Probabilités

Cours · mathématiques (2 Bac Sciences Physiques, Maroc), chapitre 11 · Maroc, 2 Bac Sciences Physiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Ce chapitre aborde l'étude des probabilités sous l'angle du conditionnement, de la répétition d'épreuves indépendantes (la loi binomiale) et des théorèmes limites fondamentaux (inégalités de concentration et loi des grands nombres).

11.1 Conditionnement et Indépendance

11.1.1 Probabilité conditionnelle

Définition 11.1Probabilité conditionnelle

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $Ω$ , avec $P (A) \neq = 0$ . La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ , notée $P_{A} (B)$ (ou $P (B ∣ A)$ ), est définie par :

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$

On en déduit la relation de probabilité de l'intersection : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ .

11.1.2 Arbre pondéré et probabilités totales

Pour modéliser une expérience à étapes, on utilise un arbre pondéré : à chaque nœud partent des branches étiquetées par des probabilités conditionnelles, et chaque chemin de la racine à une feuille correspond à une intersection d'événements.

Règles de calcul dans un arbre pondéré :

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1 (par exemple $P (A) + P (A ˉ) = 1$ et $P_{A} (B) + P_{A} (B ˉ) = 1$ ).
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent (par exemple $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ ).

◆Théorème 11.2Formule des probabilités totales

Soit $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ une partition de l'univers $Ω$ (événements disjoints deux à deux et dont la réunion est $Ω$ ). Pour tout événement $B$ , on a :

$P (B) = P (A_{1} \cap B) + P (A_{2} \cap B) + \dots + P (A_{n} \cap B)$

C'est-à-dire, si les probabilités conditionnelles sont définies :

$P (B) = i = 1 \sum n P (A_{i}) \times P_{A_{i}} (B)$

11.1.3 Indépendance

Définition 11.3Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

$P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$

Si $P (A) \neq = 0$ , cela équivaut à $P_{A} (B) = P (B)$ .

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