Raisonnement par récurrence et suites numériques

Cours · mathématiques (2 Bac Sciences Mathématiques, Maroc), chapitre 3 · Maroc, 2 Bac Sciences Mathématiques A et B · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Ce premier chapitre pose les bases de l'analyse en Terminale. Nous allons étudier un nouveau type de raisonnement, le raisonnement par récurrence, puis nous l'appliquerons à l'étude des limites de suites et de leur convergence.

3.1 Le Raisonnement par Récurrence

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété $P (n)$ , dépendant d'un entier naturel $n$ , est vraie pour tout entier $n \geq n_{0}$ .

Définition 3.1Principe de récurrence

Soit $n_{0} \in N$ et $P (n)$ une propriété définie pour tout entier $n \geq n_{0}$ . Si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

Initialisation : La propriété est vraie au rang initial $n_{0}$ , c'est-à-dire que $P (n_{0})$ est vraie.
Hérédité : Pour tout entier $k \geq n_{0}$ , si la propriété est vraie à un rang $k$ (hypothèse de récurrence), alors elle est vraie au rang suivant $k + 1$ .

Alors, la propriété $P (n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_{0}$ .

Méthode : Rédiger une récurrence

Pour rédiger une démonstration par récurrence, on suit rigoureusement trois étapes :

Initialisation : On montre que la propriété est vraie pour le premier rang $n = n_{0}$ .
Hérédité : On pose l'hypothèse de récurrence : « Supposons que pour un entier $k \geq n_{0}$ , la propriété $P (k)$ soit vraie. » On cherche ensuite à prouver sous cette hypothèse que la propriété $P (k + 1)$ est vraie.
Conclusion : On conclut : « La propriété est initialisée et héréditaire, donc par récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ . »

Exemple 3.2Somme des premiers entiers

Montrons par récurrence que pour tout $n \geq 1$ :

$S_{n} = i = 1 \sum n i = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

Initialisation : Pour $n = 1$ , $S_{1} = 1$ et $\frac{1 ( 1 + 1 )}{2} = 1$ . L'initialisation est vérifiée.

Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un entier $k \geq 1$ : $S_{k} = \frac{k ( k + 1 )}{2}$ . Montrons qu'elle est vraie pour $k + 1$ :

$S_{k + 1} = S_{k} + (k + 1) = \frac{k ( k + 1 )}{2} + (k + 1) = (k + 1) (\frac{k}{2} + 1) = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}$

L'hérédité est prouvée.

Conclusion : Pour tout $n \geq 1$ , $\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

3.2 Limites de Suites

3.2.1 Limite infinie

Définition 3.3Limite

+ \infty

- \infty

On dit qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $+ \infty$ si tout intervalle de la forme $] A, + \infty [$ (où $A \in R$ ) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors :

$n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$

De même, on dit qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $- \infty$ si tout intervalle de la forme $] - \infty, B [$ (où $B \in R$ ) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

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