Variation exponentielle

Cours · enseignement scientifique (première), chapitre 19 · première, enseignement scientifique · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La courbe de la fonction exponentielle et sa tangente au point d'abscisse 0.

19.1 Introduction : ajouter, ou multiplier ?

Deux villages voisins comptent chacun 8 000 habitants. Le premier gagne 800 habitants par an ; le second gagne 10 % d'habitants par an. La première année, les deux gagnent exactement la même chose : 800 personnes. Au bout de dix ans, le premier compte 16 000 habitants, le second 20 750. Au bout de trente ans, 32 000 contre 139 600.

Rien n'a changé dans les énoncés — seulement un mot. Ajouter la même quantité, ou multiplier par le même nombre : ce sont les deux façons d'évoluer régulièrement, et elles n'ont rien à voir. La première est la variation linéaire, que vous connaissez. La seconde est la variation exponentielle, dernier modèle de ce programme et de loin le plus contre-intuitif.

Deux suites parties du même

premier terme. À gauche, les marches oranges sont toutes identiques et les points sont alignés : c'est la variation linéaire du chapitre précédent. À droite, la marche grandit à chaque étape parce qu'elle porte sur une valeur plus grande : les points s'incurvent vers le haut. Au rang 6, la seconde suite a déjà dépassé la première de

plus de moitié, alors qu'elles étaient égales au départ.

Ce modèle est partout : un capital placé, un prix qui subit l'inflation, une épidémie qui démarre, une substance éliminée par l'organisme, un noyau radioactif qui se désintègre, une rumeur qui se propage. Il a une propriété que ni la droite ni la parabole ne possèdent : il finit toujours par tout dépasser, et il le fait brutalement, après une longue période où il paraissait tranquille. C'est ce « démarrage lent puis emballement » que ce chapitre doit vous rendre familier — parce qu'il est à l'origine de la plupart des erreurs d'anticipation collectives.

19.2 Reconnaître : des quotients constants

Proposition 19.1Signature d'une variation exponentielle

Une évolution discrète est exponentielle lorsque le quotient de deux termes consécutifs est toujours le même :

$\frac{u ( 1 )}{u ( 0 )} = \frac{u ( 2 )}{u ( 1 )} = \frac{u ( 3 )}{u ( 2 )} = \dots$

Le test est le pendant exact de celui du chapitre précédent : pour la variation linéaire on calculait des différences, ici on calcule des quotients.

De façon équivalente, une évolution est exponentielle lorsque le taux d'évolution d'une période à la suivante est constant : « $+ 3%$ par an », « $- 20%$ par heure ».

Méthode : Reconnaître un phénomène discret de croissance ou de décroissance exponentielle et le modéliser

Ranger les valeurs dans un tableau avec leur rang.
Calculer les différences : si elles sont constantes, le modèle est linéaire, et le chapitre précédent suffit.
Sinon, calculer les quotients $u (n + 1) / u (n)$ . S'ils sont constants — ou très proches d'une constante pour des données réelles —, le modèle est exponentiel.
Nommer ce quotient commun $q$ , repérer le premier terme, et écrire les deux définitions : par récurrence et explicitement.
Traduire $q$ en taux d'évolution : $t = q - 1$ , exprimé en pourcentage.

Exemple 19.2Trois séries, trois diagnostics

Série A : 200 ; 260 ; 320 ; 380. Différences : 60 ; 60 ; 60. Linéaire.

Série B : 200 ; 260 ; 338 ; 439,4. Différences : 60 ; 78 ; 101,4 — non constantes. Quotients : $\frac{260}{200} = 1, 3$ ; $\frac{338}{260} = 1, 3$ ; $\frac{439 , 4}{338} = 1, 3$ . Exponentielle, de raison 1,3, soit $+ 30%$ par période.

Série C : 200 ; 260 ; 350 ; 480. Différences : 60 ; 90 ; 130. Quotients : 1,3 ; 1,346 ; 1,371. Ni les unes ni les autres ne sont constantes : aucun des deux modèles ne convient exactement. Sur des données réelles, on choisirait le moins mauvais — ici l'exponentiel, dont les quotients ne varient que de 5 % — en le disant.

iRemarqueLe piège des petits pourcentages

Sur deux ou trois périodes, une croissance de 3 % par an et une croissance de 75 unités par an à partir de 2 500 sont indiscernables : $2500 \times 1, 03 = 2575$ , et $2500 + 75 = 2575$ . Elles ne divergent qu'au bout d'une dizaine de périodes. C'est pourquoi on ne distingue jamais un modèle linéaire d'un modèle exponentiel sur trois points. Il faut soit assez de données, soit un argument extérieur — savoir, par exemple, que des intérêts s'ajoutent au capital, ou qu'un malade en contamine un nombre fixe d'autres.

19.3 Les suites géométriques à termes strictement positifs

19.3.1 Définition

Définition 19.3Suite géométrique

Une suite $u$ est géométrique de raison $q$ lorsque, pour tout entier $n$ ,

$u (n + 1) = u (n) \times q .$

On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ .

Dans tout ce chapitre, conformément au programme, on se limite aux suites à termes strictement positifs : le premier terme $u (0)$ et la raison $q$ sont strictement positifs. C'est le cas de toutes les grandeurs que nous modéliserons — une population, un capital, une concentration, un nombre de noyaux.

Proposition 19.4Terme de rang

n

Si $u$ est géométrique de raison $q > 0$ et de premier terme $u (0) > 0$ , alors pour tout entier $n$ :

$u (n) = u (0) \times q^{n} .$

Plus généralement, à partir de n'importe quel rang $p$ :

$u (n) = u (p) \times q^{n - p} .$

Démonstration

Pour passer du rang 0 au rang $n$ , il faut appliquer $n$ fois la règle de récurrence, donc multiplier $n$ fois par $q$ :

$u (n) = n facteurs q u (0) \times q \times q \times \dots \times q = u (0) \times q^{n} .$

Le même raisonnement à partir du rang $p$ demande $n - p$ multiplications, d'où $u (n) = u (p) \times q^{n - p}$ .

Comparez avec la suite arithmétique : là où l'on ajoutait $n$ fois la raison, on multiplie ici $n$ fois par elle. Toutes les formules se transposent en remplaçant « somme » par « produit » et « multiple » par « puissance ».

Méthode : Calculer un terme de rang donné

Par la formule explicite : calculer $q^{n}$ à la calculatrice — touche \^{} ou $x^y$ — puis multiplier par $u (0)$ . C'est immédiat, même pour $n = 100$ .

Par récurrence : multiplier de proche en proche. C'est plus long, mais cela permet de garder toutes les valeurs intermédiaires, ce qui est utile pour un problème de seuil.

À partir de deux termes : si l'on connaît $u (p)$ et $u (n)$ , alors $q^{n - p} = \frac{u ( n )}{u ( p )}$ , et l'on remonte à $q$ en prenant la racine $(n - p)$ -ième — nous verrons plus loin comment.

19.3.2 Raison et taux d'évolution

Proposition 19.5Le pont avec les pourcentages

Une grandeur qui évolue d'un même taux $t$ à chaque période est modélisée par une suite géométrique de raison

$q = 1 + t,$

que l'on appelle aussi le coefficient multiplicateur. Réciproquement, à une raison $q$ correspond le taux $t = q - 1$ .

$+ 3%$ par an $⟷$ $q = 1, 03$ ;
$- 20%$ par heure $⟷$ $q = 0, 80$ ;
doubler à chaque période $⟷$ $q = 2$ , soit $+ 100%$ .

Cette proposition explique pourquoi les automatismes sur les évolutions successives, rencontrés dès le premier chapitre de mathématiques, étaient en réalité des exercices sur les suites géométriques : appliquer $n$ fois le même taux, c'est multiplier $n$ fois par le même coefficient, c'est-à-dire élever $q$ à la puissance $n$ .

19.3.3 Sens de variation

Proposition 19.6Sens de variation d'une suite géométrique à termes positifs

Soit $u$ une suite géométrique de raison $q > 0$ et de premier terme $u (0) > 0$ .

Si $q > 1$ , la suite est strictement croissante : c'est une croissance exponentielle.
Si $0 < q < 1$ , la suite est strictement décroissante : c'est une décroissance exponentielle. Ses termes se rapprochent de 0 sans jamais l'atteindre.
Si $q = 1$ , la suite est constante.

La justification tient à ce que $u (n + 1) - u (n) = u (n) (q - 1)$ : comme $u (n) > 0$ , le signe de cette différence est celui de $q - 1$ .

iRemarqueDécroître sans jamais s'annuler

Une suite géométrique de raison $0, 8$ et de premier terme 100 vaut 80 ; 64 ; 51,2 ; 40,96… Elle décroît indéfiniment, mais aucun de ses termes n'est jamais nul : un produit de nombres strictement positifs ne s'annule pas. C'est exactement ce qui se passe lors de l'élimination d'un médicament — il en reste toujours, en quantité de moins en moins mesurable — et lors de la décroissance radioactive.

19.3.4 Représentation graphique

Méthode : Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d'une suite géométrique

Calculer les premiers termes, en gardant assez de décimales.
Choisir une graduation régulière couvrant l'intervalle des valeurs — c'est le point délicat : une suite géométrique croissante écrase vite le bas du graphique.
Placer les points $(n; u (n))$ sans les relier : la suite n'a pas de valeur entre deux rangs entiers.
Vérifier la courbure : vers le haut si $q > 1$ , vers le bas si $0 < q < 1$ . Des points alignés signaleraient une erreur de calcul.

Deux suites géométriques à

termes strictement positifs. À gauche, la raison dépasse 1 : les points s'écartent de plus en plus, la courbure est tournée vers le haut. À droite, la raison est comprise entre 0 et 1 : les points se resserrent vers l'axe horizontal, dont ils se rapprochent indéfiniment sans jamais l'atteindre. Aucun point n'est relié : entre deux rangs, la

suite n'existe pas.

19.4 Des points à la courbe : la fonction exponentielle de base $a$

19.4.1 Compléter le nuage

Les points d'une suite géométrique sont isolés. Peut-on les relier par une courbe qui ait un sens, c'est-à-dire qui prolonge la même règle de multiplication à des valeurs non entières ? La réponse est oui, et le procédé mérite d'être vu.

Prenons la suite $u (n) = 2^{n}$ : 1 ; 2 ; 4 ; 8. Cherchons une valeur raisonnable « à mi-chemin » entre le rang 0 et le rang 1. Pour les abscisses, on prend le milieu : $\frac{0 + 1}{2} = 0, 5$ . Pour les ordonnées, il ne faut surtout pas prendre la moyenne habituelle $\frac{1 + 2}{2} = 1, 5$ : dans une suite géométrique, ce n'est pas la somme qui compte mais le produit. On prend donc la moyenne géométrique, c'est-à-dire la racine carrée du produit :

$1 \times 2 = 2 \approx 1, 414.$

Définition 19.7Moyenne géométrique

La moyenne géométrique de deux nombres strictement positifs $A$ et $B$ est le nombre $A \times B$ . Elle a la propriété qui nous intéresse : les trois nombres $A$ , $A B$ , $B$ forment une suite géométrique, puisque le quotient de chacun au précédent vaut $B / A$ dans les deux cas.

En recommençant — milieu des abscisses, moyenne géométrique des ordonnées — on obtient les valeurs aux quarts, aux huitièmes, et de proche en proche autant de points qu'on veut. La courbe se dessine toute seule.

Comment on passe d'une suite

géométrique à une courbe. Les gros points bleus sont les quatre termes connus de la suite. Les points oranges s'obtiennent en prenant le milieu des abscisses et la moyenne géométrique des ordonnées ; les petits points violets recommencent l'opération sur chaque moitié. En répétant, on remplit toute la courbe : c'est la

fonction

x \mapsto 2^{x}

Exercices du chapitre

Quel modèle ? corrigé
Intérêts simples contre intérêts composés corrigé
Élimination d'un médicament corrigé
Datation au carbone 14 corrigé
Inflation et pouvoir d'achat corrigé
Population mondiale et modèle de Malthus corrigé

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