Analyse de l'information chiffrée

Cours · enseignement scientifique (première), chapitre 15 · première, enseignement scientifique · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une boîte à moustaches : minimum, premier quartile, médiane, troisième quartile, maximum.

15.1 Introduction : un chiffre tout seul ne dit rien

Vous avez entendu cent fois des phrases de ce genre, à la radio, dans un journal, sur un réseau social :

« Une femme sur quatre travaille à temps partiel. »
« Le niveau de la mer a monté de dix centimètres depuis 1993. »
« Les voitures neuves polluent de plus en plus. »

Aucune de ces phrases ne parle d'un seul nombre : chacune croise deux informations — le sexe et le temps de travail, l'année et un niveau mesuré, la masse d'une voiture et ses émissions. Un chiffre isolé, « 28 % », ne veut rien dire ; c'est le rapprochement de deux caractères qui produit du sens, et parfois de la polémique.

Jusqu'ici vous avez surtout appris à résumer un caractère : une moyenne, une médiane, des quartiles. C'est utile, mais c'est court, car les questions qui intéressent un citoyen sont presque toujours des questions de lien : le diplôme protège-t-il du chômage ? la mer monte-t-elle, et de combien en 2050 ?

Ce chapitre apprend donc à faire trois choses, et rien de plus :

ranger deux caractères dans un tableau croisé, et en tirer les bons pourcentages ;
voir ce croisement, avec le diagramme qui convient — barres, secteurs, nuage de points ;
résumer un nuage par une droite, pour estimer une valeur manquante ou risquer une prévision — et savoir jusqu'où cette prévision est honnête.

Il n'y a dans tout cela aucune formule à apprendre par cœur. Il y a des gestes à acquérir, un vocabulaire précis, et surtout une exigence : dire de quoi on parle. C'est la partie du programme la plus directement utile dans la vie ; c'est aussi celle où l'on se fait le plus facilement manipuler.

Définition 15.1Vocabulaire de départ

On étudie une population (des personnes, des voitures, des années…). Chaque élément de la population est un individu. Ce que l'on observe sur chaque individu est un caractère.

Un caractère est qualitatif si ses valeurs sont des catégories, sur lesquelles on ne calcule pas : le sexe, la couleur, le mode de transport, le diplôme le plus élevé.
Un caractère est quantitatif si ses valeurs sont des nombres sur lesquels un calcul a un sens : une masse en kilogrammes, une température en degrés, une année, un salaire en euros.

Lorsqu'on observe deux caractères sur les mêmes individus, on parle de série statistique double, et l'étude qu'on en fait s'appelle une analyse bivariée.

iRemarqueUn caractère quantitatif peut être regroupé en classes

L'âge est quantitatif. Mais si l'on range les individus en trois tranches — moins de 25 ans, de 25 à 49 ans, 50 ans et plus — on l'a transformé en un caractère à trois catégories, que l'on traitera comme un caractère qualitatif. Ce regroupement en classes est très fréquent : il fait perdre du détail, mais il rend le tableau lisible.

iRemarqueL'avertissement à ne jamais oublier : un lien n'est pas une cause

En été, les ventes de glaces augmentent ; en été, le nombre de noyades augmente aussi. Les deux caractères varient donc ensemble. Faut-il en conclure que manger une glace fait se noyer ? Évidemment non : les deux dépendent d'une même troisième cause, la chaleur, qui envoie les gens à la fois vers les glaciers et vers l'eau.

Retenez-le une fois pour toutes : constater que deux caractères varient ensemble ne prouve jamais que l'un provoque l'autre. Tout ce chapitre fabrique des liens ; c'est votre esprit critique, pas la statistique, qui décidera de ce qu'ils signifient.

15.2 Croiser deux caractères qualitatifs : le tableau croisé d'effectifs

15.2.1 Ranger les individus dans un tableau

Reprenons la première phrase. Un échantillon de 2 000 personnes ayant un emploi a été tiré au sort dans les données de l'enquête Emploi de l'Insee. Sur chacune, on a noté deux caractères qualitatifs : le sexe (deux catégories) et le temps de travail (temps complet ou temps partiel). Voici le résultat.

	Temps complet	Temps partiel	Total
Hommes	966	84	1 050
Femmes	684	266	950
Total	1 650	350	2 000

Définition 15.2Tableau croisé d'effectifs

Un tableau croisé d'effectifs range les individus selon deux caractères qualitatifs : une catégorie du premier par ligne, une catégorie du second par colonne. Dans chaque case intérieure on écrit le nombre d'individus, appelé effectif, qui possèdent à la fois la catégorie de la ligne et celle de la colonne.

La dernière colonne et la dernière ligne contiennent les effectifs marginaux : ce sont les totaux par ligne et par colonne, c'est-à-dire les effectifs de chaque caractère pris séparément. La case du coin est l'effectif total.

Le tableau se vérifie tout seul : la somme des totaux de lignes et la somme des totaux de colonnes doivent donner le même nombre, l'effectif total. Ici $1050 + 950 = 2000$ et $1650 + 350 = 2000$ . Si les deux sommes ne coïncident pas, il y a une erreur quelque part.

Méthode : Compléter un tableau croisé d'effectifs

Un tableau croisé se complète en n'utilisant que des additions et des soustractions.

Repérer les cases connues et l'effectif total.
Compléter d'abord toute ligne ou toute colonne à laquelle il ne manque qu'une seule case : la case manquante est le total moins les autres.
Recommencer : chaque case complétée en libère de nouvelles.
Vérifier à la fin que les deux sommes marginales redonnent l'effectif total.

Exemple 15.3Un tableau à trous

Dans un lycée de 800 élèves, 460 sont demi-pensionnaires. Parmi les 350 élèves de seconde, 210 sont demi-pensionnaires. Complétons.

	Demi-pension	Externat	Total
Seconde	210	?	350
Autres niveaux	?	?	?
Total	460	?	800

Ligne « Seconde » : externat $= 350 - 210 = 140$ .
Colonne « Total » : autres niveaux $= 800 - 350 = 450$ .
Colonne « Demi-pension » : autres niveaux $= 460 - 210 = 250$ .
Ligne « Autres niveaux » : externat $= 450 - 250 = 200$ .
Colonne « Externat » : total $= 140 + 200 = 340$ .

Vérification : $460 + 340 = 800$ . ✓

15.2.2 Trois pourcentages pour une seule case

Le tableau des 2 000 actifs contient la case « femmes à temps partiel : 266 ». Combien cela fait-il en pourcentage ? La question, telle quelle, n'a pas de réponse, car elle ne dit pas pourcentage de quoi. Il y a trois réponses possibles, et toutes les trois sont exactes.

$\frac{266}{2 000} = 0, 133 = 13, 3% \frac{266}{950} = 0, 28 = 28% \frac{266}{350} = 0, 76 = 76%$

Ces trois nombres disent trois choses différentes :

13,3 % des actifs de l'échantillon sont des femmes à temps partiel ;
28 % des femmes actives travaillent à temps partiel ;
76 % des personnes à temps partiel sont des femmes.

Une bonne partie des désaccords sur les chiffres vient de là : deux personnes citent deux pourcentages différents, tous deux justes, et croient se contredire.

Définition 15.4Les trois familles de fréquences

Soit une case d'effectif $n$ dans un tableau croisé, située sur une ligne de total $L$ et une colonne de total $C$ , l'effectif total étant $N$ .

La fréquence globale de la case est $\frac{n}{N}$ : la part de cette case dans l'ensemble de la population.
La fréquence en ligne est $\frac{n}{L}$ . L'ensemble des fréquences d'une même ligne forme le profil de cette ligne ; leur somme vaut 1, c'est-à-dire 100 %.
La fréquence en colonne est $\frac{n}{C}$ . L'ensemble des fréquences d'une même colonne forme le profil de cette colonne ; leur somme vaut également 100 %.

Proposition 15.5Choisir la bonne fréquence

Le choix ne dépend pas des données, mais de la question posée.

Pour comparer deux groupes entre eux, on calcule les profils des lignes (ou des colonnes) qui correspondent à ces groupes : c'est la seule façon honnête de comparer des groupes de tailles différentes.
Pour dire quelle part de l'ensemble représente une situation, on calcule la fréquence globale.

Et dans tous les cas, on énonce le pourcentage avec sa population de référence : « 28 % des femmes actives », jamais « 28 % » tout court.

Méthode : Calculer et comparer des profils

Choisir le sens de lecture : par ligne si l'on veut comparer les lignes, par colonne si l'on veut comparer les colonnes.
Diviser chaque effectif de la ligne (ou de la colonne) par le total de cette ligne (ou de cette colonne).
Convertir en pourcentage et vérifier que le profil totalise bien 100 %, aux arrondis près.
Comparer les profils entre eux, et les comparer au profil de l'ensemble.

Exemple 15.6Les profils par sexe

Divisons chaque ligne du tableau des 2 000 actifs par son total.

Profil de la ligne	Temps complet	Temps partiel	Total
Hommes	$966/1 050 = 92%$	$84/1 050 = 8%$	100 %
Femmes	$684/950 = 72%$	$266/950 = 28%$	100 %
Ensemble	$1 650/2 000 = 82, 5%$	$350/2 000 = 17, 5%$	100 %

La comparaison est nette : 28 % contre 8 %, soit trois fois et demie plus de temps partiel chez les femmes que chez les hommes. Le profil de l'ensemble, 17,5 %, se situe entre les deux — c'est toujours le cas, et cela donne un repère commode.

Attention : ces chiffres décrivent, ils n'expliquent pas. Ils ne disent pas si ce temps partiel est choisi ou subi, ni pourquoi il est si inégalement réparti. Ce sont d'autres enquêtes qui répondent à ces questions.

iRemarqueQuand les deux caractères sont-ils « sans lien » ?

Si le profil de chaque ligne était identique au profil de l'ensemble, connaître la ligne n'apprendrait rien sur la colonne : les deux caractères seraient sans lien. Ici les profils s'écartent beaucoup du profil d'ensemble (8 % et 28 % contre 17,5 %) : le lien est fort. Vous retrouverez cette idée, sous une forme plus précise, avec l'indépendance de deux évènements au chapitre suivant.

15.3 Voir le croisement : diagrammes en barres et diagrammes circulaires

Un tableau se lit ; un diagramme se voit. Le bon diagramme n'est pas le plus joli, c'est celui qui répond à la question posée. Trois questions, trois diagrammes.

15.3.1 Comparer des effectifs : le diagramme en barres groupées

Définition 15.7Diagramme en barres

Dans un diagramme en barres, chaque catégorie est représentée par une barre dont la longueur est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence) qu'elle représente. Toutes les barres ont la même largeur, et l'axe des effectifs part de zéro.

Pour croiser deux caractères, on groupe les barres : un groupe par catégorie du premier caractère, et dans chaque groupe une barre par catégorie du second.

Temps de travail selon le sexe,

échantillon de 2 000 actifs occupés (d'après l'enquête Emploi de l'Insee). Ce diagramme montre des effectifs. On y voit tout de suite que la barre orange des femmes est trois fois plus haute que celle des hommes — mais on ne peut pas comparer directement les deux groupes, puisqu'ils n'ont pas le même nombre de

personnes (1 050 et 950).

Méthode : Construire un diagramme en barres groupées

Choisir le caractère qui donnera les groupes, et celui qui donnera les couleurs.
Repérer l'effectif le plus grand ; choisir une graduation régulière de l'axe vertical qui le contienne et qui commence à 0.
Tracer les barres, de largeur constante, en laissant un espace entre les groupes mais pas à l'intérieur d'un groupe.
Ajouter obligatoirement : le titre, la légende des couleurs, le nom et l'unité de l'axe vertical, et la source des données.

15.3.2 Comparer des profils : le diagramme en barres empilées

Pour comparer deux groupes de tailles différentes, il faut passer aux pourcentages. On empile alors, pour chaque groupe, des barres de même longueur totale, représentant 100 % du groupe.

Les mêmes données, en profils.

Chaque barre vaut 100 % de son groupe : les longueurs sont donc comparables. La barre « Ensemble », en teinte plus claire, sert de repère — le profil des hommes est très au-dessous, celui des femmes très au-dessus. C'est ce diagramme, et non le précédent, qui répond à la question « les femmes travaillent-elles plus souvent à

temps partiel ? ».

15.3.3 Représenter une répartition : le diagramme circulaire

Quand on veut montrer comment un tout se partage entre plusieurs catégories, on peut découper un disque en secteurs. La règle est simple : l'angle est proportionnel à la fréquence.

Définition 15.8Diagramme circulaire et diagramme semi-circulaire

Dans un diagramme circulaire, chaque catégorie occupe un secteur du disque dont l'angle au centre, en degrés, vaut

$angle = fr e ˊ quence \times 360.$

Dans un diagramme semi-circulaire, on n'utilise qu'un demi-disque et l'angle vaut $fr e ˊ quence \times 180$ .

Dans les deux cas, la somme des angles reconstitue exactement le tour complet (360°) ou le demi-tour (180°).

Exercices du chapitre

Vélo et lieu de résidence corrigé
Diplôme et chômage corrigé
Reconstituer un tableau à partir de pourcentages corrigé
La production d'électricité en France corrigé
Du diagramme aux données corrigé
La population de la France corrigé

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