Modélisation quadratique

Cours · enseignement scientifique (première), chapitre 18 · première, enseignement scientifique · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une parabole, ses deux racines et son sommet sur l'axe de symétrie.

18.1 Introduction : pourquoi la droite ne suffit plus

Vous roulez à 50 km/h et un obstacle surgit. Vous freinez à fond. Vous vous arrêtez environ 27 mètres plus loin. À 100 km/h, deux fois plus vite, combien de mètres ? Cinquante-quatre, répondrait le modèle linéaire du chapitre précédent. La réponse réelle est de l'ordre de quatre-vingts mètres.

Il n'y a là aucun mystère : la distance d'arrêt est la somme de deux termes de nature différente. Pendant le temps de réaction — environ une seconde entre le moment où l'on voit et celui où l'on freine — le véhicule avance à vitesse constante : cette distance de réaction, elle, est bien proportionnelle à la vitesse. Mais la distance de freinage proprement dite dépend de l'énergie qu'il faut dissiper, et cette énergie est proportionnelle au carré de la vitesse. Doubler la vitesse, c'est quadrupler la distance de freinage.

La distance d'arrêt sur route

sèche, décomposée selon la règle enseignée dans le code de la route : une distance de réaction proportionnelle à la vitesse, et une distance de freinage proportionnelle au carré de la vitesse. La partie verte grandit régulièrement ; la partie orange s'emballe. De 50 à 130 km/h, la vitesse est multipliée par 2,6 et la distance de

réaction aussi — mais la distance de freinage est multipliée par près de sept.

Ce chapitre est consacré à cette seconde famille de modèles : ceux où intervient un carré. Ils décrivent tout ce qui monte puis redescend, tout ce qui possède un maximum ou un minimum, tout ce qui s'emballe plus vite qu'une proportionnalité.

Le programme y met une limite très nette, et il faut la connaître d'avance : on n'y calcule jamais les racines d'un polynôme de degré 2 par une formule. Aucun discriminant, aucune formule du sommet à retenir. On lira les racines sur une forme factorisée quand elle est donnée, et l'on trouvera l'axe de symétrie par un raisonnement de symétrie. C'est plus court à apprendre, et cela oblige à comprendre ce qu'on fait.

18.2 La fonction carré et les fonctions $x \mapsto a x^{2}$

18.2.1 La parabole de base

Définition 18.1Fonction polynôme de degré 2

Une fonction $f$ définie sur $R$ est une fonction polynôme de degré 2, ou fonction du second degré, lorsqu'il existe trois réels $a$ , $b$ et $c$ , avec $a \neq = 0$ , tels que pour tout réel $x$ :

$f (x) = a x^{2} + b x + c .$

Sa représentation graphique s'appelle une parabole.

La condition $a \neq = 0$ est essentielle : si $a$ était nul, on retomberait sur une fonction affine, et la courbe serait une droite.

Le cas le plus simple est celui de la fonction carré, $f (x) = x^{2}$ , obtenue pour $a = 1$ , $b = 0$ et $c = 0$ .

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4
$x^{2}$	16	9	4	1	0	1	4	9	16

Proposition 18.2La parabole de la fonction carré

La fonction carré $f (x) = x^{2}$ possède trois propriétés qu'il faut connaître par cœur.

Elle ne prend que des valeurs positives ou nulles : $x^{2} ⩾ 0$ pour tout réel $x$ .
Elle est symétrique : $f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x)$ . Deux nombres opposés ont la même image. La parabole est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Elle est décroissante sur $] - \infty; 0]$ , puis croissante sur $[0; + \infty [$ . Elle atteint son minimum en 0, où elle vaut 0.

Ce point de la courbe où le sens de variation s'inverse s'appelle le sommet de la parabole.

Le tableau de variations résume les deux derniers points :

$x$		0

$f (x) = x^{2}$	$↘$		$↗$
		0

iRemarqueLa non-monotonie, une nouveauté

Toutes les fonctions rencontrées jusqu'ici dans ce livre étaient monotones : une fonction affine croît, ou décroît, mais ne fait pas les deux. Une parabole, elle, change de sens. C'est ce qui la rend utile — c'est le seul modèle du programme capable de décrire un maximum ou un minimum.

18.2.2 L'effet du coefficient $a$

Proposition 18.3Ce que fait

a

dans

x \mapsto a x^{2}

Soit $f (x) = a x^{2}$ avec $a \neq = 0$ . La courbe est une parabole de sommet l'origine $(0; 0)$ , d'axe de symétrie l'axe des ordonnées, et :

si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut ; le sommet est un minimum ; la fonction décroît puis croît ;
si $a < 0$ , la parabole est tournée vers le bas ; le sommet est un maximum ; la fonction croît puis décroît ;
plus $∣ a ∣$ est grand, plus la parabole est resserrée ; plus $∣ a ∣$ est petit, plus elle est ouverte.

Quatre paraboles de la forme

$y = a x^{2}$ . Toutes passent par l'origine et sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Le signe de $a$ décide de l'orientation : vers le haut pour les trois premières, vers le bas pour la dernière. La valeur absolue de $a$ décide de l'ouverture : la parabole de $a = 2$ est la plus étroite, celle de $a = 0, 5$ la plus

évasée.

Méthode : Associer une parabole à $x \mapsto a x^{2}$

Regarder l'orientation : vers le haut donne $a > 0$ , vers le bas $a < 0$ .
Vérifier que le sommet est bien à l'origine — sinon la fonction n'est pas de la forme $a x^{2}$ .
Lire l'ordonnée du point d'abscisse 1 : elle vaut exactement $a$ , puisque $f (1) = a \times 1^{2} = a$ . C'est la lecture la plus rapide.
Vérifier avec un second point, par exemple $f (2) = 4 a$ .

18.3 Les fonctions $x \mapsto a x^{2} + c$

Proposition 18.4Ajouter

c

, c'est monter la parabole

La courbe de $f (x) = a x^{2} + c$ se déduit de celle de $x \mapsto a x^{2}$ par une translation verticale de $c$ unités : vers le haut si $c > 0$ , vers le bas si $c < 0$ .

Le sommet passe donc du point $(0; 0)$ au point $(0; c)$ . L'axe de symétrie reste l'axe des ordonnées, et le sens de variation ne change pas.

Trois paraboles de même

coefficient $a = 1$ , qui ne diffèrent que par leur terme constant. Elles sont exactement superposables : on passe de l'une à l'autre en la faisant glisser verticalement. Le sommet suit le mouvement, et l'axe de symétrie ne bouge pas. La parabole du bas coupe l'axe des abscisses en deux points, celle du milieu en un seul,

celle du haut en aucun.

Méthode : Associer une parabole à $x \mapsto a x^{2} + c$

Repérer le sommet : son ordonnée donne directement $c$ , puisque $f (0) = c$ .
Vérifier que le sommet est bien sur l'axe des ordonnées ; sinon, il y a aussi un terme en $x$ et la forme n'est pas $a x^{2} + c$ .
Lire l'orientation pour le signe de $a$ , puis calculer $a$ à partir d'un autre point : $f (1) = a + c$ , donc $a = f (1) - c$ .

18.4 La forme factorisée $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

C'est la forme la plus commode de toutes, parce qu'elle donne d'un coup les racines, le signe et l'axe de symétrie.

18.4.1 Les racines : l'équation produit nul

Définition 18.5Racine d'un polynôme de degré 2

Une racine d'une fonction polynôme $f$ est un réel $x$ tel que $f (x) = 0$ . Graphiquement, ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses.

Proposition 18.6Racines d'une forme factorisée

Soit $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ avec $a \neq = 0$ . Cette fonction est une fonction polynôme de degré 2, et ses racines sont exactement $x_{1}$ et $x_{2}$ .

En effet, un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Comme $a \neq = 0$ , il faut $x - x_{1} = 0$ ou $x - x_{2} = 0$ , c'est-à-dire $x = x_{1}$ ou $x = x_{2}$ .

Méthode : Résoudre une équation produit nul

S'assurer que l'expression est bien écrite comme un produit égal à zéro. Si l'équation est $A \times B = 5$ , la règle ne s'applique pas : il faut d'abord tout ramener d'un côté et factoriser.
Annuler chaque facteur à tour de rôle, ce qui donne des équations du premier degré.
Résoudre chacune, et rassembler les solutions.

Une expression factorisée comme $x (3 x - 12)$ se traite de même : les racines sont 0 et 4.

Exercices du chapitre

Reconnaître une parabole corrigé
Forme factorisée : l'étude complète corrigé
L'axe de symétrie sans discriminant corrigé
Le rectangle de périmètre fixé corrigé
Distance d'arrêt corrigé
Lecture graphique d'une parabole corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre

Modélisation quadratique

18.1 Introduction : pourquoi la droite ne suffit plus

18.2 La fonction carré et les fonctions x↦ax2

18.2.1 La parabole de base

18.2.2 L'effet du coefficient a

Méthode : Associer une parabole à x↦ax2

18.3 Les fonctions x↦ax2+c

Méthode : Associer une parabole à x↦ax2+c

18.4 La forme factorisée a(x−x1​)(x−x2​)