Probabilités sur un univers fini

Un univers $\Omega$ (ici fini) modélise l'ensemble des issues possibles d'une expérience aléatoire. Le vocabulaire des probabilités traduit le vocabulaire ensembliste du chapitre 1 :

Une variable aléatoire est une application $X:\Omega \to E$ (aucune autre condition dans le cadre fini !). Pour $A\subset E$ et $x\in E$, on note

$$\{X\in A\}=(X\in A)=\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\},(X=x),(X\le x),\text{etc.}$$

Ce sont des événements : toute la pratique consiste à raisonner sur ces événements, sans presque jamais revenir aux $\omega$.

Une probabilité sur l'univers fini $\Omega$ est une application $P:\mathcal{P}(\Omega )\to [0,1]$ telle que $P(\Omega )=1$ et $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ pour $A,B$ incompatibles. Le couple $(\Omega ,P)$ est un espace probabilisé fini. On note $P(X\in A)$, $P(X=x)$, $P(X\le x)$ les probabilités des événements correspondants.

Une distribution de probabilités sur un ensemble fini $E$ est une famille $(p_x{)}_{x\in E}$ de réels positifs de somme $1$. Une probabilité $P$ sur $\Omega$ est entièrement déterminée par la distribution $(P(\{\omega \}){)}_{\omega \in \Omega }$ : pour tout événement, $P(A)={\sum }_{\omega \in A}P(\{\omega \})$.

La probabilité uniforme sur $\Omega$ donne à chaque issue le même poids $\frac{1}{|\Omega |}$ ; alors

$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}:$$

tout calcul de probabilité uniforme est un quotient de deux dénombrements — le chapitre 14 est la salle des machines.

Si $P(B)>0$, la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est

$$P(A\mid B)=P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}:$$

on re-normalise l'information « $B$ s'est produit ». L'application $P_B$ est elle-même une probabilité sur $\Omega$. Par convention, $P(A\mid B)P(B)=0$ lorsque $P(B)=0$.