Primitives et calcul intégral

Ce chapitre présente le calcul intégral, l'une des branches les plus fécondes de l'analyse. Nous allons définir les primitives d'une fonction, puis l'intégrale comme outil de calcul d'aires, de moyennes et de modélisation mathématique.

6.1 Primitives d'une fonction

6.1.1 Définition et propriétés

Rechercher les primitives d'une fonction est l'opération inverse de la dérivation.

6.1.2 Primitives des fonctions usuelles

La liste suivante rassemble les formules de primitives obtenues par lecture inverse du tableau des dérivées :

• $f(x)=k$ (constante) : une primitive est $F(x)=kx$, sur $\mathbb{R}$.
• $f(x)=x^n$ ($n\in \mathbb{N}$) : une primitive est $F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, sur $\mathbb{R}$.
• $f(x)=\frac{1}{x^2}$ : une primitive est $F(x)=-\frac{1}{x}$, sur $]-\infty ,0[$ ou $]0,+\infty [$.
• $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ : une primitive est $F(x)=2\sqrt{x}$, sur $]0,+\infty [$.
• $f(x)=e^x$ : une primitive est $F(x)=e^x$, sur $\mathbb{R}$.
• $f(x)=\frac{1}{x}$ : une primitive est $F(x)=\ln (x)$, sur $]0,+\infty [$.

6.1.3 Primitives et composition

Pour trouver des primitives de fonctions plus complexes, on repère des formes de dérivées de fonctions composées :