Espaces préhilbertiens réels

16.1 Introduction et motivation

Le produit scalaire du lycée mesurait angles et longueurs dans le plan et l'espace. Ce chapitre le généralise à des espaces vectoriels quelconques — y compris des espaces de fonctions ou de polynômes — afin d'exploiter l'intuition acquise en dimension $2$ ou $3$ pour résoudre des problèmes abstraits : qu'est-ce que l'angle entre deux fonctions ? la distance d'un polynôme à un sous-espace ? la meilleure approximation d'une courbe par une droite ?

La géométrie reste le guide : il est essentiel d'illustrer chaque notion par des figures — orthogonalité, Pythagore, projections —, et les familles de polynômes orthogonaux (Legendre en tête) fourniront les illustrations les plus fécondes, jusqu'aux moindres carrés du calcul scientifique.

16.2 Produit scalaire

16.3 Norme associée à un produit scalaire

Démonstration

Si $y=0$, tout est nul. Sinon, le trinôme $\lambda \mapsto \Vert x+\lambda y{\Vert }^2=\Vert y{\Vert }^2{\lambda }^2+2\lambda ⟨x,y⟩+\Vert x{\Vert }^2$ est positif ou nul pour tout $\lambda$ : son discriminant est négatif ou nul, soit $4⟨x,y{⟩}^2-4\Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2\le 0$. L'égalité force un discriminant nul, donc une racine double ${\lambda }_0$ avec $\Vert x+{\lambda }_{0}y\Vert =0$, c'est-à-dire $x=-{\lambda }_{0}y$. (C'est le même trinôme qu'aux chapitres 13 et 15 : Cauchy-Schwarz intégral, probabiliste et préhilbertien sont un seul théorème, énoncé ici dans sa généralité définitive.)