Équations différentielles

Cours · mathématiques (2 Bac Sciences Physiques, Maroc), chapitre 7 · Maroc, 2 Bac Sciences Physiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Ce chapitre introduit les équations différentielles, c'est-à-dire les équations dont l'inconnue n'est plus un nombre mais une fonction, et qui relient cette fonction à ses dérivées. Apparues au XVII^e siècle avec le calcul infinitésimal de Newton et Leibniz, elles constituent le langage privilégié de la physique : tout phénomène d'évolution (refroidissement, désintégration radioactive, charge d'un condensateur, oscillation d'un ressort) se traduit naturellement par une telle équation. Au programme de Terminale, on se limite aux équations linéaires du premier et du second ordre à coefficients constants.

7.1 Notion d'équation différentielle

Définition 7.1Équation différentielle

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction $y$ d'une variable réelle $x$ , et qui fait intervenir cette fonction ainsi qu'une ou plusieurs de ses dérivées $y^{'}$ , $y^{''}$ , …

Résoudre (ou intégrer) une équation différentielle sur un intervalle $I$ , c'est déterminer toutes les fonctions $y$ dérivables sur $I$ qui la vérifient. Une telle fonction est appelée une solution de l'équation.

On appelle ordre de l'équation l'ordre de la dérivée la plus élevée qui y figure. Ainsi $y^{'} = 3 y$ est du premier ordre, tandis que $y^{''} + 4 y = 0$ est du second ordre.

Exemple 7.2Vérifier qu'une fonction est solution

Montrons que la fonction $f (x) = 5 e^{2 x}$ est solution de l'équation $y^{'} = 2 y$ sur $R$ .

On dérive : $f^{'} (x) = 5 \times 2 e^{2 x} = 10 e^{2 x}$ . Par ailleurs $2 f (x) = 2 \times 5 e^{2 x} = 10 e^{2 x}$ .

On a bien $f^{'} (x) = 2 f (x)$ pour tout réel $x$ : $f$ est donc solution.

Propriété : Lien avec les primitives

L'équation différentielle la plus simple est $y^{'} = g (x)$ , où $g$ est une fonction continue donnée sur un intervalle $I$ . Résoudre cette équation revient exactement à chercher les primitives de $g$ sur $I$ .

Ses solutions sont les fonctions $y = G (x) + C$ , où $G$ est une primitive de $g$ et $C \in R$ une constante quelconque.

La présence de cette constante arbitraire est caractéristique : une équation différentielle possède en général une infinité de solutions, formant une famille de fonctions. Pour en isoler une seule, il faudra ajouter une condition initiale.

7.2 Équation du premier ordre $y^{'} = a y$

◆Théorème 7.3Équation

y^{'} = a y

Soit $a$ un réel. Les solutions sur $R$ de l'équation différentielle

$y^{'} = a y$

sont exactement les fonctions de la forme

$y (x) = K e^{a x}, K \in R .$

Méthode : Démonstration de l'unicité de la forme

On admet que $y (x) = K e^{a x}$ est solution (il suffit de dériver : $y^{'} (x) = a K e^{a x} = a y (x)$ ). Réciproquement, soit $y$ une solution quelconque. Posons $φ (x) = y (x) e^{- a x}$ . Alors

$φ^{'} (x) = y^{'} (x) e^{- a x} - a y (x) e^{- a x} = (y^{'} (x) - a y (x)) e^{- a x} = 0,$

car $y^{'} = a y$ . La fonction $φ$ est donc constante, égale à une valeur $K$ , d'où $y (x) = K e^{a x}$ .

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Équations différentielles

7.1 Notion d'équation différentielle

Propriété : Lien avec les primitives

7.2 Équation du premier ordre y′=ay

Méthode : Démonstration de l'unicité de la forme

7.2 Équation du premier ordre $y^{'} = a y$