Phénomènes aléatoires

Cours · enseignement scientifique (première), chapitre 16 · première, enseignement scientifique · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les 36 issues d'un lancer de deux dés : les six issues de somme 7 forment une diagonale.

16.1 Introduction : le test est positif, suis-je malade ?

Imaginez la scène. Une maladie touche une personne sur cent. On vous propose un test de dépistage dont on vous garantit qu'il est « fiable à 99 % ». Vous le passez, il est positif. Quelle est la probabilité que vous soyez réellement malade ?

Posez la question autour de vous : la réponse spontanée est presque toujours « 99 % ». Nous verrons dans ce chapitre que la bonne réponse, avec des chiffres tout à fait ordinaires, peut être 16,7 % — soit une chance sur six. Cinq personnes sur six qui reçoivent un résultat positif ne sont pas malades. Ce n'est pas un paradoxe, ce n'est pas une astuce de calcul : c'est simplement que l'intuition ne sait pas manier les probabilités conditionnelles, celles qui dépendent d'une information déjà connue.

Cette erreur n'a rien d'anecdotique. Elle se retrouve dans les prétoires, dans les débats sur les dépistages de masse, dans la lecture des tests de paternité ou des alcootests. Savoir la démonter est l'une des compétences les plus utiles que les mathématiques puissent offrir à un citoyen.

Ce chapitre construit donc trois outils, et rien de plus :

la probabilité conditionnelle, c'est-à-dire la probabilité d'un évènement une fois qu'on sait qu'un autre s'est produit ;
l'indépendance de deux évènements, qui dit exactement quand une information n'apprend rien sur l'autre ;
la répétition d'une même épreuve à deux issues — appelée épreuve de Bernoulli — un petit nombre de fois, pour calculer par exemple la probabilité de réussir au moins trois questions d'un QCM en répondant au hasard.

Vous verrez que tout tient dans deux gestes : ranger les individus dans un tableau croisé, ou les faire descendre le long d'un arbre pondéré. Le chapitre précédent avait construit les tableaux croisés d'effectifs pour comparer deux caractères ; celui-ci les reprend, et les transforme en machines à calculer des probabilités.

iRemarqueCe chapitre prolonge directement le précédent

Au chapitre sur l'analyse de l'information chiffrée, vous avez appris qu'une même case d'un tableau croisé donne trois pourcentages différents, tous exacts, selon la population de référence choisie. Vous avez aussi rencontré l'idée que deux caractères sont « sans lien » lorsque le profil de chaque ligne est identique au profil de l'ensemble. Ces deux idées vont recevoir ici leur nom définitif : probabilité conditionnelle et indépendance.

16.2 Le modèle et la réalité : une loi de probabilité est une hypothèse

16.2.1 Le vocabulaire de départ

Définition 16.1Expérience aléatoire, issues, évènements

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît à l'avance tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir lequel se produira. Chaque résultat possible s'appelle une issue, et l'ensemble de toutes les issues s'appelle l'univers, noté $Ω$ .

Un évènement est un ensemble d'issues. On dit qu'il est réalisé si l'issue obtenue lui appartient.

L'évènement contraire de $A$ , noté $A$ , est réalisé exactement lorsque $A$ ne l'est pas.
L'évènement $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») est réalisé lorsque les deux le sont simultanément.
L'évènement $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») est réalisé lorsque l'un au moins des deux l'est.
Deux évènements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire ensemble, c'est-à-dire lorsque $A \cap B$ est impossible.

Définition 16.2Loi de probabilité

Définir une loi de probabilité sur un univers fini, c'est attribuer à chaque issue un nombre compris entre 0 et 1, appelé sa probabilité, de sorte que la somme de tous ces nombres vaille 1.

La probabilité d'un évènement $A$ , notée $P (A)$ , est alors la somme des probabilités des issues qui le composent. On a toujours $0 ⩽ P (A) ⩽ 1$ , ainsi que $P (Ω) = 1$ .

Proposition 16.3Les trois règles de calcul héritées de la seconde

Pour deux évènements $A$ et $B$ quelconques d'un même univers :

$P (A) = 1 - P (A), P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .$

Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P (A \cap B) = 0$ et la seconde égalité se simplifie en $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Le terme $- P (A \cap B)$ n'est pas une subtilité : sans lui, les issues communes aux deux évènements seraient comptées deux fois.

16.2.2 Une loi de probabilité ne se démontre pas

Voici le point le plus important de ce début de chapitre, et celui que l'on oublie le plus vite.

Proposition 16.4Une loi de probabilité est une hypothèse du modèle

Lorsqu'on écrit « la probabilité d'obtenir pile est $\frac{1}{2}$ », on ne démontre rien : on choisit un modèle. Ce choix peut se justifier de deux façons.

Par une hypothèse d'équiprobabilité, fondée sur une symétrie de l'objet : une pièce a deux faces semblables, un dé cubique six faces semblables. On attribue alors la même probabilité à chaque issue.
Par l'observation de fréquences, lorsque l'expérience a été répétée un très grand nombre de fois et que la fréquence observée se stabilise.

Dans tous les cas, il faut distinguer nettement le modèle probabiliste, qui est un objet mathématique, et la situation réelle, qui est un objet du monde. Le modèle peut être faux : une pièce peut être truquée, un dé mal équilibré, un sondage mal tiré au sort. C'est l'expérience, et elle seule, qui tranche.

iRemarqueUn modèle faux reste un modèle cohérent

Rien, dans les mathématiques, n'interdit d'attribuer la probabilité 0,7 à « pile » et 0,3 à « face » : la somme vaut bien 1, tous les calculs qui suivront seront corrects. Simplement, ce modèle ne décrira pas une pièce ordinaire. La cohérence interne d'un modèle ne garantit jamais sa fidélité au réel. C'est une leçon qui dépasse largement les probabilités.

16.2.3 La loi des grands nombres, sous sa forme vulgarisée

Vous avez rencontré cette idée en classe de seconde. La voici rappelée, et illustrée.

Proposition 16.5Loi des grands nombres, énoncé vulgarisé

On répète un très grand nombre de fois, de façon indépendante, la même expérience aléatoire, et l'on note la fréquence d'apparition d'un évènement $A$ , c'est-à-dire le quotient

$f_{n} (A) = \frac{nombre de fois o u ˋ A s’est produit}{n} .$

Alors, lorsque $n$ devient grand, cette fréquence a de très fortes chances d'être proche de la probabilité $P (A)$ prévue par le modèle.

Cet énoncé est celui qui autorise le va-et-vient entre le monde et le modèle : il permet d'estimer une probabilité inconnue par une fréquence observée, et de contrôler qu'un modèle choisi n'est pas démenti par l'expérience.

Trois séries simulées de mille

lancers d'une pièce équilibrée. Chaque courbe donne, à chaque instant, la fréquence de « pile » depuis le début de la série. Au début, tout est possible : les trois courbes s'écartent jusqu'à 0,30 et 0,64. Puis elles se resserrent autour de 0,5 sans jamais s'y poser exactement. C'est cela, la loi des grands nombres : non pas une

promesse d'égalité, mais un rétrécissement de l'écart.

iRemarqueCe que la loi des grands nombres ne dit pas

Après dix « face » consécutifs, la probabilité d'obtenir « pile » au onzième lancer reste $\frac{1}{2}$ : la pièce n'a pas de mémoire. L'idée qu'un rattrapage serait « dû » s'appelle l'erreur du joueur. La fréquence se rapproche de 0,5 non parce que les écarts se compensent, mais parce qu'ils sont divisés par un $n$ qui grandit : un écart de dix lancers sur mille pèse dix fois moins que sur cent.

Méthode : Simuler une expérience aléatoire avec un outil numérique

Décrire l'épreuve élémentaire et sa loi : quelles issues, quelles probabilités.
Écrire l'instruction qui tire une issue au hasard selon cette loi (au tableur, =ALEA() donne un nombre au hasard entre 0 et 1 ; en Python, random.random()).
Répéter l'épreuve un grand nombre de fois, en comptant les réalisations de l'évènement étudié.
Diviser par le nombre de répétitions pour obtenir la fréquence, et la comparer à la probabilité du modèle.
Relancer la simulation : deux exécutions ne donnent pas le même résultat. C'est normal — et c'est précisément ce que mesure la dispersion des courbes.

Le programme ci-dessous produit exactement les données de la figure ci-dessus. Aucun code n'est exigible ; il est donné pour montrer qu'il n'y a là aucun mystère.


import random

def frequence(n, p):
    """Frequence de succes sur n repetitions independantes, chacune de proba p."""
    succes = 0
    for _ in range(n):
        if random.random() < p:
            succes = succes + 1
    return succes / n

for n in [10, 100, 1000, 10000, 100000]:
    print(n, "lancers :", frequence(n, 0.5))

En exécutant ce programme, on constate que l'écart à 0,5 diminue à mesure que $n$ grandit, mais de façon irrégulière : rien ne garantit que la simulation à 100 000 lancers soit plus proche de 0,5 que celle à 10 000. La loi des grands nombres est un énoncé sur les chances, pas une garantie.

16.3 La probabilité conditionnelle

16.3.1 Une question qui change de population de référence

Le lycée Jean-Perrin compte 1 000 élèves. On relève sur chacun deux caractères : est-il demi-pensionnaire, et est-il inscrit à l'association sportive du lycée ? Voici le tableau croisé d'effectifs.

	Inscrit à l'AS	Non inscrit	Total
Demi-pensionnaire	180	420	600
Externe	60	340	400
Total	240	760	1 000

On tire au sort un élève, chacun ayant la même probabilité d'être choisi. Notons $D$ l'évènement « l'élève est demi-pensionnaire » et $S$ l'évènement « l'élève est inscrit à l'association sportive ». Les probabilités se lisent alors directement dans le tableau, en divisant par 1 000 :

$P (D) = \frac{600}{1 000} = 0, 6, P (S) = \frac{240}{1 000} = 0, 24, P (D \cap S) = \frac{180}{1 000} = 0, 18.$

Posons maintenant une question différente : parmi les demi-pensionnaires seulement, quelle proportion est inscrite à l'association sportive ? On ne divise plus par 1 000, mais par 600 :

$\frac{180}{600} = 0, 30.$

Trente pour cent, et non dix-huit. Le numérateur n'a pas changé ; c'est le dénominateur qui a changé, parce que la population de référence n'est plus le lycée entier mais les seuls demi-pensionnaires.

Les 1 000 élèves du lycée,

représentés par un rectangle d'aire proportionnelle à l'effectif. La largeur d'une colonne donne la part des demi-pensionnaires et des externes ; la hauteur de la zone foncée, à l'intérieur de chaque colonne, donne la part des inscrits à l'association sportive dans cette colonne. Les deux hauteurs foncées sont différentes : le

régime et l'inscription à l'AS ne sont pas sans rapport.

Définition 16.6Probabilité conditionnelle

Soient $A$ et $B$ deux évènements, avec $P (A) \neq = 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_{A} (B)$ , est le nombre

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} .$

C'est la probabilité que $B$ se réalise lorsqu'on sait déjà que $A$ s'est réalisé : on a remplacé l'univers de départ par $A$ , qui devient la nouvelle population de référence.

Sur l'exemple : $P_{D} (S) = \frac{P ( D \cap S )}{P ( D )} = \frac{0 , 18}{0 , 6} = 0, 30$ . On retrouve bien le résultat obtenu en divisant les effectifs, $180/600$ — et ce n'est pas un hasard, puisque diviser deux fréquences revient à diviser les effectifs correspondants.

Proposition 16.7Probabilité d'une intersection

En multipliant les deux membres de la définition par $P (A)$ , on obtient l'égalité qui sert dans tous les calculs :

$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) .$

En français : la probabilité que les deux évènements se produisent est la probabilité du premier, multipliée par la probabilité du second sachant le premier.

De la même façon, en échangeant les rôles, $P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A)$ .

16.3.2 Distinguer les trois nombres

Proposition 16.8

P (A \cap B)

P_{A} (B)

P_{B} (A)

ne sont pas la même chose

Ces trois nombres portent sur la même case du tableau, mais divisent par trois totaux différents.

$P (A \cap B)$ divise par l'effectif total : c'est la part de la case dans toute la population.
$P_{A} (B)$ divise par l'effectif de $A$ : la population de référence est $A$ .
$P_{B} (A)$ divise par l'effectif de $B$ : la population de référence est $B$ .

Ils sont égaux seulement par accident. Confondre $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ est l'erreur la plus fréquente et la plus lourde de conséquences de tout le programme : c'est elle qui fait croire qu'un test positif signifie « malade ».

Exemple 16.9Les trois nombres sur l'exemple du lycée

$P (D \cap S) = \frac{180}{1 000} = 0, 18, P_{D} (S) = \frac{180}{600} = 0, 30, P_{S} (D) = \frac{180}{240} = 0, 75.$

En français :

18 % des élèves du lycée sont demi-pensionnaires et inscrits à l'AS ;
30 % des demi-pensionnaires sont inscrits à l'AS ;
75 % des inscrits à l'AS sont demi-pensionnaires.

Le dernier nombre est le plus grand des trois, et pourtant c'est celui qui en dit le moins sur l'attrait de l'AS : il est grand surtout parce que les demi-pensionnaires sont majoritaires dans le lycée.

Exercices du chapitre

Transports et retards corrigé
Reconstituer un tableau à partir de conditionnelles corrigé
Un test de dépistage plus réaliste corrigé
Deux composants d'un appareil corrigé
Trois lancers d'un dé corrigé
Quatre feux tricolores corrigé

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