Exercices corrigés — Espaces préhilbertiens réels (mathématiques (PCSI))
24 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
A. Produits scalaires
- Deux produits scalaires, un seul axiome en jeu Exercice de TD
- Le produit scalaire de l'énergie Exercice classique
- Produit scalaire ou pas ? Application directe du cours
B. Cauchy-Schwarz et normes
- Cauchy-Schwarz sur mesure : résistances, valeur efficace, énergie minimale Exercice de TD
- Le parallélogramme, une identité qui devient un test Exercice de TD
- Cauchy-Schwarz en action Application directe du cours
- L'angle de deux fonctions Application directe du cours
- La seconde inégalité triangulaire Application directe du cours
C. Orthogonalité et Gram-Schmidt
- Les polynômes de Legendre : la parité avant le calcul Exercice de TD
- Le trièdre de Fourier : pourquoi les puissances des harmoniques s'ajoutent Exercice de TD
- Supplémentaire orthogonal : la dimension finie est une vraie hypothèse Exercice de TD
- Une isométrie conserve les angles Exercice classique
- Problème — La quadrature de Gauss Exercice de TD
- Gram-Schmidt complet Application directe du cours
- L'orthogonal d'une droite Application directe du cours
D. Bases orthonormées, projections, distances
- Toute forme linéaire est un produit scalaire : vecteur normal et noyau de Dirichlet Exercice de TD
- Projeter raccourcit, et seules les projections orthogonales raccourcissent Exercice de TD
- La meilleure droite sous une parabole : minimiser, c'est projeter Exercice de TD
- Vérifier, normaliser Application directe du cours
- Projection sur une droite Application directe du cours
- Distance à un plan de Application directe du cours
- Meilleure approximation au sens des moindres carrés Application directe du cours
- Une projection par blocs dans Application directe du cours
- La droite des moindres carrés Application directe du cours