Nombres complexes

Cours · mathématiques (2 Bac Sciences Physiques, Maroc), chapitre 8 · Maroc, 2 Bac Sciences Physiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'introduction de l'ensemble des nombres complexes répond au besoin de résoudre des équations algébriques insolubles dans $R$ , comme $x^{2} + 1 = 0$ . Cet ensemble offre un cadre puissant pour l'analyse mathématique, la trigonométrie et la géométrie plane.

8.1 L'Ensemble $C$ et Forme Algébrique

8.1.1 Définition et écriture algébrique

◆Théorème 8.1Existence de l'ensemble

C

Il existe un ensemble de nombres, noté $C$ , appelé l'ensemble des nombres complexes, tel que :

L'ensemble $R$ est inclus dans $C$ .
Les opérations d'addition et de multiplication de $R$ se prolongent à $C$ et conservent leurs propriétés usuelles (commutativité, associativité, distributivité).
Il existe dans $C$ un nombre noté $i$ tel que :

$i^{2} = - 1$

Tout élément $z \in C$ s'écrit de manière unique sous la forme :

$z = x + i y (avec x \in R et y \in R)$

Cette écriture est appelée la forme algébrique du nombre complexe $z$ .

Définition 8.2Vocabulaire

Soit $z = x + i y$ la forme algébrique d'un nombre complexe.

Le réel $x$ est appelé la partie réelle de $z$ , notée $Re (z)$ .
Le réel $y$ est appelé la partie imaginaire de $z$ , notée $Im (z)$ .
Si $y = 0$ , $z$ est un nombre réel.
Si $x = 0$ et $y \neq = 0$ , $z$ est appelé un imaginaire pur. L'ensemble des imaginaires purs est noté $i R$ .

Propriété : Égalité de deux nombres complexes

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales :

$x + i y = x^{'} + i y^{'} ⟺ x = x^{'} et y = y^{'}$

En particulier :

$z = 0 ⟺ Re (z) = 0 et Im (z) = 0$

8.1.2 Opérations sous forme algébrique

Pour effectuer les calculs dans $C$ , on applique les mêmes règles de développement et de factorisation que dans $R$ , en remplaçant chaque occurrence de $i^{2}$ par $- 1$ .

Addition : $(x + i y) + (x^{'} + i y^{'}) = (x + x^{'}) + i (y + y^{'})$ .
Multiplication : $(x + i y) (x^{'} + i y^{'}) = (x x^{'} - y y^{'}) + i (x y^{'} + y x^{'})$ .

8.1.3 Conjugué d'un nombre complexe

Définition 8.3Conjugué

Soit $z = x + i y$ un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique. On appelle conjugué de $z$ , noté $z ˉ$ , le nombre complexe défini par :

$z ˉ = x - i y$

Propriété : Propriétés du conjugué

Soient $z$ et $z^{'}$ deux nombres complexes, et $n \in Z$ .

$(z ˉ) = z$ .
$z + z^{'} = z ˉ + z^{'}$ .
$z \times z^{'} = z ˉ \times z^{'}$ .
$(\frac{z}{z ^{'}}) = \frac{z ˉ}{z ^{'}}$ (pour $z^{'} \neq = 0$ ).
$z^{n} = (z ˉ)^{n}$ .
$z + z ˉ = 2 Re (z)$ et $z - z ˉ = 2 i Im (z)$ .
$z$ est réel $⟺ z = z ˉ$ .
$z$ est imaginaire pur $⟺ z = - z ˉ$ .
Le produit d'un nombre complexe par son conjugué est un nombre réel positif :

$z z ˉ = (x + i y) (x - i y) = x^{2} + y^{2}$

Méthode : Calculer le quotient de deux complexes

Pour exprimer le quotient $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ ( $z_{2} \neq = 0$ ) sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $z_{2}$ .

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