Espaces préhilbertiens réels

• Canonique sur ${\mathbb{R}}^n$ : $⟨x,y⟩=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n=X^{\top }Y$ (en colonnes) — celui du lycée pour $n=2,3$.
• Intégral sur $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ : $⟨f,g⟩={\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t$. Bilinéarité et symétrie sont claires ; le caractère défini est le théorème du chapitre 13 : $f$ continue positive d'intégrale nulle est nulle — la continuité est ici essentielle. Variantes sur $\mathbb{R}[X]$ : $⟨P,Q⟩={\int }_{-1}^{1}PQ$, ${\int }_0^{1}PQ$, etc.

Pour tous $x,y\in E$ :

$$\left|⟨x,y⟩\right|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert ,$$

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Sur ${\mathbb{R}}^n$ : ${\left(\sum a_i{b}_i\right)}^2\le \left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)$. Sur $\mathcal{C}([a,b])$ : ${\left({\int }_a^{b}fg\right)}^2\le {\int }_a^b{f}^2\cdot {\int }_a^b{g}^2$.

• $\Vert x\Vert \ge 0$ avec égalité ssi $x=0$ ;   $\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\Vert x\Vert$ ;
• Inégalité triangulaire : $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$, avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires de même sens ($y=0$ ou $x=\lambda y$, $\lambda \ge 0$) ;
• Identité remarquable : $\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2+2⟨x,y⟩$, d'où la formule de polarisation :

$$⟨x,y⟩=\frac{1}{2}\left(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2\right)$$

— la norme détermine le produit scalaire : longueurs et angles se codent mutuellement.

• Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
• Théorème de Pythagore : $x\perp y⟺\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$ (équivalence, dans le cas réel) ; pour une famille orthogonale : ${\Vert \sum x_i\Vert }^2=\sum \Vert x_i{\Vert }^2$.

Soit $(v_1,\dots ,v_p)$ une famille libre d'un espace préhilbertien. L'algorithme suivant produit une famille orthonormée $(e_1,\dots ,e_p)$ telle que $\mathrm{Vect}(e_1,\dots ,e_k)=\mathrm{Vect}(v_1,\dots ,v_k)$ pour tout $k$ :

$$u_1=v_1,u_k=v_k-\sum _{i=1}^{k-1}\frac{⟨v_k,u_i⟩}{\Vert u_i{\Vert }^2}{u}_i$$

(on retranche les projections sur les directions déjà construites), puis on normalise : $e_k=\frac{u_k}{\Vert u_k\Vert }$. (Chaque $u_k$ est non nul car $v_k\notin \mathrm{Vect}(v_1,\dots ,v_{k-1})$ : la liberté est préservée à chaque étape.)

Soit $E$ un espace euclidien (dimension finie $n$).

• $E$ possède des bases orthonormées (appliquer Gram-Schmidt à n'importe quelle base).
• Théorème de la base orthonormée incomplète : toute famille orthonormée se complète en une base orthonormée de $E$.

Soit $(e_1,\dots ,e_n)$ une base orthonormée de $E$. Pour tous $x,y\in E$ :

$$x=\sum _{i=1}^n⟨e_i,x⟩e_i(\text{les coordonneˊes sont les produits scalaires !}),$$

$$⟨x,y⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i,\Vert x{\Vert }^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2.$$

Autrement dit : dans une base orthonormée, tout espace euclidien ressemble exactement à ${\mathbb{R}}^n$ canonique. (Dans une base quelconque, aucune de ces formules ne subsiste — d'où le prix de l'orthonormalisation.)

Soit $F$ un sous-espace de dimension finie d'un espace préhilbertien $E$. Alors :

$$E=F\oplus F^{\perp }.$$

La projection sur $F$ parallèlement à $F^{\perp }$ est la projection orthogonale sur $F$, notée $p_F$, et si $(e_1,\dots ,e_p)$ est une base orthonormée de $F$ :

$$\boxed{p_F(x)=\sum _{i=1}^p⟨e_i,x⟩e_i.}$$

En dimension finie $n$ : $\dim F^{\perp }=n-\dim F$, et un hyperplan $H$ est l'orthogonal d'une droite, $H=\mathrm{Vect}(u{)}^{\perp }$ — $u$ est un vecteur normal à $H$.

Soit $F$ de dimension finie et $x\in E$. Le projeté orthogonal $p_F(x)$ est l'unique élément de $F$ qui réalise la distance de $x$ à $F$ :

$$d(x,F)=\underset{f\in F}{\min }\Vert x-f\Vert =\Vert x-p_F(x)\Vert ,$$

et pour tout autre $f\in F$, $\Vert x-f\Vert >d(x,F)$.

Sur $\mathcal{C}([a,b])$ ou $\mathbb{R}[X]$ muni d'un produit scalaire intégral, Gram-Schmidt appliqué à $(1,X,X^2,\dots )$ produit les familles de polynômes orthogonaux (Legendre pour ${\int }_{-1}^1$, exercice 4 des travaux dirigés). Projeter une fonction sur ${\mathbb{R}}_n[X]$, c'est calculer sa meilleure approximation polynomiale au sens des moindres carrés (exercice 8) — le principe de toute l'approximation hilbertienne : séries de Fourier, régression, compression du signal.