oreille ? » n'est pas une question de projet. « Le niveau perçu décroit-il bien de $6$ dB quand on double la distance ? » en est une.
Faisable en douze heures. Compter, très concrètement : combien de mesures, combien de temps chacune, combien de séances. Un projet qui exige quarante mesures de dix minutes est mort avant de commencer.
À réponse inconnue. Si l'on sait déjà ce qu'on va trouver, on ne fait pas de recherche, on fait une vérification — ce qui est acceptable si et seulement si l'on s'intéresse à l'écart entre la mesure et le modèle.
Sûre et licite. Pas de niveaux sonores dangereux, pas de produits chimiques hors protocole, pas de données personnelles enregistrées sans consentement, pas d'expérimentation sur des animaux.

Un test simple. Écrivez votre question en une phrase, puis écrivez la phrase de conclusion que vous espérez pouvoir écrire à la fin, avec un nombre dedans. Si vous n'y parvenez pas, la question n'est pas encore une question de projet.

Exemple 14.5Trois questions retravaillées

« Le bruit dans le lycée » $\to$ Dans quels lieux du lycée et à quels moments de la journée dépasse-t-on $80$ dB, seuil à partir duquel le programme signale un risque ?
« Les instruments de musique » $\to$ Comment la fréquence fondamentale d'une corde de guitare dépend-elle de sa longueur vibrante, et quelle loi mathématique décrit cette dépendance ?
« Le réchauffement climatique » $\to$ Sur les cinquante dernières années de relevés de la station météorologique la plus proche, quelle est la tendance de la température moyenne annuelle, et quelle est l'incertitude sur cette tendance ?

Dans les trois cas, on est passé d'un thème à une question, et d'une question à une grandeur qu'on saura mesurer ou récupérer.

14.4 Mesurer : ce qu'une valeur veut dire

14.4.1 Aucune mesure n'est exacte

Définition 14.6Grandeur, capteur, étalonnage

Une grandeur est une propriété qu'on peut comparer et mesurer : longueur, durée, température, niveau sonore. Une mesure s'écrit toujours avec son unité.

Un capteur transforme une grandeur physique en un signal exploitable, en général une tension. Étalonner un capteur, c'est établir la correspondance entre le signal qu'il fournit et la valeur de la grandeur, en le confrontant à des valeurs connues.

Une mesure n'est jamais la valeur vraie de la grandeur : c'est une estimation. L'écart entre les deux se décompose en deux familles, dont les remèdes sont opposés.

Définition 14.7Erreur aléatoire, erreur systématique, fidélité, justesse

Une erreur aléatoire change d'une mesure à l'autre, tantôt en plus, tantôt en moins : main qui tremble, bruit électronique, temps de réaction. On la réduit en répétant la mesure et en prenant la moyenne.

Une erreur systématique se répète à l'identique : règle qui commence à $0, 5$ mm, balance mal réglée à zéro, application de smartphone non étalonnée. Elle ne disparait pas quand on répète — au contraire, elle se cache d'autant mieux que les mesures sont cohérentes entre elles. On ne la détecte qu'en comparant à un autre instrument ou à une valeur de référence.

Un instrument est fidèle quand ses mesures répétées sont resserrées ; il est juste quand leur moyenne est proche de la valeur vraie. Les deux qualités sont indépendantes.

Justesse et fidélité, illustrées par quatre séries de cinq tirs

sur une cible dont le centre est la valeur vraie. Le cas le plus dangereux est le second : des mesures très resserrées inspirent confiance, alors qu'elles sont toutes fausses de la même quantité. C'est pourquoi la cohérence interne d'une série ne prouve jamais sa justesse.</div>

14.4.2 Répéter, et dire de combien on n'est pas sûr

Méthode : Répéter une mesure et estimer son incertitude

Répéter la mesure dans des conditions identiques, au moins cinq fois, mieux dix. Noter toutes les valeurs, y compris celles qui vous déplaisent.
Calculer la moyenne $x ˉ$ : c'est la meilleure estimation de la grandeur.
Calculer l'écart-type $s$ de la série, à la calculatrice ou au tableur (fonction ECARTYPE ou STDEV). Il mesure la dispersion des mesures.
Calculer l'incertitude sur la moyenne : $u = \frac{s}{n},$ où $n$ est le nombre de mesures. Le $n$ dit une chose importante : quadrupler le nombre de mesures ne divise l'incertitude que par deux.
Écrire le résultat sous la forme $x = x ˉ \pm u$ , avec la même unité et le même nombre de décimales pour les deux. On n'écrit jamais plus de deux chiffres significatifs sur $u$ .
Ne pas oublier ce que ce calcul ne voit pas : il ne mesure que la dispersion, donc les erreurs aléatoires. Une erreur systématique passe au travers sans laisser de trace.

$\leftrightarrow$ Indicateurs statistiques d'une série : moyenne, écart-type ; voir l'annexe d'automatismes et le chapitre « Analyse de l'information chiffrée ».

Huit mesures répétées de la même durée, et ce qu'on en tire.

L'écart-type mesure la dispersion des mesures individuelles ; l'incertitude sur la moyenne, quatre fois plus petite ici, mesure la confiance qu'on peut avoir dans la valeur retenue. Les deux intervalles ne disent pas la même chose et ne doivent jamais être confondus.</div>

Méthode : Comparer un résultat à une valeur de référence

Calculer l'écart relatif entre la valeur mesurée $x$ et la valeur de référence $x_{ref}$ : $e = \frac{∣ x - x _{ref} ∣}{x _{ref}},$ exprimé en pourcentage.
Comparer cet écart à l'incertitude. Si $∣ x - x_{ref} ∣$ est plus petit que deux fois $u$ , le résultat est compatible avec la référence : il n'y a rien à expliquer. S'il est nettement plus grand, il y a quelque chose à chercher.
Chercher, dans ce cas, une erreur systématique avant d'accuser la théorie : instrument non étalonné, condition de validité du modèle non remplie, grandeur oubliée.
Se demander enfin si l'incertitude n'a pas été sous-estimée — c'est l'erreur la plus fréquente, et l'une des plus instructives. On la rencontrera dans le quatrième projet de ce chapitre.

Formulation. On n'écrit pas « nous avons trouvé $342$ m/s au lieu de $343$ , l'expérience a donc échoué ». On écrit : « nous trouvons $342 \pm 3$ m/s ; la valeur attendue à $18$ $^{\circ}$ C, $342$ m/s, est dans cet intervalle ; notre mesure est compatible avec le modèle ».

iRemarqueLes chiffres significatifs, en trois règles

Une calculatrice affiche dix chiffres ; il faut en garder trois ou quatre.

Un résultat ne peut pas être plus précis que la moins précise des données qui ont servi à le calculer.
Le nombre de chiffres est fixé par l'incertitude : si $u = 0, 0007$ s, on écrit $0, 1180$ s, pas $0, 118032$ s.
On arrondit à la fin, jamais en cours de calcul.

Écrire $v = 341, 8237$ m/s à partir de mesures faites au chronomètre n'est pas une preuve de rigueur : c'est le contraire.

14.5 Acquérir : du capteur au fichier de données

14.5.1 Avec quoi mesure-t-on, concrètement

Définition 14.8Capteur, microcontrôleur, fréquence d'acquisition

Un microcontrôleur est un petit ordinateur sans écran ni clavier, programmable, sur lequel on branche des capteurs et qui enregistre leurs valeurs. Les cartes de type Arduino, micro:bit ou Raspberry Pi Pico coutent quelques dizaines d'euros et se programment en quelques lignes.

La fréquence d'acquisition est le nombre de relevés par seconde. C'est exactement la fréquence d'échantillonnage du chapitre sur la numérisation du son, et elle obéit à la même règle : il faut relever au moins deux fois plus vite que la plus rapide des variations qu'on veut voir. Trop lente, on manque le phénomène ; trop rapide, on crée un fichier énorme pour rien.

iRemarqueLe laboratoire qui tient dans une poche

Un smartphone contient, en série, un microphone, un accéléromètre, un magnétomètre, un capteur de lumière, un récepteur de positionnement par satellite, souvent un baromètre et un gyroscope. Des applications gratuites (comme Phyphox, développée par une université allemande) donnent accès à ces capteurs, affichent les mesures en temps réel et exportent les données au format CSV.

Deux avertissements, cependant. Aucun de ces capteurs n'est étalonné : ils donnent des écarts fiables et des valeurs absolues approximatives — ce qui suffit pour la plupart des projets, à condition de l'écrire. Et deux modèles de téléphone différents ne donneront pas les mêmes valeurs : il faut faire toutes les mesures d'une série avec le même appareil.

iRemarqueQuand ce sont d'autres qui ont mesuré

Le programme place sur le même plan l'acquisition par les élèves et « l'utilisation de données expérimentales fournies par des scientifiques ». Ce n'est pas un pis-aller : travailler sur des données qu'on n'a pas produites est le quotidien de nombreux chercheurs, et cela demande une compétence supplémentaire — comprendre comment elles ont été obtenues.

Trois familles de sources conviennent à un projet.

Les portails de données publiques, qui diffusent des séries longues de température, de qualité de l'air, de démographie ou de santé.
Les observatoires scientifiques, qui publient les mesures brutes de leurs instruments.
Les sciences participatives, où les élèves produisent eux-mêmes des données selon un protocole national, et les versent à une base commune : comptages d'oiseaux, relevés d'insectes pollinisateurs, inventaires de plantes urbaines, enregistrements de chauves-souris. Le Muséum national d'histoire naturelle en coordonne plusieurs, spécialement conçus pour les établissements scolaires.

Dans tous les cas, la première question à poser aux données n'est pas « que disent-elles ? » mais « qui les a produites, comment, et avec quelle définition ? ».

Méthode : Organiser un jeu de données pour ne pas le perdre

Un tableau, une ligne par mesure, une colonne par grandeur. Jamais deux grandeurs dans la même colonne, jamais d'unité écrite dans la cellule : l'unité va dans le titre de la colonne.
Noter les conditions dans des colonnes à part : date, heure, opérateur, température, appareil utilisé. Ce qui parait évident sur le moment sera oublié dans trois semaines.
Conserver les mesures brutes dans une feuille, et faire les calculs dans une autre. Une donnée écrasée est une donnée perdue.
Ne jamais supprimer une mesure aberrante : la signaler, la garder, et discuter à part de son sort. La supprimer en silence est une faute.
Tenir un cahier de laboratoire, même sommaire : ce qu'on a fait, ce qui a raté, ce qu'on a changé et pourquoi. C'est la matière première du compte rendu final.

14.6 Traiter : tableur, graphique et programme

14.6.1 Le graphique n'est pas une décoration

Méthode : Construire un graphique qui dit quelque chose

Mettre en abscisse ce qu'on a fait varier, en ordonnée ce qu'on a mesuré. L'inverse se rencontre souvent et rend le graphique illisible.
Nommer les deux axes avec la grandeur et son unité. Un axe sans unité disqualifie un graphique.
Choisir les échelles pour que le nuage occupe toute la figure. Un nuage écrasé dans un coin cache la tendance qu'il est censé montrer.
Tracer les points, pas une ligne brisée qui les relie. Relier les points affirme qu'on connait ce qui se passe entre eux, ce qui est faux. Si un modèle est proposé, on trace sa courbe, lisse, par-dessus les points.
Porter les barres d'incertitude quand on en dispose : elles transforment un nuage muet en un argument.
Légender en une phrase qui dit ce qu'on doit voir, et non ce qui est dessiné.

$\leftrightarrow$ Nuage de points, ajustement affine, point moyen, interpolation et extrapolation : voir le chapitre « Analyse de l'information chiffrée ».

14.6.2 Modéliser, c'est choisir une forme et l'assumer

Trois modèles suffisent à la quasi-totalité des projets de ce niveau, et ce sont ceux du programme de mathématiques.

Le modèle linéaire $y = a x + b$ : la grandeur mesurée varie d'une quantité constante quand $x$ augmente d'une unité. Signe distinctif : les points s'alignent.
Le modèle quadratique $y = a x^{2} + b x + c$ : une courbure, un maximum ou un minimum. Chute des corps, trajectoire d'un ballon, rendement en fonction d'un réglage.
Le modèle exponentiel $y = y_{0} \times q^{x}$ : la grandeur est multipliée par un facteur constant à chaque pas. Décroissance radioactive, refroidissement, croissance d'une population.

Méthode : Choisir un modèle, et le valider

Regarder le nuage avant de calculer. La forme se voit. Une droite, une courbure, une décroissance qui ralentit : chacune oriente vers un modèle différent.
Linéariser si c'est possible. C'est la technique la plus utile du chapitre. Si l'on soupçonne $y = k / x$ , on trace $y$ en fonction de $1/ x$ et l'on doit obtenir une droite passant par l'origine. Si l'on soupçonne $y = y_{0} q^{x}$ , on trace $y$ en échelle logarithmique et l'on doit obtenir une droite. Une relation devient beaucoup plus facile à juger quand elle est droite, parce que l'œil détecte très bien l'alignement et très mal la courbure.
Ajuster. Le tableur et la calculatrice proposent une droite d'ajustement ; on peut aussi la tracer au jugé, ou passer par le point moyen. Aucune théorie n'est exigible : ce qui compte est de savoir ce que représentent la pente et l'ordonnée à l'origine dans le problème étudié.
Interpréter les paramètres physiquement. Si la pente vaut $342$ et que les axes sont des mètres et des secondes, la pente est une vitesse en mètres par seconde. Un modèle dont on ne sait pas dire ce que signifient les coefficients n'a rien apporté.
Vérifier les écarts. Repérer si les points s'écartent de la droite au hasard (bon signe) ou systématiquement — tous au-dessus au début, tous en dessous à la fin. Un écart organisé signale un modèle inadapté, même si l'ajustement parait bon.
Ne pas extrapoler. Un modèle vaut dans le domaine où l'on a mesuré, et pas au-delà. Une droite ajustée sur des longueurs de $20$ à $65$ cm ne dit rien de ce qui se passe à $2$ mm.


import csv

def lire(nom_fichier, colonne):
    """Lit une colonne d'un fichier CSV et renvoie la liste des nombres."""
    valeurs = []
    with open(nom_fichier, newline="") as f:
        for ligne in csv.DictReader(f):
            valeurs.append(float(ligne[colonne]))
    return valeurs

def moyenne(v):
    return sum(v) / len(v)

def ecart_type(v):
    m = moyenne(v)
    return (sum((x - m)**2 for x in v) / (len(v) - 1)) ** 0.5

def incertitude(v):
    return ecart_type(v) / len(v) ** 0.5

serie = [0.117, 0.119, 0.115, 0.121, 0.118, 0.116, 0.120, 0.118]
print("moyenne     :", round(moyenne(serie), 5), "s")
print("ecart-type  :", round(ecart_type(serie), 5), "s")
print("incertitude :", round(incertitude(serie), 5), "s")

Le traitement d'une série de mesures répétées, sans aucune bibliothèque : trois formules et le résultat s'écrit avec son incertitude.


import matplotlib.pyplot as plt

dt = [0.059, 0.086, 0.119, 0.144, 0.176, 0.206, 0.232, 0.264]   # secondes
aller_retour = [20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90]                 # metres

# pente de la droite passant par l'origine : somme(x*y) / somme(x*x)
pente = sum(x*y for x, y in zip(dt, aller_retour)) / sum(x*x for x in dt)
print("vitesse du son :", round(pente, 1), "m/s")

plt.plot(dt, aller_retour, "o", label="mesures")
plt.plot([0, 0.28], [0, pente*0.28], "-", label="modele d = v * t")
plt.xlabel("duree de l'aller-retour (s)")
plt.ylabel("distance parcourue (m)")
plt.legend()
plt.show()

Ajustement d'une droite passant par l'origine et tracé du nuage : la pente est directement la grandeur cherchée.

14.7 Rendre compte, y compris quand cela n'a pas marché

Méthode : Écrire le compte rendu d'un projet

Six parties, dans cet ordre, et rien d'autre.

La question, en une phrase, avec la grandeur qu'on a décidé de mesurer.
Le protocole, assez précis pour être refait par un autre groupe : matériel, distances, réglages, nombre de mesures, conditions.
Les résultats bruts, sous forme de tableau. Toutes les mesures, y compris les mauvaises.
Le traitement, avec le graphique qui porte le message et le calcul de l'incertitude.
La réponse à la question posée, avec un nombre, une unité et une incertitude, puis la comparaison à une valeur de référence s'il en existe une.
L'analyse critique : ce qui limite la confiance qu'on accorde au résultat, ce qu'on referait autrement, et quelle serait la suite.

Le test du lecteur inconnu. Faites lire votre protocole à un groupe qui ne connait pas votre projet et demandez-lui de le refaire. Chaque question qu'il pose est une phrase qui manque.

iRemarqueErreur n'est pas faute

Dans la langue courante, faire une erreur c'est mal faire. En science, une erreur de mesure est un écart inévitable entre une valeur mesurée et une valeur vraie ; elle n'est le signe d'aucune négligence, elle est la condition même de la mesure. La faute, elle, est ailleurs : c'est de ne pas répéter, de ne pas noter, de supprimer les points qui dérangent, d'annoncer une précision qu'on n'a pas, ou de conclure ce qu'on souhaitait conclure.

Un projet dont la conclusion est « nous n'avons pas pu répondre à notre question, et voici précisément pourquoi » est un bon projet. Un projet dont la conclusion est « nous avons vérifié la théorie », sans incertitude et sans critique, est un mauvais projet — même si le chiffre est le bon.

Exemple 14.9Six phrases qui trahissent un compte rendu

« Nous avons trouvé exactement la bonne valeur. » — Aucune mesure ne tombe exactement juste ; si c'est le cas, c'est qu'on a arrondi vers la réponse attendue.
« Les résultats sont un peu faussés à cause des erreurs de manipulation. » — Formule creuse. Quelle erreur, de combien, dans quel sens ?
« La courbe montre bien que… » — Une courbe ne montre rien toute seule ; c'est le rédacteur qui doit montrer.
« Nous avons enlevé une mesure qui ne collait pas. » — On ne l'enlève pas, on la discute.
« $v = 341, 8237$ m/s. » — Sept chiffres significatifs à partir d'un chronomètre : impossible.
« Nous n'avons pas eu le temps de faire le graphique. » — Le graphique est le résultat ; c'est la mesure qu'il faut raccourcir, pas le traitement.

14.8 Quatre projets entièrement déroulés

Les quatre projets qui suivent ont été réellement conduits en classe de première. Chacun illustre une difficulté différente : le premier, l'ajustement et l'incertitude ; le deuxième, la découverte d'une loi qu'on ne connaissait pas d'avance ; le troisième, l'échantillonnage et un piège de calcul ; le quatrième, un résultat qui semble faux et qui ne l'est pas.

14.8.1 Projet A — Mesurer la vitesse du son dans l'air

La question.

Quelle est la vitesse de propagation du son dans l'air de la cour du lycée, et notre mesure est-elle compatible avec la valeur tabulée ?

L'hypothèse et la prédiction.

Le son se propage à vitesse constante. Si c'est vrai, la distance parcourue est proportionnelle à la durée du trajet : le nuage des points $(Δ t; d)$ doit s'aligner sur une droite passant par l'origine, dont la pente est la vitesse.

Le matériel.

Un mur de bâtiment plat et dégagé, un décamètre, deux planchettes de bois pour claquer, un smartphone avec une application d'enregistrement, le logiciel libre Audacity pour lire les enregistrements, un thermomètre.

Le protocole.

On se place à une distance $d$ du mur, mesurée au décamètre. On claque les planchettes ; le son part, se réfléchit sur le mur et revient. Le microphone enregistre donc deux impulsions séparées de $Δ t$ , qui correspond à un trajet aller-retour de $2 d$ . On lit $Δ t$ dans Audacity en plaçant les curseurs sur les deux pics. On recommence pour huit distances, de $10$ à $45$ m, et l'on répète huit fois la mesure à $20$ m pour estimer l'incertitude. On relève la température de l'air.

Les données.

$d$ (m)	$10$	$15$	$20$	$25$	$30$	$35$	$40$	$45$
$2 d$ (m)	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$	$70$	$80$	$90$
$Δ t$ (s)	$0, 059$	$0, 086$	$0, 119$	$0, 144$	$0, 176$	$0, 206$	$0, 232$	$0, 264$

Série répétée à $d = 20$ m, en secondes : $0, 117$ ; $0, 119$ ; $0, 115$ ; $0, 121$ ; $0, 118$ ; $0, 116$ ; $0, 120$ ; $0, 118$ . Température relevée : $18$ $^{\circ}$ C.

Le nuage des huit mesures du projet A et sa droite

d'ajustement. Les points sont remarquablement alignés et les écarts à la droite ne montrent aucune organisation : le modèle « la distance est proportionnelle à la durée » est confirmé. La pente de la droite est directement la vitesse cherchée.</div>

Le traitement.

La série répétée donne $Δ t = 0, 1180$ s, un écart-type $s = 0, 0020$ s et une incertitude $u = s / 8 = 0, 0007$ s, soit $0, 6 %$ en relatif. La droite d'ajustement passant par l'origine a pour pente $v = \frac{\sum 2 d \times Δ t}{\sum Δ t ^{2}} = 342 m/s.$ En reportant l'incertitude relative de $0, 6 %$ , on annonce $v = 342 \pm 2 m/s.$

La réponse.

La vitesse du son dans l'air dépend de la température selon la relation approchée $v \approx 331 + 0, 6 θ$ , avec $θ$ en degrés Celsius. À $18$ $^{\circ}$ C, elle vaut donc $331 + 10, 8 = 342$ m/s. Notre mesure lui est identique à l'incertitude près : le modèle est validé.

L'analyse critique.

Trois remarques s'imposent.

Premièrement, la valeur « $343$ m/s » que l'on retient souvent est celle à $20$ $^{\circ}$ C. La comparer à une mesure faite à $18$ $^{\circ}$ C aurait donné un écart de $1$ m/s, qu'on aurait été tenté d'attribuer à une maladresse alors qu'il vient de la physique. Comparer, c'est d'abord comparer dans les mêmes conditions.

Deuxièmement, l'incertitude calculée ne porte que sur la lecture du temps. La distance au mur, mesurée au décamètre par-dessus des obstacles, vaut sans doute à $\pm 0, 2$ m près, soit $1 %$ à $20$ m — davantage que l'incertitude sur le temps. En toute rigueur, c'est elle qui domine, et l'incertitude annoncée sur $v$ devrait être plus proche de $4$ m/s.

Troisièmement, la droite d'ajustement libre, sans contrainte de passage par l'origine, donne une ordonnée à l'origine de $0, 09$ m. Elle devrait être nulle — une durée nulle correspond à une distance nulle. Sa petitesse est un bon indice de la qualité des mesures ; sa non-nullité rappelle qu'un ajustement n'est jamais parfait.

14.8.2 Projet B — Trouver la loi de la corde vibrante

La question.

Comment la fréquence fondamentale d'une corde tendue dépend-elle de sa longueur vibrante, et quelle relation mathématique décrit cette dépendance ?

Ici, contrairement au projet A, on ne cherche pas à retrouver une valeur connue : on cherche une forme. C'est la situation la plus intéressante d'un projet.

Le matériel.

Une guitare (ou un monocorde de laboratoire), un capodastre ou une pièce de bois pour raccourcir la corde, un mètre ruban, un microphone et le logiciel Audacity avec sa fonction d'analyse spectrale.

Le protocole.

On choisit la corde la plus grave et on ne touche plus jamais à son accord — la tension est une variable contrôlée. Pour huit longueurs vibrantes $L$ de $65$ à $20$ cm, mesurées au mètre ruban, on pince la corde et on enregistre. Dans le spectre, on relève la fréquence du premier pic, qui est la fréquence fondamentale. Chaque mesure est faite trois fois ; on retient la moyenne.

Les données.

$L$ (cm)	$65$	$55$	$45$	$40$	$35$	$30$	$25$	$20$
$f$ (Hz)	$82, 6$	$96, 8$	$120, 1$	$132, 9$	$154, 2$	$177, 3$	$216, 0$	$265, 9$
$f \times L$ (Hz $\cdot$ m)	$53, 7$	$53, 2$	$54, 1$	$53, 2$	$54, 0$	$53, 2$	$54, 0$	$53, 2$

La même série de mesures, représentée de deux façons. À gauche,

$f$ en fonction de $L$ : une courbe descendante, dont on ne peut pas dire à l'œil si c'est une hyperbole, une exponentielle ou autre chose. À droite, $f$ en fonction de $1/ L$ : une droite passant par l'origine, qu'un coup d'œil suffit à valider. C'est tout l'intérêt de la linéarisation.</div>

Le traitement.

La troisième ligne du tableau est déjà éloquente : le produit $f \times L$ reste compris entre $53, 2$ et $54, 1$ , c'est-à-dire constant à $\pm 1 %$ près. On confirme graphiquement en traçant $f$ en fonction de $1/ L$ : les points s'alignent sur une droite passant par l'origine, de pente $k = 53, 5$ Hz $\cdot$ m. La loi cherchée est donc $f = \frac{k}{L}, c’est- a ˋ -dire f \times L = 53, 5 Hz \cdot m.$

La réponse.

La fréquence fondamentale est inversement proportionnelle à la longueur vibrante. Diviser la longueur par deux double la fréquence : c'est exactement l'intervalle d'octave. Un guitariste qui pose son doigt au douzième frette, au milieu de la corde, monte d'une octave — et il le fait sans le savoir depuis toujours.

L'analyse critique.

Le résultat est solide, mais il faut voir ce qu'il ne prouve pas.

Le domaine exploré va de $20$ à $65$ cm. Rien ne garantit que la loi tienne à $2$ cm : à très faible longueur, la raideur de la corde intervient et la fréquence s'écarte du modèle. Un modèle vaut dans son domaine de validité.

La constante $k$ n'a pas été expliquée, seulement mesurée. La physique dit qu'elle vaut $k = \frac{1}{2} T / μ$ , où $T$ est la tension et $μ$ la masse par unité de longueur : ici $2 k = 107$ m/s serait la vitesse de l'onde le long de la corde. Un groupe qui voudrait aller plus loin mesurerait $T$ au dynamomètre et $μ$ en pesant une corde de rechange, et comparerait. Ce serait un excellent prolongement.

Enfin, le pic lu dans le spectre a une largeur : la lecture de $f$ vaut à environ $1$ Hz près, soit près de $1 %$ sur les notes graves. C'est du même ordre que la dispersion observée sur $f \times L$ — autrement dit, la constance du produit est vérifiée à la limite de ce que notre mesure peut voir. On ne peut pas prétendre mieux.

14.8.3 Projet C — Cartographier le bruit dans l'établissement

La question.

Dans quels lieux du lycée et à quels moments de la journée le niveau sonore dépasse-t-il $80$ dB, seuil à partir duquel le programme signale un risque pour l'audition ?

Le matériel.

Un smartphone par binôme, avec la même application de sonomètre installée sur tous ; un plan de l'établissement ; un décamètre.

Le protocole.

Huit lieux sont retenus. Dans chacun, on mesure à $1, 5$ m du sol, au centre de la pièce, en tenant l'appareil à bout de bras et sans parler. Trois mesures de trente secondes sont faites à chaque endroit, et l'on retient le niveau moyen affiché. Toutes les mesures sont faites le même jour, avec le même appareil, et l'heure est notée. Un binôme refait deux mesures avec un second téléphone pour estimer l'écart entre appareils.

Les données.

Lieu	mesure 1	mesure 2	mesure 3	moyenne
Salle de classe vide	$38$	$41$	$39$	$39, 3$
CDI	$44$	$42$	$45$	$43, 7$
Salle de classe en activité	$62$	$65$	$61$	$62, 7$
Cour de récréation	$72$	$75$	$74$	$73, 7$
Atelier de technologie	$79$	$81$	$77$	$79, 0$
Couloir à l'intercours	$78$	$82$	$80$	$80, 0$	$⋆$
Réfectoire, service	$84$	$87$	$85$	$85, 3$	$⋆$
Gymnase, match	$88$	$91$	$89$	$89, 3$	$⋆$

Les lieux marqués $⋆$ atteignent ou dépassent $80$ dB. Niveaux en décibels pondérés A.

La carte sonore d'un établissement, chaque zone étant colorée

selon le niveau qui y a été mesuré. Trois lieux sur huit atteignent ou dépassent $80$ dB, et ce sont exactement les trois où l'on ne peut pas se taire : le couloir, le réfectoire et le gymnase. Un tel document, affiché, vaut mieux qu'une campagne d'affiches sur les dangers du bruit.</div>

Le traitement et un piège.

Les trois mesures d'un même lieu se moyennent sans difficulté, l'écart entre elles étant petit. Mais le groupe a voulu aller plus loin et calculer le niveau moyen du réfectoire sur toute l'heure du déjeuner : $20$ minutes à $85$ dB pendant le service, $40$ minutes à $70$ dB ensuite. Il a d'abord écrit $\frac{20 \times 85 + 40 \times 70}{60} = 75 dB,$ ce qui est faux. Les décibels ne s'additionnent pas : ce sont les intensités qui s'ajoutent. Le calcul correct passe par les intensités, les moyenne, puis revient aux décibels : $L_{moy} = 10 lo g (\frac{20 \times 1 0 ^{8, 5} + 40 \times 1 0 ^{7, 0}}{60}) = 80, 5 dB.$ Cinq décibels et demi d'écart, soit un facteur $3, 5$ sur l'énergie reçue. Le niveau moyen réel dépasse le seuil de $80$ dB, alors que le calcul naïf concluait le contraire. Une moyenne mal choisie peut inverser une conclusion de santé publique.

La réponse.

Trois lieux sur huit dépassent le seuil de $80$ dB, et le gymnase à $89$ dB limite l'exposition sans risque à environ $2$ h $50$ par jour. Le réfectoire, à $80, 5$ dB de niveau moyen sur l'heure, est tout juste au seuil — mais il est fréquenté tous les jours, toute l'année.

L'analyse critique.

Quatre limites, et elles comptent.

L'application n'est pas étalonnée : les valeurs absolues peuvent être décalées de plusieurs décibels. Le groupe l'a mesuré en comparant deux téléphones dans la même pièce : $2$ dB d'écart. Toutes les comparaisons entre lieux restent donc valables ; la comparaison au seuil réglementaire de $80$ dB, en revanche, est fragile — c'est précisément là qu'un sonomètre étalonné serait indispensable.

L'échantillonnage temporel est très pauvre : trois mesures d'une journée. Un couloir un lundi matin de novembre n'est pas un couloir un vendredi de juin. Il aurait fallu répéter sur plusieurs jours et à plusieurs heures.

Le niveau moyen ne dit rien des pointes. Un gymnase à $89$ dB de moyenne peut contenir des sifflets à $110$ dB, autrement plus dangereux.

Enfin, mesurer n'est pas agir. Le prolongement naturel du projet serait de tester une mesure d'atténuation — panneaux absorbants au réfectoire, ouverture décalée des salles — et de mesurer à nouveau. C'est ce qu'on appelle une évaluation avant-après, et c'est la forme la plus convaincante d'un résultat.

14.8.4 Projet D — Mesurer le rayon de la Terre avec un bâton

La question.

Peut-on retrouver, avec un bâton et un mètre, la mesure qu'Ératosthène a faite vers $- 240$ , et avec quelle précision ?

Le principe.

Deux villes situées à peu près sur le même méridien voient le Soleil sous des angles différents au même instant, parce que la Terre est courbe. La différence des deux angles est exactement l'angle au centre qui sépare les deux villes. Si l'on connait la distance $d$ entre elles, on obtient la circonférence : $C = \frac{36 0 ^{\circ}}{Δ θ} \times d, R = \frac{C}{2 π} .$

Le principe d'Ératosthène. Les rayons du Soleil arrivent

parallèles ; c'est la courbure de la Terre, et elle seule, qui fait que le gnomon de la ville A porte une ombre plus longue que celui de la ville B. La différence des deux angles est exactement l'angle au centre entre les deux villes. Les angles sont fortement exagérés sur ce schéma : dans la réalité, $Δ θ$ vaut environ sept degrés, pas vingt-cinq.</div>

Le matériel et le protocole.

Un bâton rigide de $1, 000$ m exactement, un fil à plomb pour le rendre vertical, un mètre ruban, une surface horizontale, et un établissement partenaire situé plus au sud. Les deux groupes mesurent la longueur de l'ombre le même jour, chacun au moment où elle est la plus courte — le midi solaire local, qui n'est pas midi à l'horloge. Chaque groupe fait cinq mesures autour de cet instant et retient la plus courte.

Les données.

	hauteur du gnomon	ombre la plus courte	angle $θ$
Ville A (au nord, latitude $50, 6^{\circ}$ )	$1, 000$ m	$1, 212$ m	$50, 4 8^{\circ}$
Ville B (au sud, latitude $43, 3^{\circ}$ )	$1, 000$ m	$0, 948$ m	$43, 4 7^{\circ}$

Distance entre les deux villes le long du méridien : $d = 815$ km.

Le traitement.

L'angle se déduit de l'ombre par $θ = arctan (ℓ / h)$ , où $ℓ$ est la longueur de l'ombre et $h$ la hauteur du gnomon. On trouve $θ_{A} = 50, 4 8^{\circ}$ et $θ_{B} = 43, 4 7^{\circ}$ , d'où $Δ θ = 50, 48 - 43, 47 = 7, 0 1^{\circ} .$ Puis $C = \frac{360}{7 , 01} \times 815 = 41900 km, R = \frac{41 900}{2 π} = 6660 km.$

Le résultat, et la déception.

La valeur admise du rayon terrestre moyen est $6371$ km. L'écart relatif vaut $\frac{6 660 - 6 371}{6 371} = 0, 045, soit 4, 5 %.$ Le groupe estime d'abord son incertitude en supposant qu'il lit chaque ombre à $\pm 5$ mm près. Cela donne une incertitude de $0, 1 9^{\circ}$ sur $Δ θ$ , soit $2, 7 %$ , donc $R = 6660 \pm 180$ km : l'intervalle $[6480; 6840]$ ne contient pas la valeur admise. Conclusion apparente : la mesure est fausse, il y a une erreur quelque part.

Où était l'erreur.

Elle était dans l'incertitude, pas dans la mesure.

Le bord d'une ombre n'est pas net. Le Soleil n'est pas un point : son diamètre apparent vaut un demi-degré, si bien que le bord de l'ombre s'étale sur une bande floue. Un petit calcul le chiffre : pour un gnomon d'un mètre et une ombre de $1, 2$ m, cette bande fait environ deux centimètres de large. Annoncer une lecture à $\pm 5$ mm était donc trois fois trop optimiste. En reprenant le calcul avec $\pm 1, 2$ cm, on obtient une incertitude de $0, 4 6^{\circ}$ sur $Δ θ$ , soit $6, 5 %$ , et $R = 6660 \pm 430 km, soit [6230; 7090] .$ Cette fois, la valeur admise est dans l'intervalle. Le désaccord n'était pas entre la mesure et la réalité : il était entre la mesure et une incertitude sous-estimée.

L'analyse critique.

Deux sources d'erreur systématique subsistent, et il faut les nommer même si l'on ne peut pas les corriger.

Les deux villes ne sont pas exactement sur le même méridien. La méthode suppose qu'elles le sont ; l'écart de longitude introduit un biais qu'on ne peut lever qu'en choisissant mieux les villes, ou en corrigeant les calculs.

Le midi solaire local est difficile à saisir : autour du minimum, la longueur de l'ombre varie très lentement, si bien que quelques minutes d'écart changent peu le résultat — c'est une chance. Mais si l'un des deux groupes a mesuré vingt minutes trop tôt et l'autre vingt minutes trop tard, l'erreur ne se compense pas.

Ce que ce projet apprend.

Il apprend qu'un résultat n'est jamais « juste » ou « faux » dans l'absolu : il est compatible ou incompatible avec une référence, compte tenu de son incertitude. Et il apprend que l'erreur la plus fréquente d'un débutant n'est pas de mal mesurer, c'est de croire ses mesures plus précises qu'elles ne sont. Ératosthène, qui n'avait ni mètre ruban ni calculatrice, avait obtenu $250000$ stades ; nous ne savons pas exactement ce que valait son stade, et c'est bien pourquoi la précision qu'on lui prête varie selon les auteurs. Voilà encore une incertitude — sur une unité, cette fois — qu'il faut savoir signaler.

14.9 Histoire des sciences : quand la mesure est devenue une science

Fin du XVI^e siècle — Tycho Brahe estime ses erreurs. L'astronome danois Tycho Brahe fait construire des instruments gigantesques et observe les planètes pendant vingt ans, avant l'invention de la lunette. Sa nouveauté n'est pas seulement la précision atteinte — une à deux minutes d'angle, la limite de l'œil nu — c'est qu'il évalue cette précision et la publie. Avant lui, on donnait une valeur ; après lui, on donne une valeur et sa qualité. C'est de ses tables que Kepler tirera les lois du mouvement des planètes, et il n'aurait pas pu le faire avec des données dont il n'aurait pas connu la fiabilité.

$1638$ — Galilée ralentit la chute pour pouvoir la mesurer. Dans les Discours concernant deux sciences nouvelles, Galilée raconte comment il a étudié la chute des corps : non pas en les laissant tomber, ce qui va trop vite pour les horloges de son temps, mais en les faisant rouler sur un plan incliné qui « dilue » la gravité. C'est l'invention d'un principe encore central aujourd'hui : quand une grandeur est hors de portée de vos instruments, changez le dispositif, pas les instruments.

$1792$ - $1799$ — le mètre, et le secret de Méchain. La Révolution décide de fonder une unité de longueur sur la Terre elle-même : le mètre sera la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre. Deux astronomes, Jean-Baptiste Delambre et Pierre Méchain, sont chargés de mesurer par triangulation l'arc de méridien entre Dunkerque et Barcelone. L'expédition dure sept ans, en pleine tourmente politique. Méchain découvre alors, dans ses propres mesures à Barcelone, une incohérence de quelques secondes d'arc qu'il ne parvient pas à expliquer. Il la dissimule et en restera tourmenté jusqu'à sa mort. L'épisode est devenu un cas d'école : la donnée cachée n'était pas une faute de mesure mais l'indice d'un phénomène réel, la déviation locale de la verticale par les masses montagneuses. En taisant son anomalie, Méchain a retardé une découverte.

$1805$ - $1809$ — comment tirer une droite d'un nuage de points. Adrien-Marie Legendre publie en $1805$ , dans un mémoire sur les orbites des comètes, une méthode pour ajuster une courbe à des observations qui ne s'accordent pas exactement : rendre minimale la somme des carrés des écarts. Carl Friedrich Gauss la publie en $1809$ en affirmant l'employer depuis $1795$ , ce qui ouvre une querelle de priorité restée célèbre. C'est cette méthode que votre tableur applique quand vous lui demandez une « courbe de tendance » — deux siècles plus tard, en un clic.

Années $1990$ — l'incertitude devient une norme internationale. Un guide commun aux grands organismes de métrologie fixe le vocabulaire et les méthodes d'expression de l'incertitude de mesure : la distinction entre évaluation par des moyens statistiques et par d'autres moyens, la façon de combiner les incertitudes, la manière d'écrire un résultat. Ce que vous faites en écrivant $v = 342 \pm 2$ m/s suit ces conventions.

$20$ mai $2019$ — le kilogramme cesse d'être un objet. Ce jour-là entre en vigueur la nouvelle définition du Système international d'unités : les sept unités de base ne reposent plus sur des objets ou des propriétés particulières, mais sur des constantes de la nature auxquelles on attribue une valeur fixée une fois pour toutes. Le prototype du kilogramme, ce cylindre de platine iridié conservé près de Paris depuis $1889$ et dont la masse dérivait imperceptiblement, est mis à la retraite. Depuis cette date, aucune unité du Système international ne dépend plus d'un objet unique et fragile. C'est l'aboutissement d'une idée vieille de deux siècles : une mesure ne doit rien devoir à un exemplaire particulier.

iRemarqueLe fil qui relie tout cela à votre projet

Estimer la précision de ses observations, changer de dispositif quand l'instrument ne suffit pas, ne jamais cacher une donnée qui dérange, savoir tirer une tendance d'un nuage de points, écrire un résultat avec son incertitude : ces cinq gestes sont exactement ceux que l'on vous demande. Ils n'ont rien d'évident — chacun a demandé des siècles et parfois coûté cher à celui qui l'a manqué.

14.10 Dix sujets de projet

Chaque sujet est donné avec sa question, son protocole, son matériel et ses écueils. Tous ont été choisis pour tenir dans une douzaine d'heures avec le matériel d'un lycée. Le numéro du sous-thème rappelle le chapitre auquel il se rattache ; le programme officiel n'impose cependant aucun lien avec les thèmes.

Sujet 1 — Le hasard obéit-il à une loi ? (sous-thème 1.1)

Question. Une population de noyaux radioactifs simulée noyau par noyau, sans aucune formule, retrouve-t-elle la loi de décroissance, et à partir de combien de noyaux ?

Protocole. Écrire un programme qui, à chaque pas de temps, tire au sort le sort de chaque noyau avec une probabilité fixée. Faire tourner pour $10$ , $100$ , $1000$ , $1 0^{5}$ noyaux, dix fois chaque. Relever la fraction restante après une, deux, trois demi-vies, et l'écart entre la simulation et $0, 5^{n}$ . Une variante non numérique existe : $200$ dés à six faces jetés ensemble, les « six » étant retirés à chaque lancer.

Matériel. Un ordinateur et Python, ou une boite de dés.

Écueils. Ne pas confondre une simulation qui applique la loi et une simulation qui la fait émerger : la seconde seule a un intérêt. Penser à répéter chaque simulation pour observer la dispersion, sans quoi il n'y a rien à conclure sur l'effet du nombre.

Sujet 2 — Quels paramètres gouvernent la croissance d'un

cristal ? (sous-thème 1.2)

Question. La taille des cristaux obtenus dépend-elle de la vitesse de refroidissement, de la concentration, ou de l'agitation de la solution ?

Protocole. Préparer plusieurs solutions saturées identiques de sulfate de cuivre ou d'alun. Faire varier un seul paramètre à la fois : l'une refroidit à l'air libre, l'autre au réfrigérateur, l'autre dans une enceinte isolée ; noter la durée. Après cristallisation, photographier les cristaux avec une règle dans le champ et mesurer les dix plus grands sur l'image.

Matériel. Verrerie, balance, sel soluble, réfrigérateur, appareil photo, logiciel de mesure sur image.

Écueils. Ne faire varier qu'une variable à la fois, et garder un témoin. La mesure de « la taille d'un cristal » doit être définie précisément avant de commencer, sinon les résultats ne seront pas comparables d'un opérateur à l'autre.

Sujet 3 — L'eau entre et sort d'une cellule (sous-thème 1.3)

Question. À partir de quelle concentration en sel les cellules d'un épiderme d'oignon rouge se plasmolysent-elles, et le phénomène est-il réversible ?

Protocole. Préparer une gamme de solutions salines. Observer au microscope un fragment d'épiderme dans chacune, photographier, compter la proportion de cellules plasmolysées sur cent cellules. Remettre ensuite les cellules dans l'eau pure et observer si la turgescence revient.

Matériel. Microscope optique, lames, oignon rouge, balance, sel.

Écueils. Compter « cent cellules » suppose une règle de comptage décidée d'avance, sinon on compte ce qui arrange. Prévoir le temps d'observation : les échanges d'eau ne sont pas instantanés.

Sujet 4 — L'éclairement dépend-il de l'inclinaison ?

(sous-thème 2.1)

Question. Comment l'éclairement reçu par une surface varie-t-il avec son inclinaison par rapport aux rayons, et retrouve-t-on la loi attendue ?

Protocole. Placer une lampe puissante à distance fixe d'un capteur de lumière monté sur un rapporteur. Faire varier l'angle de $0$ à $90$ degrés par pas de $10$ , relever l'éclairement, répéter trois fois. Tracer l'éclairement en fonction de l'angle, puis en fonction du cosinus de l'angle : on attend une droite.

Matériel. Luxmètre ou capteur de lumière d'un smartphone, lampe, rapporteur, mètre.

Écueils. La lumière parasite de la salle fausse tout : mesurer le fond et le soustraire. Vérifier que la distance lampe-capteur ne change pas quand on incline. Ce projet est aussi celui qui explique les saisons.

Sujet 5 — Une maquette d'effet de serre : que démontre-t-elle

vraiment ? (sous-thème 2.2)

Question. Une bouteille remplie de dioxyde de carbone s'échauffe-t-elle davantage qu'une bouteille remplie d'air sous une lampe, et cette expérience prouve-t-elle l'effet de serre atmosphérique ?

Protocole. Deux bouteilles identiques, l'une remplie d'air, l'autre de dioxyde de carbone, chacune munie d'un thermomètre. Les éclairer par la même lampe et relever les températures toutes les trente secondes pendant vingt minutes, puis pendant le refroidissement. Répéter en échangeant les places des bouteilles.

Matériel. Deux bouteilles, deux thermomètres ou sondes reliées à un microcontrôleur, lampe, source de dioxyde de carbone.

Écueils. C'est le sujet le plus intéressant de la liste, parce que la conclusion honnête est nuancée : la maquette montre bien une différence, mais le mécanisme dominant n'y est pas celui de l'atmosphère réelle. Le cœur du projet est cette étude critique du modèle — que reproduit-il fidèlement, que ne reproduit-il pas ? Le programme l'exige explicitement.

Sujet 6 — Le pouvoir calorifique d'un combustible

(sous-thème 2.4)

Question. Combien d'énergie libère la combustion d'un gramme d'arachide, de noix ou de bougie, et comment se compare-t-elle à la valeur publiée ?

Protocole. Peser l'échantillon avant et après combustion. L'enflammer sous un tube à essai contenant une masse d'eau connue, munie d'un thermomètre. Relever l'élévation de température et calculer l'énergie reçue par l'eau. Rapporter à la masse brulée.

Matériel. Balance de précision, éprouvette, thermomètre, support, échantillons secs.

Écueils. Le rendement est très mauvais — l'essentiel de la chaleur part dans l'air —, si bien que le résultat sous-estime largement la valeur tabulée. C'est un excellent cas d'erreur systématique : elle est toujours dans le même sens, et elle ne se corrige pas en répétant. Sécurité : cheveux attachés, support stable, présence d'un adulte.

Sujet 7 — Comment un liquide se refroidit-il ? (sous-thème 3.2)

Question. La température d'un liquide chaud décroit-elle linéairement, ou selon un autre modèle ?

Protocole. Chauffer $200$ mL d'eau à $70$ $^{\circ}$ C, relever la température toutes les minutes pendant une heure avec une sonde reliée à un microcontrôleur, ainsi que la température de la pièce. Tracer la température, puis l'écart à la température ambiante. Ce dernier doit décroitre géométriquement : le vérifier en calculant le rapport de deux valeurs successives.

Matériel. Sonde de température, microcontrôleur ou thermomètre et chronomètre, becher, isolant.

Écueils. Beaucoup de groupes tracent la température brute et concluent « ça descend », ce qui n'est pas un résultat. Tout est dans l'idée de raisonner sur l'écart à l'ambiante. Ce projet donne aussi l'occasion de retrouver la notion de demi-vie, rencontrée à propos des noyaux radioactifs.

Sujet 8 — Mesurer l'intensité de la pesanteur (sous-thème 3.1)

Question. Quelle valeur de $g$ obtient-on avec un pendule simple, avec quelle incertitude, et l'écart avec d'autres établissements est-il significatif ?

Protocole. Un fil et une masse. Mesurer la durée de vingt oscillations de faible amplitude, cinq fois, pour six longueurs de fil. Tracer le carré de la période en fonction de la longueur : on attend une droite de pente $4 π^{2} / g$ . Comparer aux valeurs obtenues par d'autres établissements, si le projet s'inscrit dans une opération de sciences participatives.

Matériel. Fil, masse, chronomètre ou application de smartphone, mètre.

Écueils. Chronométrer une seule oscillation est inutilisable : c'est le comptage de vingt oscillations qui divise l'erreur de réaction par vingt. L'amplitude doit rester faible, faute de quoi le modèle ne vaut plus. Et l'écart réel de $g$ entre le nord et le sud de la France est de l'ordre du millième : sans une incertitude soigneusement calculée, la comparaison entre établissements ne veut rien dire.

Sujet 9 — La signature spectrale d'un instrument ou d'une voix

(sous-thème 4.1)

Question. Deux instruments jouant la même note produisent des sons différents : qu'est-ce qui, dans le spectre, distingue l'un de l'autre ?

Protocole. Enregistrer la même note tenue, jouée par trois ou quatre instruments, puis chantée. Pour chaque enregistrement, relever la fréquence fondamentale et l'amplitude relative des cinq premiers harmoniques. Construire un tableau croisé et un diagramme comparatif. Tester ensuite une prédiction : un auditeur reconnait-il l'instrument à l'écoute d'un son dont on n'a gardé que le fondamental ?

Matériel. Microphone, Audacity ou équivalent, instruments.

Écueils. Toujours faire jouer la même note, sinon on compare deux choses à la fois. Attention aux réflexions de la salle, qui modifient les amplitudes relatives : enregistrer au même endroit, à la même distance.

Sujet 10 — Écouter la nuit : les ultrasons des chauves-souris

(sous-thème 4.1)

Question. Combien d'espèces de chauves-souris fréquentent les abords de l'établissement, et peut-on les distinguer par la fréquence de leurs cris ?

Protocole. Enregistrer à la tombée de la nuit, à points fixes, avec un détecteur d'ultrasons ou un enregistreur échantillonnant à $192$ kHz au moins. Repérer les séquences de cris, mesurer la fréquence du maximum d'énergie de chacune sur le spectrogramme, et confronter aux clés d'identification acoustique publiées par les naturalistes. Verser les enregistrements à un programme national de sciences participatives.

Matériel. Enregistreur à haute fréquence d'échantillonnage ou détecteur à expansion de temps, logiciel d'analyse spectrale.

Écueils. Un enregistreur ordinaire, à $44, 1$ kHz, ne peut pas capter ces cris : le critère de Shannon l'interdit, et les « signaux » qu'on croirait voir seraient des repliements de spectre. Plusieurs espèces ont des fréquences voisines : une identification acoustique reste souvent incertaine, et l'écrire fait partie du travail. Sortie de nuit : encadrement obligatoire.

iRemarqueD'autres pistes, tirées du programme lui-même

Chaque sous-thème du programme propose ses propres exemples de projets, et l'on peut y puiser librement : utiliser les sons pour rompre des cristaux ; le clonage de cellules végétales ; la caméra thermique pour cartographier des températures de surface ; l'impact de la fonte des glaces sur l'albédo, mesuré au radiomètre ; la place de l'activité physique dans le bilan énergétique humain ; la thermorégulation des mammifères ; l'optimisation du rendement d'une éolienne ; la mesure d'une distance par triangulation ; la recherche d'un lien supposé entre la Lune et un fait biologique ; le suivi de ressources en eau douce ; la numérisation d'un signal audio ; l'audiométrie ; les casques antibruit ; l'isolation phonique d'une cloison ; la comparaison de l'audition humaine à celle d'autres espèces ; l'échographie médicale et industrielle.

Et rien n'oblige à choisir dans cette liste : « l'objet d'étude peut être choisi librement, en lien avec le programme ou non ».

14.11 Bilan

Ce que le programme demande

Un projet expérimental et numérique se déroule sur une douzaine d'heures, en petits groupes, avec un travail pratique effectif.
Il peut mobiliser trois dimensions : un capteur, des données acquises ou fournies par des scientifiques, et un traitement mathématique. Cette dernière dimension n'est jamais facultative.
L'objet d'étude est libre, en lien ou non avec le programme, et peut relever des sciences participatives.
L'accent est mis sur la démarche de projet et sur l'analyse critique des résultats.

Ce qu'il faut savoir faire

Transformer une curiosité en question mesurable, comparative, faisable et sûre.
Distinguer variable étudiée, variable mesurée, variables contrôlées, et prévoir un témoin.
Répéter une mesure, calculer la moyenne, l'écart-type et l'incertitude $u = s / n$ , puis écrire le résultat sous la forme $x ˉ \pm u$ .
Distinguer erreur aléatoire et erreur systématique, fidélité et justesse.
Acquérir des données, les organiser en tableau propre, ne jamais effacer une mesure.
Tracer un graphique complet, linéariser quand c'est possible, ajuster et interpréter physiquement les paramètres du modèle.
Comparer le résultat à une valeur de référence par l'écart relatif, et juger de la compatibilité à l'aune de l'incertitude.
Rendre compte en six parties, y compris de ce qui n'a pas fonctionné.

Trois réflexes à emporter

Toujours écrire une mesure avec son unité et son incertitude. Toujours répéter avant de conclure. Toujours se demander, devant un désaccord, si ce n'est pas l'incertitude qui a été mal estimée avant d'accuser la théorie ou le matériel.

Ce que ce chapitre dit de la science elle-même

Les treize chapitres précédents montrent des sciences achevées ; celui-ci montre le travail qui les a produites, et il ne ressemble pas à ce qu'on imagine. On y avance par essais, on y revient sur ses pas, on y perd des heures sur un capteur mal branché, et l'on découvre à la fin que la moitié du travail consistait à savoir de combien on n'était pas sûr.

C'est pourtant là que se joue toute la différence entre une opinion et une connaissance. Une opinion s'énonce sans incertitude ; une connaissance scientifique s'énonce avec la sienne. Quand vous écrirez, au bas de votre compte rendu, une phrase du type « nous trouvons $342 \pm 2$ m/s, ce qui est compatible avec la valeur attendue à la température mesurée », vous aurez fait quelque chose qu'aucune des treize leçons précédentes ne pouvait vous apprendre : vous aurez produit, vous-même, un énoncé dont vous connaissez exactement la portée et les limites.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices