Géométrie dans l'espace

Soit $D$ la droite passant par le point $A(x_0,y_0,z_0)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(a,b,c)$. Un point $M(x,y,z)$ appartient à $D$ si et seulement s'il existe un réel $t$ (le paramètre) tel que $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}$. Le système d'équations suivant est appelé représentation paramétrique de la droite $D$ :

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

Trois vecteurs sont dits coplanaires si leurs représentants ayant une même origine ont leurs extrémités dans un même plan.

Un plan $\mathcal{P}$ est déterminé par un point $A$ et deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non colinéaires (appelés vecteurs directeurs du plan). Un point $M$ appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement s'il existe deux réels $t$ et $s$ tels que :

$$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}+s\overrightarrow{v}$$

Soient $\overrightarrow{u}(x,y,z)$ et $\overrightarrow{v}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ deux vecteurs de l'espace. Le produit scalaire $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ est le nombre réel défini par :

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$$

La norme du vecteur $\overrightarrow{u}$ est $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, et la distance entre $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$ est :

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$$

Une droite $D$ est orthogonale à un plan $\mathcal{P}$ si elle est orthogonale à deux droites sécantes de $\mathcal{P}$. Elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan $\mathcal{P}$.

On dit qu'un vecteur non nul $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ si la droite dirigée par $\overrightarrow{n}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est alors orthogonal à tout vecteur directeur du plan $\mathcal{P}$.