La forme de la Terre

8.2.3 Deuxième observation : l'ombre de la Terre sur la Lune

Lors d'une éclipse de Lune, la Terre passe entre le Soleil et la Lune, et son ombre se projette sur le disque lunaire. Le bord de cette ombre est un arc de cercle. Toujours. Que l'éclipse ait lieu en hiver ou en été, que la Lune soit haute ou basse, que l'ombre l'attaque par la gauche ou par la droite : le bord est circulaire.

L'argument, que l'on trouve déjà chez Aristote, est d'une grande force logique. Un disque plat projette bien une ombre circulaire — mais seulement s'il est vu de face ; vu de biais, son ombre est un ovale de plus en plus aplati, et vu par la tranche, un simple trait. Le seul solide dont l'ombre est un disque quelle que soit la direction d'éclairage est la sphère. Comme les éclipses de Lune se produisent à toutes les saisons, donc avec des orientations variées, la Terre est une sphère.

Une éclipse de Lune. La Terre, éclairée par le Soleil, projette

derrière elle un cône d'ombre dans lequel la Lune s'engage. Le bord de l'ombre observée depuis la Terre est toujours circulaire, quelle que soit la saison : seul un corps sphérique donne une ombre circulaire dans toutes les directions.</div>

8.2.4 Troisième observation : le ciel change quand on voyage

Quand on voyage vers le nord, l'étoile Polaire monte dans le ciel. Quand on descend vers le sud, elle descend, et l'on voit apparaître des constellations inconnues chez soi. Aristote signale déjà que certaines étoiles visibles en Égypte et à Chypre ne le sont plus si l'on remonte vers le nord ; il en tire deux conclusions, et toutes deux sont exactes : la Terre est ronde, et elle n'est pas très grande.

Il y a mieux qu'une impression. La hauteur de la Polaire au-dessus de l'horizon, mesurée en degrés, est égale à la latitude du lieu. À Marseille ($43^{\circ }$ N) elle est à $43^{\circ }$ au-dessus de l'horizon ; à Dunkerque ($51^{\circ }$ N), à $51^{\circ }$. Nous démontrerons cette égalité plus loin, quand nous aurons défini la latitude : c'est une conséquence directe de la sphéricité. Sur une Terre plate, toutes les étoiles seraient vues sous le même angle en tout point.

8.2.5 Et depuis, deux mille ans de confirmations

Méthode : Donner des preuves de la rotondité de la Terre, de l'Antiquité à

nos jours</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text"> On attend des arguments de natures différentes, chacun accompagné de ce qu'il exclut. Voici sept arguments classés chronologiquement ; trois ou quatre, correctement justifiés, suffisent.

• Le navire à l'horizon (Antiquité). Il disparaît par la coque, jamais par le mât. Exclut : la plaine infinie.
• L'ombre pendant une éclipse de Lune (Aristote, $-350$). Son bord est circulaire à toutes les saisons. Exclut : le disque plat, le cylindre.
• Le changement du ciel avec la latitude (Aristote). La hauteur de la Polaire suit la latitude ; des étoiles nouvelles apparaissent au sud. Exclut : la Terre plate sous une voûte fixe.
• L'ombre du gnomon varie avec le lieu (Ératosthène, $-240$). Au même instant, deux villes n'ont pas la même ombre — et l'écart est proportionnel à la distance. Exclut : la Terre plate sous un Soleil proche (voir plus loin).
• Le tour du monde ($1519$-$1522$). L'expédition partie sous le commandement de Magellan, ramenée par Elcano, revient à son point de départ en ayant toujours navigué vers l'ouest. Exclut : toute surface bordée.
• Le décalage horaire. Il est midi à Paris quand il est $6$ h à New York. Le Soleil n'éclaire à chaque instant qu'une moitié du globe.
• Les photographies depuis l'espace (à partir des années $1960$ ; la première photographie de la Terre entière prise par un équipage l'est par Apollo $17$, le $7$ décembre $1972$). Et, tous les jours, les millions de positions calculées par les satellites de navigation, qui seraient toutes fausses si la Terre n'était pas ronde.

Le réflexe à avoir : pour chaque argument, se demander quelle autre forme il élimine. Un argument qui n'élimine rien n'est pas une preuve.

8.3 Ératosthène : mesurer la Terre avec une ombre

8.3.1 Un homme, un puits, un bâton

Ératosthène de Cyrène (vers $-276$, vers $-194$) dirige la bibliothèque d'Alexandrie. C'est un savant complet : géographe, mathématicien, poète, astronome. Vers $-240$, il réalise ce qui reste l'une des plus belles mesures de l'histoire des sciences — et il n'a besoin, pour cela, de rien d'autre que d'un bâton planté dans le sol, d'un renseignement de voyageur et d'une hypothèse.

Le récit nous est parvenu par Cléomède, un auteur plus tardif. Il tient en trois faits.

• À Syène (aujourd'hui Assouan, en Haute-Égypte), le jour du solstice d'été et à midi, le Soleil est exactement au zénith : un bâton vertical ne porte aucune ombre, et la lumière descend jusqu'au fond d'un puits.
• À Alexandrie, au même moment, un bâton vertical porte une ombre. Ératosthène mesure l'angle entre le bâton et les rayons du Soleil : il trouve un cinquantième de tour, soit $360^{\circ }/50=7,2^{\circ }$.
• La distance entre les deux villes est estimée à $5000$ stades.

Et une hypothèse, qui est le vrai cœur du raisonnement : le Soleil est si loin que ses rayons arrivent parallèles sur toute la Terre.

8.3.2 Le raisonnement

Si les rayons sont parallèles, alors l'angle mesuré à Alexandrie entre le gnomon (le bâton) et le rayon solaire est aussi l'angle, vu du centre de la Terre, entre les deux villes. C'est le théorème des angles alternes-internes appliqué à deux droites parallèles coupées par une sécante — la sécante étant, ici, le rayon terrestre prolongé.

Autrement dit : l'arc Alexandrie–Syène représente la même fraction du tour de la Terre que $7,2^{\circ }$ représente de $360^{\circ }$. Une simple proportionnalité achève le travail.

Les mêmes deux mesures — l'angle de l'ombre à Alexandrie et la

distance à Syène — conduisent à deux résultats totalement différents selon l'hypothèse que l'on fait. À gauche, Terre sphérique et Soleil infiniment loin : on obtient la circonférence de la Terre. À droite, Terre plate et Soleil proche : on obtient la hauteur du Soleil. L'angle, $7,2^{\circ }$ en réalité, est ici fortement exagéré pour la lisibilité.</div>

Méthode : Calculer la longueur du méridien terrestre par la méthode

d'Ératosthène</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text"> Deux villes $A$ et $B$ sont sur le même méridien, distantes de $d$. Au même instant, la direction du Soleil fait avec la verticale un angle ${\alpha }_A$ en $A$ et ${\alpha }_B$ en $B$.

• Former l'écart angulaire $\alpha ={\alpha }_A-{\alpha }_B$. Dans le cas d'Ératosthène, ${\alpha }_B=0$ (Soleil au zénith à Syène) et $\alpha =7,2^{\circ }$.
• Invoquer le parallélisme des rayons pour affirmer que $\alpha$ est aussi l'angle au centre de la Terre entre $A$ et $B$. C'est l'étape physique du raisonnement : ne jamais l'omettre.
• Appliquer la proportionnalité entre angles au centre et longueurs d'arc : $$\frac{d}{C}=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\text{donc}C=\frac{360^{\circ }}{\alpha }\times d.$$
• Contrôler l'ordre de grandeur : la circonférence doit tomber autour de $40000$ km. Un facteur $10$ d'écart signale une erreur d'unité ou une confusion degré/radian.

Application. $\alpha =7,2^{\circ }$ et $d=5000$ stades donnent $$C=\frac{360}{7,2}\times 5000=50\times 5000=250000\text{ stades.}$$ $\leftrightarrow$ Proportionnalité et grandeurs quotients : voir la partie mathématique du livre, chapitre « Analyse de l'information chiffrée » et annexe « Automatismes ».

8.3.3 Du méridien au rayon

8.3.4 Les mêmes mesures, une autre hypothèse : Anaxagore

Voici le point le plus instructif du chapitre. Reprenons exactement les deux mesures d'Ératosthène — l'angle $7,2^{\circ }$ et la distance $d$ — mais changeons d'hypothèse. Supposons, comme le philosophe Anaxagore de Clazomènes (vers $-500$, vers $-428$) un siècle et demi plus tôt, que la Terre est plate et que le Soleil est un astre proche, incandescent, suspendu au-dessus d'elle. Anaxagore, qui fut poursuivi pour impiété à Athènes, tenait le Soleil pour une pierre embrasée plus grande que le Péloponnèse : à ses yeux, ce n'était pas un dieu.

Dans ce modèle, si le Soleil est à la verticale de Syène, alors le rayon qui arrive à Alexandrie fait avec la verticale un angle $\alpha$ tel que $$\tan \alpha =\frac{d}{H},$$ où $H$ est la hauteur du Soleil au-dessus du sol. On en tire, avec $d=5000$ stades $=787,5$ km (stade à $157,5$ m) et $\alpha =7,2^{\circ }$ : $$H=\frac{787,5}{\tan 7,2^{\circ }}=\frac{787,5}{0,1263}\approx 6200\text{ km.}$$

Le calcul est irréprochable. La conclusion est fausse — mais rien, dans les deux mesures dont on dispose, ne permet de le voir. Les mêmes chiffres, sous deux hypothèses différentes, donnent deux résultats aussi cohérents l'un que l'autre.

8.4 Delambre et Méchain : la triangulation et la naissance du mètre

8.4.1 Pourquoi refaire la mesure ?

En $1790$, la France révolutionnaire veut en finir avec le chaos des unités : on compte alors des centaines de « pieds » et de « livres » différents selon les provinces, ce qui entrave le commerce et facilite la fraude. L'Assemblée demande à l'Académie des sciences de proposer un système universel. Une commission — Borda, Lagrange, Laplace, Monge, Condorcet — rend son avis en mars $1791$.

Sa décision est philosophique autant que technique. L'unité de longueur ne sera tirée ni d'un roi, ni d'un peuple, ni d'un objet : elle sera tirée de la Terre elle-même, propriété de tous. Le mètre sera la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre, du pôle Nord à l'équateur.

Encore faut-il connaître ce quart de méridien avec précision. D'où l'expédition.

8.4.2 Le principe de la triangulation

Mesurer directement mille kilomètres au ruban est impossible : le terrain monte, descend, se coupe de rivières et de forêts, et les erreurs s'accumulent. Les géodésiens contournent l'obstacle par une idée d'une grande élégance : on ne mesure qu'une seule longueur ; tout le reste, ce sont des angles.

Le principe de la triangulation. À droite, le triangle

élémentaire : on mesure au sol la seule base $AB$, puis, au théodolite, les deux angles sous lesquels on voit un point élevé $C$ ; les deux autres côtés s'en déduisent. À gauche, la chaîne : chaque côté calculé sert de base au triangle suivant, et l'on progresse de Dunkerque à Barcelone sans jamais reprendre le ruban.</div>

Méthode : Expliquer la méthode de triangulation utilisée par Delambre et

Méchain</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text">

• Choisir une base. On mesure au sol, avec un soin extrême, une seule longueur, sur un terrain aussi plat et dégagé que possible. Delambre en choisit une d'environ $11$ km sur la route de Melun, et une seconde près de Perpignan pour vérification : la seconde ne sert pas au calcul, elle sert à contrôler le résultat obtenu depuis la première.
• Bâtir le premier triangle. Depuis chacune des deux extrémités de la base, on vise un même point élevé et visible de loin — clocher, sommet, signal construit pour l'occasion — et l'on mesure les deux angles au théodolite, un instrument de visée gradué.
• Calculer les deux autres côtés. Les angles d'un triangle totalisant $180^{\circ }$, le troisième angle est connu, et la loi des sinus donne les longueurs manquantes.
• Enchaîner. Un côté calculé devient la base du triangle suivant. De proche en proche, une centaine de triangles couvrent mille kilomètres. Les seules opérations de terrain, après la base, sont des visées.
• Projeter sur le méridien. La chaîne de triangles serpente ; on en déduit par le calcul la longueur de l'arc de méridien qu'elle recouvre.
• Mesurer l'angle au centre. Il ne s'obtient pas au sol : on détermine astronomiquement la latitude des deux extrémités, en visant des étoiles. La différence des latitudes est l'angle cherché.
• Conclure comme Ératosthène, par proportionnalité entre l'arc et l'angle.

Pourquoi cette méthode est meilleure : une erreur de mesure sur un angle ne se propage pas comme une erreur sur une longueur, et le réseau de triangles se recoupe — chaque quadrilatère peut être calculé de deux façons, ce qui donne un contrôle interne. C'est le premier grand exemple d'une mesure vérifiée par sa propre redondance.

8.4.3 Sept ans sur les routes

L'opération est confiée en $1792$ à deux astronomes. Jean-Baptiste Joseph Delambre ($1749$-$1822$) prend la moitié nord, de Dunkerque à Rodez ; Pierre Méchain ($1744$-$1804$), la moitié sud, de Rodez à Barcelone. Ils partent pour une mission qu'ils croient courte. Elle durera sept ans.

Ce sont sept ans de Révolution et de guerre. Delambre est arrêté plusieurs fois : un homme qui grimpe sur les clochers avec des instruments de cuivre et fait des signaux ressemble beaucoup à un espion. On lui retire ses passeports ; la commission des poids et mesures est épurée. Méchain, bloqué en Espagne par la guerre, y reste immobilisé plus d'un an ; il est blessé dans un accident.

Et il y a l'incident qui a fait la célébrité tardive de cette histoire. À Barcelone, Méchain mesure la latitude depuis deux emplacements différents. Les deux résultats diffèrent d'environ trois secondes d'arc — un écart minuscule, mais bien supérieur à ce que son instrument devrait permettre. Incapable de l'expliquer, persuadé d'avoir commis une faute, il le dissimule : il publie une seule des deux séries. Il en concevra un tourment qui ne le quittera pas, et repartira en $1803$ en Espagne pour prolonger la méridienne et, espère-t-il, racheter son erreur. Il y meurt de la fièvre jaune en $1804$.

8.4.4 Le mètre

Le $10$ décembre $1799$, un étalon en platine est déposé aux Archives de la République : c'est le mètre des Archives. Sa longueur, tirée de la méridienne de Delambre et Méchain, est fixée à $443,296$ lignes de l'ancienne toise du Pérou. La loi du $7$ avril $1795$ avait déjà baptisé les nouvelles unités — mètre, gramme, litre — et fixé les préfixes décimaux.

Le résultat comporte une petite erreur, connue depuis. Le quart du méridien mesure en réalité $10002$ km et non $10000$ : le mètre des Archives est donc trop court d'environ $0,2$ millimètre. L'écart est de $2$ pour $10000$ — remarquable pour l'époque, et sans conséquence pratique, car on a préféré, dès le XIX^e siècle, garder l'étalon plutôt que corriger la définition.

8.5 Se repérer à la surface de la Terre

8.5.1 Deux angles et une hauteur

Les deux coordonnées angulaires. À gauche, la Terre vue de

côté : la latitude $\phi$ est l'angle au centre entre l'équateur et le point, et c'est aussi la hauteur de la Polaire au-dessus de l'horizon local. À droite, la Terre vue de dessus du pôle Nord : la longitude $\lambda$ est l'angle entre le méridien de Greenwich et celui du point.</div>

Démonstration (Pourquoi la hauteur de la Polaire égale la latitude)

La Polaire est si loin que sa direction est la même en tout point de la Terre : c'est la direction de l'axe des pôles, donc une verticale sur la figure de gauche ci-dessus. L'horizon local en $M$ est le plan perpendiculaire au rayon $OM$. L'angle entre l'horizon et la direction de la Polaire, et l'angle $\phi$ entre $OM$ et le plan de l'équateur, ont leurs côtés perpendiculaires deux à deux : ils sont donc égaux. À l'équateur ($\phi =0$) la Polaire est sur l'horizon ; au pôle ($\phi =90^{\circ }$) elle est au zénith. C'est ainsi que l'on mesurait la latitude en mer, bien avant les satellites.

Exemple 8.7Lire des coordonnées

La cathédrale de Strasbourg est à $48^{\circ }35^{\prime }$ N, $7^{\circ }45^{\prime }$ E ; Quito, en Équateur, à $0^{\circ }13^{\prime }$ S, $78^{\circ }31^{\prime }$ O. Les minutes valent un soixantième de degré : $48^{\circ }35^{\prime }=48+35/60=48,58^{\circ }$. Un point de la mer, au sud-ouest du golfe de Guinée, porte les coordonnées $0^{\circ }$, $0^{\circ }$ : c'est l'origine du système, et l'on y a mouillé une bouée.

8.5.2 L'altitude et son niveau de référence

L'altitude paraît la plus simple des trois coordonnées. Elle est en réalité la plus délicate, parce qu'il faut dire au-dessus de quoi.

Le choix naturel est le niveau moyen de la mer. Mais la mer n'est pas partout à la même hauteur : les courants, les vents, les différences de température et de salinité la déforment de plusieurs dizaines de centimètres. On définit donc une surface théorique, le géoïde : la surface où la pesanteur a partout la même valeur de référence, et qui coïncide au mieux avec le niveau moyen des océans. C'est elle, prolongée sous les continents, qui sert de zéro aux altitudes. En France, l'altitude officielle est rapportée au marégraphe de Marseille.

iRemarqueLe géoïde, le climat et les satellites

La question du niveau de référence n'est pas académique. C'est par rapport à lui que l'on mesure la montée du niveau des mers, l'un des indicateurs les mieux suivis du réchauffement climatique. Depuis $1993$, des satellites altimétriques — TOPEX/Poséidon, puis la série Jason — mesurent en permanence la hauteur de la surface océanique en envoyant un signal radar vers le bas et en chronométrant son retour. Ils indiquent une élévation de l'ordre de $3$ à $4$ millimètres par an, soit une vingtaine de centimètres depuis le début du XX^e siècle. Interpréter ces mesures suppose de connaître le géoïde avec une très grande précision : c'est l'objet de missions spatiales dédiées, comme GRACE et GOCE, qui ont cartographié le champ de pesanteur terrestre. Une question de géométrie posée en $1791$ conduit ainsi, deux siècles plus tard, à un instrument de la surveillance du climat.

iRemarqueLe GPS et ses limites

Un récepteur de navigation par satellite — GPS américain, Galileo européen, GLONASS russe, BeiDou chinois — ne mesure pas des angles : il mesure des durées. Chaque satellite émet un signal horodaté ; le récepteur compare l'heure d'arrivée à l'heure d'émission, en déduit une distance, et se place à l'intersection de plusieurs sphères. Quatre satellites suffisent en théorie.

Les limites méritent d'être connues. (i) Le récepteur donne d'abord une hauteur au-dessus de l'ellipsoïde de référence, qui peut différer de plusieurs dizaines de mètres de l'altitude au-dessus du géoïde : c'est pourquoi l'altitude d'un GPS de randonnée est souvent la moins fiable de ses trois coordonnées. (ii) Les signaux se réfléchissent sur les façades en ville et se dégradent sous les arbres. (iii) Le système appartient à des États qui peuvent en dégrader ou en interrompre volontairement le service : c'est une des raisons d'être du programme européen Galileo. (iv) Il faut, pour que cela fonctionne, tenir compte des effets relativistes sur les horloges embarquées : sans correction, l'erreur de position dépasserait le kilomètre par jour.

8.6 Le plus court chemin : l'arc de grand cercle

Définition 8.8Grand cercle

Un grand cercle d'une sphère est l'intersection de cette sphère avec un plan passant par son centre. C'est le plus grand cercle que l'on puisse tracer sur la sphère : son rayon est celui de la sphère. L'équateur et tous les méridiens sont des grands cercles. Les autres parallèles (le $45$^e parallèle, le cercle polaire…) n'en sont pas : leur plan ne passe pas par le centre, et leur rayon est plus petit.

Proposition 8.9Le plus court chemin sur une sphère

Le plus court chemin entre deux points à la surface de la Terre, assimilée à une sphère parfaite, est l'arc du grand cercle qui les relie.

Sur un plan, le plus court chemin est le segment de droite ; sur une sphère, il n'y a pas de droites, et ce sont les grands cercles qui en tiennent lieu. Ce chemin porte, en navigation, le nom d'orthodromie.

Ce résultat a des conséquences que la carte du monde accrochée au mur rend franchement contre-intuitives. Un avion qui va de Paris à Vancouver ne suit pas le parallèle, bien que les deux villes soient presque à la même latitude : il monte vers le nord, frôle le Groenland, puis redescend. Sur la carte, son trajet paraît un long détour. Il est en réalité plus court de mille deux cents kilomètres.

Deux chemins de Paris à Vancouver, tracés sur un planisphère.

Le trajet le long du parallèle, qui semble le plus direct, mesure environ $9100$ km ; l'arc de grand cercle, qui semble faire un détour par le nord, en mesure environ $7900$. Aucune carte plane ne peut représenter fidèlement une sphère : c'est un théorème de géométrie, pas un défaut de fabrication.</div>

Méthode : Utiliser un système d'information géographique pour comparer les

longueurs de différents chemins</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text"> Un système d'information géographique (SIG) — Géoportail, Google Earth, un logiciel libre comme QGIS — permet de mesurer des longueurs sur le globe. Voici un protocole complet.

• Choisir deux villes éloignées et de latitude élevée : l'effet est d'autant plus visible que l'on est loin de l'équateur et que la différence de longitude est grande. Paris–Vancouver, Madrid–Tokyo, Oslo–Anchorage conviennent.
• Relever les coordonnées (latitude, longitude) de chacune.
• Mesurer le trajet direct avec l'outil « règle » ou « mesurer une distance » : le logiciel donne l'orthodromie, car il calcule sur le modèle sphérique ou ellipsoïdal, pas sur l'image affichée.
• Mesurer le trajet le long du parallèle en plaçant plusieurs points intermédiaires à la même latitude que les deux villes, tous les $10^{\circ }$ ou $20^{\circ }$ de longitude, et en additionnant les segments.
• Comparer sur un globe, puis sur une carte plane. Basculer entre les deux vues est l'étape décisive : sur le globe, l'orthodromie paraît évidemment plus courte ; sur la carte, elle paraît absurde.
• Calculer l'écart relatif et conclure par une phrase.

$\leftrightarrow$ Proportionnalité, grandeurs et mesures : voir la partie mathématique du livre.

Exemple 8.10Longueur d'un arc, sur un méridien et sur un parallèle

Sur un méridien, qui est un grand cercle de rayon $R=6371$ km, un degré de latitude correspond toujours à $$\frac{40008}{360}\approx 111,1\text{ km.}$$ Sur un parallèle de latitude $\phi$, le rayon du cercle n'est plus $R$ mais $R\cos \phi$ : un degré de longitude ne vaut plus que $111,1\times \cos \phi$ kilomètres. À l'équateur, $111$ km ; à Paris ($\phi =48,9^{\circ }$), $73$ km ; à $80^{\circ }$ de latitude, $19$ km seulement. C'est pourquoi les méridiens se resserrent vers les pôles.

iRemarqueLe mille marin, ou la Terre dans une unité

Une minute d'arc de méridien, c'est-à-dire un soixantième de degré, mesure $$\frac{40008}{360\times 60}\times 1000\approx 1852\text{ m.}$$ C'est exactement la définition du mille marin, aujourd'hui fixé à $1852$ m tout rond. L'intérêt pour un navigateur est immédiat : sur une carte marine, une distance lue en minutes de latitude est une distance en milles. Et le nœud, unité de vitesse des marins et des aviateurs, vaut un mille marin par heure. La forme de la Terre est ainsi entrée dans le vocabulaire quotidien de deux métiers.

8.7 Jusqu'où voit-on ? la distance à l'horizon

Un observateur dont les yeux sont à une hauteur $h$ au-dessus du sol ne voit pas indéfiniment loin : la surface se dérobe. Le point où sa visée devient tangente à la sphère est l'horizon, et la distance à laquelle il se trouve se calcule avec le théorème de Pythagore.

La distance à l'horizon. La visée de l'observateur $M$ est

tangente à la sphère au point $H$ ; le rayon $OH$ est perpendiculaire à la tangente, et le triangle $OHM$ est donc rectangle en $H$. Le théorème de Pythagore suffit à tout conclure.</div>

Méthode : Calculer la distance à l'horizon à partir du rayon de la Terre

• Faire la figure et repérer le triangle rectangle : l'angle droit est au point d'horizon, pas chez l'observateur. C'est le seul point délicat, et il vient de ce qu'une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.
• Écrire Pythagore : $d^2+R^2=(R+h{)}^2$.
• Développer : $(R+h{)}^2=R^2+2Rh+h^2$, donc $d^2=2Rh+h^2=h(2R+h)$, soit $$\boxed{d=\sqrt{h(2R+h)}}$$
• Simplifier si $h\ll R$, ce qui est presque toujours le cas : $h$ est négligeable devant $2R=12742$ km, et $$d\approx \sqrt{2Rh}.$$
• Homogénéiser les unités : $R$ en mètres et $h$ en mètres, puis convertir. C'est ici que se produisent presque toutes les erreurs.

Application. Pour $h=1,7$ m et $R=6371000$ m : $$d\approx \sqrt{2\times 6371000\times 1,7}=\sqrt{2,166\times 10^7}\approx 4654\text{ m}\approx 4,7\text{ km.}$$ $\leftrightarrow$ Théorème de Pythagore, calcul algébrique, racines carrées : voir l'annexe « Automatismes ».

Exemple 8.11Pourquoi les phares sont-ils si hauts ?

La portée géographique d'un phare est la somme de la distance à l'horizon du feu et de celle de l'observateur. Un feu à $60$ m au-dessus de la mer a son horizon à $\sqrt{2\times 6371000\times 60}\approx 27,6$ km. Un marin à $10$ m sur sa passerelle a le sien à $11,3$ km. Le feu est donc visible jusqu'à $27,6+11,3\approx 39$ km, soit $21$ milles marins. C'est exactement le genre de nombre qui figure sur les cartes marines — et c'est aussi la raison pour laquelle il ne sert à rien de construire un phare deux fois plus haut : la portée n'augmenterait que de $41\%$.

from math import sqrt

R = 6371000.0            # rayon terrestre, en metres

def horizon(h):
    """Distance a l'horizon, en km, pour un oeil a h metres du sol."""
    return sqrt(h * (2 * R + h)) / 1000

for h in [1.7, 10, 100, 300, 10000, 400000]:
    exact = horizon(h)
    approche = sqrt(2 * R * h) / 1000
    print(h, "m ->", round(exact, 1), "km   (approx :",
          round(approche, 1), "km )")

La formule approchée $\sqrt{2Rh}$ et la formule exacte donnent le même résultat tant que $h$ reste petit devant le rayon terrestre. Pour la Station spatiale internationale, à $400$ km, l'écart atteint $1,5\%$ : c'est le signe que l'approximation a atteint sa limite de validité.

8.8 Histoire des sciences : de la sphère au géoïde

8.8.1 La Terre est-elle un citron ou une mandarine ?

En $1687$, dans les Principes mathématiques de la philosophie naturelle, Newton tire une conséquence inattendue de sa théorie : une planète en rotation ne peut pas être une sphère parfaite. La rotation « chasse » la matière vers l'extérieur, d'autant plus que l'on est loin de l'axe : la Terre doit donc être renflée à l'équateur et aplatie aux pôles. Il en estime l'aplatissement à environ $1/230$.

En France, les mesures de la famille Cassini semblent dire le contraire : le degré de latitude paraît diminuer vers le nord, ce qui indiquerait une Terre allongée aux pôles, en forme de citron ou d'œuf. Deux théories, deux formes, et une querelle qui devient nationale.

L'Académie des sciences tranche comme il faut trancher : en allant mesurer. Deux expéditions partent.

• Au Pérou (aujourd'hui l'Équateur), de $1735$ à $1744$, sous la conduite de Charles Marie de La Condamine, avec Pierre Bouguer et Louis Godin. Neuf ans dans la cordillère des Andes, à mesurer un arc de méridien près de l'équateur, au milieu des maladies, des conflits et d'un procès.
• En Laponie, en $1736$-$1737$, sous la conduite de Pierre Louis Moreau de Maupertuis, avec Alexis Clairaut et Anders Celsius. Un hiver dans la vallée du Tornio, à mesurer un arc de méridien près du cercle polaire.

Le principe est celui d'Ératosthène : comparer la longueur d'un degré de latitude à deux endroits du globe. Si le degré est plus long près des pôles, la Terre y est plus plate. C'est ce que trouve Maupertuis. Newton avait raison. Voltaire salue le retour de l'expédition par une plaisanterie restée célèbre, en félicitant Maupertuis d'avoir aplati « les pôles et les Cassini ».

iRemarqueComment une controverse se termine

Il vaut la peine de regarder comment cette dispute a pris fin. Pas par autorité : Newton était déjà considérable, et cela n'a pas suffi. Pas par consensus : la querelle a duré cinquante ans. Elle s'est terminée par deux expéditions coûteuses et dangereuses, montées exprès pour départager les deux camps, en des lieux choisis pour que la différence prédite soit maximale. C'est le schéma type de la résolution d'une controverse scientifique : on cherche l'observation où les deux théories divergent le plus, et on va la faire.

8.8.2 Trois modèles emboîtés

Trois modèles de la forme de la Terre, du plus simple au plus

fidèle. Aucun n'est « le vrai » : chacun est le bon modèle pour une question donnée. Pour calculer une distance à l'horizon ou refaire Ératosthène, la sphère suffit ; pour une carte ou un GPS, il faut l'ellipsoïde ; pour une altitude ou une mesure du niveau des mers, le géoïde.</div>

Les nombres méritent d'être retenus. Le rayon équatorial vaut $a=6378$ km, le rayon polaire $b=6357$ km : la Terre est renflée de $21$ km à l'équateur, soit un aplatissement de $(a-b)/a\approx 1/300$. C'est peu — sur un globe de $30$ cm de diamètre, cela représente un millimètre, et l'œil ne le voit pas — mais c'est mesurable et cela a des conséquences. L'intensité de la pesanteur passe de $9,780$ m$\cdot$s${}^{-2}$ à l'équateur à $9,832$ m$\cdot$s${}^{-2}$ aux pôles ; la circonférence de l'équateur ($40075$ km) dépasse celle du méridien ($40008$ km) de $67$ km.

iRemarque« Faux » ne veut pas dire « inutile »

La Terre n'est pas une sphère. Faut-il en conclure que le modèle sphérique est faux, et le rejeter ? Non — et c'est un point de méthode central.

Un modèle est un outil, choisi pour une question et une précision. Le modèle sphérique donne la distance à l'horizon à mieux que $0,5\%$ : largement assez pour un marin. Il donne les distances entre villes à quelques kilomètres près : assez pour un manuel, pas assez pour un pilote de ligne. Il ne donne pas l'altitude d'un point à un mètre près : il faut alors le géoïde.

Ceux qui, sur les réseaux sociaux, croient réfuter la science en montrant qu'elle « se contredit » (tantôt sphère, tantôt ellipsoïde) confondent une hiérarchie de modèles avec une contradiction. Savoir dire de quel modèle on parle et à quelle précision est une compétence scientifique de premier ordre.

8.9 Bilan

Ce qu'il faut savoir

• Dès l'Antiquité, des observations de natures différentes — navire à l'horizon, ombre circulaire lors des éclipses de Lune, changement du ciel avec la latitude — ont permis de conclure que la Terre est sphérique, alors que localement elle apparaît plane.
• Deux méthodes géométriques ont permis de mesurer un méridien : celle d'Ératosthène (vers $-240$), fondée sur un écart d'ombre et l'hypothèse de rayons solaires parallèles, et la triangulation plane de Delambre et Méchain ($1792$-$1799$), fondée sur une seule base mesurée et une chaîne d'angles.
• On repère un point de la surface terrestre par sa latitude, sa longitude et son altitude au-dessus d'un niveau de référence.
• Le plus court chemin entre deux points d'une sphère est l'arc du grand cercle qui les relie.

Ce qu'il faut savoir faire

• Donner des preuves de la rotondité de la Terre, de l'Antiquité à nos jours, en précisant pour chacune ce qu'elle exclut.
• Calculer la longueur du méridien par la méthode d'Ératosthène : $C=(360^{\circ }/\alpha )\times d$.
• Expliquer la méthode de triangulation de Delambre et Méchain : une base mesurée, des angles, une chaîne de triangles, des latitudes astronomiques.
• Calculer le rayon de la Terre à partir de la longueur du méridien : $R=C/(2\pi )$.
• Calculer la distance à l'horizon : $d=\sqrt{h(2R+h)}\approx \sqrt{2Rh}$.
• Utiliser un système d'information géographique pour comparer les longueurs de différents chemins reliant deux points du globe.

Quatre nombres à retenir

$40000$ km, la circonférence de la Terre — par définition du mètre. $6371$ km, son rayon moyen. $111$ km, un degré de latitude. $1852$ m, une minute de latitude, c'est-à-dire un mille marin.

Ce que ce chapitre dit de la science elle-même

Il dit d'abord qu'un savoir scientifique peut contredire l'expérience immédiate, et que cela ne le rend pas suspect : la Terre paraît plate, elle est ronde, et c'est le raisonnement, non le regard, qui l'établit.

Il dit ensuite qu'une mesure ne parle jamais seule. Les deux chiffres d'Ératosthène donnent la taille de la Terre ou la hauteur du Soleil selon l'hypothèse qu'on leur adjoint. Demander « quelles sont vos hypothèses ? » n'est pas une chicane : c'est la première question scientifique.

Il dit encore qu'une controverse se règle en allant chercher la mesure qui départage — une expédition en Laponie, une autre au Pérou, neuf ans de cordillère pour un désaccord théorique.

Il dit enfin qu'un modèle n'est ni vrai ni faux, mais adapté ou non. Sphère, ellipsoïde, géoïde : trois réponses à la même question, trois précisions différentes, et le savoir consiste à savoir laquelle choisir. Ce n'est pas de l'imprécision. C'est de la rigueur.

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