Calcul matriciel et systèmes linéaires

Cours · mathématiques (2 Bac Sciences Mathématiques, Maroc), chapitre 12 · Maroc, 2 Bac Sciences Mathématiques A et B · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le calcul matriciel fournit un outil de calcul puissant, mais en filière Sciences Mathématiques son intérêt principal est structurel : les ensembles de matrices carrées $M_{n} (R)$ sont des terrains d'exercice idéaux pour les notions de groupe, d'anneau, de corps et d'espace vectoriel. Dans les épreuves du baccalauréat SM, les exercices portent sur les matrices carrées d'ordre 2 ou d'ordre 3 (par exemple, des matrices $2 \times 2$ en 2022 et 2023, mais des matrices $3 \times 3$ de $M_{3} (R)$ à la session de rattrapage 2020). Ce chapitre couvre donc les deux ordres, et insiste sur la méthode-clé : montrer qu'un ensemble de matrices possède une structure algébrique donnée.

12.1 Qu'est-ce qu'une matrice ?

Définition 12.1Matrice

m \times n

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls. Une matrice de type $m \times n$ à coefficients réels est un tableau de $m$ lignes et $n$ colonnes :

$A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} = (a_{ij}) .$

Le réel $a_{ij}$ (ligne $i$ , colonne $j$ ) est le coefficient d'indices $i, j$ . On note $M_{m, n} (R)$ l'ensemble de ces matrices.

Une matrice ligne est de type $1 \times n$ , une matrice colonne de type $m \times 1$ .
Si $m = n$ , la matrice est carrée d'ordre $n$ : on note $M_{n} (R)$ . La matrice identité d'ordre $n$ est $I_{n}$ (des $1$ sur la diagonale principale, des $0$ ailleurs).
Les opérations (somme, produit par un réel, produit, transposée) et les structures algébriques se définissent pour tout ordre $n$ .

Exemple 12.2Identités d'ordre 2 et 3

$I_{2} = (1001), I_{3} = 100010001 .$

Définition 12.3Égalité de deux matrices

Deux matrices de même type sont égales si et seulement si elles ont les mêmes coefficients, terme à terme :

$(a_{ij}) = (b_{ij}) ⟺ a_{ij} = b_{ij} pour tous i, j .$

Définition 12.4Matrices nulle, identité, diagonale

La matrice nulle d'ordre $n$ , notée $O$ (ou $O_{n}$ ), n'a que des coefficients nuls.
La matrice identité $I_{n}$ a des $1$ sur la diagonale principale et des $0$ ailleurs.
Une matrice carrée est diagonale si tous ses coefficients hors de la diagonale principale sont nuls, et scalaire si elle s'écrit $λ I_{n}$ .

12.2 Opérations sur les matrices

12.2.1 Somme et multiplication par un réel

Définition 12.5Somme et produit par un scalaire

Soient $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ deux matrices de même type $m \times n$ , et $λ \in R$ . On définit, coefficient par coefficient :

$A + B = (a_{ij} + b_{ij}), λ \cdot A = (λ a_{ij}) .$

Propriété : Règles de calcul pour $+$

Pour toutes matrices $A, B, C$ de même type et tous réels $λ, μ$ :

$A + B = B + A$ (commutativité) et $(A + B) + C = A + (B + C)$ (associativité) ;
$A + O = A$ (la matrice nulle $O$ est le neutre) ;
$A + (- A) = O$ où $- A = (- 1) \cdot A$ (existence de l'opposé) ;
$λ \cdot (A + B) = λ \cdot A + λ \cdot B$ et $(λ + μ) \cdot A = λ \cdot A + μ \cdot A$ .

Exemple 12.6En ordre 2 et en ordre 3

$(1324) + (05 - 1 2) = (1816), 2 120013 - 1 01 = 240026 - 2 02 .$

12.2.2 Produit matriciel

Définition 12.7Produit de deux matrices

Soient $A = (a_{ij})$ de type $m \times p$ et $B = (b_{j k})$ de type $p \times n$ . Le produit $A \times B$ est la matrice $C = (c_{ik})$ de type $m \times n$ définie par la règle « lignes par colonnes » :

$c_{ik} = j = 1 \sum p a_{ij} b_{j k} = a_{i 1} b_{1 k} + a_{i 2} b_{2 k} + \dots + a_{i p} b_{p k} .$

Le produit n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ . Pour des matrices carrées de même ordre $n$ , le produit est toujours défini et reste dans $M_{n} (R)$ .

Exemple 12.8Produit en ordre 2

Avec $A = (1324)$ et $B = (0110)$ :

$A \times B = (2413), B \times A = (3142) .$

On constate que $A \times B \neq = B \times A$ : le produit matriciel n'est pas commutatif.

Exemple 12.9Produit en ordre 3

Avec $A = 101011200$ et $B = 101110011$ :

$A \times B = 301112211 .$

On calcule par exemple le coefficient de la 1ère ligne et 1ère colonne : $1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 3$ .

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