Variation exponentielle

Cours complet · enseignement scientifique (première), chapitre 19 · première, enseignement scientifique

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19.1 Introduction : ajouter, ou multiplier ?

Deux villages voisins comptent chacun 8 000 habitants. Le premier gagne 800 habitants par an ; le second gagne 10 % d'habitants par an. La première année, les deux gagnent exactement la même chose : 800 personnes. Au bout de dix ans, le premier compte 16 000 habitants, le second 20 750. Au bout de trente ans, 32 000 contre 139 600.

Rien n'a changé dans les énoncés — seulement un mot. Ajouter la même quantité, ou multiplier par le même nombre : ce sont les deux façons d'évoluer régulièrement, et elles n'ont rien à voir. La première est la variation linéaire, que vous connaissez. La seconde est la variation exponentielle, dernier modèle de ce programme et de loin le plus contre-intuitif.

Deux suites parties du même

premier terme. À gauche, les marches oranges sont toutes identiques et les points sont alignés : c'est la variation linéaire du chapitre précédent. À droite, la marche grandit à chaque étape parce qu'elle porte sur une valeur plus grande : les points s'incurvent vers le haut. Au rang 6, la seconde suite a déjà dépassé la première de plus de moitié, alors qu'elles étaient égales au départ.</div>

Ce modèle est partout : un capital placé, un prix qui subit l'inflation, une épidémie qui démarre, une substance éliminée par l'organisme, un noyau radioactif qui se désintègre, une rumeur qui se propage. Il a une propriété que ni la droite ni la parabole ne possèdent : il finit toujours par tout dépasser, et il le fait brutalement, après une longue période où il paraissait tranquille. C'est ce « démarrage lent puis emballement » que ce chapitre doit vous rendre familier — parce qu'il est à l'origine de la plupart des erreurs d'anticipation collectives.

19.2 Reconnaître : des quotients constants

Proposition 19.1Signature d'une variation exponentielle

Une évolution discrète est exponentielle lorsque le quotient de deux termes consécutifs est toujours le même :

$\frac{u ( 1 )}{u ( 0 )} = \frac{u ( 2 )}{u ( 1 )} = \frac{u ( 3 )}{u ( 2 )} = \dots$

Le test est le pendant exact de celui du chapitre précédent : pour la variation linéaire on calculait des différences, ici on calcule des quotients.

De façon équivalente, une évolution est exponentielle lorsque le taux d'évolution d'une période à la suivante est constant : « $+ 3%$ par an », « $- 20%$ par heure ».

Méthode : Reconnaître un phénomène discret de croissance ou de décroissance
exponentielle et le modéliser</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text">

Ranger les valeurs dans un tableau avec leur rang.
Calculer les différences : si elles sont constantes, le modèle est linéaire, et le chapitre précédent suffit.
Sinon, calculer les quotients $u (n + 1) / u (n)$ . S'ils sont constants — ou très proches d'une constante pour des données réelles —, le modèle est exponentiel.
Nommer ce quotient commun $q$ , repérer le premier terme, et écrire les deux définitions : par récurrence et explicitement.
Traduire $q$ en taux d'évolution : $t = q - 1$ , exprimé en pourcentage.

Exemple 19.2Trois séries, trois diagnostics

Série A : 200 ; 260 ; 320 ; 380. Différences : 60 ; 60 ; 60. Linéaire.

Série B : 200 ; 260 ; 338 ; 439,4. Différences : 60 ; 78 ; 101,4 — non constantes. Quotients : $\frac{260}{200} = 1, 3$ ; $\frac{338}{260} = 1, 3$ ; $\frac{439 , 4}{338} = 1, 3$ . Exponentielle, de raison 1,3, soit $+ 30%$ par période.

Série C : 200 ; 260 ; 350 ; 480. Différences : 60 ; 90 ; 130. Quotients : 1,3 ; 1,346 ; 1,371. Ni les unes ni les autres ne sont constantes : aucun des deux modèles ne convient exactement. Sur des données réelles, on choisirait le moins mauvais — ici l'exponentiel, dont les quotients ne varient que de 5 % — en le disant.

iRemarqueLe piège des petits pourcentages

Sur deux ou trois périodes, une croissance de 3 % par an et une croissance de 75 unités par an à partir de 2 500 sont indiscernables : $2500 \times 1, 03 = 2575$ , et $2500 + 75 = 2575$ . Elles ne divergent qu'au bout d'une dizaine de périodes. C'est pourquoi on ne distingue jamais un modèle linéaire d'un modèle exponentiel sur trois points. Il faut soit assez de données, soit un argument extérieur — savoir, par exemple, que des intérêts s'ajoutent au capital, ou qu'un malade en contamine un nombre fixe d'autres.

19.3 Les suites géométriques à termes strictement positifs

19.3.1 Définition

Définition 19.3Suite géométrique

Une suite $u$ est géométrique de raison $q$ lorsque, pour tout entier $n$ ,

$u (n + 1) = u (n) \times q .$

On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ .

Dans tout ce chapitre, conformément au programme, on se limite aux suites à termes strictement positifs : le premier terme $u (0)$ et la raison $q$ sont strictement positifs. C'est le cas de toutes les grandeurs que nous modéliserons — une population, un capital, une concentration, un nombre de noyaux.

Proposition 19.4Terme de rang

n

Si $u$ est géométrique de raison $q > 0$ et de premier terme $u (0) > 0$ , alors pour tout entier $n$ :

$u (n) = u (0) \times q^{n} .$

Plus généralement, à partir de n'importe quel rang $p$ :

$u (n) = u (p) \times q^{n - p} .$

Démonstration

Pour passer du rang 0 au rang $n$ , il faut appliquer $n$ fois la règle de récurrence, donc multiplier $n$ fois par $q$ :

$u (n) = n facteurs q u (0) \times q \times q \times \dots \times q = u (0) \times q^{n} .$

Le même raisonnement à partir du rang $p$ demande $n - p$ multiplications, d'où $u (n) = u (p) \times q^{n - p}$ .

Comparez avec la suite arithmétique : là où l'on ajoutait $n$ fois la raison, on multiplie ici $n$ fois par elle. Toutes les formules se transposent en remplaçant « somme » par « produit » et « multiple » par « puissance ».

Méthode : Calculer un terme de rang donné

Par la formule explicite : calculer $q^{n}$ à la calculatrice — touche \^{} ou $x^{y}$ — puis multiplier par $u (0)$ . C'est immédiat, même pour $n = 100$ .

Par récurrence : multiplier de proche en proche. C'est plus long, mais cela permet de garder toutes les valeurs intermédiaires, ce qui est utile pour un problème de seuil.

À partir de deux termes : si l'on connaît $u (p)$ et $u (n)$ , alors $q^{n - p} = \frac{u ( n )}{u ( p )}$ , et l'on remonte à $q$ en prenant la racine $(n - p)$ -ième — nous verrons plus loin comment.

19.3.2 Raison et taux d'évolution

Proposition 19.5Le pont avec les pourcentages

Une grandeur qui évolue d'un même taux $t$ à chaque période est modélisée par une suite géométrique de raison

$q = 1 + t,$

que l'on appelle aussi le coefficient multiplicateur. Réciproquement, à une raison $q$ correspond le taux $t = q - 1$ .

$+ 3%$ par an $⟷$ $q = 1, 03$ ;
$- 20%$ par heure $⟷$ $q = 0, 80$ ;
doubler à chaque période $⟷$ $q = 2$ , soit $+ 100%$ .

Cette proposition explique pourquoi les automatismes sur les évolutions successives, rencontrés dès le premier chapitre de mathématiques, étaient en réalité des exercices sur les suites géométriques : appliquer $n$ fois le même taux, c'est multiplier $n$ fois par le même coefficient, c'est-à-dire élever $q$ à la puissance $n$ .

19.3.3 Sens de variation

Proposition 19.6Sens de variation d'une suite géométrique à termes positifs

Soit $u$ une suite géométrique de raison $q > 0$ et de premier terme $u (0) > 0$ .

Si $q > 1$ , la suite est strictement croissante : c'est une croissance exponentielle.
Si $0 < q < 1$ , la suite est strictement décroissante : c'est une décroissance exponentielle. Ses termes se rapprochent de 0 sans jamais l'atteindre.
Si $q = 1$ , la suite est constante.

La justification tient à ce que $u (n + 1) - u (n) = u (n) (q - 1)$ : comme $u (n) > 0$ , le signe de cette différence est celui de $q - 1$ .

iRemarqueDécroître sans jamais s'annuler

Une suite géométrique de raison $0, 8$ et de premier terme 100 vaut 80 ; 64 ; 51,2 ; 40,96… Elle décroît indéfiniment, mais aucun de ses termes n'est jamais nul : un produit de nombres strictement positifs ne s'annule pas. C'est exactement ce qui se passe lors de l'élimination d'un médicament — il en reste toujours, en quantité de moins en moins mesurable — et lors de la décroissance radioactive.

19.3.4 Représentation graphique

Méthode : Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d'une
suite géométrique</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text">

Calculer les premiers termes, en gardant assez de décimales.
Choisir une graduation régulière couvrant l'intervalle des valeurs — c'est le point délicat : une suite géométrique croissante écrase vite le bas du graphique.
Placer les points $(n; u (n))$ sans les relier : la suite n'a pas de valeur entre deux rangs entiers.
Vérifier la courbure : vers le haut si $q > 1$ , vers le bas si $0 < q < 1$ . Des points alignés signaleraient une erreur de calcul.

Deux suites géométriques à

termes strictement positifs. À gauche, la raison dépasse 1 : les points s'écartent de plus en plus, la courbure est tournée vers le haut. À droite, la raison est comprise entre 0 et 1 : les points se resserrent vers l'axe horizontal, dont ils se rapprochent indéfiniment sans jamais l'atteindre. Aucun point n'est relié : entre deux rangs, la suite n'existe pas.</div>

19.4 Des points à la courbe : la fonction exponentielle de base $a$

19.4.1 Compléter le nuage

Les points d'une suite géométrique sont isolés. Peut-on les relier par une courbe qui ait un sens, c'est-à-dire qui prolonge la même règle de multiplication à des valeurs non entières ? La réponse est oui, et le procédé mérite d'être vu.

Prenons la suite $u (n) = 2^{n}$ : 1 ; 2 ; 4 ; 8. Cherchons une valeur raisonnable « à mi-chemin » entre le rang 0 et le rang 1. Pour les abscisses, on prend le milieu : $\frac{0 + 1}{2} = 0, 5$ . Pour les ordonnées, il ne faut surtout pas prendre la moyenne habituelle $\frac{1 + 2}{2} = 1, 5$ : dans une suite géométrique, ce n'est pas la somme qui compte mais le produit. On prend donc la moyenne géométrique, c'est-à-dire la racine carrée du produit :

$1 \times 2 = 2 \approx 1, 414.$

Définition 19.7Moyenne géométrique

La moyenne géométrique de deux nombres strictement positifs $A$ et $B$ est le nombre $A \times B$ . Elle a la propriété qui nous intéresse : les trois nombres $A$ , $A B$ , $B$ forment une suite géométrique, puisque le quotient de chacun au précédent vaut $B / A$ dans les deux cas.

En recommençant — milieu des abscisses, moyenne géométrique des ordonnées — on obtient les valeurs aux quarts, aux huitièmes, et de proche en proche autant de points qu'on veut. La courbe se dessine toute seule.

Comment on passe d'une suite

géométrique à une courbe. Les gros points bleus sont les quatre termes connus de la suite. Les points oranges s'obtiennent en prenant le milieu des abscisses et la moyenne géométrique des ordonnées ; les petits points violets recommencent l'opération sur chaque moitié. En répétant, on remplit toute la courbe : c'est la fonction $x \mapsto 2^{x}$ .</div>

19.4.2 Le cas de l'exposant $\frac{1}{n}$ : la racine $n$ -ième

Définition 19.8Racine

n

-ième et exposant fractionnaire

Soit $A$ un nombre strictement positif et $n$ un entier naturel non nul. On appelle racine $n$ -ième de $A$ l'unique nombre strictement positif dont la puissance $n$ -ième vaut $A$ . On le note $A^{1/ n}$ :

$(A^{1/ n})^{n} = A .$

Pour $n = 2$ , on retrouve la racine carrée : $A^{1/2} = A$ .

À la calculatrice, on obtient $A^{1/ n}$ avec la touche puissance, en tapant l'exposant sous forme de fraction ou de décimal : $A^{1/5}$ se tape A\^{(1/5)} ou A\^{0.2}.

Exemple 19.9Quelques racines

$8^{1/3} = 2$ , car $2^{3} = 8$ . $8 1^{1/4} = 3$ , car $3^{4} = 81$ . $100 0^{1/3} = 10$ . $1, 5^{1/2} \approx 1, 2247$ . $2^{1/12} \approx 1, 0595$ .

Ce dernier nombre est celui qui sépare deux notes voisines d'un piano : il faut douze demi-tons pour doubler la fréquence d'une octave, donc chaque demi-ton multiplie la fréquence par la racine douzième de 2.

19.4.3 La fonction $x \mapsto a^{x}$

Définition 19.10Fonction exponentielle de base

a

Soit $a$ un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base $a$ est la fonction qui, à tout réel $x ⩾ 0$ , associe le nombre $a^{x}$ .

Elle prolonge la suite géométrique de raison $a$ et de premier terme 1 : pour $x$ entier, $a^{x}$ est bien le produit de $x$ facteurs égaux à $a$ ; pour $x$ non entier, sa valeur s'obtient par le procédé de la figure précédente, ou tout simplement à la calculatrice.

Une grandeur de valeur initiale $V_{0}$ évoluant au taux $t$ par unité de temps est alors modélisée, pour tout $x ⩾ 0$ , par

$V (x) = V_{0} \times (1 + t)^{x} .$

Proposition 19.11Propriétés algébriques, admises

Ces règles prolongent celles des puissances entières, connues depuis le collège. Elles sont admises. Pour $a > 0$ et $x$ , $y$ positifs :

$a^{0} = 1, a^{1} = a, a^{x + y} = a^{x} \times a^{y}, a^{x - y} = \frac{a ^{x}}{a ^{y}}, (a^{x})^{y} = a^{x y} .$

La troisième est la plus utile de toutes : additionner les exposants revient à multiplier les valeurs. C'est elle qui traduit mathématiquement le fait que deux périodes d'évolution se cumulent en multipliant les coefficients.

Proposition 19.12Variations et représentation graphique

Soit $a > 0$ et $f (x) = a^{x}$ définie pour $x ⩾ 0$ .

$f (0) = 1$ : toutes ces courbes passent par le point $(0; 1)$ .
$f (x) > 0$ pour tout $x$ : la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses.
Si $a > 1$ , $f$ est croissante, et sa croissance s'accélère.
Si $0 < a < 1$ , $f$ est décroissante, et se rapproche de 0.
Si $a = 1$ , $f$ est constante égale à 1.

Le sens de variation de la fonction est donc exactement celui de la suite géométrique de même raison : c'est le même critère, $a > 1$ ou $a < 1$ .

Trois fonctions exponentielles,

tracées pour $x ⩾ 0$ . Toutes passent par le point $(0; 1)$ et restent strictement positives. Pour $a > 1$ la courbe monte de plus en plus vite ; pour $0 < a < 1$ elle descend et se rapproche de l'axe sans jamais le toucher. Plus $a$ est grand, plus la montée est rapide : à $x = 4$ , la courbe de base 2 est déjà trois fois au-dessus de celle de base 1,5.</div>

19.5 Le taux d'évolution moyen

Voici la question que le programme met en avant, et qui est d'un usage constant dans les médias : une grandeur a subi $n$ évolutions successives ; quel taux unique, appliqué $n$ fois, aurait produit le même résultat ?

Définition 19.13Taux d'évolution moyen

Une grandeur subit $n$ évolutions successives, de coefficients multiplicateurs $CM_{1}, CM_{2}, \dots, CM_{n}$ . Le coefficient multiplicateur global est leur produit :

$CM_{global} = CM_{1} \times CM_{2} \times \dots \times CM_{n} .$

Le taux d'évolution moyen $t_{m}$ est le taux qui, appliqué $n$ fois de suite, donnerait le même résultat. Son coefficient multiplicateur $CM_{m} = 1 + t_{m}$ vérifie donc $(CM_{m})^{n} = CM_{global}$ , c'est-à-dire

$CM_{m} = (CM_{global})^{1/ n}, puis t_{m} = CM_{m} - 1.$

Méthode : Calculer un taux d'évolution moyen

Convertir chaque taux en coefficient multiplicateur : $t \to 1 + t$ .
Les multiplier tous pour obtenir le coefficient global. (Si l'on connaît directement la valeur de départ et celle d'arrivée, le coefficient global est simplement leur quotient.)
Compter soigneusement le nombre $n$ de périodes. C'est là que se commettent la plupart des erreurs : de 2015 à 2020, il y a cinq périodes d'un an, pas six.
Élever le coefficient global à la puissance $\frac{1}{n}$ .
Retrancher 1 et convertir en pourcentage. Vérifier l'ordre de grandeur : le taux moyen se situe toujours entre le plus petit et le plus grand des taux.

iRemarquePourquoi pas la moyenne des taux ?

La tentation est de calculer la moyenne arithmétique des taux. Elle est presque juste pour de petits taux, et franchement fausse dès qu'ils sont grands. Une hausse de 100 % suivie d'une baisse de 50 % ramène exactement au point de départ : le taux moyen vaut 0 %. La moyenne arithmétique, elle, donnerait $\frac{100 - 50}{2} = + 25%$ , ce qui est absurde. Les taux ne s'additionnent pas, les coefficients se multiplient.

Exemple 19.14L'inflation en France

D'après l'indice des prix à la consommation publié par l'Insee, la hausse annuelle moyenne des prix a été de $+ 1, 6%$ en 2021, $+ 5, 2%$ en 2022, $+ 4, 9%$ en 2023 et $+ 2, 0%$ en 2024.

Coefficient global sur quatre ans :

$1, 016 \times 1, 052 \times 1, 049 \times 1, 020 \approx 1, 1436.$

Les prix ont donc augmenté d'environ 14,4 % en quatre ans.

Taux moyen annuel :

$CM_{m} = 1, 143 6^{1/4} \approx 1, 0341, t_{m} \approx 3, 41%.$

Un même taux de 3,41 % par an pendant quatre ans aurait produit exactement la même hausse. On vérifie l'ordre de grandeur : 3,41 % est bien compris entre 1,6 % et 5,2 %.

Ce que cela veut dire. Un salaire resté fixe pendant ces quatre années a perdu $1 - \frac{1}{1 , 1436} \approx 12, 6%$ de pouvoir d'achat. Notez qu'on ne perd pas 14,4 % : le taux réciproque n'est pas l'opposé du taux, c'est l'inverse du coefficient — un automatisme du premier chapitre de mathématiques, qui trouve ici son emploi.

19.6 Comparer les trois modèles

19.6.1 L'exponentielle finit toujours par gagner

Proposition 19.15Croissance comparée

Soient une croissance linéaire, une croissance quadratique et une croissance exponentielle de raison strictement supérieure à 1. Alors, quels que soient les coefficients choisis, la croissance exponentielle finit par dépasser définitivement les deux autres, et l'écart devient ensuite considérable.

Le mot important est finit par : au début, l'exponentielle peut rester très longtemps en dessous. C'est cette lenteur initiale qui trompe.

Les trois modèles d'évolution

sur le même graphique, à deux échelles différentes. À gauche, sur les cinq premières unités, les trois courbes sont comparables : en $x = 5$ elles valent 25, 25 et 32. À droite, l'échelle verticale a été divisée par plus de trente pour faire tenir la courbe exponentielle : à $x = 10$ , la droite vaut 50, la parabole 100, et l'exponentielle 1 024. La même figure, deux fenêtres — et deux conclusions opposées.</div>

Méthode : Estimer un ordre de grandeur en croissance exponentielle

On n'a pas toujours besoin d'une valeur exacte ; un ordre de grandeur suffit souvent, et il s'obtient de tête.

Repérer le temps de doublement : la durée au bout de laquelle la grandeur est multipliée par 2. Pour un taux $t$ modeste, une règle d'approximation commode donne un doublement en environ $\frac{70}{100 t}$ périodes — 70 divisé par le taux exprimé en pourcentage.
Compter combien de doublements tiennent dans la durée étudiée.
Multiplier par 2 autant de fois : 10 doublements font environ $\times 1000$ , 20 doublements environ $\times 1000000$ .

Exemple : à 7 % par an, le doublement prend environ $\frac{70}{7} = 10$ ans. En 70 ans, cela fait 7 doublements, soit $2^{7} = 128$ fois plus. Le calcul exact donne $1, 0 7^{70} \approx 113$ : l'estimation est du bon ordre.

19.6.2 Une cascade : la propagation d'une rumeur

Une cascade dans laquelle

chaque personne informée en informe deux autres. Le nombre de personnes touchées à chaque génération est une suite géométrique de raison 2. Le dessin s'arrête à la troisième génération faute de place — et c'est bien le problème : à la trente-troisième, le modèle prévoit plus de personnes qu'il n'y a d'habitants sur la planète. Tout modèle exponentiel de croissance cesse un jour d'être valable, parce que le monde, lui, est fini.</div>

iRemarqueLe taux de reproduction d'une épidémie

En épidémiologie, le nombre moyen de personnes contaminées par un malade s'appelle le taux de reproduction, noté $R_{0}$ . C'est exactement la raison de la suite géométrique ci-dessus.

Si $R_{0} > 1$ , le nombre de cas croît de façon exponentielle : l'épidémie se développe.
Si $R_{0} < 1$ , il décroît de façon exponentielle : l'épidémie s'éteint.
Si $R_{0} = 1$ , il reste stable.

Les valeurs varient beaucoup d'une maladie à l'autre : la grippe saisonnière se situe autour de 1 à 2, la rougeole bien plus haut, entre 12 et 18, ce qui en fait l'une des maladies les plus contagieuses connues. Toutes les mesures sanitaires — vaccination, isolement, gestes barrières — ont un seul et même objectif mathématique : faire passer $R_{0}$ en dessous de 1. Le modèle exponentiel n'est valable qu'au début d'une épidémie, tant que la population susceptible d'être contaminée reste très grande devant le nombre de malades.

19.7 Décroissance exponentielle et demi-vie

Définition 19.16Demi-vie

Lorsqu'une grandeur décroît de façon exponentielle, la demi-vie est la durée au bout de laquelle elle est divisée par deux. Elle ne dépend ni de la valeur de départ ni de l'instant choisi : partant de n'importe quelle valeur, il faut toujours la même durée pour en perdre la moitié.

C'est la propriété la plus caractéristique de la décroissance exponentielle, et elle n'appartient qu'à elle : une décroissance linéaire, au contraire, met de moins en moins de temps à perdre la moitié de ce qui reste.

Élimination d'une substance

dont la demi-vie vaut six heures. À chaque intervalle de six heures, la quantité restante est divisée par deux — quel que soit le point de départ choisi sur la courbe. La courbe se rapproche de l'axe horizontal sans jamais l'atteindre : il reste toujours quelque chose, en quantité de plus en plus faible.</div>

Exemple 19.17Un médicament dans le sang

Un patient reçoit une dose de 400 mg d'un médicament dont la demi-vie est de six heures. Notons $u (n)$ la quantité restante après $n$ périodes de six heures.

C'est une suite géométrique de premier terme $u (0) = 400$ et de raison $q = 0, 5$ , donc $u (n) = 400 \times 0, 5^{n}$ .

Temps (h)	0	6	12	18	24	30
Rang $n$	0	1	2	3	4	5
Quantité (mg)	400	200	100	50	25	12,5

Et au bout de 15 heures ? Ce n'est pas un multiple de six heures : il faut passer par la fonction exponentielle. Quinze heures font $\frac{15}{6} = 2, 5$ demi-vies, donc

$V (15) = 400 \times 0, 5^{2, 5} \approx 400 \times 0, 1768 = 70, 7 mg .$

Cette valeur se situe bien entre 100 mg (à 12 h) et 50 mg (à 18 h) — mais plus près de 50 que la moitié : la courbe n'est pas une droite.

Taux d'élimination horaire. Le coefficient multiplicateur par heure vaut $0, 5^{1/6} \approx 0, 8909$ : la quantité diminue d'environ 10,9 % par heure.

iRemarqueAttention : l'alcool ne suit pas ce modèle

Contrairement à la plupart des médicaments, l'alcool est éliminé du sang à un rythme constant, de l'ordre de 0,10 à 0,15 gramme par litre et par heure, et non d'un pourcentage constant. Son élimination relève donc du modèle linéaire du chapitre précédent, pas du modèle exponentiel. C'est pourquoi il n'existe aucun moyen d'accélérer le dégrisement : café, douche froide ou marche à pied ne changent rien à une pente fixée par le foie.

Voilà un excellent rappel : ce n'est pas la nature du phénomène qui décide du modèle, ce sont les données. Deux processus d'élimination dans le même sang suivent deux lois différentes.

Exemple 19.18La datation au carbone 14

Tout être vivant contient une proportion de carbone 14 constante tant qu'il vit. À sa mort, cet apport cesse et le carbone 14, radioactif, se désintègre avec une demi-vie de 5 730 ans.

Un fragment de bois prélevé dans une grotte contient 12,5 % du carbone 14 attendu pour un organisme vivant. Comme

$0, 125 = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3},$

trois demi-vies se sont écoulées, soit $3 \times 5730 = 17190$ ans. C'est l'ordre de grandeur retenu pour les peintures de la grotte de Lascaux.

Si la proportion avait été de 50 %, une seule demi-vie se serait écoulée, soit 5 730 ans — l'ordre de grandeur de l'âge d'Ötzi, l'homme des glaces découvert en 1991 dans les Alpes, mort il y a environ 5 300 ans.

Ce savoir-faire est exactement celui que réclame le programme d'enseignement scientifique dans le chapitre sur les éléments chimiques : calculer le nombre de noyaux restants au bout de $n$ demi-vies, et utiliser une décroissance radioactive pour dater. Il repose entièrement sur les suites géométriques.

19.8 Résoudre un problème de seuil

Méthode : Résoudre un problème de seuil en croissance ou décroissance
exponentielle</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text"> Trois voies, toutes autorisées.

Par le calcul, en essayant. On calcule $u (n)$ pour des valeurs croissantes de $n$ , en encadrant : si l'on cherche le premier rang dépassant un seuil $S$ , il suffit de trouver $n$ tel que $u (n - 1) < S ⩽ u (n)$ . On accélère en sautant de dix en dix avant d'affiner. Il faut toujours vérifier les deux rangs voisins.

Graphiquement. On trace la courbe, la droite horizontale $y = S$ , et l'on lit l'abscisse du point d'intersection ; dans le cas discret, on retient le premier point au-delà.

Avec un algorithme. Une boucle « tant que » multiplie par la raison en comptant les tours. C'est la méthode la plus sûre, et la seule praticable pour de grands rangs.

Aucune de ces méthodes n'est un raccourci sur les autres : le programme ne fournit pas d'outil permettant de résoudre directement une équation de la forme $q^{n} = k$ .

Exemple 19.19Un placement sur un livret

Le taux du livret A a été fixé à 3 % par an du 1^er février 2023 au 31 janvier 2025. Supposons ce taux maintenu et plaçons 2 500 €. Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 4 000 € ?

Le capital suit la suite géométrique $C (n) = 2500 \times 1, 0 3^{n}$ . Essayons :

$C (10) = 2500 \times 1, 0 3^{10} \approx 3360, C (15) \approx 3895, C (16) \approx 4 012.$

Comme $C (15) < 4000 ⩽ C (16)$ , il faut 16 années.

Remarquez au passage que l'intérêt de la première année vaut 75 € et celui de la seizième environ 117 € : c'est toute la différence avec le placement à intérêts simples de l'exercice du chapitre sur la variation linéaire, où l'intérêt annuel restait bloqué à 75 € pour toujours.

Un capital de 2 500

€ placé à 3 % par an. Les points donnent le capital année après année ; la courbe pâle prolonge la suite en une fonction exponentielle. La droite horizontale marque le seuil de 4 000 €, franchi la seizième année. La courbure vers le haut est peu marquée sur vingt-cinq ans — c'est ce qui rend la croissance exponentielle si facile à confondre avec une croissance linéaire sur une durée courte.</div>

Le même travail se programme en quatre lignes, et le programme fonctionne aussi bien pour une croissance que pour une décroissance :


def seuil(depart, raison, cible):
    """Premier rang n tel que le terme atteigne ou depasse la cible."""
    n = 0
    terme = depart
    while terme < cible:
        terme = terme * raison
        n = n + 1
    return n, round(terme, 2)

print(seuil(2500, 1.03, 4000))

L'exécution affiche (16, 4011.77). La seule différence avec l'algorithme du chapitre sur la variation linéaire tient dans un caractère : terme * raison au lieu de terme + raison. Toute la distinction entre les deux modèles est là.

iRemarqueAttention aux boucles qui ne s'arrêtent pas

Si l'on demande à ce programme un seuil qu'une suite décroissante n'atteindra jamais — par exemple seuil(100, 0.5, 200) —, la boucle tourne indéfiniment. Avant d'écrire une boucle « tant que », il faut toujours s'assurer que la condition finira par devenir fausse. Pour une suite décroissante, on inverse le test : while terme > cible.

19.9 Automatismes

19.9.1 Taux d'évolution et coefficients multiplicateurs

Proposition 19.20Les quatre règles à avoir dans les doigts

Appliquer un taux : $V_{2} = V_{1} \times (1 + t)$ .
Calculer un taux : $t = \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{1}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} - 1$ .
Évolutions successives : les coefficients se multiplient ; le coefficient global de $n$ évolutions identiques vaut $(1 + t)^{n}$ .
Évolution réciproque : le coefficient qui annule l'évolution est $\frac{1}{1 + t}$ , jamais $1 - t$ .

Méthode : Questions flash — évolutions

Un prix de 80 € augmente de 15 %. Nouveau prix ?
Quel est le coefficient multiplicateur d'une baisse de 35 % ?
Une hausse de 10 % suivie d'une hausse de 10 % : taux global ?
Une hausse de 50 % suivie d'une baisse de 50 % : taux global ?
Une quantité est multipliée par 8 en 3 ans. Taux annuel moyen ?
Après une baisse de 20 %, quelle hausse ramène au prix initial ?

Réponses. 1. $80 \times 1, 15 = 92$ €. 2. 0,65. 3. $1, 1^{2} = 1, 21$ , soit $+ 21%$ — et non $+ 20%$ . 4. $1, 5 \times 0, 5 = 0, 75$ , soit $- 25%$ . 5. $8^{1/3} = 2$ , soit $+ 100%$ par an. 6. $1 \div 0, 8 = 1, 25$ , soit $+ 25%$ .

19.9.2 Puissances et racines à la calculatrice

Méthode : Questions flash — calcul

$2^{10}$ ?
$0, 5^{4}$ ?
$1, 0 5^{2}$ (valeur exacte) ?
$1 6^{1/2}$ ? $2 7^{1/3}$ ? $1000 0^{1/4}$ ?
$2^{3} \times 2^{5}$ , sans calculer chaque facteur ?
$\frac{3 ^{7}}{3 ^{4}}$ , sans calculer chaque terme ?

Réponses. 1. 1 024. 2. 0,0625. 3. 1,1025. 4. 4 ; 3 ; 10. 5. $2^{8} = 256$ . 6. $3^{3} = 27$ .

19.9.3 Suites : reconnaître et calculer

Méthode : Questions flash — suites géométriques

$u (0) = 5$ et $q = 3$ . Que vaut $u (4)$ ?
$u (n) = 200 \times 0, 9^{n}$ . Quelle est la raison ? le taux d'évolution ?
Les nombres 3 ; 12 ; 48 ; 192 forment-ils une suite géométrique ?
Une suite géométrique vérifie $u (0) = 7$ et $u (2) = 63$ . Quelle est sa raison, sachant qu'elle est positive ?
$u (n) = 1000 \times 1, 0 2^{n}$ est-elle croissante ou décroissante ?
Les nombres 100 ; 90 ; 80 ; 70 forment-ils une suite géométrique ?

Réponses. 1. $5 \times 81 = 405$ . 2. $q = 0, 9$ , soit $- 10%$ par rang. 3. Oui, raison 4. 4. $q^{2} = \frac{63}{7} = 9$ , donc $q = 3$ . 5. Croissante, car $q > 1$ . 6. Non : les différences sont constantes ( $- 10$ ), les quotients ne le sont pas ( $0, 9$ puis $0, 889$ ). C'est une suite arithmétique.

19.9.4 Lecture graphique et ordres de grandeur

Méthode : Questions flash — lire une courbe exponentielle

Une population double tous les 25 ans. Par combien est-elle multipliée en 100 ans ?
Une substance a une demi-vie de 4 jours. Quelle proportion reste-t-il au bout de 12 jours ?
Au bout de combien de demi-vies reste-t-il moins de 1 % de la quantité initiale ?
À 2 % par an, en combien d'années environ une grandeur double-t-elle ?
$1, 0 3^{24}$ vaut-il plutôt 1,7 ; 2,0 ou 3,0 ?
Une feuille de 0,1 mm d'épaisseur pliée 20 fois : quelle épaisseur ?

Réponses. 1. Quatre doublements, donc $\times 16$ . 2. Trois demi-vies : $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ , soit 12,5 %. 3. Sept demi-vies : $(\frac{1}{2})^{7} = \frac{1}{128} \approx 0, 78%$ . 4. Environ $\frac{70}{2} = 35$ ans. 5. Environ 2,0 : le doublement à 3 % prend à peu près $\frac{70}{3} \approx 23$ ans. 6. $0, 1 \times 2^{20} = 0, 1 \times 1048576 \approx 105$ mètres, soit la hauteur d'un immeuble de trente étages.

19.10 Bilan

19.10.1 Ce que ce chapitre a construit

Discret : suite géométrique

Continu : fonction $a^{x}$

Signature

quotients constants

taux d'évolution constant

Récurrence

u (n + 1) = u (n) \times q

—

Forme explicite

u (n) = u (0) \times q^{n}

V (x) = V_{0} \times a^{x}

Le paramètre clé

la raison

q > 0

la base

a > 0

Lien aux pourcentages

q = 1 + t

a = 1 + t

Croissante si

q > 1

a > 1

Décroissante si

0 < q < 1

0 < a < 1

Graphique

points non alignés, incurvés

courbe passant par

(0; 1)

Exposant fractionnaire

—

a^{1/ n}

, racine

n

-ième

n

évolutions successives

q^{n}

taux moyen

$(CM)^{1/ n} - 1$ </td></tr></table></div>

19.10.2 Les gestes à savoir faire

Distinguer une évolution linéaire d'une évolution exponentielle en calculant d'abord les différences, puis les quotients.
Passer de la définition par récurrence à la forme explicite d'une suite géométrique, et réciproquement.
Calculer un terme de rang donné à la calculatrice.
Traduire un taux d'évolution en raison, et réciproquement.
Déterminer le sens de variation à partir de la position de $q$ par rapport à 1.
Représenter graphiquement les termes d'une suite géométrique, sans les relier, et reconnaître la courbure.
Calculer une racine $n$ -ième et l'utiliser pour trouver un taux d'évolution moyen.
Utiliser les propriétés algébriques des exponentielles pour simplifier un calcul.
Résoudre un problème de seuil par essais successifs, par lecture graphique ou par un algorithme.
Estimer un ordre de grandeur en comptant des doublements.
Exploiter une demi-vie : élimination d'une substance, datation par décroissance radioactive.

19.10.3 Les cinq réflexes critiques

Les taux ne s'additionnent pas. Deux hausses de 10 % font $+ 21%$ ; une hausse de 100 % suivie d'une baisse de 50 % ne fait rien du tout.
Le taux réciproque n'est pas l'opposé. Après $- 20%$ , il faut $+ 25%$ pour revenir au point de départ.
Trois points ne suffisent jamais à distinguer un modèle linéaire d'un modèle exponentiel : au début, ils se ressemblent.
Une croissance exponentielle finit par tout dépasser, mais elle commence lentement. C'est cette lenteur initiale qui fait sous-estimer les épidémies, les intérêts et les dettes.
Aucune croissance exponentielle ne dure indéfiniment, parce que le monde est fini. Un modèle exponentiel décrit un démarrage, jamais un destin.

19.10.4 Les trois modèles, pour finir

Ce chapitre clôt le parcours des mathématiques de l'enseignement scientifique. Vous disposez maintenant de trois façons de décrire une grandeur qui évolue, et le plus important est de savoir laquelle choisir.

Modèle	On reconnaît à	Exemples de ce livre
Linéaire	différences constantes	intérêts simples, amortissement,
	taux d'accroissement constant	Celsius-Fahrenheit, niveau des mers
Quadratique	différences secondes constantes	distance de freinage,
	un maximum ou un minimum	chiffre d'affaires, trajectoire, arche
Exponentiel	quotients constants	intérêts composés, inflation,
	taux d'évolution constant	épidémie, demi-vie, carbone 14

Et la démarche, elle, est toujours la même, quel que soit le modèle : regarder les données avant de calculer, choisir un modèle en le justifiant, calculer ce qu'on cherche, puis revenir au monde pour dire ce que le résultat signifie et jusqu'où on peut lui faire confiance. C'est cette dernière étape, la plus souvent oubliée, qui distingue quelqu'un qui sait faire des mathématiques de quelqu'un qui sait s'en servir.

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