Séries numériques

Cours complet · mathématiques (PCSI), chapitre 17 · CPGE PCSI (1re année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>17.1 Introduction et motivation

Que vaut $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ ? Et $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$ ? Donner un sens à une somme infinie : tel est l'objet des séries, qui prolongent l'étude des suites numériques et offrent un terrain d'application royal à l'analyse asymptotique. Les objectifs majeurs portent sur les séries à termes positifs et la convergence absolue — pour laquelle on introduit aussi le vocabulaire de la sommabilité de la suite $(u_{n})$ , sans aucun développement théorique : ce cadre restreint suffit à traiter toutes les séries de l'année, et prépare l'étude générale menée en deuxième année.

17.2 Convergence et divergence

Définition 17.1Série, somme

À une suite $(u_{n})_{n \geq 0}$ de nombres complexes, on associe la suite de ses sommes partielles $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} u_{n}$ . La série $\sum u_{n}$ converge si $(S_{N})$ converge ; sa limite est alors la somme, notée $n = 0 \sum + \infty u_{n}$ . Sinon, la série diverge. La somme est linéaire : $\sum (λ u_{n} + v_{n}) = λ \sum u_{n} + \sum v_{n}$ (séries convergentes).

Proposition 17.2Condition nécessaire et divergence grossière

Si $\sum u_{n}$ converge, alors $u_{n} \to 0$ (car $u_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ ). La réciproque est fausse (série harmonique !). Si $u_{n} \neq \to 0$ , la série diverge grossièrement.

Définition 17.3Reste

Si $\sum u_{n}$ converge, son reste d'ordre $N$ est $R_{N} = n = N + 1 \sum + \infty u_{n} = S - S_{N}$ : il tend vers $0$ , et mesure l'erreur d'approximation de la somme par la somme partielle.

◆Théorème 17.4Lien suite-série

La suite $(u_{n})$ et la série télescopique $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ sont de même nature (les sommes partielles de la série valent $u_{N + 1} - u_{0}$ ). Étudier une suite, c'est étudier une série, et réciproquement : les deux théories n'en font qu'une.

◆Théorème 17.5Séries géométriques et exponentielle

La série géométrique $\sum q^{n}$ ( $q \in C$ ) converge si et seulement si $∣ q ∣ < 1$ , et alors

$n = 0 \sum + \infty q^{n} = \frac{1}{1 - q}$

(sommes partielles $\frac{1 - q ^{N + 1}}{1 - q}$ , chapitre sur le calcul algébrique ; divergence grossière si $∣ q ∣ \geq 1$ ).

Pour tout $z \in C$ :

$e^{z} = n = 0 \sum + \infty \frac{z ^{n}}{n !}$

(pour $z$ réel, c'est l'inégalité de Taylor-Lagrange du chapitre sur l'intégration, avec un reste $\leq \frac{∣ z ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} e^{∣ z ∣} \to 0$ ; pour $z$ complexe, la relation est admise — la convergence absolue, plus bas, garantit du moins que la série a bien un sens).

17.3 Séries à termes positifs ou nuls

Définition 17.6Convention de calcul dans

[0, + \infty]

On munit $[0, + \infty]$ des conventions de calcul naturelles ( $x + (+ \infty) = + \infty$ , $λ \cdot (+ \infty) = + \infty$ pour $λ > 0$ , etc.) et du prolongement de la relation d'ordre usuelle : $x \leq + \infty$ pour tout $x$ . Pour une série $\sum u_{n}$ à termes dans $R^{+}$ qui diverge, on convient de noter

$n = 0 \sum + \infty u_{n} = + \infty.$

Ainsi, pour une série à termes positifs, la notation $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ a toujours un sens dans $[0, + \infty]$ , et la convergence s'écrit simplement $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} < + \infty$ .

◆Théorème 17.7Le principe fondamental

Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée (la suite $(S_{N})$ est croissante : théorème de la limite monotone, chapitre sur les suites). Sinon, $S_{N} \to + \infty$ — en cohérence avec la notation $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} = + \infty$ .

◆Théorème 17.8Comparaison et équivalents

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ positives.

Comparaison : si $0 \leq u_{n} \leq v_{n}$ pour tout $n$ , la convergence de $\sum v_{n}$ implique celle de $\sum u_{n}$ (et la divergence de $\sum u_{n}$ celle de $\sum v_{n}$ ).
Équivalents : si $u_{n} \sim v_{n}$ , les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature.

Démonstration (Démonstration pour les équivalents)

Si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors $\frac{u _{n}}{v _{n}} \in [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ à partir d'un rang : $\frac{1}{2} v_{n} \leq u_{n} \leq \frac{3}{2} v_{n}$ , et la comparaison s'applique dans les deux sens (les premiers termes ne changent pas la nature).

◆Théorème 17.9Comparaison série-intégrale

Soit $f$ monotone (disons décroissante, positive) sur $[1, + \infty [$ . La méthode des rectangles (chapitre sur l'intégration) encadre les sommes partielles :

$\int_{1}^{N + 1} f (t) d t \leq n = 1 \sum N f (n) \leq f (1) + \int_{1}^{N} f (t) d t .$

Applications : nature de $\sum f (n)$ et comportement asymptotique des sommes partielles (par exemple $H_{N} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n} \sim ln N$ , en encadrant par $ln (N + 1)$ et $1 + ln N$ — l'étude des limites retrouvée).

◆Théorème 17.10Séries de Riemann

$\sum \frac{1}{n ^{α}} converge ⟺ α > 1.$

Démonstration

Comparaison avec $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{α}}$ : pour $α \neq = 1$ , les primitives $\frac{t ^{1 - α}}{1 - α}$ sont bornées si et seulement si $α > 1$ ; pour $α = 1$ , $H_{N} \sim ln N \to + \infty$ . Ce sont les étalons de comparaison : toute étude de série positive commence par chercher un équivalent en $\frac{1}{n ^{α}}$ (les développements limités de l'analyse asymptotique sont l'outil).

17.4 Séries absolument convergentes, suites sommables

Définition 17.11Convergence absolue, sommabilité

La série complexe $\sum u_{n}$ est absolument convergente si $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge — ce que la convention précédente permet de noter

$n = 0 \sum + \infty ∣ u_{n} ∣ < + \infty.$

On dit aussi que la suite $(u_{n})$ est sommable, et la somme $n = 0 \sum + \infty u_{n}$ est alors appelée somme de la suite sommable $(u_{n})$ . Ce vocabulaire, qui prendra tout son sens en deuxième année, n'appelle ici aucun développement théorique : sommable = absolument convergente.

◆Théorème 17.12Convergence absolue

\Rightarrow

convergence

Toute série numérique absolument convergente est convergente, et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} ∣ u_{n} ∣$ . (Le critère de Cauchy est hors programme : pour une série réelle, écrire $u_{n} = u_{n}^{+} - u_{n}^{-}$ avec $0 \leq u_{n}^{\pm} \leq ∣ u_{n} ∣$ et comparer ; le cas complexe sépare parties réelle et imaginaire.)

◆Théorème 17.13Le critère de domination

Si $(u_{n})$ est complexe, $(v_{n})$ positive avec $u_{n} = O (v_{n})$ et $\sum v_{n}$ convergente, alors $\sum u_{n}$ est absolument convergente, donc convergente.

iRemarqueLa stratégie générale

Face à $\sum u_{n}$ quelconque : 1) le terme tend-il vers $0$ ? (sinon, divergence grossière) ; 2) tenter la convergence absolue par comparaison/équivalent/domination avec une série de Riemann ou géométrique (en pratique : $n^{2} ∣ u_{n} ∣ \to 0$ suffit pour conclure). Toutes les séries rencontrées cette année relèvent de ces deux outils : l'étude des séries convergentes sans converger absolument (critère de Cauchy, semi-convergence) est hors programme et attend la deuxième année.

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