La forme de la Terre
Cours · enseignement scientifique (première), chapitre 8 · première, enseignement scientifique · le début du chapitre, la suite sur Adloun
8.1 Introduction : comment savons-nous que la Terre est ronde, et comment
a-t-on pu la mesurer sans en faire le tour ?
Regardez autour de vous. Un champ, une place, la surface d'un lac : tout est plat. Posez une bille, elle ne part pas sur le côté. Tendez un fil, il ne se courbe pas. À l'échelle où nous vivons, la Terre est plate, et nos constructions en tiennent compte sans jamais s'en trouver mal.
Et pourtant elle est ronde. Ce n'est pas une opinion, ni une image d'école : c'est un résultat établi, connu depuis vingt-quatre siècles, confirmé depuis par des dizaines de méthodes indépendantes. Mieux : on connaît son rayon à quelques mètres près, alors que personne ne l'a jamais mesuré directement — on ne peut pas tendre un décamètre du centre de la Terre à sa surface.
Ce chapitre pose donc deux questions, et elles sont de nature différente.
- Comment sait-on ? Quelles observations, quels raisonnements obligent à conclure que la Terre est sphérique, alors que l'expérience immédiate dit le contraire ? C'est une question sur la nature du savoir scientifique : nous verrons qu'un fait bien établi peut contredire ce que chacun voit, et qu'il faut alors des arguments, pas des convictions.
- Comment mesure-t-on ? Deux méthodes ont marqué l'histoire : celle d'Ératosthène, vers avant notre ère, avec une ombre et un puits ; celle de Delambre et Méchain, entre et , avec une chaîne de triangles longue de mille kilomètres. Elles n'utilisent que de la géométrie élémentaire — la vôtre — et un peu d'obstination.
Nous verrons aussi que la réponse « la Terre est une sphère » est, comme souvent en science, une approximation utile. À un autre niveau de précision, la Terre est un ellipsoïde ; à un niveau encore plus fin, un géoïde ; et le choix du modèle dépend de ce que l'on veut faire. Savoir de quel modèle on parle, et avec quelle précision, fait partie du savoir lui-même.
Vous n'y trouverez aucun outil que vous ne connaissiez déjà : proportionnalité, théorème de Pythagore, cercle, triangle, longueur d'un arc. Le programme le signale explicitement par le symbole . Ce qui change, c'est l'usage : ici, ces outils servent à établir un fait sur le monde, et non à résoudre un exercice. C'est très exactement ce que les Grecs appelaient géométrie : la mesure de la Terre.
8.2 Les preuves de la rotondité, de l'Antiquité à nos jours
8.2.1 Un savoir vieux de vingt-quatre siècles
Dès l'Antiquité, des observations de différentes natures ont permis de conclure que la Terre était sphérique, alors même que, localement, elle apparaît plane dans la plupart des expériences quotidiennes.
Le mot important est différentes. Aucune de ces observations, prise seule, n'est décisive ; c'est leur convergence qui l'est. Elles viennent de la navigation, de l'astronomie, du voyage : trois domaines sans rapport entre eux, qui donnent la même conclusion. Un savoir scientifique est rarement le produit d'une seule expérience cruciale ; il est presque toujours le point où plusieurs chemins se rejoignent.
Vers , Aristote consacre au sujet un passage de son traité Du ciel. Il y rassemble des arguments qui circulaient déjà et conclut sans hésiter à la sphéricité. Il rapporte même une estimation de la circonférence terrestre, attribuée à des « mathématiciens » : stades. Un siècle plus tard, Ératosthène en donnera — et l'on verra que c'est lui qui a raison.
8.2.2 Première observation : le navire qui disparaît par la coque
Un navire qui s'éloigne ne devient pas simplement de plus en plus petit, comme le ferait un objet sur une plaine infinie. Il s'enfonce : la coque disparaît d'abord, puis le pont, et l'on voit encore le sommet du mât quand tout le reste a déjà sombré sous l'horizon. À l'arrivée d'un bateau, l'ordre est inverse : le mât émerge le premier.
Sur une Terre plate, un objet qui s'éloigne diminue de taille, mais reste entier jusqu'à ce que l'œil ne le distingue plus. Ici, il est coupé, et toujours par le bas.
est la visée rasante de l'observateur : au-delà du point où elle touche la mer — l'horizon — le renflement de l'eau masque tout ce qui est plus bas. La courbure est ici très fortement exagérée : dans la réalité, un observateur dont les yeux
sont à m au-dessus de l'eau a son horizon à km seulement.8.2.3 Deuxième observation : l'ombre de la Terre sur la Lune
Lors d'une éclipse de Lune, la Terre passe entre le Soleil et la Lune, et son ombre se projette sur le disque lunaire. Le bord de cette ombre est un arc de cercle. Toujours. Que l'éclipse ait lieu en hiver ou en été, que la Lune soit haute ou basse, que l'ombre l'attaque par la gauche ou par la droite : le bord est circulaire.
L'argument, que l'on trouve déjà chez Aristote, est d'une grande force logique. Un disque plat projette bien une ombre circulaire — mais seulement s'il est vu de face ; vu de biais, son ombre est un ovale de plus en plus aplati, et vu par la tranche, un simple trait. Le seul solide dont l'ombre est un disque quelle que soit la direction d'éclairage est la sphère. Comme les éclipses de Lune se produisent à toutes les saisons, donc avec des orientations variées, la Terre est une sphère.
derrière elle un cône d'ombre dans lequel la Lune s'engage. Le bord de l'ombre observée depuis la Terre est toujours circulaire, quelle que soit la saison : seul
un corps sphérique donne une ombre circulaire dans toutes les directions.8.2.4 Troisième observation : le ciel change quand on voyage
Quand on voyage vers le nord, l'étoile Polaire monte dans le ciel. Quand on descend vers le sud, elle descend, et l'on voit apparaître des constellations inconnues chez soi. Aristote signale déjà que certaines étoiles visibles en Égypte et à Chypre ne le sont plus si l'on remonte vers le nord ; il en tire deux conclusions, et toutes deux sont exactes : la Terre est ronde, et elle n'est pas très grande.
Il y a mieux qu'une impression. La hauteur de la Polaire au-dessus de l'horizon, mesurée en degrés, est égale à la latitude du lieu. À Marseille ( N) elle est à au-dessus de l'horizon ; à Dunkerque ( N), à . Nous démontrerons cette égalité plus loin, quand nous aurons défini la latitude : c'est une conséquence directe de la sphéricité. Sur une Terre plate, toutes les étoiles seraient vues sous le même angle en tout point.
8.2.5 Et depuis, deux mille ans de confirmations
Méthode : Donner des preuves de la rotondité de la Terre, de l'Antiquité à nos jours
On attend des arguments de natures différentes, chacun accompagné de ce qu'il exclut. Voici sept arguments classés chronologiquement ; trois ou quatre, correctement justifiés, suffisent.
- Le navire à l'horizon (Antiquité). Il disparaît par la coque, jamais par le mât. Exclut : la plaine infinie.
- L'ombre pendant une éclipse de Lune (Aristote, ). Son bord est circulaire à toutes les saisons. Exclut : le disque plat, le cylindre.
- Le changement du ciel avec la latitude (Aristote). La hauteur de la Polaire suit la latitude ; des étoiles nouvelles apparaissent au sud. Exclut : la Terre plate sous une voûte fixe.
- L'ombre du gnomon varie avec le lieu (Ératosthène, ). Au même instant, deux villes n'ont pas la même ombre — et l'écart est proportionnel à la distance. Exclut : la Terre plate sous un Soleil proche (voir plus loin).
- Le tour du monde (-). L'expédition partie sous le commandement de Magellan, ramenée par Elcano, revient à son point de départ en ayant toujours navigué vers l'ouest. Exclut : toute surface bordée.
- Le décalage horaire. Il est midi à Paris quand il est h à New York. Le Soleil n'éclaire à chaque instant qu'une moitié du globe.
- Les photographies depuis l'espace (à partir des années ; la première photographie de la Terre entière prise par un équipage l'est par Apollo , le décembre ). Et, tous les jours, les millions de positions calculées par les satellites de navigation, qui seraient toutes fausses si la Terre n'était pas ronde.
Le réflexe à avoir : pour chaque argument, se demander quelle autre forme il élimine. Un argument qui n'élimine rien n'est pas une preuve.
On raconte souvent que les savants du Moyen Âge croyaient la Terre plate et que Christophe Colomb aurait dû les convaincre du contraire. C'est faux, et les historiens l'ont établi : la sphéricité n'a jamais été mise en doute par les lettrés médiévaux, qui lisaient Aristote et Ptolémée. Le Traité de la sphère de Sacrobosco, manuel universitaire du XIIIe siècle, l'enseigne comme une évidence. La controverse avec Colomb portait sur tout autre chose : sur la taille de la Terre. Colomb la croyait bien plus petite qu'elle n'est, et c'est lui qui se trompait — s'il n'avait pas rencontré un continent qu'il n'attendait pas, son équipage serait mort de soif. La légende d'un Moyen Âge platiste est une invention du XIXe siècle. Elle mérite d'être connue : les récits sur l'histoire des sciences sont eux-mêmes à vérifier.
8.3 Ératosthène : mesurer la Terre avec une ombre
8.3.1 Un homme, un puits, un bâton
Ératosthène de Cyrène (vers , vers ) dirige la bibliothèque d'Alexandrie. C'est un savant complet : géographe, mathématicien, poète, astronome. Vers , il réalise ce qui reste l'une des plus belles mesures de l'histoire des sciences — et il n'a besoin, pour cela, de rien d'autre que d'un bâton planté dans le sol, d'un renseignement de voyageur et d'une hypothèse.
Le récit nous est parvenu par Cléomède, un auteur plus tardif. Il tient en trois faits.
- À Syène (aujourd'hui Assouan, en Haute-Égypte), le jour du solstice d'été et à midi, le Soleil est exactement au zénith : un bâton vertical ne porte aucune ombre, et la lumière descend jusqu'au fond d'un puits.
- À Alexandrie, au même moment, un bâton vertical porte une ombre. Ératosthène mesure l'angle entre le bâton et les rayons du Soleil : il trouve un cinquantième de tour, soit .
- La distance entre les deux villes est estimée à stades.
Et une hypothèse, qui est le vrai cœur du raisonnement : le Soleil est si loin que ses rayons arrivent parallèles sur toute la Terre.
8.3.2 Le raisonnement
Si les rayons sont parallèles, alors l'angle mesuré à Alexandrie entre le gnomon (le bâton) et le rayon solaire est aussi l'angle, vu du centre de la Terre, entre les deux villes. C'est le théorème des angles alternes-internes appliqué à deux droites parallèles coupées par une sécante — la sécante étant, ici, le rayon terrestre prolongé.
Autrement dit : l'arc Alexandrie–Syène représente la même fraction du tour de la Terre que représente de . Une simple proportionnalité achève le travail.
distance à Syène — conduisent à deux résultats totalement différents selon l'hypothèse que l'on fait. À gauche, Terre sphérique et Soleil infiniment loin : on obtient la circonférence de la Terre. À droite, Terre plate et Soleil proche : on obtient la hauteur du Soleil. L'angle, en réalité, est ici
fortement exagéré pour la lisibilité.Méthode : Calculer la longueur du méridien terrestre par la méthode d'Ératosthène
Deux villes et sont sur le même méridien, distantes de . Au même instant, la direction du Soleil fait avec la verticale un angle en et en .
- Former l'écart angulaire . Dans le cas d'Ératosthène, (Soleil au zénith à Syène) et .
- Invoquer le parallélisme des rayons pour affirmer que est aussi l'angle au centre de la Terre entre et . C'est l'étape physique du raisonnement : ne jamais l'omettre.
- Appliquer la proportionnalité entre angles au centre et longueurs d'arc :
- Contrôler l'ordre de grandeur : la circonférence doit tomber autour de km. Un facteur d'écart signale une erreur d'unité ou une confusion degré/radian.
Application. et stades donnent Proportionnalité et grandeurs quotients : voir la partie mathématique du livre, chapitre « Analyse de l'information chiffrée » et annexe « Automatismes ».
8.3.3 Du méridien au rayon
Un méridien est un demi-grand cercle joignant les deux pôles. Le méridien terrestre, au sens du programme, désigne le grand cercle complet passant par les pôles : sa longueur est la circonférence de la Terre mesurée « en passant par les pôles ». Le rayon s'en déduit par la formule de la circonférence d'un cercle :
Méthode : Calculer le rayon de la Terre à partir de la longueur du méridien
- Vérifier l'unité : en kilomètres donne en kilomètres.
- Diviser par , et non par : l'erreur d'un facteur est de loin la plus fréquente.
- Contrôler : doit valoir environ km, soit à peu près un sixième de km. Un rayon de km serait un diamètre ; un rayon de km, une division en trop.
Application (valeur moderne). Le méridien mesure km, d'où La valeur conventionnelle du rayon moyen terrestre est km : c'est elle que nous utiliserons dans tout le chapitre.