Structures algébriques : groupes, anneaux, corps

Soit $E$ un ensemble non vide. On appelle loi de composition interne (l.c.i.) sur $E$ toute application

$$\ast :E\times E⟶E,(x,y)⟼x\ast y.$$

Le mot interne signifie que le résultat $x\ast y$ reste dans $E$ : l'ensemble $E$ est dit stable pour $\ast$.

Soit $\ast$ une l.c.i. sur $E$.

• $\ast$ est associative si pour tous $x,y,z\in E$ : $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$.
• $\ast$ est commutative si pour tous $x,y\in E$ : $x\ast y=y\ast x$.

Un élément $e\in E$ est un élément neutre pour la loi $\ast$ si, pour tout $x\in E$ :

$$x\ast e=e\ast x=x.$$

On suppose que $\ast$ possède un neutre $e$. Un élément $x\in E$ admet un symétrique $x^{\prime }\in E$ si :

$$x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e.$$

Pour l'addition on parle d'opposé (noté $-x$), pour la multiplication d'inverse (noté $x^{-1}$).