Modélisation quadratique

Cours complet · enseignement scientifique (première), chapitre 18 · première, enseignement scientifique

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18.1 Introduction : pourquoi la droite ne suffit plus

Vous roulez à 50 km/h et un obstacle surgit. Vous freinez à fond. Vous vous arrêtez environ 27 mètres plus loin. À 100 km/h, deux fois plus vite, combien de mètres ? Cinquante-quatre, répondrait le modèle linéaire du chapitre précédent. La réponse réelle est de l'ordre de quatre-vingts mètres.

Il n'y a là aucun mystère : la distance d'arrêt est la somme de deux termes de nature différente. Pendant le temps de réaction — environ une seconde entre le moment où l'on voit et celui où l'on freine — le véhicule avance à vitesse constante : cette distance de réaction, elle, est bien proportionnelle à la vitesse. Mais la distance de freinage proprement dite dépend de l'énergie qu'il faut dissiper, et cette énergie est proportionnelle au carré de la vitesse. Doubler la vitesse, c'est quadrupler la distance de freinage.

La distance d'arrêt sur route

sèche, décomposée selon la règle enseignée dans le code de la route : une distance de réaction proportionnelle à la vitesse, et une distance de freinage proportionnelle au carré de la vitesse. La partie verte grandit régulièrement ; la partie orange s'emballe. De 50 à 130 km/h, la vitesse est multipliée par 2,6 et la distance de réaction aussi — mais la distance de freinage est multipliée par près de sept.</div>

Ce chapitre est consacré à cette seconde famille de modèles : ceux où intervient un carré. Ils décrivent tout ce qui monte puis redescend, tout ce qui possède un maximum ou un minimum, tout ce qui s'emballe plus vite qu'une proportionnalité.

Le programme y met une limite très nette, et il faut la connaître d'avance : on n'y calcule jamais les racines d'un polynôme de degré 2 par une formule. Aucun discriminant, aucune formule du sommet à retenir. On lira les racines sur une forme factorisée quand elle est donnée, et l'on trouvera l'axe de symétrie par un raisonnement de symétrie. C'est plus court à apprendre, et cela oblige à comprendre ce qu'on fait.

18.2 La fonction carré et les fonctions $x \mapsto a x^{2}$

18.2.1 La parabole de base

Définition 18.1Fonction polynôme de degré 2

Une fonction $f$ définie sur $R$ est une fonction polynôme de degré 2, ou fonction du second degré, lorsqu'il existe trois réels $a$ , $b$ et $c$ , avec $a \neq = 0$ , tels que pour tout réel $x$ :

$f (x) = a x^{2} + b x + c .$

Sa représentation graphique s'appelle une parabole.

La condition $a \neq = 0$ est essentielle : si $a$ était nul, on retomberait sur une fonction affine, et la courbe serait une droite.

Le cas le plus simple est celui de la fonction carré, $f (x) = x^{2}$ , obtenue pour $a = 1$ , $b = 0$ et $c = 0$ .

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4
$x^{2}$	16	9	4	1	0	1	4	9	16

Proposition 18.2La parabole de la fonction carré

La fonction carré $f (x) = x^{2}$ possède trois propriétés qu'il faut connaître par cœur.

Elle ne prend que des valeurs positives ou nulles : $x^{2} ⩾ 0$ pour tout réel $x$ .
Elle est symétrique : $f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x)$ . Deux nombres opposés ont la même image. La parabole est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Elle est décroissante sur $] - \infty; 0]$ , puis croissante sur $[0; + \infty [$ . Elle atteint son minimum en 0, où elle vaut 0.

Ce point de la courbe où le sens de variation s'inverse s'appelle le sommet de la parabole.

Le tableau de variations résume les deux derniers points :

$x$		0

$f (x) = x^{2}$	$↘$		$↗$
		0

iRemarqueLa non-monotonie, une nouveauté

Toutes les fonctions rencontrées jusqu'ici dans ce livre étaient monotones : une fonction affine croît, ou décroît, mais ne fait pas les deux. Une parabole, elle, change de sens. C'est ce qui la rend utile — c'est le seul modèle du programme capable de décrire un maximum ou un minimum.

18.2.2 L'effet du coefficient $a$

Proposition 18.3Ce que fait

a

dans

x \mapsto a x^{2}

Soit $f (x) = a x^{2}$ avec $a \neq = 0$ . La courbe est une parabole de sommet l'origine $(0; 0)$ , d'axe de symétrie l'axe des ordonnées, et :

si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut ; le sommet est un minimum ; la fonction décroît puis croît ;
si $a < 0$ , la parabole est tournée vers le bas ; le sommet est un maximum ; la fonction croît puis décroît ;
plus $∣ a ∣$ est grand, plus la parabole est resserrée ; plus $∣ a ∣$ est petit, plus elle est ouverte.

Quatre paraboles de la forme

$y = a x^{2}$ . Toutes passent par l'origine et sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Le signe de $a$ décide de l'orientation : vers le haut pour les trois premières, vers le bas pour la dernière. La valeur absolue de $a$ décide de l'ouverture : la parabole de $a = 2$ est la plus étroite, celle de $a = 0, 5$ la plus évasée.</div>

Méthode : Associer une parabole à $x \mapsto a x^{2}$

Regarder l'orientation : vers le haut donne $a > 0$ , vers le bas $a < 0$ .
Vérifier que le sommet est bien à l'origine — sinon la fonction n'est pas de la forme $a x^{2}$ .
Lire l'ordonnée du point d'abscisse 1 : elle vaut exactement $a$ , puisque $f (1) = a \times 1^{2} = a$ . C'est la lecture la plus rapide.
Vérifier avec un second point, par exemple $f (2) = 4 a$ .

18.3 Les fonctions $x \mapsto a x^{2} + c$

Proposition 18.4Ajouter

c

, c'est monter la parabole

La courbe de $f (x) = a x^{2} + c$ se déduit de celle de $x \mapsto a x^{2}$ par une translation verticale de $c$ unités : vers le haut si $c > 0$ , vers le bas si $c < 0$ .

Le sommet passe donc du point $(0; 0)$ au point $(0; c)$ . L'axe de symétrie reste l'axe des ordonnées, et le sens de variation ne change pas.

Trois paraboles de même

coefficient $a = 1$ , qui ne diffèrent que par leur terme constant. Elles sont exactement superposables : on passe de l'une à l'autre en la faisant glisser verticalement. Le sommet suit le mouvement, et l'axe de symétrie ne bouge pas. La parabole du bas coupe l'axe des abscisses en deux points, celle du milieu en un seul, celle du haut en aucun.</div>

Méthode : Associer une parabole à $x \mapsto a x^{2} + c$

Repérer le sommet : son ordonnée donne directement $c$ , puisque $f (0) = c$ .
Vérifier que le sommet est bien sur l'axe des ordonnées ; sinon, il y a aussi un terme en $x$ et la forme n'est pas $a x^{2} + c$ .
Lire l'orientation pour le signe de $a$ , puis calculer $a$ à partir d'un autre point : $f (1) = a + c$ , donc $a = f (1) - c$ .

18.4 La forme factorisée $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

C'est la forme la plus commode de toutes, parce qu'elle donne d'un coup les racines, le signe et l'axe de symétrie.

18.4.1 Les racines : l'équation produit nul

Définition 18.5Racine d'un polynôme de degré 2

Une racine d'une fonction polynôme $f$ est un réel $x$ tel que $f (x) = 0$ . Graphiquement, ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses.

Proposition 18.6Racines d'une forme factorisée

Soit $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ avec $a \neq = 0$ . Cette fonction est une fonction polynôme de degré 2, et ses racines sont exactement $x_{1}$ et $x_{2}$ .

En effet, un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Comme $a \neq = 0$ , il faut $x - x_{1} = 0$ ou $x - x_{2} = 0$ , c'est-à-dire $x = x_{1}$ ou $x = x_{2}$ .

Méthode : Résoudre une équation produit nul

S'assurer que l'expression est bien écrite comme un produit égal à zéro. Si l'équation est $A \times B = 5$ , la règle ne s'applique pas : il faut d'abord tout ramener d'un côté et factoriser.
Annuler chaque facteur à tour de rôle, ce qui donne des équations du premier degré.
Résoudre chacune, et rassembler les solutions.

Une expression factorisée comme $x (3 x - 12)$ se traite de même : les racines sont 0 et 4.

Exemple 18.7Trois équations produit nul

$2 (x - 3) (x + 5) = 0$ : les racines sont 3 et $- 5$ .
$- 0, 5 x (x - 8) = 0$ : les racines sont 0 et 8.
$(2 x - 6) (x + 1) = 0$ : le premier facteur s'annule pour $x = 3$ , le second pour $x = - 1$ . On peut aussi écrire l'expression $2 (x - 3) (x + 1)$ , ce qui rend les racines visibles d'emblée.

18.4.2 Le signe

Proposition 18.8Signe d'un polynôme de degré 2 factorisé

Soit $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ avec $x_{1} < x_{2}$ . Alors :

$f$ s'annule en $x_{1}$ et en $x_{2}$ ;
$f (x)$ est du signe contraire de $a$ entre les deux racines ;
$f (x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines.

On résume cela d'une formule : « le polynôme est du signe de $a$ sauf entre les racines ». Elle se comprend sur le dessin : si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut, elle plonge sous l'axe entre ses deux points de coupe et reste au-dessus ailleurs.

Méthode : Étudier le signe d'un polynôme de degré 2 donné sous forme
factorisée</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text">

Déterminer les racines par l'équation produit nul, et les ranger dans l'ordre croissant.
Tracer un tableau de signes à trois zones : avant la petite racine, entre les deux, après la grande.
Donner le signe de chaque facteur du premier degré dans chaque zone — un facteur $x - k$ est négatif avant $k$ et positif après.
Multiplier les signes ligne par ligne, sans oublier celui de $a$ .
Conclure par une phrase, ou répondre à l'inéquation posée.

Exemple 18.9Signe de

f (x) = 0, 5 (x - 1) (x - 5)

Les racines sont 1 et 5, et $a = 0, 5 > 0$ .

$x$		1		5
$x - 1$	$-$	0	$+$		$+$
$x - 5$	$-$		$-$	0	$+$
$f (x)$	$+$	0	$-$	0	$+$

Conclusion : $f (x) > 0$ pour $x < 1$ ou $x > 5$ ; $f (x) < 0$ pour $1 < x < 5$ ; $f (x) = 0$ pour $x = 1$ et $x = 5$ . On retrouve bien la règle : du signe de $a$ , donc positif, sauf entre les racines.

18.4.3 L'axe de symétrie et le sommet

Proposition 18.10L'axe de symétrie passe au milieu des racines

Soit $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Les deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ ont la même image, zéro. Par symétrie de la parabole, l'axe de symétrie est donc la droite verticale d'équation

$x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2},$

c'est-à-dire celle qui passe par le milieu des deux racines.

Le sommet est le point de la parabole situé sur cet axe : son abscisse est $\frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ , et son ordonnée s'obtient en calculant l'image de cette abscisse.

Une parabole donnée sous forme

factorisée. Les deux racines se lisent directement dans l'écriture. L'axe de symétrie passe exactement au milieu, en $x = 3$ , et le sommet est le point de la courbe situé sur cet axe. Les zones colorées donnent le signe : la fonction est négative entre les racines — le contraire du signe de $a$ — et positive à l'extérieur.</div>

Méthode : Associer une parabole à $x \mapsto a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Lire sur le graphique les deux points où la courbe coupe l'axe des abscisses : leurs abscisses sont $x_{1}$ et $x_{2}$ .
Vérifier que le sommet est bien au milieu de ces deux abscisses ; sinon la courbe n'est pas une parabole.
Lire l'orientation pour le signe de $a$ , puis déterminer sa valeur à l'aide d'un troisième point connu — le sommet convient toujours. Si le sommet est $(s; m)$ , on résout $a (s - x_{1}) (s - x_{2}) = m$ .
Écrire $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ et vérifier sur un point que l'on n'a pas utilisé, par exemple en comparant $f (0)$ à l'ordonnée lue.

Réciproquement, à partir de l'expression : les racines donnent les deux points de coupe, leur milieu donne l'axe, et le signe de $a$ donne l'orientation. Ces deux lectures — de la courbe vers l'expression, et de l'expression vers la courbe — sont attendues l'une comme l'autre.

Exemple 18.11Étude complète d'une forme factorisée

Soit $f (x) = 0, 5 (x - 1) (x - 5)$ .

Racines : 1 et 5.

Axe de symétrie : $x = \frac{1 + 5}{2} = 3$ .

Sommet : $f (3) = 0, 5 \times (3 - 1) \times (3 - 5) = 0, 5 \times 2 \times (- 2) = - 2$ . Le sommet est donc le point $(3; - 2)$ , et comme $a > 0$ , c'est un minimum.

Tableau de variations :

$x$		3

$f (x)$	$↘$		$↗$
		$- 2$

Forme développée, si on la veut : $f (x) = 0, 5 (x^{2} - 6 x + 5) = 0, 5 x^{2} - 3 x + 2, 5$ .

iRemarqueToutes les paraboles n'ont pas de racine

La parabole de $y = x^{2} + 3$ , sur la figure des translations verticales, ne coupe jamais l'axe des abscisses : $x^{2} + 3$ vaut au minimum 3, jamais 0. Cette fonction n'a donc aucune racine, et par conséquent aucune forme factorisée du type $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Une parabole peut ainsi couper l'axe des abscisses en deux points, en un seul — c'est le cas de $y = x^{2}$ , dont l'unique racine est 0 — ou en aucun. Reconnaître le cas sur un graphique fait partie du programme ; calculer les racines par une formule n'en fait pas partie. Quand un exercice vous demande des racines, c'est que l'expression est factorisable, et l'énoncé vous en donnera le moyen.

18.5 La forme développée $a x^{2} + b x + c$

18.5.1 Ce que l'on lit sans calcul

Proposition 18.12Lecture immédiate de

f (x) = a x^{2} + b x + c

Le signe de $a$ donne l'orientation : vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ . Il dit donc si le sommet est un minimum ou un maximum.
Le nombre $c$ est l'ordonnée du point d'abscisse 0 : $f (0) = c$ . C'est l'endroit où la courbe coupe l'axe des ordonnées.
Le nombre $b$ n'a pas d'interprétation graphique simple, mais c'est lui qui décale l'axe de symétrie ; si $b = 0$ , l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées.

18.5.2 Trouver l'axe de symétrie : la méthode des deux points de même ordonnée

Voici la méthode que le programme retient, et la seule que vous ayez à connaître. Elle repose sur une idée simple : si deux points d'une parabole ont la même ordonnée, l'axe de symétrie passe au milieu de leurs abscisses. Il suffit donc de trouver deux tels points — et il y en a deux qui sont gratuits.

Méthode : Déterminer les éléments caractéristiques de $x \mapsto a x^{2} + b x + c$

Calculer $f (0)$ : cela vaut $c$ . Le point $(0; c)$ appartient donc à la courbe.
Résoudre l'équation $f (x) = c$ , c'est-à-dire $a x^{2} + b x + c = c$ , soit $a x^{2} + b x = 0$ . Cette équation se factorise toujours : $x (a x + b) = 0$ . Elle a donc deux solutions, $x = 0$ et une autre.
L'axe de symétrie est la droite verticale passant par le milieu de ces deux abscisses.
Calculer l'image de cette abscisse : on obtient l'ordonnée du sommet.
Écrire le tableau de variations, avec la valeur du sommet au point de retournement, et une flèche de chaque côté selon le signe de $a$ .

Aucune formule n'est à retenir : on refait le raisonnement à chaque fois, et il ne prend que trois lignes.

Exemple 18.13La méthode en action

Soit $f (x) = x^{2} - 8 x + 21$ .

Étape 1. $f (0) = 21$ . Le point $(0; 21)$ est sur la courbe.

Étape 2. On résout $f (x) = 21$ :

$x^{2} - 8 x + 21 = 21 ⟺ x^{2} - 8 x = 0 ⟺ x (x - 8) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 8.$

Étape 3. Les points $(0; 21)$ et $(8; 21)$ ont la même ordonnée : l'axe de symétrie est $x = \frac{0 + 8}{2} = 4$ .

Étape 4. $f (4) = 16 - 32 + 21 = 5$ . Le sommet est le point $(4; 5)$ , et comme $a = 1 > 0$ c'est un minimum.

Étape 5. Tableau de variations :

$x$		4

$f (x)$	$↘$		$↗$
		5

Conséquence : le minimum de $f$ vaut 5, il est strictement positif, donc la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses : $f$ n'a aucune racine. Nous l'avons établi sans discriminant, par le seul raisonnement de symétrie.

Trouver l'axe de symétrie sans

aucune formule. La droite horizontale d'équation $y = 21$ coupe la parabole en deux points, dont l'un est gratuit puisque $f (0) = 21$ . Ces deux points étant symétriques, l'axe passe au milieu de leurs abscisses, en $x = 4$ . Le sommet est alors le point de la courbe situé sur cet axe.</div>

18.5.3 Passer d'une forme à l'autre

Proposition 18.14Deux écritures, une seule fonction

Une même fonction polynôme de degré 2 peut s'écrire sous forme développée $a x^{2} + b x + c$ et, lorsqu'elle possède des racines, sous forme factorisée $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Le coefficient $a$ est le même dans les deux écritures.

Chaque forme a sa spécialité :

la forme développée donne immédiatement $f (0) = c$ ;
la forme factorisée donne immédiatement les racines, le signe, et l'axe de symétrie.

Passer de la factorisée à la développée est un simple calcul ; l'inverse n'est pas toujours possible, et n'est jamais demandé sans indication.

Exemple 18.15Développer une forme factorisée

$f (x) = - 2 (x + 1) (x - 4) = - 2 (x^{2} - 4 x + x - 4) = - 2 (x^{2} - 3 x - 4) = - 2 x^{2} + 6 x + 8.$

Vérification par un point : $f (0)$ vaut $- 2 \times 1 \times (- 4) = 8$ sur la forme factorisée, et 8 sur la forme développée. ✓

On lit alors tout : racines $- 1$ et 4 ; axe de symétrie $x = \frac{- 1 + 4}{2} = 1, 5$ ; sommet $f (1, 5) = - 2 \times 2, 5 \times (- 2, 5) = 12, 5$ , donc $(1, 5; 12, 5)$ ; et comme $a = - 2 < 0$ , ce sommet est un maximum.

18.6 Modéliser avec une parabole

18.6.1 Le prix qui rapporte le plus

Une entreprise vend un article. Une étude de marché montre que, sur la plage de prix étudiée, le nombre d'articles vendus décroît linéairement avec le prix unitaire $p$ , exprimé en euros :

$q (p) = - 20 p + 600.$

Le chiffre d'affaires est le produit du prix par la quantité vendue :

$R (p) = p \times q (p) = p (- 20 p + 600) = - 20 p^{2} + 600 p .$

Le produit de deux fonctions affines donne une fonction du second degré : c'est la raison la plus fréquente d'apparition des paraboles en économie.

Le chiffre d'affaires en

fonction du prix unitaire, quand la demande décroît linéairement avec le prix. La courbe est une parabole tournée vers le bas : elle part de zéro — un article gratuit ne rapporte rien —, atteint un maximum, puis redescend jusqu'à zéro lorsque le prix est si élevé que plus personne n'achète. Augmenter son prix fait donc gagner de l'argent… jusqu'à un certain point, et c'est ce point que la parabole localise.</div>

Exemple 18.16Trouver le prix optimal

La fonction $R (p) = - 20 p^{2} + 600 p$ est déjà presque factorisée : $R (p) = p (- 20 p + 600) = - 20 p (p - 30)$ . Ses racines sont donc 0 et 30.

L'axe de symétrie passe au milieu : $p = \frac{0 + 30}{2} = 15$ .

Le chiffre d'affaires maximal vaut $R (15) = - 20 \times 225 + 600 \times 15 = - 4500 + 9000 = 4500$ €. Comme $a = - 20 < 0$ , c'est bien un maximum.

Interprétation. Le prix de 15 € maximise le chiffre d'affaires, pour $q (15) = - 20 \times 15 + 600 = 300$ articles vendus. Au-delà, la perte de clients l'emporte sur la hausse du prix unitaire. Notez qu'il s'agit du chiffre d'affaires et non du bénéfice : si chaque article coûte 4 € à produire, le prix qui maximise le bénéfice n'est pas le même — c'est l'objet de l'exercice 8.

18.6.2 La trajectoire d'un ballon

En l'absence de frottement de l'air, un projectile lancé décrit une parabole : c'est l'un des résultats les plus anciens de la physique moderne, établi par Galilée au début du XVII^e siècle. La hauteur $h$ du projectile s'exprime alors comme une fonction polynôme de degré 2 de la distance horizontale $x$ parcourue.

Pour un ballon lâché à 2 mètres du sol, on retient le modèle

$h (x) = - 0, 15 x^{2} + 1, 2 x + 2,$

où $x$ et $h$ sont en mètres.

Trajectoire parabolique d'un

ballon lâché à deux mètres du sol. La symétrie de la parabole se lit directement : le ballon repasse à deux mètres de hauteur après huit mètres de course horizontale, donc le sommet est à quatre mètres. Le point d'impact, lui, ne se calcule pas ici : on le lit sur le graphique, aux environs de 9,4 m.</div>

Exemple 18.17Exploiter la trajectoire

Hauteur de lâcher : $h (0) = 2$ m.

Axe de symétrie : on résout $h (x) = 2$ , c'est-à-dire $- 0, 15 x^{2} + 1, 2 x = 0$ , soit $x (- 0, 15 x + 1, 2) = 0$ , d'où $x = 0$ ou $x = \frac{1 , 2}{0 , 15} = 8$ . L'axe est donc $x = \frac{0 + 8}{2} = 4$ .

Hauteur maximale : $h (4) = - 0, 15 \times 16 + 4, 8 + 2 = - 2, 4 + 6, 8 = 4, 4$ m, atteinte à 4 mètres du point de lâcher.

Passe-t-il au-dessus d'un mur de 3 m situé à 7 m ? $h (7) = - 0, 15 \times 49 + 8, 4 + 2 = - 7, 35 + 10, 4 = 3, 05$ m. Oui, de 5 centimètres. C'est le genre de réponse qu'aucun raisonnement linéaire n'aurait pu donner.

18.6.3 Le câble d'un pont suspendu

Le câble porteur d'un pont suspendu ne prend pas la forme d'une chaîne pendue librement entre deux clous : il porte le poids du tablier, réparti régulièrement sur toute la longueur, et cette différence suffit à changer sa forme. On démontre — mais pas à ce niveau — que la courbe obtenue est alors une parabole.

Le pont du Golden Gate, à San Francisco, offre les dimensions suivantes : sa travée principale mesure 1 280 mètres entre les deux pylônes, ceux-ci s'élèvent à 227 mètres au-dessus de l'eau, et le tablier passe à 67 mètres au-dessus de l'eau à mi-portée. On modélise le câble par une parabole dont le point le plus bas se situe juste au-dessus du tablier, à 75 mètres de hauteur.

Le câble porteur d'un pont

suspendu, modélisé par une parabole. Les suspentes verticales transmettent au câble le poids du tablier, réparti régulièrement : c'est cette répartition uniforme qui donne au câble sa forme parabolique. Une chaîne pendue librement, elle, prendrait une forme légèrement différente — une distinction qui a occupé les mathématiciens pendant tout le XVII^e siècle.</div>

Exemple 18.18Trouver l'équation du câble

Plaçons l'origine du repère au point le plus bas du câble, à 75 mètres au-dessus de l'eau, l'axe des abscisses étant horizontal. Par symétrie, l'axe de la parabole est l'axe des ordonnées, donc son équation est de la forme $y = a x^{2}$ — sans terme en $x$ .

Aux pylônes, $x = \pm 640$ mètres et la hauteur au-dessus du point bas vaut $227 - 75 = 152$ mètres. Donc

$a \times 64 0^{2} = 152 ⟹ a = \frac{152}{409 600} \approx 0, 000371.$

L'équation du câble est $y = 0, 000371 x^{2}$ , en prenant pour origine le point le plus bas.

À 320 mètres du milieu, c'est-à-dire à mi-chemin d'un pylône : $y = 0, 000371 \times 32 0^{2} = 0, 000371 \times 102400 \approx 38$ mètres au-dessus du point bas, soit 113 mètres au-dessus de l'eau. La suspente y mesure donc environ $113 - 67 = 46$ mètres. On remarquera qu'à mi-chemin la hauteur n'est pas la moitié de 152 mètres, mais le quart : c'est la signature du carré.

18.7 Automatismes

18.7.1 Développer, factoriser, réduire

Proposition 18.19Les trois identités à connaître

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}, (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} .$

La dernière est la plus utile pour factoriser : toute différence de deux carrés se factorise en un produit.

Méthode : Questions flash — calcul algébrique

Développer $(x + 3) (x - 7)$ .
Développer $- 2 (x - 1) (x + 4)$ .
Développer $(2 x - 5)^{2}$ .
Factoriser $x^{2} - 9$ .
Factoriser $3 x^{2} - 12 x$ .
Réduire $2 (x^{2} - 3 x) - (x^{2} + x - 5)$ .

Réponses. 1. $x^{2} - 4 x - 21$ . 2. $- 2 (x^{2} + 3 x - 4) = - 2 x^{2} - 6 x + 8$ . 3. $4 x^{2} - 20 x + 25$ . 4. $(x - 3) (x + 3)$ . 5. $3 x (x - 4)$ . 6. $x^{2} - 7 x + 5$ .

18.7.2 Équations produit nul et signes

Méthode : Questions flash — racines et signes

Résoudre $(x - 2) (x + 6) = 0$ .
Résoudre $5 x (x - 3) = 0$ .
Résoudre $(2 x + 1) (x - 4) = 0$ .
Signe de $(x - 1) (x - 4)$ selon $x$ .
Signe de $- 3 (x + 2) (x - 5)$ selon $x$ .
Résoudre l'inéquation $(x - 1) (x - 4) ⩽ 0$ .

Réponses. 1. 2 et $- 6$ . 2. 0 et 3. 3. $- 0, 5$ et 4. 4. Positif pour $x < 1$ ou $x > 4$ , négatif entre 1 et

5. Ici $a = - 3 < 0$ : négatif à l'extérieur de $[- 2; 5]$ , positif entre $- 2$ et 5. 6. $1 ⩽ x ⩽ 4$ .

18.7.3 Lecture graphique

Méthode : Questions flash — lire une parabole

Une parabole a pour sommet $(3; - 4)$ , passe par les points $(1; 0)$ et $(5; 0)$ , et est tournée vers le haut.

Quelles sont ses racines ?
Quelle est l'équation de son axe de symétrie ?
Quel est le minimum de la fonction, et où est-il atteint ?
Donner son tableau de variations.
Combien de solutions a l'équation $f (x) = - 4$ ? Et $f (x) = - 6$ ?
Que vaut $f (7)$ si l'on sait que $f (- 1) = 12$ ?

Réponses. 1. 1 et 5. 2. $x = 3$ . 3. Le minimum vaut $- 4$ , atteint en $x = 3$ . 4. Décroissante sur $] - \infty; 3]$ , croissante sur $[3; + \infty [$ . 5. Une seule solution pour $f (x) = - 4$ , c'est le sommet ; aucune pour $f (x) = - 6$ , qui est sous le minimum. 6. 12 : les abscisses $- 1$ et 7 sont symétriques par rapport à $x = 3$ , puisque leur milieu vaut 3.

18.7.4 Puissances et ordres de grandeur

Méthode : Questions flash — le carré change tout

Si une grandeur proportionnelle à $x^{2}$ voit $x$ doubler, par combien est-elle multipliée ?
Et si $x$ est multiplié par 3 ? par 10 ?
Que vaut $(- 4)^{2}$ ? Et $- 4^{2}$ ?
$0, 5^{2}$ ? - $(2, 5)^{2}$ ? - Une pizza de 40 cm de diamètre contient combien de fois plus de pâte qu'une pizza de 20 cm, à épaisseur égale ?

Réponses. 1. Par 4. 2. Par 9 ; par 100. 3. $16$ ; mais $- 4^{2} = - 16$ , car le carré porte sur 4 seulement. 4. 0,25. 5. 6,25. 6. Par 4, car l'aire d'un disque est proportionnelle au carré du diamètre. C'est la même remarque que sur les diagrammes trompeurs du chapitre sur l'information chiffrée : l'œil lit les longueurs, la matière suit les aires.

18.8 Bilan

18.8.1 Ce que ce chapitre a construit

Ce que l'on cherche	Comment on l'obtient
Orientation de la parabole	signe de $a$ : haut si $a > 0$ , bas si $a < 0$
Ouverture	$∣ a ∣$ : grand, parabole étroite
Point d'abscisse 0	$f (0) = c$
Racines, forme factorisée	équation produit nul : $x_{1}$ et $x_{2}$
Racines, forme développée	hors programme, sauf factorisation évidente
Signe	du signe de $a$ , sauf entre les racines
Axe de symétrie, forme factorisée	$x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ , milieu des racines
Axe de symétrie, forme développée	résoudre $f (x) = c$ , puis prendre le milieu
Sommet	image de l'abscisse de l'axe
Maximum ou minimum	maximum si $a < 0$ , minimum si $a > 0$
Tableau de variations	une seule flèche de chaque côté du sommet

18.8.2 Les gestes à savoir faire

Reconnaître une fonction polynôme de degré 2, en développant s'il le faut.
Associer une parabole à $x \mapsto a x^{2}$ , à $x \mapsto a x^{2} + c$ et à $x \mapsto a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
Résoudre une équation produit nul et en déduire les racines.
Dresser le tableau de signes d'une forme factorisée et résoudre une inéquation.
Déterminer l'axe de symétrie en résolvant $f (x) = c$ , sans aucune formule.
Calculer les coordonnées du sommet et dire si c'est un maximum ou un minimum.
Dresser un tableau de variations.
Développer une forme factorisée et vérifier par un point.
Modéliser une aire, un chiffre d'affaires, une trajectoire ou une arche par une fonction du second degré, et en tirer un optimum.
Reconnaître une évolution quadratique dans un tableau de valeurs, par la constance des différences secondes.

18.8.3 Les cinq réflexes critiques

Le carré n'est pas une proportionnalité. Doubler $x$ quadruple $x^{2}$ : c'est vrai pour une distance de freinage, une aire, une énergie cinétique.
Pas de discriminant. Les racines se lisent sur une forme factorisée, ou se lisent sur le graphique. Une parabole peut n'avoir aucune racine.
Le sommet ne se devine pas, il se trouve par symétrie. Deux points de même ordonnée suffisent, et $(0; c)$ en est toujours un gratuit.
Un modèle quadratique a un domaine de validité, souvent plus étroit encore qu'un modèle linéaire : une population ne devient pas négative, une aire non plus.
Deux modèles peuvent coller aux mêmes données et diverger ensuite. Sur six points, le linéaire et le quadratique se ressemblaient ; à $n = 10$ , ils différaient de moitié.

18.8.4 Vers la suite

Vous disposez maintenant de deux modèles d'évolution. Le linéaire ajoute toujours la même quantité ; le quadratique fait intervenir un carré, ce qui lui permet de monter puis de redescendre et de présenter un optimum.

Il reste le troisième, et c'est le plus surprenant : celui où la grandeur est multipliée par un même nombre à chaque période. Un capital placé à intérêts composés, une épidémie qui démarre, un médicament éliminé par l'organisme, un noyau radioactif qui se désintègre. Ce modèle-là finit toujours par dépasser les deux autres, et de très loin : le prochain chapitre montrera qu'une croissance exponentielle, même très lente au départ, finit par écraser n'importe quelle croissance quadratique.

Vous y retrouverez d'ailleurs une bonne partie des outils de ce chapitre-ci. Comme la parabole, la courbe exponentielle se lit d'abord sur un graphique ; comme elle, elle demande de savoir traduire un coefficient en une phrase ; et comme elle, elle rappelle qu'un modèle n'est jamais qu'un modèle.

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