Nombres complexes : forme exponentielle

Cours · mathématiques (2 Bac Sciences Mathématiques, Maroc), chapitre 11 · Maroc, 2 Bac Sciences Mathématiques A et B · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Au-delà des bases (forme algébrique, conjugué, module), le programme de 2 Bac Sciences Mathématiques exploite pleinement la forme exponentielle des nombres complexes. Celle-ci transforme les produits en sommes d'arguments, donne la formule de Moivre et les formules d'Euler, permet de calculer les racines $n$ -ièmes d'un nombre complexe et fournit un outil géométrique d'une grande puissance pour décrire rotations, homothéties et similitudes du plan. Ce chapitre suppose connues la forme algébrique $z = x + i y$ , le conjugué $z ˉ$ et le module $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ .

11.1 Argument et forme trigonométrique

Définition 11.1Argument d'un nombre complexe non nul

Soit $z$ un nombre complexe non nul de module $r = ∣ z ∣$ . On appelle argument de $z$ tout réel $θ$ tel que :

$cos θ = \frac{Re ( z )}{r} et sin θ = \frac{Im ( z )}{r} .$

L'argument est défini modulo $2 π$ ; on le note $ar g (z)$ et on écrit $ar g (z) \equiv θ [2 π]$ .

Propriété : Forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul $z$ de module $r$ et d'argument $θ$ s'écrit de manière unique (à $2 π$ près sur $θ$ ) :

$z = r (cos θ + i sin θ) .$

Réciproquement, si $z = ρ (cos α + i sin α)$ avec $ρ > 0$ , alors $ρ = ∣ z ∣$ et $α$ est un argument de $z$ .

Exemple 11.2Forme trigonométrique de

z = 1 + i 3

On a $∣ z ∣ = 1 + 3 = 2$ . Donc $cos θ = \frac{1}{2}$ et $sin θ = \frac{3}{2}$ , d'où $θ \equiv \frac{π}{3} [2 π]$ . Ainsi :

$z = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) .$

11.2 La forme exponentielle

Définition 11.3Notation exponentielle

Pour tout réel $θ$ , on pose :

$e^{i θ} = cos θ + i sin θ .$

Par conséquent, tout nombre complexe non nul de module $r$ et d'argument $θ$ s'écrit sous forme exponentielle :

$z = r e^{i θ} .$

Propriété : Propriétés fondamentales

Pour tous réels $θ$ et $θ^{'}$ :

$∣ e^{i θ} ∣ = 1$ et $e^{i θ} = e^{- i θ}$ ;
$e^{i θ} \times e^{i θ^{'}} = e^{i (θ + θ^{'})}$ ;
$\frac{1}{e ^{i θ}} = e^{- i θ}$ et $\frac{e ^{i θ}}{e ^{i θ^{'}}} = e^{i (θ - θ^{'})}$ ;
$e^{i θ} = 1 ⟺ θ \equiv 0 [2 π]$ .

Propriété : Module et argument d'un produit et d'un quotient

Soient $z = r e^{i θ}$ et $z^{'} = r^{'} e^{i θ^{'}}$ deux nombres complexes non nuls. Alors :

$z z^{'} = r r^{'} e^{i (θ + θ^{'})}, \frac{z}{z ^{'}} = \frac{r}{r ^{'}} e^{i (θ - θ^{'})} .$

En particulier :

$∣ z z^{'} ∣ = ∣ z ∣ ∣ z^{'} ∣$ et $ar g (z z^{'}) \equiv ar g (z) + ar g (z^{'}) [2 π]$ ;
$\frac{z}{z ^{'}} = \frac{∣ z ∣}{∣ z ^{'} ∣}$ et $ar g (\frac{z}{z ^{'}}) \equiv ar g (z) - ar g (z^{'}) [2 π]$ ;
pour tout $n \in Z$ , $z^{n} = r^{n} e^{i n θ}$ , donc $ar g (z^{n}) \equiv n ar g (z) [2 π]$ .

Exemple 11.4Calcul d'une puissance

Avec $z = 1 + i = 2 e^{i π /4}$ , on obtient :

$z^{8} = (2)^{8} e^{i \cdot 8 \cdot π /4} = 16 e^{2 i π} = 16.$

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