Variation linéaire

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Une droite du plan et son coefficient directeur : la variation de y divisée par la variation de x.

17.1 Introduction : modéliser une grandeur qui évolue

Tout ce que l'on mesure change. La population d'un pays, la température d'une pièce, le solde d'un compte en banque, la concentration de dioxyde de carbone dans une salle de classe fermée : aucune de ces grandeurs ne reste immobile. Les décrire à un instant donné ne suffit pas ; ce qui intéresse — et ce qui inquiète, parfois — c'est l'évolution.

Modéliser une évolution, c'est chercher une règle simple qui relie la valeur de la grandeur au temps. Les trois chapitres qui viennent en proposent trois, et seulement trois :

la variation linéaire, quand la grandeur augmente ou diminue de la même quantité à chaque période — celle de ce chapitre ;
la modélisation quadratique, quand la grandeur monte puis redescend, ou dépend du carré d'une autre ;
la variation exponentielle, quand la grandeur est multipliée par un même nombre à chaque période.

Ces trois modèles ne s'excluent pas : ils se complètent, et l'essentiel du travail consiste souvent à décider lequel convient. Une population humaine, une épidémie, un compte d'épargne peuvent relever de l'un ou de l'autre selon l'échelle de temps considérée. Choisir le mauvais modèle, c'est se tromper sur l'avenir — et c'est exactement ce qui arrive quand on prolonge une droite là où la réalité accélère, comme vous l'avez vu au chapitre sur l'analyse de l'information chiffrée avec la montée du niveau des océans.

17.1.1 Deux façons de mesurer le temps : discret et continu

Avant tout modèle, une question de bon sens : quand mesure-t-on ?

Parfois la grandeur n'a de valeur qu'à des instants séparés : le nombre d'adhérents d'un club au premier jour de chaque mois, le montant d'un compte après chaque versement annuel, le nombre de carreaux d'un motif à la $n$ -ième étape. On parle alors d'une évolution discrète, et l'outil mathématique est la suite.

Parfois au contraire la grandeur existe à tout instant : la hauteur de l'eau dans une cuve qui se vide, la température d'une pièce, la distance parcourue par un véhicule. L'évolution est continue, et l'outil est la fonction.

Deux évolutions linéaires, l'une

discrète et l'autre continue. À gauche, le nombre d'adhérents d'un club augmente de 15 chaque mois : il n'existe pas de « mois 2,7 », on ne relie donc pas les points. À droite, la cuve perd 4 cm par minute : la hauteur existe à chaque instant, et la courbe est un trait continu. Dans les deux cas, la même idée — un accroissement

constant — mais deux objets mathématiques différents.

iRemarqueLa frontière n'est pas toujours nette

La population de la France existe à chaque instant, mais l'Insee ne la publie qu'au premier janvier de chaque année : c'est une grandeur continue observée de façon discrète. À l'inverse, on trace parfois une courbe continue à travers des points discrets pour aider l'œil, en sachant que les valeurs intermédiaires n'ont pas de sens. La distinction n'est pas une propriété du monde, c'est un choix de modélisation — et comme tout choix, il doit être conscient et justifié.

17.2 Les suites : deux façons de définir la même liste

17.2.1 Une suite est une liste numérotée

Définition 17.1Suite numérique

Une suite numérique $u$ est une liste de nombres rangés dans un ordre précis, repérés par leur rang, qui est un entier naturel. Le nombre de rang $n$ se note $u (n)$ , et s'appelle le terme de rang $n$ de la suite.

On rencontre aussi la notation $u_{n}$ , avec l'indice écrit en bas ; elle désigne exactement la même chose. Dans tout ce chapitre nous privilégions $u (n)$ , qui rappelle que la suite est une machine à laquelle on donne un rang et qui rend un nombre.

iRemarqueLe rang de départ n'est pas toujours 0

Rien n'oblige à commencer à $n = 0$ . Si l'on modélise le nombre de carreaux d'un motif à l'étape $n$ , il est naturel de partir de $n = 1$ . Si l'on modélise un capital placé, $u (0)$ désigne le capital de départ. La première question à se poser devant une suite est toujours : que vaut le rang de départ, et que représente-t-il ? Une erreur de décalage d'un rang est l'erreur la plus fréquente de tout ce chapitre.

17.2.2 Par récurrence, ou explicitement

Il y a deux manières de décrire une suite, et il faut savoir passer de l'une à l'autre.

Définition 17.2Définition par récurrence, définition explicite

Une suite est définie par récurrence lorsqu'on donne son premier terme et une règle permettant de calculer chaque terme à partir du précédent : par exemple $u (0) = 120$ et $u (n + 1) = u (n) + 15$ .
Une suite est définie explicitement, ou par une relation fonctionnelle, lorsqu'on donne une formule qui calcule $u (n)$ directement à partir de $n$ : par exemple $u (n) = 120 + 15 n$ .

Les deux définitions ci-dessus décrivent la même suite, mais elles ne se manipulent pas de la même façon.

	Par récurrence	Explicitement
Ce qu'on écrit	$u (0) = 120$ ; $u (n + 1) = u (n) + 15$	$u (n) = 120 + 15 n$
Calculer $u (3)$	un terme après l'autre : 135, 150, 165	en une fois : $120 + 45 = 165$
Calculer $u (100)$	100 étapes de calcul	en une fois : $120 + 1500 = 1620$
Ce qu'elle montre bien	le mécanisme de l'évolution	la valeur à long terme
Programmer	une boucle	une seule ligne

Méthode : Calculer un terme de rang donné

Si la suite est définie par récurrence : partir du premier terme et appliquer la règle autant de fois qu'il le faut, en écrivant les termes intermédiaires. C'est sûr, mais long dès que le rang dépasse la dizaine.

Si la suite est définie explicitement : remplacer $n$ par la valeur voulue dans la formule et calculer. Attention à ne pas confondre le rang et le terme : dans $u (7) = 225$ , le nombre 7 est le rang, le nombre 225 est le terme.

En cas de doute sur le rang de départ : écrire les trois ou quatre premiers termes avec leur rang, et vérifier qu'ils correspondent bien à l'énoncé.

Exemple 17.3Un abonnement de transport

Un abonnement de bus coûte 24 € d'inscription, puis 32 € par mois. Notons $u (n)$ la somme totale dépensée après $n$ mois.

Par récurrence : $u (0) = 24$ et $u (n + 1) = u (n) + 32$ , car chaque mois ajoute 32 € à ce qui a déjà été payé.

Explicitement : $u (n) = 24 + 32 n$ .

Après un an, $u (12) = 24 + 32 \times 12 = 24 + 384 = 408$ €. Par récurrence il aurait fallu douze additions ; par la formule explicite, une multiplication.

17.3 La variation linéaire discrète : les suites arithmétiques

17.3.1 Reconnaître : des différences constantes

Proposition 17.4Signature d'une croissance linéaire discrète

Une évolution discrète est linéaire lorsque la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même :

$u (1) - u (0) = u (2) - u (1) = u (3) - u (2) = \dots$

C'est cette différence constante, et elle seule, qui caractérise le modèle. On ne regarde donc pas si la suite « monte régulièrement » à l'œil : on calcule les différences successives et l'on vérifie qu'elles sont égales.

Méthode : Reconnaître un phénomène discret de croissance linéaire et le modéliser

Ranger les données dans un tableau, avec le rang $n$ en première ligne.
Calculer toutes les différences $u (n + 1) - u (n)$ d'une case à la suivante.
Si elles sont constantes — ou très proches d'une constante pour des données réelles —, le modèle linéaire convient. Sinon, il faut renoncer et regarder du côté des quotients, ce qui conduira à un autre modèle.
Nommer cette différence commune $r$ , repérer le premier terme, et écrire les deux définitions : par récurrence et explicitement.
Interpréter $r$ dans le contexte, avec son unité : « $r = 15$ signifie 15 adhérents de plus par mois ».

Exemple 17.5Différences constantes, ou non

Le nombre d'adhérents d'un club, mois après mois : 120, 135, 150, 165, 180. Différences : 15 ; 15 ; 15 ; 15. Constantes : le modèle linéaire convient.

Le nombre de vues d'une vidéo, jour après jour : 100, 300, 900, 2 700, 8 100. Différences : 200 ; 600 ; 1 800 ; 5 400. Pas du tout constantes — mais les quotients valent tous 3. C'est une évolution exponentielle, que le dernier chapitre étudiera.

17.3.2 Définition et terme général

Définition 17.6Suite arithmétique

Une suite $u$ est arithmétique de raison $r$ lorsque, pour tout entier $n$ ,

$u (n + 1) = u (n) + r .$

Autrement dit : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ . Ce nombre $r$ peut être positif, négatif ou nul.

Proposition 17.7Terme de rang

n

Si $u$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u (0)$ , alors pour tout entier $n$ :

$u (n) = u (0) + n \times r .$

Plus généralement, à partir de n'importe quel rang $p$ :

$u (n) = u (p) + (n - p) \times r .$

Démonstration

Pour passer du rang 0 au rang $n$ , il faut appliquer $n$ fois la règle de récurrence, donc ajouter $n$ fois la raison :

$u (n) = n fois r u (0) + r + r + \dots + r = u (0) + n \times r .$

Le même raisonnement, en partant du rang $p$ au lieu du rang 0, demande $n - p$ applications de la règle, d'où $u (n) = u (p) + (n - p) \times r$ .

La seconde formule contient la première : il suffit d'y faire $p = 0$ .

iRemarqueLa formule qui sauve :

r

à partir de deux termes

De l'égalité $u (n) = u (p) + (n - p) r$ on tire, dès que $n \neq = p$ ,

$r = \frac{u ( n ) - u ( p )}{n - p} .$

Cette écriture vaut la peine d'être remarquée : c'est exactement le calcul du coefficient directeur d'une droite à partir de deux points, que vous avez pratiqué au chapitre sur l'analyse de l'information chiffrée. Ce n'est pas une coïncidence, et nous verrons plus loin pourquoi.

Exemple 17.8Retrouver une suite à partir de deux termes

Une suite arithmétique vérifie $u (3) = 41$ et $u (11) = 89$ . Alors

$r = \frac{89 - 41}{11 - 3} = \frac{48}{8} = 6.$

Puis $u (0) = u (3) - 3 r = 41 - 18 = 23$ , d'où $u (n) = 23 + 6 n$ . Vérification : $u (11) = 23 + 66 = 89$ . ✓

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