Variation linéaire

Cours complet · enseignement scientifique (première), chapitre 17 · première, enseignement scientifique

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17.1 Introduction : modéliser une grandeur qui évolue

Tout ce que l'on mesure change. La population d'un pays, la température d'une pièce, le solde d'un compte en banque, la concentration de dioxyde de carbone dans une salle de classe fermée : aucune de ces grandeurs ne reste immobile. Les décrire à un instant donné ne suffit pas ; ce qui intéresse — et ce qui inquiète, parfois — c'est l'évolution.

Modéliser une évolution, c'est chercher une règle simple qui relie la valeur de la grandeur au temps. Les trois chapitres qui viennent en proposent trois, et seulement trois :

la variation linéaire, quand la grandeur augmente ou diminue de la même quantité à chaque période — celle de ce chapitre ;
la modélisation quadratique, quand la grandeur monte puis redescend, ou dépend du carré d'une autre ;
la variation exponentielle, quand la grandeur est multipliée par un même nombre à chaque période.

Ces trois modèles ne s'excluent pas : ils se complètent, et l'essentiel du travail consiste souvent à décider lequel convient. Une population humaine, une épidémie, un compte d'épargne peuvent relever de l'un ou de l'autre selon l'échelle de temps considérée. Choisir le mauvais modèle, c'est se tromper sur l'avenir — et c'est exactement ce qui arrive quand on prolonge une droite là où la réalité accélère, comme vous l'avez vu au chapitre sur l'analyse de l'information chiffrée avec la montée du niveau des océans.

17.1.1 Deux façons de mesurer le temps : discret et continu

Avant tout modèle, une question de bon sens : quand mesure-t-on ?

Parfois la grandeur n'a de valeur qu'à des instants séparés : le nombre d'adhérents d'un club au premier jour de chaque mois, le montant d'un compte après chaque versement annuel, le nombre de carreaux d'un motif à la $n$ -ième étape. On parle alors d'une évolution discrète, et l'outil mathématique est la suite.

Parfois au contraire la grandeur existe à tout instant : la hauteur de l'eau dans une cuve qui se vide, la température d'une pièce, la distance parcourue par un véhicule. L'évolution est continue, et l'outil est la fonction.

Deux évolutions linéaires, l'une

discrète et l'autre continue. À gauche, le nombre d'adhérents d'un club augmente de 15 chaque mois : il n'existe pas de « mois 2,7 », on ne relie donc pas les points. À droite, la cuve perd 4 cm par minute : la hauteur existe à chaque instant, et la courbe est un trait continu. Dans les deux cas, la même idée — un accroissement constant — mais deux objets mathématiques différents.</div>

iRemarqueLa frontière n'est pas toujours nette

La population de la France existe à chaque instant, mais l'Insee ne la publie qu'au premier janvier de chaque année : c'est une grandeur continue observée de façon discrète. À l'inverse, on trace parfois une courbe continue à travers des points discrets pour aider l'œil, en sachant que les valeurs intermédiaires n'ont pas de sens. La distinction n'est pas une propriété du monde, c'est un choix de modélisation — et comme tout choix, il doit être conscient et justifié.

17.2 Les suites : deux façons de définir la même liste

17.2.1 Une suite est une liste numérotée

Définition 17.1Suite numérique

Une suite numérique $u$ est une liste de nombres rangés dans un ordre précis, repérés par leur rang, qui est un entier naturel. Le nombre de rang $n$ se note $u (n)$ , et s'appelle le terme de rang $n$ de la suite.

On rencontre aussi la notation $u_{n}$ , avec l'indice écrit en bas ; elle désigne exactement la même chose. Dans tout ce chapitre nous privilégions $u (n)$ , qui rappelle que la suite est une machine à laquelle on donne un rang et qui rend un nombre.

iRemarqueLe rang de départ n'est pas toujours 0

Rien n'oblige à commencer à $n = 0$ . Si l'on modélise le nombre de carreaux d'un motif à l'étape $n$ , il est naturel de partir de $n = 1$ . Si l'on modélise un capital placé, $u (0)$ désigne le capital de départ. La première question à se poser devant une suite est toujours : que vaut le rang de départ, et que représente-t-il ? Une erreur de décalage d'un rang est l'erreur la plus fréquente de tout ce chapitre.

17.2.2 Par récurrence, ou explicitement

Il y a deux manières de décrire une suite, et il faut savoir passer de l'une à l'autre.

Définition 17.2Définition par récurrence, définition explicite

Une suite est définie par récurrence lorsqu'on donne son premier terme et une règle permettant de calculer chaque terme à partir du précédent : par exemple $u (0) = 120$ et $u (n + 1) = u (n) + 15$ .
Une suite est définie explicitement, ou par une relation fonctionnelle, lorsqu'on donne une formule qui calcule $u (n)$ directement à partir de $n$ : par exemple $u (n) = 120 + 15 n$ .

Les deux définitions ci-dessus décrivent la même suite, mais elles ne se manipulent pas de la même façon.

	Par récurrence	Explicitement
Ce qu'on écrit	$u (0) = 120$ ; $u (n + 1) = u (n) + 15$	$u (n) = 120 + 15 n$
Calculer $u (3)$	un terme après l'autre : 135, 150, 165	en une fois : $120 + 45 = 165$
Calculer $u (100)$	100 étapes de calcul	en une fois : $120 + 1500 = 1620$
Ce qu'elle montre bien	le mécanisme de l'évolution	la valeur à long terme
Programmer	une boucle	une seule ligne

Méthode : Calculer un terme de rang donné

Si la suite est définie par récurrence : partir du premier terme et appliquer la règle autant de fois qu'il le faut, en écrivant les termes intermédiaires. C'est sûr, mais long dès que le rang dépasse la dizaine.

Si la suite est définie explicitement : remplacer $n$ par la valeur voulue dans la formule et calculer. Attention à ne pas confondre le rang et le terme : dans $u (7) = 225$ , le nombre 7 est le rang, le nombre 225 est le terme.

En cas de doute sur le rang de départ : écrire les trois ou quatre premiers termes avec leur rang, et vérifier qu'ils correspondent bien à l'énoncé.

Exemple 17.3Un abonnement de transport

Un abonnement de bus coûte 24 € d'inscription, puis 32 € par mois. Notons $u (n)$ la somme totale dépensée après $n$ mois.

Par récurrence : $u (0) = 24$ et $u (n + 1) = u (n) + 32$ , car chaque mois ajoute 32 € à ce qui a déjà été payé.

Explicitement : $u (n) = 24 + 32 n$ .

Après un an, $u (12) = 24 + 32 \times 12 = 24 + 384 = 408$ €. Par récurrence il aurait fallu douze additions ; par la formule explicite, une multiplication.

17.3 La variation linéaire discrète : les suites arithmétiques

17.3.1 Reconnaître : des différences constantes

Proposition 17.4Signature d'une croissance linéaire discrète

Une évolution discrète est linéaire lorsque la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même :

$u (1) - u (0) = u (2) - u (1) = u (3) - u (2) = \dots$

C'est cette différence constante, et elle seule, qui caractérise le modèle. On ne regarde donc pas si la suite « monte régulièrement » à l'œil : on calcule les différences successives et l'on vérifie qu'elles sont égales.

Méthode : Reconnaître un phénomène discret de croissance linéaire et le
modéliser</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text">

Ranger les données dans un tableau, avec le rang $n$ en première ligne.
Calculer toutes les différences $u (n + 1) - u (n)$ d'une case à la suivante.
Si elles sont constantes — ou très proches d'une constante pour des données réelles —, le modèle linéaire convient. Sinon, il faut renoncer et regarder du côté des quotients, ce qui conduira à un autre modèle.
Nommer cette différence commune $r$ , repérer le premier terme, et écrire les deux définitions : par récurrence et explicitement.
Interpréter $r$ dans le contexte, avec son unité : « $r = 15$ signifie 15 adhérents de plus par mois ».

Exemple 17.5Différences constantes, ou non

Le nombre d'adhérents d'un club, mois après mois : 120, 135, 150, 165, 180. Différences : 15 ; 15 ; 15 ; 15. Constantes : le modèle linéaire convient.

Le nombre de vues d'une vidéo, jour après jour : 100, 300, 900, 2 700, 8 100. Différences : 200 ; 600 ; 1 800 ; 5 400. Pas du tout constantes — mais les quotients valent tous 3. C'est une évolution exponentielle, que le dernier chapitre étudiera.

17.3.2 Définition et terme général

Définition 17.6Suite arithmétique

Une suite $u$ est arithmétique de raison $r$ lorsque, pour tout entier $n$ ,

$u (n + 1) = u (n) + r .$

Autrement dit : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ . Ce nombre $r$ peut être positif, négatif ou nul.

Proposition 17.7Terme de rang

n

Si $u$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u (0)$ , alors pour tout entier $n$ :

$u (n) = u (0) + n \times r .$

Plus généralement, à partir de n'importe quel rang $p$ :

$u (n) = u (p) + (n - p) \times r .$

Démonstration

Pour passer du rang 0 au rang $n$ , il faut appliquer $n$ fois la règle de récurrence, donc ajouter $n$ fois la raison :

$u (n) = n fois r u (0) + r + r + \dots + r = u (0) + n \times r .$

Le même raisonnement, en partant du rang $p$ au lieu du rang 0, demande $n - p$ applications de la règle, d'où $u (n) = u (p) + (n - p) \times r$ .

La seconde formule contient la première : il suffit d'y faire $p = 0$ .

iRemarqueLa formule qui sauve :

r

à partir de deux termes

De l'égalité $u (n) = u (p) + (n - p) r$ on tire, dès que $n \neq = p$ ,

$r = \frac{u ( n ) - u ( p )}{n - p} .$

Cette écriture vaut la peine d'être remarquée : c'est exactement le calcul du coefficient directeur d'une droite à partir de deux points, que vous avez pratiqué au chapitre sur l'analyse de l'information chiffrée. Ce n'est pas une coïncidence, et nous verrons plus loin pourquoi.

Exemple 17.8Retrouver une suite à partir de deux termes

Une suite arithmétique vérifie $u (3) = 41$ et $u (11) = 89$ . Alors

$r = \frac{89 - 41}{11 - 3} = \frac{48}{8} = 6.$

Puis $u (0) = u (3) - 3 r = 41 - 18 = 23$ , d'où $u (n) = 23 + 6 n$ . Vérification : $u (11) = 23 + 66 = 89$ . ✓

17.3.3 Sens de variation

Proposition 17.9Sens de variation d'une suite arithmétique

Le sens de variation d'une suite arithmétique ne dépend que du signe de sa raison.

Si $r > 0$ , la suite est croissante : chaque terme est plus grand que le précédent.
Si $r < 0$ , la suite est décroissante.
Si $r = 0$ , la suite est constante.

La justification tient en une ligne : $u (n + 1) - u (n) = r$ , et le signe de cette différence est celui de $r$ .

iRemarqueLe premier terme ne joue aucun rôle

Une suite arithmétique de raison $- 2$ est décroissante, qu'elle parte de 1 000 ou de $- 5$ . Le premier terme fixe la position, la raison fixe la tendance. C'est une distinction utile : dans un débat, on confond souvent un niveau élevé et une progression rapide.

17.3.4 Représentation graphique : des points alignés

Proposition 17.10Les points d'une suite arithmétique sont alignés

Dans un repère où l'on porte le rang $n$ en abscisse et le terme $u (n)$ en ordonnée, les points d'une suite arithmétique de raison $r$ sont alignés, sur une droite de coefficient directeur $r$ .

On ne relie pas ces points : entre deux rangs entiers, la suite n'a pas de valeur.

Méthode : Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d'une
suite arithmétique</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text">

Choisir une graduation régulière pour les rangs, une autre pour les valeurs, en couvrant l'intervalle utile. Signaler par un double trait si un axe ne part pas de zéro.
Placer les points $(n; u (n))$ pour les premiers rangs, sans les relier.
Vérifier l'alignement : d'un point au suivant, on avance de 1 et l'on monte de $r$ — c'est un « escalier » à marches égales.
Pour lire graphiquement un terme, se placer sur le rang voulu et lire l'ordonnée du point ; pour trouver le rang atteignant une valeur, tracer la droite horizontale correspondante.

Deux suites arithmétiques. À

gauche la raison vaut $+ 1, 5$ , à droite $- 1, 5$ . Dans les deux cas, on avance d'un rang et l'on ajoute la raison : les marches oranges sont toutes identiques, ce qui aligne les points. La droite en pointillé n'appartient pas à la suite ; elle n'est tracée que pour rendre l'alignement visible.</div>

17.3.5 Un motif géométrique : la croix qui grandit

Les suites arithmétiques ne servent pas qu'à compter de l'argent. Elles apparaissent partout où une figure grandit toujours de la même façon.

Une croix qui grandit d'une

case à chaque extrémité. Le nombre de carreaux forme une suite arithmétique de raison 4 : 5, 9, 13, 17… On peut le lire sur le dessin sans aucun calcul — quatre carreaux oranges à chaque étape — ou l'établir par une formule, en remarquant qu'une croix d'étape $n$ est faite de quatre branches de $n$ carreaux plus le centre.</div>

Exemple 17.11La croix, des deux façons

Par récurrence : $c (1) = 5$ et $c (n + 1) = c (n) + 4$ , puisque chaque étape ajoute un carreau à chacune des quatre branches.

Explicitement : une croix d'étape $n$ compte quatre branches de $n$ carreaux, plus le carreau central, donc $c (n) = 4 n + 1$ .

Les deux se rejoignent : la suite est arithmétique de raison 4 et de premier terme $c (1) = 5$ , donc $c (n) = c (1) + (n - 1) \times 4 = 5 + 4 n - 4 = 4 n + 1$ . ✓

Combien de carreaux à l'étape 50 ? $c (50) = 4 \times 50 + 1 = 201$ . Et quelle étape compte 61 carreaux ? On résout $4 n + 1 = 61$ , soit $n = 15$ .

17.4 La variation linéaire continue : les fonctions affines

17.4.1 Rappel : fonction affine et droite

Vous avez rencontré les fonctions affines en classe de seconde. Ce paragraphe les remet en place, sans rien y ajouter.

Définition 17.12Fonction affine

Une fonction $f$ définie sur $R$ est affine lorsqu'il existe deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$ ,

$f (x) = a x + b .$

Le nombre $a$ s'appelle le coefficient directeur, le nombre $b$ l'ordonnée à l'origine, puisque $f (0) = b$ .

Deux cas particuliers portent un nom : si $b = 0$ , la fonction $x \mapsto a x$ est dite linéaire et traduit une situation de proportionnalité ; si $a = 0$ , la fonction est constante.

Proposition 17.13Représentation graphique et sens de variation

La représentation graphique d'une fonction affine $f (x) = a x + b$ est une droite non verticale. Elle passe par le point $(0; b)$ , et le nombre $a$ mesure sa pente : quand $x$ augmente de 1, $f (x)$ varie de $a$ .

Le sens de variation ne dépend que du signe de $a$ :

si $a > 0$ , $f$ est croissante sur $R$ ;
si $a < 0$ , $f$ est décroissante sur $R$ ;
si $a = 0$ , $f$ est constante.

Le tableau de variations d'une fonction affine ne comporte donc qu'une seule flèche.

17.4.2 Le coefficient directeur est un taux d'accroissement

C'est le point central du chapitre, celui qui relie tout le reste.

Proposition 17.14Taux d'accroissement constant

Soit $f$ une fonction affine, $f (x) = a x + b$ . Pour deux réels distincts $x_{1}$ et $x_{2}$ :

$\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} = a .$

Ce quotient, appelé taux d'accroissement de $f$ entre $x_{1}$ et $x_{2}$ , ne dépend donc pas du couple de points choisi : il vaut toujours $a$ . C'est la propriété qui caractérise les fonctions affines, et c'est elle qui fait de leur représentation une droite.

Démonstration

Calculons le numérateur :

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = (a x_{2} + b) - (a x_{1} + b) = a x_{2} - a x_{1} = a (x_{2} - x_{1}) .$

Les deux ordonnées à l'origine se sont annulées. En divisant par $x_{2} - x_{1}$ , qui n'est pas nul, il reste $a$ .

Lire un coefficient directeur.

On part d'un point de la droite, on avance de 1 vers la droite, et l'on mesure la montée : c'est $a$ . Pour la droite bleue on monte de 1,5, pour la violette on descend de 1, ce qui donne $a = - 1$ . L'ordonnée à l'origine se lit à l'intersection avec l'axe vertical. Deux nombres suffisent donc à décrire entièrement une droite.</div>

Méthode : Déterminer l'expression d'une fonction affine

À partir de deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ :

calculer $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ ;
calculer $b$ en remplaçant dans $y_{A} = a x_{A} + b$ , soit $b = y_{A} - a x_{A}$ ;
écrire $f (x) = a x + b$ et vérifier avec le second point.

À partir d'un énoncé : repérer la valeur de départ, qui donne $b$ , et la variation par unité, qui donne $a$ . « 24 € d'inscription puis 32 € par mois » donne immédiatement $b = 24$ et $a = 32$ .

Graphiquement : lire $b$ à l'intersection avec l'axe vertical, puis $a$ en comptant la montée pour un déplacement horizontal de 1.

17.4.3 Un exemple de physique : Celsius et Fahrenheit

Deux échelles de température coexistent dans le monde : le degré Celsius, utilisé presque partout, et le degré Fahrenheit, encore employé aux États-Unis. Le passage de l'une à l'autre est le prototype de la fonction affine.

L'eau gèle à 0 °C et à 32 °F ; elle bout, sous la pression atmosphérique normale, à 100 °C et à 212 °F. Cherchons la fonction affine $F$ telle que $F (C) = a C + b$ .

$a = \frac{212 - 32}{100 - 0} = \frac{180}{100} = 1, 8, b = F (0) = 32.$

Donc

$F (C) = 1, 8 C + 32.$

Le coefficient directeur s'interprète : un degré Celsius de plus, c'est 1,8 degré Fahrenheit de plus. C'est aussi pourquoi les écarts annoncés en Fahrenheit paraissent toujours plus spectaculaires.

La conversion Celsius vers

Fahrenheit est une fonction affine, donc une droite. La droite grise en pointillé est celle des températures égales dans les deux échelles ; elle ne coupe la droite bleue qu'en un seul point, à $- 40$ degrés. C'est la seule température qui porte le même nombre dans les deux systèmes — une conséquence directe du fait que deux droites de coefficients directeurs différents se coupent en un point et un seul.</div>

iRemarqueLa conversion inverse

Pour passer de Fahrenheit à Celsius, on résout $F = 1, 8 C + 32$ en $C$ :

$C = \frac{F - 32}{1 , 8} .$

C'est encore une fonction affine, de coefficient directeur $\frac{1}{1 , 8} \approx 0, 556$ . La réciproque d'une fonction affine non constante est une fonction affine, et son coefficient directeur est l'inverse du premier. Vous retrouverez cette idée dans les automatismes, sous la forme du taux d'évolution réciproque.

17.4.4 Le lien entre les deux modèles

Proposition 17.15Une suite arithmétique est une fonction affine restreinte aux

entiers</div><div class='text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text'> Soit $u$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u (0)$ . Sa formule explicite $u (n) = u (0) + r n$ est exactement l'expression d'une fonction affine $f (x) = r x + u (0)$ , dans laquelle on ne remplace $x$ que par des entiers naturels.

Par conséquent :

la raison de la suite est le coefficient directeur de la fonction ;
le premier terme $u (0)$ est l'ordonnée à l'origine ;
les sens de variation se correspondent, puisqu'ils dépendent tous deux du signe du même nombre ;
les points de la suite sont les points de la droite d'abscisses entières.

iRemarquePourquoi on ne relie pas les points

La proposition ci-dessus explique l'alignement des points, mais elle n'autorise pas à tracer le segment entre eux. Si $u (n)$ est le nombre d'adhérents au $n$ -ième mois, $u (2, 5)$ n'existe pas : il n'y a pas de « deuxième mois et demi » dans le calendrier des inscriptions. La droite est un guide de lecture, pas un objet du modèle.

En revanche, dès que la grandeur existe entre deux dates — une distance, une température, une hauteur d'eau —, la fonction affine est le bon outil, et la droite entière a un sens.

17.5 Modéliser et décider

17.5.1 Comparer deux offres

Deux salles de sport proposent des formules concurrentes.

Formule A : 180 € d'adhésion annuelle, puis 3 € par séance.
Formule B : pas d'adhésion, 9 € par séance.

Notons $x$ le nombre de séances dans l'année. Les coûts sont

$A (x) = 3 x + 180 et B (x) = 9 x .$

Ces deux fonctions sont affines ; la seconde est même linéaire. Elles se croisent lorsque $3 x + 180 = 9 x$ , c'est-à-dire $180 = 6 x$ , soit $x = 30$ séances. Au-dessous de trente séances, la formule B est plus avantageuse ; au-dessus, c'est la formule A. À trente séances exactement, les deux coûtent 270 €.

iRemarqueLe point d'intersection ne dit pas tout

Un tel calcul suppose que l'on connaisse à l'avance son nombre de séances, ce qui est rarement le cas. La bonne question n'est pas seulement « laquelle est la moins chère ? » mais « à partir de combien de séances la formule A devient-elle rentable ? » — soit trente, c'est-à-dire un peu moins d'une séance par quinzaine. Traduire le résultat en une phrase de la vie courante fait partie du travail.

17.5.2 Offre, demande et point d'équilibre

En économie, on modélise souvent, sur une plage de prix restreinte, la quantité qu'un marché est prêt à acheter et celle qu'il est prêt à vendre par deux fonctions affines du prix unitaire $p$ .

La demande diminue quand le prix monte : son coefficient directeur est négatif.
L'offre augmente quand le prix monte : son coefficient directeur est positif.

Sur un marché donné, on retient $D (p) = - 30 p + 900$ et $O (p) = 50 p + 100$ , où $p$ est en euros et les quantités en milliers d'unités.

Offre et demande modélisées

par deux fonctions affines. Elles se coupent en un point unique, le point d'équilibre : c'est le seul prix auquel la quantité offerte et la quantité demandée coïncident. À gauche de ce point, le prix est trop bas et la demande dépasse l'offre ; à droite, les invendus s'accumulent. Ce modèle est volontairement simpliste — il n'est valable que sur une plage de prix étroite et suppose tout le reste inchangé.</div>

Exemple 17.16Calculer le point d'équilibre

On résout $D (p) = O (p)$ :

$- 30 p + 900 = 50 p + 100 ⟺ 800 = 80 p ⟺ p = 10.$

La quantité correspondante vaut $O (10) = 50 \times 10 + 100 = 600$ , et l'on vérifie que $D (10) = - 300 + 900 = 600$ également. ✓

Le point d'équilibre est donc $(10; 600)$ : au prix de 10 €, 600 000 unités changent de mains.

17.5.3 L'impôt sur le revenu : une fonction affine par morceaux

Le barème de l'impôt sur le revenu découpe le revenu en tranches, chacune imposée à son propre taux. Sur chaque tranche, l'impôt est une fonction affine du revenu ; d'une tranche à l'autre, le coefficient directeur change. On obtient une fonction affine par morceaux.

Pour les revenus de l'année 2023, le barème comportait cinq tranches ; nous n'en retenons que les trois premières, en raisonnant sur une seule part de quotient familial et en laissant de côté la décote et les réductions d'impôt.

Tranche de revenu imposable	Taux marginal
jusqu'à 11 294 €	0 %
de 11 294 € à 28 797 €	11 %
de 28 797 € à 82 341 €	30 %

Définition 17.17Taux marginal et taux moyen

Le taux marginal est le taux appliqué au dernier euro gagné : c'est celui de la tranche dans laquelle on se trouve.

Le taux moyen est le quotient de l'impôt total par le revenu total. C'est lui qui mesure ce que l'on paie réellement.

Ces deux taux ne sont jamais égaux dès que l'on dépasse la première tranche, et le taux moyen est toujours inférieur au taux marginal.

Taux marginal et taux moyen de

l'impôt sur le revenu, d'après le barème applicable aux revenus de 2023, pour une part de quotient familial. Le taux marginal monte par paliers ; le taux moyen, lui, grimpe doucement et reste toujours bien en dessous. « Passer dans la tranche à 30 % » ne signifie donc jamais que l'on paie 30 % de son revenu : à 50 000 €, on en paie en réalité un peu moins de 17 %.</div>

Exemple 17.18Calculer un impôt et les deux taux

Une personne déclare 50 000 € de revenu imposable pour une part.

Tranche par tranche :

de 0 à 11 294 € : rien ;
de 11 294 à 28 797 €, soit 17 503 € imposés à 11 % : $0, 11 \times 17503 = 1925, 33$ € ;
de 28 797 à 50 000 €, soit 21 203 € imposés à 30 % : $0, 30 \times 21203 = 6360, 90$ €.

Impôt total : $1925, 33 + 6360, 90 = 8286, 23$ €.

Taux marginal : 30 %, celui de la dernière tranche atteinte. Taux moyen : $\frac{8 286 , 23}{50 000} \approx 0, 166$ , soit 16,6 %.

Et si cette personne gagnait 1 000 € de plus ? Ces 1 000 € seraient imposés à 30 %, soit 300 € d'impôt supplémentaire. Il lui resterait 700 €. Contrairement à une idée très répandue, gagner plus ne fait jamais perdre de l'argent : seul le revenu supplémentaire est imposé au taux supérieur, jamais la totalité.

17.6 Résoudre un problème de seuil

Définition 17.19Problème de seuil

Résoudre un problème de seuil, c'est chercher à partir de quel rang, ou de quelle valeur de la variable, une grandeur dépasse — ou passe en dessous — d'une valeur fixée $S$ , appelée le seuil.

Dans le cas discret, on cherche le plus petit entier $n$ tel que $u (n) ⩾ S$ ; dans le cas continu, on résout l'inéquation $f (x) ⩾ S$ .

Méthode : Résoudre un problème de seuil dans le cas d'une croissance linéaire

Trois voies, également légitimes.

Par le calcul. Résoudre $u (0) + r n ⩾ S$ , ce qui donne, si $r > 0$ , $n ⩾ \frac{S - u ( 0 )}{r}$ . Le résultat n'est presque jamais entier : dans le cas discret, prendre l'entier immédiatement supérieur, puis vérifier en calculant $u (n)$ et $u (n - 1)$ . Attention : si $r < 0$ , la division par $r$ change le sens de l'inégalité.

Graphiquement. Tracer la droite horizontale d'ordonnée $S$ et lire l'abscisse du point d'intersection ; dans le cas discret, prendre le premier point situé au-dessus de cette droite.

Avec un outil numérique. Faire avancer une boucle tant que le seuil n'est pas atteint, en comptant les étapes. C'est la méthode la plus sûre quand la formule explicite est compliquée ou inconnue.

Exemple 17.20Le dioxyde de carbone dans une salle de classe

Dans une salle occupée et fermée, la concentration de dioxyde de carbone augmente d'environ 12 parties par million (ppm) par minute, à partir de la valeur extérieure, voisine de 420 ppm. Les recommandations sanitaires françaises retiennent le seuil de 800 ppm comme signal qu'il faut aérer.

Notons $c (n)$ la concentration après $n$ minutes : $c (0) = 420$ et $c (n + 1) = c (n) + 12$ , donc $c (n) = 420 + 12 n$ . Cherchons le premier rang tel que $c (n) ⩾ 800$ :

$420 + 12 n ⩾ 800 ⟺ 12 n ⩾ 380 ⟺ n ⩾ \frac{380}{12} \approx 31, 7.$

Le premier entier convenable est $n = 32$ . Vérification : $c (31) = 420 + 372 = 792 < 800$ et $c (32) = 420 + 384 = 804 ⩾ 800$ . ✓

Il faut donc aérer au bout d'une demi-heure environ — soit une fois par heure de cours, ce que recommandent effectivement les protocoles d'aération.

Lecture graphique d'un seuil.

Les points donnent la concentration de dioxyde de carbone dans une salle fermée, ici relevée toutes les cinq minutes ; la droite horizontale marque le seuil d'aération, et la zone orange le domaine où il est dépassé. Le point vert est celui où la suite franchit le seuil, entre la 31^e et la 32^e minute. Le double trait près de l'origine rappelle que l'axe vertical ne part pas de zéro : la concentration ne descend jamais sous celle de l'air extérieur.</div>

Un programme fait le même travail, et rend visible le mécanisme de la boucle :


def seuil(depart, raison, cible):
    """Premier rang n tel que le terme atteigne la cible (raison > 0)."""
    n = 0
    terme = depart
    while terme < cible:
        terme = terme + raison
        n = n + 1
    return n, terme

print(seuil(420, 12, 800))

L'exécution affiche (32, 804) : le seuil est franchi au rang 32, avec une concentration de 804 ppm. La boucle while est ici l'exacte traduction de la définition par récurrence — elle applique la règle « tant que » le but n'est pas atteint.

17.7 Automatismes

Les capacités qui suivent ont été travaillées les années précédentes et doivent rester disponibles sans réfléchir. Les réponses suivent chaque série.

17.7.1 Droites : tracer, lire, calculer

Proposition 17.21Ce qu'il faut savoir faire sur une droite

Coefficient directeur à partir de deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , avec $x_{A} \neq = x_{B}$ : $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ .
Tracer une droite d'équation réduite $y = a x + b$ : placer le point $(0; b)$ , puis avancer de 1 vers la droite et monter de $a$ ; joindre les deux points.
Lire une équation réduite : $b$ est l'ordonnée du point d'abscisse 0 ; $a$ se lit en comptant la montée pour un déplacement horizontal de 1.
Résoudre graphiquement $f (x) = k$ : tracer l'horizontale d'ordonnée $k$ et lire l'abscisse du point d'intersection. Pour $f (x) < k$ , lire l'ensemble des abscisses pour lesquelles la droite est sous l'horizontale.
Signe d'une expression du premier degré $a x + b$ : elle s'annule en $x = - \frac{b}{a}$ , et change de signe en ce point ; le signe après la racine est celui de $a$ .

Méthode : Questions flash — droites et fonctions affines

Coefficient directeur de la droite passant par $A (1; 7)$ et $B (5; 19)$ ?
Équation réduite de cette droite ?
$f (x) = - 2 x + 9$ . Pour quel $x$ a-t-on $f (x) = 3$ ?
$f (x) = - 2 x + 9$ . Résoudre $f (x) < 0$ .
$f$ est affine, $f (0) = 5$ et $f (4) = 17$ . Que vaut $f (10)$ ?
Une droite a pour équation $y = 0, 4 x - 3$ . Quelle est son ordonnée à l'origine ? Est-elle croissante ?
Signe de $5 x - 20$ selon les valeurs de $x$ ?

Réponses. 1. $a = \frac{19 - 7}{5 - 1} = 3$ . 2. $b = 7 - 3 \times 1 = 4$ , donc $y = 3 x + 4$ . 3. $- 2 x + 9 = 3$ donne $x = 3$ . 4. $- 2 x + 9 < 0$ donne $x > 4, 5$ . 5. $a = \frac{17 - 5}{4} = 3$ et $b = 5$ , donc $f (10) = 35$ . 6. $b = - 3$ ; oui, croissante car $a = 0, 4 > 0$ . 7. Négatif pour $x < 4$ , nul en 4, positif pour $x > 4$ .

17.7.2 Évolutions et variations

Proposition 17.22Taux d'évolution et coefficient multiplicateur

Une grandeur passe de $V_{1}$ à $V_{2}$ . Le taux d'évolution vaut $t = \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{1}}$ , et le coefficient multiplicateur $CM = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 1 + t$ .

Évolutions successives : les coefficients multiplicateurs se multiplient, les taux ne s'additionnent pas.
Évolution réciproque : le coefficient qui ramène à la valeur de départ est $\frac{1}{CM}$ .
Points et pourcentages : passer de 20 % à 25 %, c'est $+ 5$ points, mais $+ 25%$ en valeur relative.

iRemarqueAttention : une croissance à taux constant n'est pas linéaire

Une augmentation de la même quantité chaque année est linéaire : $+ 2$ millions d'habitants par an. Une augmentation du même pourcentage chaque année ne l'est pas : $+ 2%$ par an porte chaque année sur une base plus grande, et c'est une évolution exponentielle. Confondre les deux est l'erreur la plus lourde de tout le programme d'analyse ; le dernier chapitre y reviendra longuement.

Méthode : Questions flash — évolutions

Un loyer de 540 € augmente de 2,5 %. Nouveau loyer ?
Après une hausse de 20 %, un prix vaut 96 €. Prix initial ?
Une population passe de 12 000 à 12 600 habitants. Taux d'évolution ?
Un prix baisse de 20 % puis augmente de 20 %. Évolution globale ?
Un abonnement a baissé de 40 %. Quelle hausse ramènerait au prix initial ?
Un salaire augmente de 60 € par an pendant 8 ans à partir de 1 800 €. Salaire final ?

Réponses. 1. $540 \times 1, 025 = 553, 50$ €. 2. $96 \div 1, 2 = 80$ €. 3. $\frac{600}{12 000} = 0, 05$ , soit $+ 5%$ . 4. $1, 2 \times 0, 8 = 0, 96$ , soit $- 4%$ . 5. $1 \div 0, 6 \approx 1, 667$ , soit environ $+ 66, 7%$ . 6. $1800 + 8 \times 60 = 2280$ €.

17.7.3 Suites : calcul mental

Méthode : Questions flash — suites arithmétiques

$u (0) = 7$ et $r = 5$ . Que vaut $u (4)$ ?
$u (n) = 3 n + 11$ . Quelle est la raison ? le premier terme ?
$u (0) = 100$ , $r = - 8$ . Que vaut $u (10)$ ?
Une suite arithmétique vérifie $u (2) = 14$ et $u (6) = 34$ . Quelle est sa raison ?
$u (n) = 50 - 4 n$ . À partir de quel rang les termes sont-ils négatifs ?
Les nombres 3, 8, 13, 18 sont-ils les premiers termes d'une suite arithmétique ? Si oui, donner $u (n)$ avec $u (0) = 3$ .

Réponses. 1. $7 + 4 \times 5 = 27$ . 2. $r = 3$ , $u (0) = 11$ . 3. $100 - 80 = 20$ . 4. $r = \frac{34 - 14}{6 - 2} = 5$ . 5. $50 - 4 n < 0$ donne $n > 12, 5$ , donc à partir du rang 13. 6. Oui, raison 5 ; $u (n) = 3 + 5 n$ .

17.7.4 Calcul algébrique

Méthode : Questions flash — développer, réduire, résoudre

Développer $3 (2 x - 5)$ .
Réduire $4 x + 7 - 9 x + 2$ .
Résoudre $5 x - 8 = 2 x + 7$ .
Résoudre $- 3 x + 12 ⩾ 0$ .
Résoudre $2 (x - 4) = 3 x + 1$ .
Factoriser $6 x - 15$ .

Réponses. 1. $6 x - 15$ . 2. $- 5 x + 9$ . 3. $3 x = 15$ , donc $x = 5$ . 4. $- 3 x ⩾ - 12$ , donc $x ⩽ 4$ — la division par $- 3$ retourne l'inégalité. 5. $2 x - 8 = 3 x + 1$ , donc $x = - 9$ . 6. $3 (2 x - 5)$ .

17.8 Bilan

17.8.1 Ce que ce chapitre a construit

	Discret : suite arithmétique	Continu : fonction affine
Signature	différences constantes	taux d'accroissement constant
Récurrence	$u (n + 1) = u (n) + r$	—
Forme explicite	$u (n) = u (0) + r n$	$f (x) = a x + b$
Le paramètre clé	la raison $r$	le coefficient directeur $a$
Valeur de départ	$u (0)$	$b = f (0)$
Croissante si	$r > 0$	$a > 0$
Décroissante si	$r < 0$	$a < 0$
Graphique	points alignés, non reliés	droite non verticale
Deux points donnent	$r = \frac{u ( n ) - u ( p )}{n - p}$	$a = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$

Cette colonne de droite et cette colonne de gauche disent la même chose dans deux langues : une suite arithmétique n'est rien d'autre qu'une fonction affine dont on n'utilise que les valeurs entières.

17.8.2 Les gestes à savoir faire

Décider si une évolution est discrète ou continue, et choisir en conséquence une suite ou une fonction.
Reconnaître une croissance linéaire en calculant les différences successives, et la modéliser.
Passer de la définition par récurrence à la définition explicite, et réciproquement.
Calculer un terme de rang donné, par la formule explicite ou de proche en proche.
Retrouver la raison, ou le coefficient directeur, à partir de deux valeurs.
Déterminer le sens de variation à partir du signe de $r$ ou de $a$ .
Représenter graphiquement les termes d'une suite arithmétique — sans les relier — et la droite d'une fonction affine.
Résoudre un problème de seuil par le calcul, graphiquement ou avec un algorithme, et vérifier le rang obtenu.
Comparer deux modèles affines, trouver leur point d'intersection et l'interpréter.
Distinguer un taux marginal d'un taux moyen sur une fonction affine par morceaux.

17.8.3 Les cinq réflexes critiques

Toujours vérifier le rang de départ. Le terme $u (0)$ correspond-il à la première année, ou à l'année zéro ? Un décalage d'un rang fausse tout.
Différences constantes, pas quotients constants. $+ 2$ millions par an est linéaire ; $+ 2%$ par an ne l'est pas.
On ne relie pas les points d'une suite, sauf pour guider l'œil, et en le disant.
Un modèle affine a un domaine de validité. La valeur comptable d'une machine ne devient pas négative, une demande non plus, et une espérance de vie ne croît pas indéfiniment.
Un coefficient directeur se traduit en une phrase. « $a = 0, 25$ » ne veut rien dire ; « 25 centimes par kilomètre » veut tout dire.

17.8.4 Vers la suite

La variation linéaire est le plus simple des trois modèles d'évolution, et c'est pourquoi on l'essaie toujours en premier. Mais il ne sait pas tout décrire.

Il ne sait pas décrire ce qui monte puis redescend : la trajectoire d'un ballon, le chiffre d'affaires d'un produit dont on augmente trop le prix, une population qui prospère puis décline. Le chapitre sur la modélisation quadratique s'en chargera, avec les fonctions polynômes de degré 2 et leurs paraboles — et vous en avez déjà vu la signature à l'exercice 12 : ce sont les différences qui, elles, forment une suite arithmétique.

Il ne sait pas décrire non plus ce qui est multiplié par un même nombre à chaque période : un capital à intérêts composés, une épidémie qui démarre, une substance éliminée par l'organisme, un noyau radioactif qui se désintègre. Le chapitre sur la variation exponentielle en fera l'objet — et l'on verra que, sur quelques périodes, une croissance exponentielle ressemble à s'y méprendre à une croissance linéaire, avant de s'en écarter spectaculairement. C'est cette ressemblance trompeuse qui rend le choix du modèle si important.

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