Arithmétique dans Z

Cours · mathématiques (2 Bac Sciences Mathématiques, Maroc), chapitre 9 · Maroc, 2 Bac Sciences Mathématiques A et B · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'arithmétique est l'étude des nombres entiers et de leurs propriétés. Ce chapitre se place dans l'anneau $Z$ des entiers relatifs et développe les outils fondamentaux : la divisibilité, la division euclidienne, les congruences, le PGCD, le PPCM et les nombres premiers. Ces notions, anciennes mais toujours vivantes, sont au cœur de la théorie des nombres et de nombreuses applications modernes comme la cryptographie.

9.1 Divisibilité dans $Z$

Définition 9.1Divisibilité

Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. On dit que $b$ divise $a$ , et on note $b ∣ a$ , s'il existe un entier $k \in Z$ tel que $a = b \times k$ . On dit alors que $b$ est un diviseur de $a$ , ou que $a$ est un multiple de $b$ .

Exemple 9.2Exemples de divisibilité

$3 ∣ 12$ car $12 = 3 \times 4$ . De même $- 5 ∣ 20$ car $20 = (- 5) \times (- 4)$ . Enfin, tout entier divise $0$ car $0 = b \times 0$ .

Propriété : Propriétés de la divisibilité

Pour tous entiers relatifs $a$ , $b$ , $c$ :

Réflexivité : $a ∣ a$ .
Transitivité : si $a ∣ b$ et $b ∣ c$ , alors $a ∣ c$ .
Si $a ∣ b$ et $b ∣ a$ , alors $a = b$ ou $a = - b$ (c'est-à-dire $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ ).
Si $a ∣ b$ et $a ∣ c$ , alors pour tous entiers $u$ et $v$ : $a ∣ (u b + v c)$ .
Si $a ∣ b$ et $b \neq = 0$ , alors $∣ a ∣ \leq ∣ b ∣$ .

Méthode : Combinaison linéaire

Pour montrer qu'un entier $d$ divise une expression, on cherche à l'écrire comme combinaison des termes que $d$ divise déjà. Par exemple, si $d ∣ a$ et $d ∣ b$ , alors $d ∣ (3 a - 2 b)$ car $3 a - 2 b = d (3 k - 2 k^{'})$ en posant $a = d k$ et $b = d k^{'}$ .

9.2 Division euclidienne

◆Théorème 9.3Division euclidienne

Soient $a \in Z$ et $b \in Z^{*}$ . Il existe un unique couple d'entiers $(q, r)$ tel que :

$a = b q + r avec 0 \leq r < ∣ b ∣$

L'entier $q$ est appelé le quotient et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ .

Exemple 9.4Division euclidienne de 47 par 5 et de

- 47

par 5

La division euclidienne de $47$ par $5$ donne $47 = 5 \times 9 + 2$ , donc $q = 9$ et $r = 2$ . Pour un dividende négatif, la division de $- 47$ par $5$ donne $- 47 = 5 \times (- 10) + 3$ , donc $q = - 10$ et $r = 3$ : le reste reste toujours positif.

Propriété : Caractérisation de la divisibilité

Avec les notations précédentes, $b ∣ a$ si et seulement si le reste $r$ de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul.

9.3 Congruences modulo $n$

Définition 9.5Congruence

Soit $n$ un entier naturel non nul. On dit que deux entiers $a$ et $b$ sont congrus modulo $n$ , et on note $a \equiv b (mod n)$ , lorsque $n ∣ (a - b)$ .

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