Dénombrement

Cours · mathématiques (2 Bac Sciences Physiques, Maroc), chapitre 10 · Maroc, 2 Bac Sciences Physiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Ce chapitre traite du dénombrement, c'est-à-dire de l'art de compter le nombre d'éléments d'un ensemble fini sans pour autant les énumérer tous. Les outils développés ici (permutations, arrangements, combinaisons) sont fondamentaux pour le calcul des probabilités.

10.1 Principes Fondamentaux du Dénombrement

Soit $E$ un ensemble fini. On note $Card (E)$ (ou $# E$ ) le cardinal de $E$ , c'est-à-dire le nombre d'éléments de $E$ .

10.1.1 Principe additif

Le principe additif concerne la réunion d'ensembles disjoints.

◆Théorème 10.1Principe additif

Si $A$ et $B$ sont deux sous-ensembles d'un ensemble $E$ , disjoints ( $A \cap B = \emptyset$ ), alors :

$Card (A \cup B) = Card (A) + Card (B)$

De façon générale, si $A$ et $B$ sont quelconques :

$Card (A \cup B) = Card (A) + Card (B) - Card (A \cap B)$

10.1.2 Principe multiplicatif

Le principe multiplicatif s'applique lorsqu'on réalise une succession de choix indépendants.

◆Théorème 10.2Principe multiplicatif

Soit un ensemble de choix successifs où le premier choix offre $n_{1}$ possibilités, le deuxième $n_{2}$ possibilités, ..., et le $k$ -ième choix offre $n_{k}$ possibilités. Le nombre total de configurations possibles est :

$N = n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}$

Définition 10.3

p

-uplet ou liste

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Un $p$ -uplet (ou liste de longueur $p$ ) d'éléments de $E$ est une suite ordonnée de $p$ éléments de $E$ . Le nombre de $p$ -uplets d'un ensemble à $n$ éléments est :

$n^{p}$

10.2 Arrangements et Permutations

10.2.1 Arrangements

Un arrangement est un choix ordonné d'éléments distincts.

Définition 10.4Arrangement

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Un arrangement de $p$ éléments de $E$ ( $0 \leq p \leq n$ ) est un $p$ -uplet d'éléments distincts de $E$ . Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est noté $A_{n}^{p}$ et vaut :

$A_{n}^{p} = n \times (n - 1) \times \dots \times (n - p + 1) = \frac{n !}{( n - p )!}$

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