Raisonnement et vocabulaire ensembliste

Cours complet · mathématiques (PTSI), chapitre 1 · CPGE PTSI (1re année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>1.1 Introduction et motivation

La logique et la théorie des ensembles constituent les fondations du langage mathématique moderne. Formulées à la fin du XIX^e siècle par des mathématiciens comme Georg Cantor et Gottlob Frege, elles permettent de structurer le raisonnement de façon rigoureuse, d'éviter les ambiguïtés du langage naturel et de définir précisément les objets mathématiques (nombres, fonctions, espaces vectoriels).

Ce chapitre introduit :

les rudiments de la logique propositionnelle et les principaux modes de raisonnement mathématiques ;
le vocabulaire de base de la théorie des ensembles et les opérations associées ;
les ensembles de nombres usuels ( $N$ , $Z$ , $D$ , $Q$ , $R$ ) et les premières notions d'arithmétique dans $N$ : divisibilité, division euclidienne, PGCD et PPCM, nombres premiers ;
la notion d'application d'un ensemble dans un autre, ainsi que ses propriétés fondamentales (injectivité, surjectivité, bijectivité).

L'assimilation de ces notions de vocabulaire et de raisonnement constitue un objectif majeur pour le premier semestre de la classe préparatoire PTSI. Le programme se limite strictement à ces notions de base : toute étude systématique de la logique, de la théorie des ensembles ou de l'arithmétique est hors programme.

1.2 Rudiments de logique

1.2.1 Assertions et connecteurs logiques

Une assertion (ou proposition) est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer, de manière exclusive, l'une des deux valeurs de vérité : vrai (V) ou faux (F).

Définition 1.1Connecteurs logiques

Soient $P$ et $Q$ deux assertions. On définit les connecteurs logiques usuels :

Nom	Symbole	Signification
Négation	$\neg P$ ou $non P$	Est vraie si et seulement si $P$ est fausse.
Conjonction	$P \land Q$ ou $P et Q$	Est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ sont toutes deux vraies.
Disjonction	$P \lor Q$ ou $P ou Q$	Est vraie si au moins l'une des deux assertions $P$ ou $Q$ est vraie.
Implication	$P \Rightarrow Q$	Définie par $(\neg P) \lor Q$ . Elle se lit " $P$ implique $Q$ ".
Équivalence	$P \Leftrightarrow Q$	Définie par $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$ . Elle se lit " $P$ équivaut à $Q$ ".

On peut dresser la table de vérité de ces connecteurs :

$P$	$Q$	$\neg P$	$P \land Q$	$P \lor Q$	$P \Rightarrow Q$	$P \Leftrightarrow Q$
V	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F
F	F	V	F	F	V	V

iRemarqueContraposée et réciproque

Pour une implication $P \Rightarrow Q$ :

sa contraposée est l'implication $\neg Q \Rightarrow \neg P$ . Elle est logiquement équivalente à $P \Rightarrow Q$ .
sa réciproque est l'implication $Q \Rightarrow P$ . Elle n'est pas logiquement équivalente à l'implication directe en général.

Proposition 1.2Lois de De Morgan

Pour toutes assertions $P$ et $Q$ , on a les équivalences logiques suivantes (appelées tautologies) :

$\neg (P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q)$
$\neg (P \lor Q) \Leftrightarrow (\neg P) \land (\neg Q)$

1.2.2 Quantificateurs

En mathématiques, les assertions dépendent souvent d'une variable évoluant dans un ensemble. On parle alors de prédicats. Pour exprimer ces assertions, on utilise des quantificateurs.

Définition 1.3Quantificateurs

Soit $E$ un ensemble et $P (x)$ un prédicat dépendant d'une variable $x \in E$ .

Quantificateur universel ( $\forall$ , se lit "pour tout") : l'assertion $\forall x \in E, P (x)$ est vraie si le prédicat $P (x)$ est vrai pour tous les éléments $x$ de $E$ .
Quantificateur existentiel ( $\exists$ , se lit "il existe") : l'assertion $\exists x \in E, P (x)$ est vraie s'il existe au moins un élément $x$ de $E$ pour lequel $P (x)$ est vrai.
S'il existe un unique élément $x \in E$ vérifiant $P (x)$ , on note $\exists! x \in E, P (x)$ .

Important

L'emploi des symboles $\forall$ et $\exists$ en guise d'abréviations dans les phrases rédigées en langage naturel est formellement exclu. Ils doivent être réservés exclusivement aux formules mathématiques formelles.

Proposition 1.4Négation des quantificateurs

Soit $P (x)$ un prédicat sur $E$ . On a les équivalences de négation :

$\neg (\forall x \in E, P (x)) \Leftrightarrow \exists x \in E, \neg P (x)$
$\neg (\exists x \in E, P (x)) \Leftrightarrow \forall x \in E, \neg P (x)$

1.2.3 Modes de raisonnement

Pour rédiger des démonstrations rigoureuses, le mathématicien utilise différents modes de raisonnement.

Raisonnement par disjonction des cas

Si on veut montrer qu'une propriété $P (x)$ est vraie pour tout $x \in E$ , on peut partitionner $E$ en sous-ensembles et traiter séparément chaque cas.

Exemple 1.5

Montrer que pour tout $n \in N$ , le nombre $n (n + 1)$ est pair.

Cas 1 : $n$ est pair. Alors il existe $k \in N$ tel que $n = 2 k$ . D'où $n (n + 1) = 2 k (2 k + 1) = 2 [k (2 k + 1)]$ , qui est pair.
Cas 2 : $n$ est impair. Alors il existe $k \in N$ tel que $n = 2 k + 1$ . D'où $n (n + 1) = (2 k + 1) (2 k + 2) = 2 (2 k + 1) (k + 1)$ , qui est pair.

Dans tous les cas, le nombre est pair.

Raisonnement par contraposition

Pour montrer que $P \Rightarrow Q$ , on démontre sa contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$ , souvent plus simple à aborder.

Exemple 1.6

Soit $n \in N$ . Montrer que si $n^{2}$ est impair, alors $n$ est impair. Par contraposition, supposons que $n$ n'est pas impair, donc que $n$ est pair. Il existe $k \in N$ tel que $n = 2 k$ . Alors $n^{2} = (2 k)^{2} = 4 k^{2} = 2 (2 k^{2})$ , qui est pair. Ainsi, la contraposée est démontrée, donc l'assertion d'origine est vraie.

Raisonnement par l'absurde

Pour montrer qu'une assertion $P$ est vraie, on suppose que sa négation $\neg P$ est vraie et on cherche à en déduire une contradiction logique.

Exemple 1.7

Montrer que $2 \in / Q$ . Supposons par l'absurde que $2 \in Q$ . Comme $2 > 0$ , il existe alors $p, q \in N^{*}$ tels que $2 = \frac{p}{q}$ , la fraction étant irréductible. En élevant au carré, $2 = \frac{p ^{2}}{q ^{2}}$ , soit $p^{2} = 2 q^{2}$ . Donc $p^{2}$ est pair, ce qui implique $p$ pair. On pose $p = 2 k$ . Alors $4 k^{2} = 2 q^{2}$ , d'où $q^{2} = 2 k^{2}$ . Donc $q^{2}$ est pair, ce qui implique $q$ pair. Ainsi $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ce qui contredit le fait que la fraction $\frac{p}{q}$ est irréductible. L'hypothèse de départ est fausse, d'où $2 \in / Q$ .

Raisonnement par analyse-synthèse

Ce mode est utilisé pour déterminer l'ensemble des solutions d'un problème ou prouver l'existence et l'unicité d'un objet.

L'analyse (Condition Nécessaire) : On suppose qu'une solution existe et on étudie ses propriétés nécessaires pour restreindre les candidats possibles.
La synthèse (Condition Suffisante) : On teste les candidats retenus pour vérifier s'ils conviennent effectivement au problème d'origine.

1.2.4 Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence repose sur la structure fondamentale des entiers naturels ; toute construction et toute axiomatique de $N$ étant hors programme, le principe suivant est admis.

◆Théorème 1.8Récurrence simple

Soit $n_{0} \in N$ et $P (n)$ une propriété dépendant de $n \geq n_{0}$ . Si :

Initialisation : $P (n_{0})$ est vraie,
Hérédité : pour tout entier $n \geq n_{0}$ , si $P (n)$ est vraie, alors $P (n + 1)$ est vraie,

alors la propriété $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ .

◆Théorème 1.9Variantes de la récurrence

Soit $P (n)$ un prédicat sur $n \geq n_{0}$ :

Récurrence double : Si $P (n_{0})$ et $P (n_{0} + 1)$ sont vraies, et si pour tout $n \geq n_{0}$ , $[P (n) \land P (n + 1)] \Rightarrow P (n + 2)$ , alors $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ .
Récurrence forte : Si $P (n_{0})$ est vraie, et si pour tout $n \geq n_{0}$ , $[\forall k \in [[n_{0}, n]], P (k)] \Rightarrow P (n + 1)$ , alors $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ .

1.3 Vocabulaire des ensembles

1.3.1 Ensemble, appartenance et inclusion

Définition 1.10Ensemble

Un ensemble est une collection d'objets distincts appelés éléments. On note $x \in E$ pour signifier que l'objet $x$ appartient à l'ensemble $E$ . L'ensemble ne contenant aucun élément est appelé ensemble vide, noté $\emptyset$ .

Définition 1.11Inclusion

Soient $A$ et $E$ deux ensembles. On dit que $A$ est inclus dans $E$ (ou que $A$ est une partie / un sous-ensemble de $E$ ), noté $A \subset E$ , si :

$A \subset E ⟺ \forall x, (x \in A \Rightarrow x \in E)$

Pour montrer que deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux, on montre généralement la double inclusion : $A \subset B$ et $B \subset A$ .

1.3.2 Opérations sur les parties d'un ensemble

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$ .

Définition 1.12Opérations ensemblistes

On définit les opérations élémentaires suivantes :

Réunion : $A \cup B = {x \in E ∣ x \in A \lor x \in B}$
Intersection : $A \cap B = {x \in E ∣ x \in A \land x \in B}$
Différence : $A ∖ B = {x \in E ∣ x \in A \land x \in / B}$
Complémentaire : le complémentaire de $A$ dans $E$ , noté $E ∖ A$ , $A^{c}$ , $∁_{E} (A)$ ou $A ˉ$ , est l'ensemble ${x \in E ∣ x \in / A}$ .

Proposition 1.13Distributivité et lois de De Morgan

Soient $A, B, C$ des parties de $E$ .

Distributivité :

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) et A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

Lois de De Morgan ensemblistes :

$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} et (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$

1.3.3 Produit cartésien et ensemble des parties

Définition 1.14Produit cartésien

Soient $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ un nombre fini d'ensembles. Le produit cartésien $E_{1} \times E_{2} \times \dots \times E_{n}$ est l'ensemble des $n$ -uplets $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ où $x_{i} \in E_{i}$ pour tout $i \in [[1, n]]$ . Si $E_{1} = \dots = E_{n} = E$ , on note ce produit $E^{n}$ .

Définition 1.15Ensemble des parties

Soit $E$ un ensemble. L'ensemble des parties de $E$ , noté $P (E)$ , est l'ensemble de tous les sous-ensembles de $E$ .

$A \in P (E) ⟺ A \subset E$

Exemple 1.16

Si $E = {1, 2}$ , alors $P (E) = {\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$ .

1.3.4 Partition d'un ensemble

Définition 1.17Partition

Soit $E$ un ensemble. On dit d'une famille $(A_{i})_{i \in I}$ de parties de $E$ qu'elle forme une partition (ou un recouvrement disjoint) de $E$ si :

$\forall i \in I, A_{i} \neq = \emptyset$ ,
$\forall i, j \in I tels que i \neq = j, A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ (les parties sont disjointes deux à deux),
$⋃_{i \in I} A_{i} = E$ (la réunion de toutes les parties est égale à $E$ ).

Une partition découpe $E$ en morceaux non vides, deux à deux disjoints, dont la réunion recouvre tout $E$ : chaque élément de $E$ appartient à exactement une des parties $A_{i}$ .

1.4 Ensembles de nombres usuels

Les ensembles de nombres usuels $N$ , $Z$ , $Q$ , $R$ sont supposés connus : toute construction, en particulier celle de $R$ , est hors programme. Cette section fixe le vocabulaire et présente les premières propriétés arithmétiques des entiers naturels, qui se construisent toutes à partir de la seule division euclidienne. Les nombres premiers y jouent le rôle d'« atomes » : tout entier naturel non nul s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers.

1.4.1 Divisibilité dans $N$

Définition 1.18Divisibilité, diviseurs, multiples

Soient $a, b \in N$ . On dit que $a$ divise $b$ , et on note $a ∣ b$ , s'il existe $c \in N$ tel que $b = a c$ . On dit alors que $a$ est un diviseur de $b$ , et que $b$ est un multiple de $a$ .

Exemple 1.19

$7 ∣ 91$ (car $91 = 7 \times 13$ ) ; $1$ divise tout entier naturel ; tout entier naturel divise $0$ ; mais $0$ ne divise que $0$ . Les diviseurs de $12$ sont $1, 2, 3, 4, 6, 12$ .

Proposition 1.20Propriétés de la divisibilité

Pour tous entiers naturels $a, b, c$ :

Transitivité : si $a ∣ b$ et $b ∣ c$ , alors $a ∣ c$ .
Combinaisons linéaires : si $a ∣ b$ et $a ∣ c$ , alors $a ∣ (b u + c v)$ pour tous $u, v \in N$ .
Si $a ∣ b$ et $b \neq = 0$ , alors $a \leq b$ : un entier naturel non nul n'a qu'un nombre fini de diviseurs.

1.4.2 Division euclidienne

◆Théorème 1.21Théorème de la division euclidienne

Soient $a \in N$ et $b \in N^{*}$ . Il existe un unique couple $(q, r) \in N \times N$ tel que :

$a = b q + r et 0 \leq r < b .$

L'entier $q$ est le quotient, $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ .

Démonstration

Existence. L'ensemble $E = {k \in N : k b \leq a}$ est non vide (il contient $0$ ) et majoré (par $a$ , car $b \geq 1$ ) : il admet un plus grand élément $q$ . Alors $q b \leq a < (q + 1) b$ , et $r = a - b q$ vérifie $0 \leq r < b$ .

Unicité. Si $b q + r = b q^{'} + r^{'}$ avec $0 \leq r, r^{'} < b$ , supposons par exemple $r \leq r^{'}$ : alors $r^{'} - r = b (q - q^{'})$ est un multiple de $b$ vérifiant $0 \leq r^{'} - r < b$ , ce qui force $r^{'} = r$ , puis $q^{'} = q$ .

Exemple 1.22

$47 = 5 \times 9 + 2$ : quotient $9$ , reste $2$ . Attention, la condition $0 \leq r < b$ est essentielle : l'écriture $47 = 5 \times 8 + 7$ n'est pas une division euclidienne, car $7 \geq 5$ . En Python, 47 // 5 et 47 % 5 renvoient respectivement le quotient 9 et le reste 2.

iRemarque

Le reste de la division par $b$ classe les entiers naturels en $b$ familles ( $r = 0, 1, \dots, b - 1$ ). Par exemple, tout entier naturel est de la forme $2 k$ ou $2 k + 1$ (pair ou impair) : c'est ce qui fonde le raisonnement par disjonction des cas vu plus haut.

1.4.3 PGCD, PPCM et algorithme d'Euclide

Définition 1.23PGCD

Soient $a, b \in N$ dont l'un au moins est non nul. L'ensemble des diviseurs communs à $a$ et $b$ est fini (un entier naturel non nul n'a qu'un nombre fini de diviseurs) et non vide (il contient $1$ ) : il admet donc un plus grand élément pour l'ordre naturel de $N$ , appelé PGCD de $a$ et $b$ et noté $a \land b$ (ou $pgcd (a, b)$ ). On a toujours $a \land b \geq 1$ .

Exemple 1.24

Diviseurs de $12$ : $1, 2, 3, 4, 6, 12$ ; de $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Diviseurs communs : $1, 2, 3, 6$ , donc $12 \land 18 = 6$ . Noter aussi $a \land 0 = a$ pour $a \in N^{*}$ .

▪Lemme 1.25Lemme d'Euclide

Si $a = b q + r$ , alors les diviseurs communs de $a$ et $b$ sont exactement les diviseurs communs de $b$ et $r$ . En particulier :

$a \land b = b \land r .$

Démonstration

Si $d ∣ a$ et $d ∣ b$ , alors $d ∣ a - b q = r$ ; si $d ∣ b$ et $d ∣ r$ , alors $d ∣ b q + r = a$ . Les deux couples ont donc le même ensemble de diviseurs communs — et a fortiori le même plus grand élément.

ImportantAlgorithme d'Euclide

Pour calculer $a \land b$ ( $a \geq b > 0$ ) : on remplace $(a, b)$ par $(b, r)$ où $r$ est le reste de la division de $a$ par $b$ , et on recommence jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. L'algorithme termine car les restes forment une suite strictement décroissante d'entiers positifs.

$252 \land 198 : 252 = 1 \times 198 + 54, 198 = 3 \times 54 + 36, 54 = 1 \times 36 + 18, 36 = 2 \times 18 + 0,$

donc $252 \land 198 = 18$ .

Proposition 1.26Diviseurs communs et PGCD

Soient $a, b \in N$ non tous deux nuls. L'ensemble des diviseurs communs à $a$ et $b$ est exactement l'ensemble des diviseurs de $a \land b$ :

$d ∣ a et d ∣ b ⟺ d ∣ a \land b .$

Démonstration

On remonte l'algorithme d'Euclide : à chaque étape, l'ensemble des diviseurs communs est inchangé (lemme d'Euclide) ; à la fin, c'est l'ensemble des diviseurs du dernier reste non nul, c'est-à-dire de $a \land b$ .

Définition 1.27PPCM

Soient $a, b \in N^{*}$ . L'ensemble des multiples communs strictement positifs de $a$ et $b$ est une partie non vide de $N$ (elle contient $ab$ ) : son plus petit élément est le PPCM de $a$ et $b$ , noté $a \lor b$ (ou $ppcm (a, b)$ ).

Proposition 1.28Lien entre PGCD et PPCM

Pour tous $a, b \in N^{*}$ :

$(a \land b) (a \lor b) = ab .$

En pratique, on calcule donc $a \land b$ par l'algorithme d'Euclide, puis $a \lor b = \frac{ab}{a \land b}$ : l'algorithme d'Euclide fournit à la fois le PGCD et le PPCM. (Cette relation se justifie à l'aide de la décomposition en facteurs premiers présentée ci-dessous.)

Exemple 1.29

$12 \land 18 = 6$ et $12 \lor 18 = \frac{12 \times 18}{6} = 36$ : on vérifie bien $6 \times 36 = 216 = 12 \times 18$ .

1.4.4 Nombres premiers

Définition 1.30Nombre premier

Un entier $p \geq 2$ est premier si ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $p$ . Un entier $\geq 2$ non premier est dit composé. ( $1$ n'est ni premier ni composé.)

Proposition 1.31Premières propriétés

Tout entier $n \geq 2$ admet au moins un diviseur premier (le plus petit diviseur $\geq 2$ de $n$ est premier).
Si $n \geq 2$ est composé, il admet un diviseur premier $p \leq n$ (d'où le test de primalité : il suffit d'essayer les nombres premiers jusqu'à $n$ ).

Exemple 1.32

Les nombres premiers inférieurs à $50$ sont : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$ .

◆Théorème 1.33Euclide

L'ensemble des nombres premiers est infini.

Démonstration

Par l'absurde : supposons qu'il n'y ait qu'un nombre fini de premiers $p_{1}, \dots, p_{r}$ , et posons

$N = p_{1} p_{2} \dots p_{r} + 1.$

$N \geq 2$ admet un diviseur premier $p$ , qui est l'un des $p_{i}$ . Mais alors $p$ divise $N$ et $p_{1} \dots p_{r}$ , donc leur différence $1$ — absurde. (Attention : $N$ lui-même n'est pas nécessairement premier ; la démonstration dit seulement que ses facteurs premiers sont « nouveaux ».)

◆Théorème 1.34Décomposition en facteurs premiers

Tout entier naturel non nul $n$ s'écrit de manière unique (à l'ordre des facteurs près) comme produit de nombres premiers :

$n = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} \dots p_{r}^{α_{r}}, p_{1} < p_{2} < \dots < p_{r} premiers, α_{i} \in N^{*} .$

(Pour $n = 1$ : produit vide.) La démonstration de ce théorème est hors programme.

Exemple 1.35

$360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ , $2026 = 2 \times 1013$ ( $1013$ est premier : aucun premier $\leq 31 < 1013$ ne le divise).

iRemarqueDécomposition, PGCD et PPCM

Sur les décompositions en facteurs premiers, le PGCD s'obtient en prenant pour chaque facteur premier le plus petit des deux exposants, le PPCM le plus grand. Ainsi $12 = 2^{2} \times 3$ et $18 = 2 \times 3^{2}$ donnent $12 \land 18 = 2 \times 3 = 6$ et $12 \lor 18 = 2^{2} \times 3^{2} = 36$ . Puisque $min (α, β) + max (α, β) = α + β$ pour chaque paire d'exposants, on retrouve la relation $(a \land b) (a \lor b) = ab$ .

1.4.5 Entiers relatifs, décimaux, rationnels, réels, irrationnels

Définition 1.36Ensembles de nombres usuels

L'ensemble des entiers naturels est $N = {0, 1, 2, 3, \dots}$ ; celui des entiers relatifs est $Z = {\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots}$ .
L'ensemble des nombres décimaux est $D = {\frac{a}{1 0 ^{n}} a \in Z, n \in N}$ : ce sont les nombres admettant une écriture décimale finie.
L'ensemble des nombres rationnels est $Q = {\frac{p}{q} p \in Z, q \in N^{*}}$ .
L'ensemble des nombres réels est noté $R$ . Un réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel : l'ensemble des irrationnels est $R ∖ Q$ .

On a la chaîne d'inclusions, toutes strictes :

$N \subset Z \subset D \subset Q \subset R .$

Exemple 1.37

$- 3 \in Z ∖ N$ ; $\frac{7}{4} = \frac{175}{100} = 1, 75 \in D ∖ Z$ ; $\frac{1}{3} \in Q ∖ D$ ; $2 \in R ∖ Q$ (démontré par l'absurde dans la première section de ce chapitre).

Justifions que $\frac{1}{3} \in / D$ : si l'on avait $\frac{1}{3} = \frac{a}{1 0 ^{n}}$ , alors $1 0^{n} = 3 a$ , donc $3$ diviserait $1 0^{n}$ . Or la décomposition en facteurs premiers de $1 0^{n}$ est $2^{n} \times 5^{n}$ , dans laquelle $3$ n'apparaît pas : par unicité de la décomposition, $3 ∤ 1 0^{n}$ — contradiction.

iRemarque

La construction des ensembles de nombres usuels, en particulier celle de $R$ , est hors programme : leurs propriétés (règles de calcul usuelles, ordre) sont admises. L'étude approfondie de $R$ (borne supérieure, approximations décimales) sera menée dans le chapitre consacré aux nombres réels et aux suites.

1.5 Applications

1.5.1 Définitions de base

Définition 1.38Application

Une application $f$ d'un ensemble $E$ (départ) dans un ensemble $F$ (arrivée) associe à chaque élément $x \in E$ un unique élément $f (x) \in F$ . L'ensemble de toutes les applications de $E$ dans $F$ est noté $F (E, F)$ ou $F^{E}$ .

Définition 1.39Graphe

Le graphe d'une application $f : E \to F$ est la partie $G_{f}$ de $E \times F$ définie par :

$G_{f} = {(x, f (x)) \in E \times F ∣ x \in E}$

Définition 1.40Famille

Soit $I$ et $E$ deux ensembles. Une famille d'éléments de $E$ indexée par $I$ , notée $(x_{i})_{i \in I}$ , est une application $x : I \to E$ qui à $i \in I$ associe $x_{i} = x (i) \in E$ .

1.5.2 Outils associés aux applications

Définition 1.41Fonction indicatrice

Soit $E$ un ensemble et $A \subset E$ une partie. La fonction indicatrice de $A$ , notée $1_{A}$ , est l'application définie de $E$ dans ${0, 1}$ par :

$\forall x \in E, 1_{A} (x) = {10 si x \in A sinon$

Définition 1.42Restriction et prolongement

Soit $f : E \to F$ une application.

Pour $A \subset E$ , la restriction de $f$ à $A$ , notée $f_{∣ A}$ , est l'application de $A$ dans $F$ définie par :

$\forall x \in A, f_{∣ A} (x) = f (x)$

Si $g$ est une restriction de $f$ à $A$ , on dit que $f$ est un prolongement de $g$ à $E$ .

Définition 1.43Image directe et image réciproque

Soit $f : E \to F$ une application.

Soit $A \subset E$ . L'image directe de $A$ par $f$ , notée $f (A)$ , est la partie de $F$ définie par :

$f (A) = {f (x) \in F ∣ x \in A}$

Soit $B \subset F$ . L'image réciproque de $B$ par $f$ , notée $f^{- 1} (B)$ , est la partie de $E$ définie par :

$f^{- 1} (B) = {x \in E ∣ f (x) \in B}$

Attention

La notation $f^{- 1} (B)$ désigne l'image réciproque d'une partie et est définie pour toute application, même si celle-ci n'est pas bijective. Elle ne doit pas être confondue avec l'application réciproque $f^{- 1}$ , qui n'existe que sous condition de bijectivité.

Définition 1.44Composition

Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux applications. La composée $g \circ f$ est l'application de $E$ dans $G$ définie par :

$\forall x \in E, (g \circ f) (x) = g (f (x))$

1.5.3 Propriétés globales des applications

Définition 1.45Injectivité, surjectivité, bijectivité

Soit $f : E \to F$ une application.

$f$ est dite injective si :

$\forall x, x^{'} \in E, f (x) = f (x^{'}) \Rightarrow x = x^{'}$

$f$ est dite surjective si :

$\forall y \in F, \exists x \in E, f (x) = y$

$f$ est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, tout élément $y \in F$ admet un unique antécédent dans $E$ , noté $f^{- 1} (y)$ .

Lecture sur les diagrammes : $f$ est injective lorsque chaque élément de $F$ reçoit au plus une flèche, surjective lorsqu'il en reçoit au moins une, bijective lorsqu'il en reçoit exactement une.

Proposition 1.46Composition et injectivité/surjectivité

Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux applications.

Si $f$ et $g$ sont injectives, alors $g \circ f$ est injective.
Si $f$ et $g$ sont surjectives, alors $g \circ f$ est surjective.
Si $g \circ f$ est bijective, alors $f$ est injective et $g$ est surjective.

Proposition 1.47Réciproque d'une composée

Si $f : E \to F$ et $g : F \to G$ sont deux applications bijectives, alors $g \circ f : E \to G$ est bijective et sa bijection réciproque vérifie :

$(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$

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Raisonnement et vocabulaire ensembliste

<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>1.1 Introduction et motivation

1.2 Rudiments de logique

1.2.1 Assertions et connecteurs logiques

1.2.2 Quantificateurs

1.2.3 Modes de raisonnement

Raisonnement par disjonction des cas

Raisonnement par contraposition

Raisonnement par l'absurde

Raisonnement par analyse-synthèse

1.2.4 Raisonnement par récurrence

1.3 Vocabulaire des ensembles

1.3.1 Ensemble, appartenance et inclusion

1.3.2 Opérations sur les parties d'un ensemble

1.3.3 Produit cartésien et ensemble des parties

1.3.4 Partition d'un ensemble

1.4 Ensembles de nombres usuels

1.4.1 Divisibilité dans N

1.4.2 Division euclidienne

1.4.3 PGCD, PPCM et algorithme d'Euclide

1.4.4 Nombres premiers

1.4.5 Entiers relatifs, décimaux, rationnels, réels, irrationnels

1.5 Applications

1.5.1 Définitions de base

1.5.2 Outils associés aux applications

1.5.3 Propriétés globales des applications

1.4.1 Divisibilité dans $N$