Fonctions de deux variables

Cours · mathématiques (PCSI), chapitre 18 · CPGE PCSI (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La surface d'équation z = x² + y², un paraboloïde, et ses sections horizontales.

18.1 Introduction et motivation

Température au point $(x, y)$ d'une plaque, altitude d'un relief, profit selon deux paramètres de production : les fonctions de deux variables sont partout. Ce chapitre — dont le contenu sera entièrement repris dans un cadre plus général en seconde année — vise à familiariser avec les calculs sur les dérivées partielles, notamment la règle de la chaîne, et à développer une vision géométrique : surfaces, plans tangents, lignes de niveau, gradient. Le point de vue est essentiellement pratique : toute extension théorique est hors programme, et l'on calcule, on visualise, on optimise.

18.2 Ouverts de $R^{2}$ , fonctions continues

Définition 18.1Boules et ouverts

On munit $R^{2}$ de la norme euclidienne canonique $∥ (x, y) ∥ = x^{2} + y^{2}$ (chapitre sur les espaces préhilbertiens). La boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r > 0$ est $B (a, r) = {m \in R^{2} : ∥ m - a ∥ < r}$ (un disque sans son bord). Une partie $U \subset R^{2}$ est un ouvert si chacun de ses points est le centre d'une boule incluse dans $U$ : aucun point n'est « au bord » — on peut bouger dans toutes les directions en restant dans $U$ .

Exemple 18.2

$R^{2}$ , une boule ouverte, un demi-plan ${x > 0}$ , un produit d'intervalles ouverts sont des ouverts ; un disque fermé, une droite, ne le sont pas (les points du bord n'ont aucune marge). Les ouverts sont le bon cadre du calcul différentiel : pour dériver en un point, il faut pouvoir l'approcher de partout.

Définition 18.3Continuité, surface représentative

Une fonction $f : U \to R$ ( $U$ ouvert) est continue en $a \in U$ si $f (m) \to f (a)$ quand $∥ m - a ∥ \to 0$ . (La notion est introduite uniquement en vue du calcul différentiel : son étude n'est pas un objectif du programme.) La représentation graphique de $f$ est la surface d'équation $z = f (x, y)$ de $R^{3}$ — le relief dont $f$ est la carte d'altitudes ; les lignes de niveau ${f (x, y) = c}$ en sont les courbes d'altitude constante, comme sur une carte topographique.

18.3 Dérivées partielles

Définition 18.4Dérivées partielles

Les dérivées partielles de $f$ en $(x_{0}, y_{0})$ sont les dérivées des fonctions partielles, obtenues en figeant une variable :

$\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h , y _{0} ) - f ( x _{0} , y _{0} )}{h},$

$\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) = k \to 0 lim \frac{f ( x _{0} , y _{0} + k ) - f ( x _{0} , y _{0} )}{k} .$

En pratique : pour calculer $\frac{\partial f}{\partial x}$ , on dérive par rapport à $x$ en traitant $y$ comme une constante — tout le savoir-faire du chapitre sur les techniques de calcul s'applique tel quel.

Attention

L'existence des dérivées partielles n'entraîne pas la continuité : la fonction valant $\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}$ hors de l'origine et $0$ en $(0, 0)$ a des dérivées partielles nulles en $(0, 0)$ (les fonctions partielles y sont nulles), mais vaut $\frac{1}{2}$ sur toute la droite $y = x$ : elle n'est pas continue à l'origine. Les deux axes ne voient pas tout le plan — d'où la définition suivante.

Définition 18.5Classe

C^{1}

$f$ est de classe $C^{1}$ sur l'ouvert $U$ si ses deux dérivées partielles existent et sont continues sur $U$ . (La notion de fonction différentiable est hors programme : $C^{1}$ est notre cadre de travail, et toutes les fonctions usuelles construites par sommes, produits, quotients et composées y sont.)

◆Théorème 18.6Développement limité à l'ordre 1

Si $f$ est de classe $C^{1}$ au voisinage de $(x_{0}, y_{0})$ , alors (démonstration hors programme) :

$f (x_{0} + h, y_{0} + k) = f (x_{0}, y_{0}) + \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) h + \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) k + o (∥ (h, k) ∥) .$

C'est l'approximation linéaire de l'accroissement $f (x_{0} + h, y_{0} + k) - f (x_{0}, y_{0})$ — l'analogue exact du $DL_{1}$ de l'analyse asymptotique, avec deux pentes au lieu d'une.

◆Théorème 18.7Plan tangent

L'équation

$z - z_{0} = \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) (z_{0} = f (x_{0}, y_{0}))$

est celle du plan tangent en $(x_{0}, y_{0})$ à la surface $z = f (x, y)$ : le plan qui épouse la surface au premier ordre, comme la tangente épousait la courbe (chapitre sur la dérivabilité).

Définition 18.8Gradient

Le gradient de $f$ (de classe $C^{1}$ ) en $(x_{0}, y_{0})$ est le vecteur

$\nabla f (x_{0}, y_{0}) = (\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}), \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0})) \in R^{2} .$

Le développement limité s'écrit alors, pour $u = (h, k)$ :

$f ((x_{0}, y_{0}) + u) = f (x_{0}, y_{0}) + ⟨ \nabla f (x_{0}, y_{0}), u ⟩ + o (∥ u ∥)$

— le produit scalaire des espaces préhilbertiens entre en scène.

◆Théorème 18.9Le gradient, direction de plus forte pente

Parmi tous les vecteurs unitaires $u$ , l'accroissement au premier ordre $⟨ \nabla f (a), u ⟩$ est maximal lorsque $u$ pointe dans la direction de $\nabla f (a)$ (et vaut alors $∥\nabla f (a) ∥$ ).

Démonstration

Cauchy-Schwarz (chapitre sur les espaces préhilbertiens) : $⟨ \nabla f (a), u ⟩ \leq ∥\nabla f (a) ∥ ∥ u ∥ = ∥\nabla f (a) ∥$ , avec égalité si et seulement si $u$ est positivement colinéaire à $\nabla f (a)$ . Le gradient pointe vers la montée la plus raide — et $- \nabla f$ vers la descente la plus raide : c'est le principe de la descente de gradient, l'algorithme au cœur de l'optimisation et de l'apprentissage automatique.

Exercices du chapitre

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Fonctions de deux variables

18.1 Introduction et motivation

18.2 Ouverts de R2, fonctions continues

18.3 Dérivées partielles

Exercices du chapitre

18.2 Ouverts de $R^{2}$ , fonctions continues