Fonction logarithme népérien

Cours · mathématiques (2 Bac Sciences Physiques, Maroc), chapitre 4 · Maroc, 2 Bac Sciences Physiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Ce chapitre présente la fonction logarithme népérien, notée $ln$ . Historiquement introduite pour simplifier les calculs astronomiques et de navigation en transformant les produits en sommes, elle joue aujourd'hui un rôle central dans toutes les sciences et en analyse mathématique.

4.1 Définition et Propriétés Algébriques

4.1.1 Définition

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $R$ , à valeurs dans $] 0, + \infty [$ . D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel $x > 0$ , l'équation $e^{y} = x$ d'inconnue $y$ admet une unique solution sur $R$ .

Définition 4.1Fonction Logarithme Népérien

On appelle fonction logarithme népérien, notée $ln$ , la fonction qui, à tout réel $x \in] 0, + \infty [$ , associe l'unique solution $y$ de l'équation $e^{y} = x$ . Ainsi, pour tout $x \in] 0, + \infty [$ et tout $y \in R$ :

$y = ln (x) ⟺ e^{y} = x$

Propriété : Relations fondamentales

De cette définition, on déduit immédiatement :

Pour tout $x \in] 0, + \infty [$ : $e^{l n (x)} = x$ .
Pour tout $y \in R$ : $ln (e^{y}) = y$ .
En particulier : $ln (1) = 0$ et $ln (e) = 1$ (où $e \approx 2, 718$ ).

4.1.2 Propriétés algébriques

La propriété fondamentale de la fonction logarithme est de transformer les produits en sommes :

Propriété : Relation fonctionnelle et extensions

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

$ln (a \times b) = ln (a) + ln (b)$

On en déduit également les propriétés suivantes pour tous réels $a > 0$ , $b > 0$ et $n \in Z$ :

Inverse : $ln (\frac{1}{a}) = - ln (a)$
Quotient : $ln (\frac{a}{b}) = ln (a) - ln (b)$
Puissance : $ln (a^{n}) = n ln (a)$
Racine carrée : $ln (a) = \frac{1}{2} ln (a)$

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