Phénomènes aléatoires

Cours complet · enseignement scientifique (première), chapitre 16 · première, enseignement scientifique

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16.1 Introduction : le test est positif, suis-je malade ?

Imaginez la scène. Une maladie touche une personne sur cent. On vous propose un test de dépistage dont on vous garantit qu'il est « fiable à 99 % ». Vous le passez, il est positif. Quelle est la probabilité que vous soyez réellement malade ?

Posez la question autour de vous : la réponse spontanée est presque toujours « 99 % ». Nous verrons dans ce chapitre que la bonne réponse, avec des chiffres tout à fait ordinaires, peut être 16,7 % — soit une chance sur six. Cinq personnes sur six qui reçoivent un résultat positif ne sont pas malades. Ce n'est pas un paradoxe, ce n'est pas une astuce de calcul : c'est simplement que l'intuition ne sait pas manier les probabilités conditionnelles, celles qui dépendent d'une information déjà connue.

Cette erreur n'a rien d'anecdotique. Elle se retrouve dans les prétoires, dans les débats sur les dépistages de masse, dans la lecture des tests de paternité ou des alcootests. Savoir la démonter est l'une des compétences les plus utiles que les mathématiques puissent offrir à un citoyen.

Ce chapitre construit donc trois outils, et rien de plus :

la probabilité conditionnelle, c'est-à-dire la probabilité d'un évènement une fois qu'on sait qu'un autre s'est produit ;
l'indépendance de deux évènements, qui dit exactement quand une information n'apprend rien sur l'autre ;
la répétition d'une même épreuve à deux issues — appelée épreuve de Bernoulli — un petit nombre de fois, pour calculer par exemple la probabilité de réussir au moins trois questions d'un QCM en répondant au hasard.

Vous verrez que tout tient dans deux gestes : ranger les individus dans un tableau croisé, ou les faire descendre le long d'un arbre pondéré. Le chapitre précédent avait construit les tableaux croisés d'effectifs pour comparer deux caractères ; celui-ci les reprend, et les transforme en machines à calculer des probabilités.

iRemarqueCe chapitre prolonge directement le précédent

Au chapitre sur l'analyse de l'information chiffrée, vous avez appris qu'une même case d'un tableau croisé donne trois pourcentages différents, tous exacts, selon la population de référence choisie. Vous avez aussi rencontré l'idée que deux caractères sont « sans lien » lorsque le profil de chaque ligne est identique au profil de l'ensemble. Ces deux idées vont recevoir ici leur nom définitif : probabilité conditionnelle et indépendance.

16.2 Le modèle et la réalité : une loi de probabilité est une hypothèse

16.2.1 Le vocabulaire de départ

Définition 16.1Expérience aléatoire, issues, évènements

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît à l'avance tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir lequel se produira. Chaque résultat possible s'appelle une issue, et l'ensemble de toutes les issues s'appelle l'univers, noté $Ω$ .

Un évènement est un ensemble d'issues. On dit qu'il est réalisé si l'issue obtenue lui appartient.

L'évènement contraire de $A$ , noté $A$ , est réalisé exactement lorsque $A$ ne l'est pas.
L'évènement $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») est réalisé lorsque les deux le sont simultanément.
L'évènement $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») est réalisé lorsque l'un au moins des deux l'est.
Deux évènements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire ensemble, c'est-à-dire lorsque $A \cap B$ est impossible.

Définition 16.2Loi de probabilité

Définir une loi de probabilité sur un univers fini, c'est attribuer à chaque issue un nombre compris entre 0 et 1, appelé sa probabilité, de sorte que la somme de tous ces nombres vaille 1.

La probabilité d'un évènement $A$ , notée $P (A)$ , est alors la somme des probabilités des issues qui le composent. On a toujours $0 ⩽ P (A) ⩽ 1$ , ainsi que $P (Ω) = 1$ .

Proposition 16.3Les trois règles de calcul héritées de la seconde

Pour deux évènements $A$ et $B$ quelconques d'un même univers :

$P (A) = 1 - P (A), P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .$

Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P (A \cap B) = 0$ et la seconde égalité se simplifie en $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Le terme $- P (A \cap B)$ n'est pas une subtilité : sans lui, les issues communes aux deux évènements seraient comptées deux fois.

16.2.2 Une loi de probabilité ne se démontre pas

Voici le point le plus important de ce début de chapitre, et celui que l'on oublie le plus vite.

Proposition 16.4Une loi de probabilité est une hypothèse du modèle

Lorsqu'on écrit « la probabilité d'obtenir pile est $\frac{1}{2}$ », on ne démontre rien : on choisit un modèle. Ce choix peut se justifier de deux façons.

Par une hypothèse d'équiprobabilité, fondée sur une symétrie de l'objet : une pièce a deux faces semblables, un dé cubique six faces semblables. On attribue alors la même probabilité à chaque issue.
Par l'observation de fréquences, lorsque l'expérience a été répétée un très grand nombre de fois et que la fréquence observée se stabilise.

Dans tous les cas, il faut distinguer nettement le modèle probabiliste, qui est un objet mathématique, et la situation réelle, qui est un objet du monde. Le modèle peut être faux : une pièce peut être truquée, un dé mal équilibré, un sondage mal tiré au sort. C'est l'expérience, et elle seule, qui tranche.

iRemarqueUn modèle faux reste un modèle cohérent

Rien, dans les mathématiques, n'interdit d'attribuer la probabilité 0,7 à « pile » et 0,3 à « face » : la somme vaut bien 1, tous les calculs qui suivront seront corrects. Simplement, ce modèle ne décrira pas une pièce ordinaire. La cohérence interne d'un modèle ne garantit jamais sa fidélité au réel. C'est une leçon qui dépasse largement les probabilités.

16.2.3 La loi des grands nombres, sous sa forme vulgarisée

Vous avez rencontré cette idée en classe de seconde. La voici rappelée, et illustrée.

Proposition 16.5Loi des grands nombres, énoncé vulgarisé

On répète un très grand nombre de fois, de façon indépendante, la même expérience aléatoire, et l'on note la fréquence d'apparition d'un évènement $A$ , c'est-à-dire le quotient

$f_{n} (A) = \frac{nombre de fois o u ˋ A s’est produit}{n} .$

Alors, lorsque $n$ devient grand, cette fréquence a de très fortes chances d'être proche de la probabilité $P (A)$ prévue par le modèle.

Cet énoncé est celui qui autorise le va-et-vient entre le monde et le modèle : il permet d'estimer une probabilité inconnue par une fréquence observée, et de contrôler qu'un modèle choisi n'est pas démenti par l'expérience.

Trois séries simulées de mille

lancers d'une pièce équilibrée. Chaque courbe donne, à chaque instant, la fréquence de « pile » depuis le début de la série. Au début, tout est possible : les trois courbes s'écartent jusqu'à 0,30 et 0,64. Puis elles se resserrent autour de 0,5 sans jamais s'y poser exactement. C'est cela, la loi des grands nombres : non pas une promesse d'égalité, mais un rétrécissement de l'écart.</div>

iRemarqueCe que la loi des grands nombres ne dit pas

Après dix « face » consécutifs, la probabilité d'obtenir « pile » au onzième lancer reste $\frac{1}{2}$ : la pièce n'a pas de mémoire. L'idée qu'un rattrapage serait « dû » s'appelle l'erreur du joueur. La fréquence se rapproche de 0,5 non parce que les écarts se compensent, mais parce qu'ils sont divisés par un $n$ qui grandit : un écart de dix lancers sur mille pèse dix fois moins que sur cent.

Méthode : Simuler une expérience aléatoire avec un outil numérique

Décrire l'épreuve élémentaire et sa loi : quelles issues, quelles probabilités.
Écrire l'instruction qui tire une issue au hasard selon cette loi (au tableur, =ALEA() donne un nombre au hasard entre 0 et 1 ; en Python, random.random()).
Répéter l'épreuve un grand nombre de fois, en comptant les réalisations de l'évènement étudié.
Diviser par le nombre de répétitions pour obtenir la fréquence, et la comparer à la probabilité du modèle.
Relancer la simulation : deux exécutions ne donnent pas le même résultat. C'est normal — et c'est précisément ce que mesure la dispersion des courbes.

Le programme ci-dessous produit exactement les données de la figure ci-dessus. Aucun code n'est exigible ; il est donné pour montrer qu'il n'y a là aucun mystère.


import random

def frequence(n, p):
    """Frequence de succes sur n repetitions independantes, chacune de proba p."""
    succes = 0
    for _ in range(n):
        if random.random() < p:
            succes = succes + 1
    return succes / n

for n in [10, 100, 1000, 10000, 100000]:
    print(n, "lancers :", frequence(n, 0.5))

En exécutant ce programme, on constate que l'écart à 0,5 diminue à mesure que $n$ grandit, mais de façon irrégulière : rien ne garantit que la simulation à 100 000 lancers soit plus proche de 0,5 que celle à 10 000. La loi des grands nombres est un énoncé sur les chances, pas une garantie.

16.3 La probabilité conditionnelle

16.3.1 Une question qui change de population de référence

Le lycée Jean-Perrin compte 1 000 élèves. On relève sur chacun deux caractères : est-il demi-pensionnaire, et est-il inscrit à l'association sportive du lycée ? Voici le tableau croisé d'effectifs.

	Inscrit à l'AS	Non inscrit	Total
Demi-pensionnaire	180	420	600
Externe	60	340	400
Total	240	760	1 000

On tire au sort un élève, chacun ayant la même probabilité d'être choisi. Notons $D$ l'évènement « l'élève est demi-pensionnaire » et $S$ l'évènement « l'élève est inscrit à l'association sportive ». Les probabilités se lisent alors directement dans le tableau, en divisant par 1 000 :

$P (D) = \frac{600}{1 000} = 0, 6, P (S) = \frac{240}{1 000} = 0, 24, P (D \cap S) = \frac{180}{1 000} = 0, 18.$

Posons maintenant une question différente : parmi les demi-pensionnaires seulement, quelle proportion est inscrite à l'association sportive ? On ne divise plus par 1 000, mais par 600 :

$\frac{180}{600} = 0, 30.$

Trente pour cent, et non dix-huit. Le numérateur n'a pas changé ; c'est le dénominateur qui a changé, parce que la population de référence n'est plus le lycée entier mais les seuls demi-pensionnaires.

Les 1 000 élèves du lycée,

représentés par un rectangle d'aire proportionnelle à l'effectif. La largeur d'une colonne donne la part des demi-pensionnaires et des externes ; la hauteur de la zone foncée, à l'intérieur de chaque colonne, donne la part des inscrits à l'association sportive dans cette colonne. Les deux hauteurs foncées sont différentes : le régime et l'inscription à l'AS ne sont pas sans rapport.</div>

Définition 16.6Probabilité conditionnelle

Soient $A$ et $B$ deux évènements, avec $P (A) \neq = 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_{A} (B)$ , est le nombre

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} .$

C'est la probabilité que $B$ se réalise lorsqu'on sait déjà que $A$ s'est réalisé : on a remplacé l'univers de départ par $A$ , qui devient la nouvelle population de référence.

Sur l'exemple : $P_{D} (S) = \frac{P ( D \cap S )}{P ( D )} = \frac{0 , 18}{0 , 6} = 0, 30$ . On retrouve bien le résultat obtenu en divisant les effectifs, $180/600$ — et ce n'est pas un hasard, puisque diviser deux fréquences revient à diviser les effectifs correspondants.

Proposition 16.7Probabilité d'une intersection

En multipliant les deux membres de la définition par $P (A)$ , on obtient l'égalité qui sert dans tous les calculs :

$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) .$

En français : la probabilité que les deux évènements se produisent est la probabilité du premier, multipliée par la probabilité du second sachant le premier.

De la même façon, en échangeant les rôles, $P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A)$ .

16.3.2 Distinguer les trois nombres

Proposition 16.8

P (A \cap B)

P_{A} (B)

P_{B} (A)

ne sont pas la même chose

Ces trois nombres portent sur la même case du tableau, mais divisent par trois totaux différents.

$P (A \cap B)$ divise par l'effectif total : c'est la part de la case dans toute la population.
$P_{A} (B)$ divise par l'effectif de $A$ : la population de référence est $A$ .
$P_{B} (A)$ divise par l'effectif de $B$ : la population de référence est $B$ .

Ils sont égaux seulement par accident. Confondre $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ est l'erreur la plus fréquente et la plus lourde de conséquences de tout le programme : c'est elle qui fait croire qu'un test positif signifie « malade ».

Exemple 16.9Les trois nombres sur l'exemple du lycée

$P (D \cap S) = \frac{180}{1 000} = 0, 18, P_{D} (S) = \frac{180}{600} = 0, 30, P_{S} (D) = \frac{180}{240} = 0, 75.$

En français :

18 % des élèves du lycée sont demi-pensionnaires et inscrits à l'AS ;
30 % des demi-pensionnaires sont inscrits à l'AS ;
75 % des inscrits à l'AS sont demi-pensionnaires.

Le dernier nombre est le plus grand des trois, et pourtant c'est celui qui en dit le moins sur l'attrait de l'AS : il est grand surtout parce que les demi-pensionnaires sont majoritaires dans le lycée.

Méthode : Calculer une probabilité conditionnelle dans un tableau croisé
d'effectifs</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text">

Traduire l'énoncé : repérer l'évènement qui joue le rôle de la condition — c'est celui qui suit le mot « sachant », « parmi », ou « chez les… ».
Ce sera le dénominateur : prendre son effectif marginal, en bout de ligne ou de colonne.
Prendre au numérateur l'effectif de la case commune aux deux évènements.
Diviser, puis convertir en pourcentage si l'énoncé le demande.
Rédiger la réponse en nommant la population de référence : « parmi les…, … % sont… ».

Aucun calcul de probabilité n'est nécessaire : dans un tableau croisé, une probabilité conditionnelle est un simple quotient d'effectifs.

Exemple 16.10Lire quatre conditionnelles d'un coup

Toujours au lycée Jean-Perrin :

$P_{D} (S) = \frac{420}{600} = 0, 70, P_{D} (S) = \frac{60}{400} = 0, 15,$

$P_{S} (D) = \frac{60}{240} = 0, 25, P_{S} (D) = \frac{420}{760} \approx 0, 553.$

Vérification utile : $P_{D} (S) + P_{D} (S) = 0, 30 + 0, 70 = 1$ . Les probabilités conditionnelles sachant un même évènement forment une loi de probabilité : leur somme vaut 1. En revanche $P_{D} (S) + P_{D} (S) = 0, 30 + 0, 15 = 0, 45$ ne vaut pas 1, et n'a d'ailleurs aucune raison de valoir quoi que ce soit : ce sont deux populations de référence différentes.

16.4 L'arbre pondéré

16.4.1 Trois règles, et tout se calcule

Le tableau croisé suppose qu'on connaît les effectifs. Or les énoncés donnent souvent des pourcentages emboîtés : « 1 % de la population est malade ; parmi les malades, 99 % ont un test positif ». L'outil adapté est alors l'arbre.

Définition 16.11Arbre pondéré

Un arbre pondéré représente une expérience aléatoire qui se déroule en plusieurs étapes. Il part d'un point unique ; chaque branche porte une probabilité et mène à un nœud ; les branches issues d'un même nœud correspondent à toutes les issues possibles de l'étape suivante.

Un trajet complet, de la racine à une extrémité, s'appelle un chemin.

Proposition 16.12Les trois règles d'un arbre pondéré

Règle des nœuds. La somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut 1.
Règle des chemins. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
Règle des extrémités. La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

Les branches de deuxième niveau portent des probabilités conditionnelles : sur la branche qui suit le nœud $A$ , on lit $P_{A} (B)$ . La règle des chemins n'est donc rien d'autre que l'égalité $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ écrite en dessin.

16.4.2 Le test de dépistage

Reprenons la question de l'introduction, avec des chiffres explicites.

Une personne sur cent est atteinte de la maladie : $P (M) = 0, 01$ .
Le test détecte 99 % des malades — c'est ce qu'on appelle sa sensibilité : $P_{M} (T) = 0, 99$ , en notant $T$ l'évènement « le test est positif ».
Le test est négatif chez 95 % des personnes saines — c'est sa spécificité : $P_{M} (T) = 0, 95$ , donc $P_{M} (T) = 0, 05$ .

L'arbre pondéré du dépistage.

Le premier étage porte l'état de santé, le second le résultat du test. Les deux chemins encadrés en orange sont ceux qui donnent un test positif : leurs probabilités s'additionnent, ce qui donne $P (T) = 0, 0594$ . On remarque immédiatement que le second, celui des personnes saines faussement positives, est cinq fois plus probable que le premier.</div>

Méthode : Calculer avec un arbre pondéré

Choisir l'ordre des étages : au premier étage, l'évènement dont l'énoncé donne la probabilité « brute » ; au second, celui dont il donne les probabilités « parmi les… ».
Placer sur chaque branche sa probabilité, et vérifier nœud par nœud que la somme des branches issues d'un même point vaut 1.
Multiplier le long de chaque chemin pour obtenir la probabilité de chaque cas.
Vérifier que la somme de toutes les probabilités de chemins vaut 1.
Pour un évènement donné, additionner les seuls chemins qui le réalisent.
Pour une probabilité conditionnelle « à l'envers », diviser la probabilité du chemin voulu par la probabilité totale de la condition.

Exemple 16.13La réponse à la question de l'introduction

La probabilité qu'un test soit positif s'obtient par la règle des extrémités :

$P (T) = P (M \cap T) + P (M \cap T) = 0, 0099 + 0, 0495 = 0, 0594.$

Un test sur dix-sept environ revient positif. On cherche maintenant $P_{T} (M)$ , la probabilité d'être malade sachant que le test est positif :

$P_{T} (M) = \frac{P ( M \cap T )}{P ( T )} = \frac{0 , 0099}{0 , 0594} = \frac{1}{6} \approx 0, 167.$

16,7 %, soit une chance sur six. Et non 99 %.

Le nombre 0,99 était $P_{M} (T)$ : « si l'on est malade, le test le dit ». La question posée portait sur $P_{T} (M)$ : « si le test le dit, est-on malade ? ». Ces deux nombres n'ont aucune raison d'être égaux, et ici ils sont dans un rapport de six.

Le même calcul, mais en

effectifs plutôt qu'en probabilités : sur 10 000 personnes dépistées, 594 auront un test positif, dont 99 seulement seront malades. La barre du bas rend le rapport visible d'un coup d'œil. Traduire les probabilités en effectifs sur une population imaginaire est le meilleur moyen de rendre ces calculs intuitifs.</div>

iRemarquePourquoi les faux positifs sont si nombreux

Le test se trompe rarement : dans 5 % des cas seulement chez les gens sains. Mais les gens sains sont 9 900, tandis que les malades ne sont que 100. Cinq pour cent d'un très grand nombre l'emporte largement sur quatre-vingt-dix-neuf pour cent d'un tout petit nombre.

C'est la raison pour laquelle les autorités sanitaires ne recommandent pas de dépister systématiquement toute la population pour des maladies rares : le dépistage produirait bien plus d'inquiétudes injustifiées, d'examens complémentaires et de traitements inutiles que de vies sauvées. Un test se juge toujours en fonction de la prévalence de la maladie dans la population testée — c'est-à-dire de $P (M)$ .

iRemarqueLe vocabulaire des tests

Un faux positif est une personne saine dont le test est positif ; un faux négatif est une personne malade dont le test est négatif. Ici il y a 495 faux positifs et 1 faux négatif sur 10 000 personnes.

Le nombre $P_{T} (M)$ que nous avons calculé porte un nom dans le monde médical : la valeur prédictive positive du test. C'est celui qui intéresse le patient. Le nombre $P_{M} (T)$ , la sensibilité, est celui qui intéresse le fabricant du test. Ces deux points de vue ne se confondent jamais.

16.5 L'indépendance de deux évènements

16.5.1 Quand une information n'apprend rien

Modifions le lycée Jean-Perrin : gardons 600 demi-pensionnaires et 400 externes, et supposons cette fois que 144 demi-pensionnaires et 96 externes soient inscrits à l'AS. Le total des inscrits reste 240.

	Inscrit à l'AS	Non inscrit	Total
Demi-pensionnaire	144	456	600
Externe	96	304	400
Total	240	760	1 000

Calculons :

$P_{D} (S) = \frac{144}{600} = 0, 24, P_{D} (S) = \frac{96}{400} = 0, 24, P (S) = \frac{240}{1 000} = 0, 24.$

Les trois nombres sont égaux. Autrement dit : savoir qu'un élève est demi-pensionnaire ne change rien à la probabilité qu'il soit inscrit à l'AS. L'information est sans valeur. C'est cela, l'indépendance.

Définition 16.14Évènements indépendants

Deux évènements $A$ et $B$ , de probabilités non nulles, sont indépendants lorsque

$P_{A} (B) = P (B),$

c'est-à-dire lorsque savoir que $A$ est réalisé ne modifie pas la probabilité de $B$ .

Proposition 16.15Le critère de calcul

$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si

$P (A \cap B) = P (A) \times P (B) .$

C'est cette égalité que l'on utilise en pratique, parce qu'elle est symétrique en $A$ et $B$ : l'indépendance ne dépend pas de l'ordre dans lequel on regarde les deux évènements. En particulier, si $A$ est indépendant de $B$ , alors $B$ est indépendant de $A$ , et l'on a aussi $P_{B} (A) = P (A)$ .

Démonstration

Supposons $P (A) \neq = 0$ et $P (B) \neq = 0$ . Par définition de la probabilité conditionnelle, $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ .

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P_{A} (B) = P (B)$ , donc $\frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = P (B)$ , et en multipliant par $P (A)$ : $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .

Réciproquement, si $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ , alors en divisant par $P (A)$ , qui n'est pas nul, on obtient $\frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = P (B)$ , c'est-à-dire $P_{A} (B) = P (B)$ : les deux évènements sont indépendants.

L'égalité $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ ne privilégie ni $A$ ni $B$ ; en la divisant cette fois par $P (B)$ , on obtient de même $P_{B} (A) = P (A)$ .

L'indépendance se voit. À

gauche, la part d'inscrits à l'association sportive n'est pas la même selon le régime (30 % et 15 %) : la frontière entre les deux zones fait une marche. À droite, elle est la même dans les deux colonnes (24 %) : la frontière est une simple droite horizontale, et connaître le régime d'un élève n'apporte aucune information sur son inscription.</div>

Méthode : Justifier ou utiliser l'indépendance de deux évènements

Pour justifier que $A$ et $B$ sont indépendants à partir de données chiffrées :

calculer $P (A)$ , $P (B)$ et $P (A \cap B)$ ;
comparer $P (A \cap B)$ au produit $P (A) \times P (B)$ ;
conclure : égalité, ils sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas. On peut aussi comparer $P_{A} (B)$ à $P (B)$ , c'est équivalent.

Pour utiliser l'indépendance, quand elle est posée par l'énoncé — deux tirages avec remise, deux lancers successifs, deux personnes tirées au sort indépendamment — on remplace directement

$P (A \cap B) par P (A) \times P (B),$

ce qui évite tout tableau et tout arbre.

Exemple 16.16Justifier une non-indépendance

Dans le premier tableau du lycée, $P (D) = 0, 6$ et $P (S) = 0, 24$ , donc

$P (D) \times P (S) = 0, 6 \times 0, 24 = 0, 144,$

alors que $P (D \cap S) = 0, 18$ . Comme $0, 18 \neq = 0, 144$ , les évènements $D$ et $S$ ne sont pas indépendants.

L'écart va dans un sens précis : la case observée (180 élèves) est plus fournie que celle qu'aurait donnée l'indépendance (144 élèves). Les demi-pensionnaires sont donc surreprésentés à l'association sportive. Ce que ce constat ne dit pas, c'est pourquoi : peut-être parce qu'ils restent au lycée entre midi et deux, peut-être parce qu'ils habitent plus loin et n'ont pas de club près de chez eux. La statistique signale ; elle n'explique pas.

iRemarqueIndépendants n'est pas incompatibles

Ces deux mots désignent des situations opposées, et on les confond souvent.

$A$ et $B$ incompatibles : ils ne peuvent pas se produire ensemble, $P (A \cap B) = 0$ . Savoir que $A$ s'est produit apprend donc énormément sur $B$ — cela apprend que $B$ n'a pas eu lieu !
$A$ et $B$ indépendants : savoir que $A$ s'est produit n'apprend rien sur $B$ , et $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .

Deux évènements incompatibles de probabilités non nulles ne sont donc jamais indépendants.

16.6 Répéter la même épreuve : les épreuves de Bernoulli

16.6.1 Une épreuve à deux issues, répétée

Définition 16.17Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues, que l'on convient d'appeler succès et échec. La probabilité du succès est notée $p$ ; celle de l'échec vaut alors $1 - p$ .

Le choix du mot « succès » est purement conventionnel : dans un contrôle de qualité, le « succès » peut parfaitement désigner la pièce défectueuse.

Définition 16.18Répétition d'épreuves identiques et indépendantes

On répète $n$ fois la même épreuve de Bernoulli. On dit que ces répétitions sont identiques et indépendantes lorsque :

identiques : la probabilité $p$ du succès est la même à chaque répétition ;
indépendantes : le résultat d'une répétition n'influe pas sur les probabilités des suivantes.

C'est le modèle du tirage avec remise, du lancer répété d'une pièce ou d'un dé, du QCM auquel on répond au hasard question après question. Ce n'est pas celui du tirage sans remise dans une petite urne : chaque boule retirée modifie la composition de ce qui reste.

Proposition 16.19Probabilité d'une liste de résultats

Lors de $n$ répétitions identiques et indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ , la probabilité d'obtenir une liste de résultats fixée — par exemple succès, échec, succès — est le produit des probabilités de chaque résultat, soit ici $p \times (1 - p) \times p$ .

Chaque liste correspond à un chemin de l'arbre : cette proposition n'est que la règle des chemins, appliquée à un arbre où toutes les branches d'un même niveau portent les mêmes probabilités $p$ et $1 - p$ .

16.6.2 L'arbre d'une répétition

Prenons une situation que vous connaissez : un QCM dont chaque question propose cinq réponses, une seule étant exacte. Un élève répond au hasard. Chaque question est alors une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0, 2$ , et les questions sont indépendantes les unes des autres.

L'arbre des trois premières

questions d'un QCM auquel on répond au hasard, avec une chance sur cinq par question. Huit chemins, dont les probabilités s'additionnent à 1. Trois chemins différents donnent exactement deux succès : c'est en les comptant, et non par une formule, que l'on calculera la probabilité d'avoir deux bonnes réponses.</div>

Méthode : Représenter par un arbre la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli,
avec $n ⩽ 4$ </h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text">

Identifier l'épreuve élémentaire, nommer le succès et donner $p$ . Vérifier que les répétitions sont bien identiques et indépendantes.
Tracer l'arbre à $n$ niveaux : chaque nœud donne naissance à deux branches, portant $p$ et $1 - p$ . Il y a $2^{n}$ chemins, soit 2, 4, 8 ou 16 selon que $n$ vaut 1, 2, 3 ou 4.
Calculer la probabilité de chaque chemin en multipliant les branches. Deux chemins comptant le même nombre de succès ont la même probabilité.
Repérer les chemins qui réalisent l'évènement demandé — le plus souvent « exactement $k$ succès », « au moins un succès », « au plus deux succès » — et les compter.
Additionner leurs probabilités.
Vérifier que la somme sur tous les chemins vaut 1.

iRemarquePourquoi

n ⩽ 4

Le programme limite explicitement cette étude à quatre répétitions au plus, et la raison est visible sur le dessin : un arbre à 5 niveaux compterait 32 chemins, un arbre à 10 niveaux en compterait 1 024. Au-delà de quatre, ce n'est plus l'arbre qu'il faut, mais une formule de dénombrement que vous n'étudierez que si vous poursuivez en mathématiques. Ici, on compte les chemins à la main, et c'est suffisant.

Exemple 16.20Quatre questions au hasard

L'élève répond au hasard aux quatre questions du QCM. L'arbre a $2^{4} = 16$ chemins. Un chemin comportant $k$ succès a pour probabilité $0, 2^{k} \times 0, 8^{4 - k}$ ; il reste à compter, pour chaque valeur de $k$ , combien de chemins conviennent — ce que l'on fait en les écrivant.

Succès $k$	Chemins	Nombre	Proba. d'un chemin	Total
0	EEEE	1	$0, 8^{4} = 0, 4096$	0,4096
1	SEEE, ESEE, EESE, EEES	4	$0, 2 \times 0, 8^{3} = 0, 1024$	0,4096
2	SSEE, SESE, SEES, ESSE, ESES, EESS	6	$0, 2^{2} \times 0, 8^{2} = 0, 0256$	0,1536
3	SSSE, SSES, SESS, ESSS	4	$0, 2^{3} \times 0, 8 = 0, 0064$	0,0256
4	SSSS	1	$0, 2^{4} = 0, 0016$	0,0016
Somme		1,0000

On en déduit immédiatement :

la probabilité d'avoir au moins trois bonnes réponses vaut $0, 0256 + 0, 0016 = 0, 0272$ , soit moins de 3 % ;
la probabilité de n'en avoir aucune vaut 0,4096, soit près de 41 % ;
la probabilité d'en avoir au moins une vaut $1 - 0, 4096 = 0, 5904$ : on est passé par l'évènement contraire, ce qui évite d'additionner quinze chemins.

Probabilité d'obtenir

k

bonnes réponses en répondant au hasard aux quatre questions d'un QCM à cinq propositions. Les deux premières barres sont exactement de même hauteur : obtenir zéro ou une bonne réponse est également probable. À droite de la ligne pointillée se trouvent les résultats « honorables » : ils totalisent moins de 3 %.</div>

iRemarqueCe que ce calcul dit d'un QCM

Répondre au hasard à quatre questions à cinq propositions rapporte, en moyenne, 0,8 bonne réponse. La probabilité d'atteindre la moyenne — trois bonnes réponses sur quatre — est de 2,7 %. Un QCM est donc bien plus difficile à réussir au hasard qu'on ne l'imagine, à condition qu'il comporte assez de propositions et assez de questions. Avec deux propositions par question, en revanche, chaque question serait un pile ou face : la probabilité d'avoir au moins trois bonnes réponses sur quatre monterait à $\frac{5}{16}$ , soit 31 %.

16.7 Histoire des sciences : les jeux de hasard, berceau des probabilités

Le calcul des probabilités n'est pas né dans une université ni dans un observatoire : il est né autour d'une table de jeu. Pendant deux siècles, ce sont des joueurs qui ont posé les questions, et des mathématiciens qui, en tentant d'y répondre, ont fabriqué une théorie dont dépendent aujourd'hui les assurances, la médecine, la physique et la climatologie.

16.7.1 Le grand-duc de Toscane et les trois dés

Vers 1620, Cosme II de Médicis, grand-duc de Toscane, soumet à Galilée une observation faite par les joueurs de son entourage. En lançant trois dés et en additionnant les points, on obtient un peu plus souvent 10 que 9 — alors que, en apparence, il y a autant de façons d'écrire 9 comme somme de trois nombres de 1 à 6 que d'écrire 10.

Galilée rédige un court mémoire, Sopra le scoperte dei dadi, où il donne la réponse : il ne faut pas compter les combinaisons de valeurs, mais les issues du lancer, c'est-à-dire les triplets ordonnés, car les trois dés sont distincts même s'ils se ressemblent. Il en trouve 27 pour la somme 10 et 25 pour la somme 9, sur les 216 issues possibles. L'écart est minuscule — moins d'un pour cent — mais les joueurs, qui jouaient beaucoup, l'avaient perçu.

La leçon est double : elle porte sur la méthode (choisir le bon univers, celui des issues équiprobables) et sur le rapport entre modèle et réalité (l'observation d'une fréquence a précédé et guidé le calcul).

16.7.2 Le problème des partis : Pascal et Fermat, 1654

En 1654, un joueur mondain, Antoine Gombaud, chevalier de Méré, soumet à Blaise Pascal une question restée sans réponse depuis deux siècles, le problème des partis :

Deux joueurs misent la même somme et conviennent que le premier qui aura gagné un certain nombre de manches emportera tout l'enjeu. La partie est interrompue avant la fin. Comment partager équitablement les mises ?

Pascal écrit à Pierre de Fermat, alors magistrat à Toulouse. Leur correspondance de l'été 1654 — une poignée de lettres — est considérée comme l'acte de naissance du calcul des probabilités. Leur réponse est nouvelle et profonde : il faut partager les mises proportionnellement aux chances qu'aurait eues chaque joueur de gagner si la partie s'était poursuivie, et non selon les manches déjà gagnées. Pour la première fois, on attribue une valeur chiffrée à un avenir qui n'aura pas lieu.

Vous traiterez un cas concret de ce problème à l'exercice 11 : il se résout entièrement avec un arbre à quatre niveaux, exactement l'outil de ce chapitre.

16.7.3 D'Alembert et « croix ou pile », 1754

Un siècle plus tard, Jean Le Rond d'Alembert rédige pour l'Encyclopédie de Diderot l'article « Croix ou Pile », publié dans le tome IV en 1754. Il y examine une question simple : en lançant deux fois une pièce, quelle est la probabilité d'obtenir croix au moins une fois ?

La réponse admise était $\frac{3}{4}$ . D'Alembert la conteste : si croix sort au premier coup, la partie est finie, on ne lance pas une seconde fois. Il n'y a donc que trois cas — croix ; pile puis croix ; pile puis pile — et la probabilité serait $\frac{2}{3}$ .

L'erreur de d'Alembert et sa

correction. À gauche, l'arbre des deux lancers : quatre chemins de probabilité $\frac{1}{4}$ , trois d'entre eux contiennent au moins un « croix ». À droite, l'arbre que décrit d'Alembert, dans lequel on s'arrête dès qu'un « croix » est sorti : il n'a que trois issues, mais la première a une probabilité $\frac{1}{2}$ et les deux autres $\frac{1}{4}$ . En pondérant correctement, on retrouve $\frac{3}{4}$ .</div>

D'Alembert avait raison sur un point : la partie s'arrête effectivement au premier coup si croix sort. Il avait tort sur l'essentiel : réduire le nombre d'issues ne les rend pas équiprobables. L'hypothèse d'équiprobabilité ne se décrète pas, elle se justifie — c'est très exactement la mise en garde du début de ce chapitre. Que l'un des plus grands savants de son siècle, dans le plus prestigieux ouvrage de son temps, soit tombé dans ce piège devrait vous rassurer sur vos propres hésitations.

16.7.4 De l'anecdote à la science

Deux dates achèvent cette histoire. En 1713 paraît, huit ans après la mort de son auteur, l'Ars conjectandi de Jacques Bernoulli : on y trouve la première démonstration de la loi des grands nombres, que Bernoulli appelait son « théorème d'or », et l'étude systématique de la répétition d'épreuves à deux issues — celles qui portent aujourd'hui son nom. En 1933, le mathématicien russe Andreï Kolmogorov donne au calcul des probabilités sa forme axiomatique définitive, à partir de trois règles simples dont vous avez utilisé les conséquences dans tout ce chapitre.

Entre les deux, les probabilités ont quitté les tables de jeu pour entrer dans les compagnies d'assurance, la physique statistique, la génétique, les sondages et l'épidémiologie. C'est un trajet fréquent dans l'histoire des sciences : une question futile, posée avec assez de précision, engendre un outil universel.

iRemarqueUne énigme plus récente : le problème de Monty Hall

Dans un jeu télévisé, un candidat choisit une porte parmi trois ; derrière l'une se trouve une voiture, derrière les deux autres une chèvre. Le présentateur, qui sait où est la voiture, ouvre alors une autre porte, révélant une chèvre, et propose au candidat de changer son choix. Faut-il changer ?

La réponse est oui : changer fait passer la probabilité de gagner de $\frac{1}{3}$ à $\frac{2}{3}$ . Le raisonnement tient en une phrase : si le premier choix était mauvais — ce qui arrive deux fois sur trois — alors changer fait gagner à coup sûr.

Le statisticien Steve Selvin avait posé le problème dès 1975 dans une revue scientifique ; c'est sa reprise, en 1990, dans la rubrique de Marilyn vos Savant du magazine américain Parade qui déclencha une polémique nationale : des milliers de lecteurs, dont des universitaires, écrivirent pour contester la réponse — qui était juste. Deux siècles et demi après d'Alembert, le même piège avait fonctionné.

16.8 Automatismes

Les capacités qui suivent ne font pas l'objet d'un cours nouveau : ce sont des gestes qui doivent devenir disponibles sans réfléchir. Entraînez-vous quelques minutes, souvent, plutôt qu'une heure la veille du contrôle. Les réponses suivent chaque série.

16.8.1 Lire un tableau croisé d'effectifs

Proposition 16.21Les quatre lectures d'un tableau croisé

Soit un tableau croisé d'effectifs de population totale $N$ , dans lequel une case d'effectif $n$ se trouve à l'intersection d'une ligne de total $L$ et d'une colonne de total $C$ . En tirant un individu au sort de façon équiprobable :

$P (ligne) = \frac{L}{N}, P (ligne \cap colonne) = \frac{n}{N}, P_{ligne} (colonne) = \frac{n}{L}, P_{colonne} (ligne) = \frac{n}{C} .$

Tout se lit dans le tableau : le numérateur est toujours l'effectif de la case, seul le dénominateur change.

Méthode : Questions flash — tableau croisé

On tire au sort un des 400 salariés d'une entreprise. Le tableau croise le fait d'occuper un poste d'encadrement et le fait d'avoir suivi une formation dans l'année.

	Formé	Non formé	Total
Encadrement	72	48	120
Autres postes	84	196	280
Total	156	244	400

Notons $E$ « le salarié est cadre » et $F$ « il a été formé cette année ».

Calculer $P (E)$ .
Calculer $P (F)$ .
Calculer $P (E \cap F)$ .
Calculer $P_{E} (F)$ .
Calculer $P_{F} (E)$ .
Calculer $P_{E} (F)$ .
$E$ et $F$ sont-ils indépendants ?

Réponses. 1. $120/400 = 0, 30$ . 2. $156/400 = 0, 39$ . 3. $72/400 = 0, 18$ . 4. $72/120 = 0, 60$ . 5. $72/156 \approx 0, 462$ . 6. $84/280 = 0, 30$ . 7. Non : $P (E) \times P (F) = 0, 30 \times 0, 39 = 0, 117$ , alors que $P (E \cap F) = 0, 18$ . Les cadres sont bien plus souvent formés (60 %) que les autres salariés (30 %).

16.8.2 Distinguer $P (A \cap B)$ , $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$

Méthode : Questions flash — traduire une phrase en notation

Dans une population, $A$ est « la personne est fumeuse » et $B$ « la personne est essoufflée en montant deux étages ». Traduire chaque phrase par l'une des trois notations.

« 22 % des adultes fument et sont essoufflés. »
« 45 % des fumeurs sont essoufflés. »
« 60 % des personnes essoufflées sont fumeuses. »
« Parmi les non-fumeurs, 12 % sont essoufflés. »
« Un adulte sur trois fume. »
Sachant $P (A) = 0, 33$ et $P_{A} (B) = 0, 45$ , calculer $P (A \cap B)$ .

Réponses. 1. $P (A \cap B) = 0, 22$ . 2. $P_{A} (B) = 0, 45$ . 3. $P_{B} (A) = 0, 60$ . 4. $P_{A} (B) = 0, 12$ . 5. $P (A) = \frac{1}{3}$ . 6. $P (A \cap B) = 0, 33 \times 0, 45 \approx 0, 149$ .

16.8.3 Calculer sur un arbre pondéré

Méthode : Questions flash — arbre

Une urne contient des jetons ; on en tire un, on note sa couleur, on le remet, et l'on recommence. À chaque tirage, la probabilité d'obtenir un jeton rouge est 0,3.

Probabilité d'obtenir deux rouges de suite ?
Probabilité d'obtenir rouge puis non-rouge, dans cet ordre ?
Probabilité d'obtenir exactement un rouge en deux tirages ?
Probabilité d'obtenir au moins un rouge en deux tirages ?
Probabilité de n'obtenir aucun rouge en trois tirages ?
Les deux tirages sont-ils indépendants ? Pourquoi ?

Réponses. 1. $0, 3 \times 0, 3 = 0, 09$ . 2. $0, 3 \times 0, 7 = 0, 21$ . 3. Deux chemins : $0, 21 + 0, 21 = 0, 42$ . 4. $1 - 0, 7^{2} = 1 - 0, 49 = 0, 51$ . 5. $0, 7^{3} = 0, 343$ . 6. Oui, parce que le jeton est remis : la composition de l'urne est la même au second tirage qu'au premier.

16.8.4 Proportions, fractions, pourcentages

Méthode : Questions flash — calcul mental

15 % de 240 ?
Quelle fraction irréductible vaut 0,375 ?
$\frac{3}{8}$ en pourcentage ?
Une case contient 45 individus sur une ligne de 180 : quel pourcentage ?
Dans une population de 2 500 personnes, 4 % sont concernées : combien de personnes ?
Calculer $0, 2^{3}$ .
Calculer $0, 8^{2}$ .
Calculer $1 - 0, 8^{3}$ .

Réponses. 1. 36. 2. $\frac{3}{8}$ . 3. 37,5 %. 4. 25 %. 5. 100. 6. 0,008. 7. 0,64. 8. $1 - 0, 512 = 0, 488$ .

16.9 Bilan

16.9.1 Ce que ce chapitre a construit

Question posée	Outil
Quelle probabilité pour un évènement ?	Loi de probabilité, choisie et non démontrée
La fréquence observée confirme-t-elle ?	Loi des grands nombres, simulation
Quelle probabilité, sachant que… ?	Probabilité conditionnelle $P_{A} (B)$
Comment lire un énoncé « parmi les… » ?	Tableau croisé, quotient d'effectifs
Comment enchaîner deux étapes ?	Arbre pondéré et ses trois règles
Cette information change-t-elle quelque chose ?	Indépendance, $P (A \cap B) = P (A) P (B)$
Que donne la même épreuve répétée ?	Épreuves de Bernoulli, arbre à $n ⩽ 4$ niveaux
Combien de fois exactement $k$ succès ?	Comptage des chemins de l'arbre

16.9.2 Les gestes à savoir faire

Lire dans un tableau croisé d'effectifs $P (A)$ , $P (A \cap B)$ , $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ , en repérant à chaque fois le bon dénominateur.
Construire un arbre pondéré à partir d'un énoncé donné en pourcentages emboîtés, et vérifier ses nœuds.
Calculer la probabilité d'un chemin, celle d'un évènement, puis une probabilité conditionnelle « à l'envers » par une division.
Justifier que deux évènements sont indépendants, ou qu'ils ne le sont pas, en comparant $P (A \cap B)$ au produit $P (A) \times P (B)$ .
Utiliser l'indépendance donnée par l'énoncé pour multiplier directement des probabilités.
Représenter par un arbre la répétition de $n ⩽ 4$ épreuves de Bernoulli, compter les chemins et additionner leurs probabilités.
Passer par l'évènement contraire chaque fois qu'apparaissent les mots « au moins un ».
Simuler une expérience avec un outil numérique et confronter la fréquence obtenue à la probabilité du modèle.

16.9.3 Les cinq réflexes critiques

$P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ ne sont pas la même chose. « Le test détecte 99 % des malades » ne dit rien de « 99 % des tests positifs sont des malades ».
Une probabilité rare appliquée à un grand groupe donne beaucoup de cas. Cinq pour cent de 9 900 personnes saines écrasent quatre-vingt-dix-neuf pour cent de 100 malades.
Une loi de probabilité est une hypothèse, jamais un théorème. Elle se justifie par une symétrie ou par une observation, et elle peut être fausse.
Réduire le nombre d'issues ne les rend pas équiprobables : c'est l'erreur de d'Alembert, et elle se reproduit chaque fois qu'on dit « il y a deux possibilités, donc une chance sur deux ».
La pièce n'a pas de mémoire. La loi des grands nombres ne promet aucun rattrapage ; elle dit seulement qu'un écart fixe pèse de moins en moins lourd quand le nombre d'essais grandit.

16.9.4 Vers la suite

Ce chapitre et le précédent formaient le versant « données » du programme : comment décrire ce qui est observé, comment raisonner sur ce qui est incertain. Les trois chapitres qui viennent changent complètement de sujet : ils étudient des phénomènes d'évolution, des grandeurs qui changent au fil du temps, et les trois grandes façons de les modéliser — la variation linéaire, la modélisation quadratique et la variation exponentielle.

Le hasard n'y disparaîtra pas tout à fait. Vous rencontrerez au chapitre sur la variation exponentielle la décroissance radioactive, dont le programme d'enseignement scientifique rappelle que l'instant de désintégration d'un noyau individuel est parfaitement aléatoire — et pourtant, sur des milliards de milliards de noyaux, la loi des grands nombres impose au total une décroissance d'une régularité parfaite, au point qu'on l'utilise pour dater les peintures des grottes préhistoriques. C'est peut-être la plus belle rencontre entre les deux moitiés de ce programme.

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