Dérivation et convexité

Cours · mathématiques (2 Bac Sciences Mathématiques, Maroc), chapitre 2 · Maroc, 2 Bac Sciences Mathématiques A et B · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Ce chapitre approfondit l'étude locale et globale des fonctions d'une variable réelle. Nous allons compléter l'étude de la dérivation (fonction composée, réciproque), introduire les théorèmes fondamentaux de l'analyse réelle (Rolle, Accroissements Finis) et détailler la caractérisation géométrique des courbes (branches infinies, concavité).

2.1 Compléments sur la Dérivation

2.1.1 Dérivée d'une fonction composée

◆Théorème 2.1Dérivée de

v \circ u

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ à valeurs dans un intervalle $J$ , et $v$ une fonction dérivable sur $J$ . La fonction composée $f = v \circ u$ définie sur $I$ par $f (x) = v (u (x))$ est dérivable sur $I$ , et pour tout $x \in I$ :

$f^{'} (x) = v^{'} (u (x)) \times u^{'} (x)$

De ce théorème général découlent plusieurs formules clés à connaître sur le bout des doigts :

Propriété : Cas particuliers usuels

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Puissance : La fonction $u^{n}$ ( $n \in N^{*}$ ) est dérivable sur $I$ et de dérivée :

$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$

Racine : Si pour tout $x \in I$ , $u (x) > 0$ , la fonction $u$ est dérivable sur $I$ et de dérivée :

$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$

Exponentielle : La fonction $e^{u}$ est dérivable sur $I$ et de dérivée :

$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$

2.1.2 Dérivée seconde

Définition 2.2Dérivées successives

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Si la fonction dérivée $f^{'}$ est elle-même dérivable sur $I$ , sa dérivée, notée $f^{''}$ , est appelée la dérivée seconde de $f$ .

2.1.3 Dérivabilité de la fonction réciproque

◆Théorème 2.3Dérivabilité de

f^{- 1}

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ . Soit $J = f (I)$ l'intervalle image. Si $f$ est dérivable en un point $x_{0} \in I$ et si $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ , alors sa fonction réciproque $f^{- 1}$ est dérivable en $y_{0} = f (x_{0}) \in J$ , et :

$(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y _{0} ))}$

Si $f$ est dérivable sur $I$ et si sa dérivée $f^{'}$ ne s'annule pas sur $I$ , alors $f^{- 1}$ est dérivable sur $J$ , et pour tout $y \in J$ :

$(f^{- 1})^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y ))}$

Propriété : Dérivées de la racine $n$ -ième et de l'arctangente

La fonction racine $n$ -ième ( $x \mapsto n x$ ) est dérivable sur $] 0, + \infty [$ et :

$(n x)^{'} = \frac{1}{n n x ^{n - 1}} = \frac{1}{n} x^{\frac{1}{n} - 1}$

Note : elle n'est pas dérivable à droite en 0, sa courbe admet une demi-tangente verticale à l'origine.

La fonction Arctangente ( $x \mapsto arctan (x)$ ) est dérivable sur $R$ et :

$(arctan (x))^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$

2.2 Théorèmes Fondamentaux (Rolle et Accroissements Finis)

Ces deux théorèmes fournissent des liens puissants entre le comportement d'une fonction et les valeurs de sa dérivée.

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