Calcul algébrique et trigonométrie

Cours · mathématiques (PTSI), chapitre 2 · CPGE PTSI (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le cercle trigonométrique et la sinusoïde, reliés par le sinus du même angle.

2.1 Introduction et motivation

Ce chapitre est une « boîte à outils » : il rassemble les techniques de calcul qui serviront dans tous les chapitres suivants, en mathématiques comme en physique ou en informatique. Quatre savoir-faire y sont développés : la manipulation des sommes et des produits (jusqu'à la formule du binôme), la résolution de petits systèmes linéaires par l'algorithme du pivot, le maniement rigoureux des inégalités, et enfin la trigonométrie, dont le cercle trigonométrique est l'outil central.

Aucun de ces thèmes n'est difficile isolément ; c'est leur maîtrise rapide et sûre qui fait la différence, en colle comme en concours.

2.2 Sommes et produits

2.2.1 Notations $\sum$ et $\prod$

Définition 2.1Somme et produit d'une famille finie

Soit $(a_{i})_{i \in I}$ une famille finie de nombres réels (ou complexes) indexée par un ensemble fini $I$ . On note :

$i \in I \sum a_{i} la somme des a_{i}, i \in I \prod a_{i} le produit des a_{i} .$

Lorsque $I = {p, p + 1, \dots, n}$ avec $p \leq n$ , on écrit :

$i = p \sum n a_{i} = a_{p} + a_{p + 1} + \dots + a_{n}, i = p \prod n a_{i} = a_{p} \times a_{p + 1} \times \dots \times a_{n} .$

Important

Conventions pour l'ensemble vide. Si $I = \emptyset$ (par exemple $\sum_{i = p}^{n}$ avec $p > n$ ) :

$i \in \emptyset \sum a_{i} = 0 et i \in \emptyset \prod a_{i} = 1.$

Ces conventions rendent les formules générales valables sans cas particulier : $0$ est neutre pour l'addition, $1$ pour la multiplication.

iRemarque

Dans la pratique, on a parfaitement le droit de présenter un calcul avec des points de suspension : $1 + 2 + \dots + n$ . Le symbole $\sum$ n'est qu'une écriture compacte et non ambiguë de la même chose.

2.2.2 Règles de calcul

Proposition 2.2Règles de calcul sur les sommes

Pour toutes familles $(a_{k})$ , $(b_{k})$ et tout scalaire $λ$ :

Linéarité : $k = p \sum n (a_{k} + b_{k}) = k = p \sum n a_{k} + k = p \sum n b_{k}$ et $k = p \sum n λ a_{k} = λ k = p \sum n a_{k}$ .
Relation de Chasles : $k = p \sum n a_{k} = k = p \sum m a_{k} + k = m + 1 \sum n a_{k}$ pour tout $m$ tel que $p \leq m \leq n$ .
Indice muet : $k = p \sum n a_{k} = i = p \sum n a_{i}$ : le nom de l'indice n'a aucune importance.

Attention

La somme d'un produit n'est pas le produit des sommes : en général $\sum a_{k} b_{k} \neq = (\sum a_{k}) (\sum b_{k})$ . De même, $λ$ ne peut sortir de la somme que s'il ne dépend pas de l'indice de sommation.

2.2.3 Changements d'indice et regroupements

Proposition 2.3Changement d'indice

Pour tout entier $m \in Z$ (décalage) :

$k = p \sum n a_{k} = j = p + m \sum n + m a_{j - m} (j = k + m),$

et pour le renversement de l'ordre de sommation :

$k = p \sum n a_{k} = j = p \sum n a_{p + n - j} (j = p + n - k) .$

Exemple 2.4

En posant $j = k - 2$ : $k = 2 \sum 5 k^{2} = j = 0 \sum 3 (j + 2)^{2}$ .

Exemple 2.5Regroupement de termes

Pour calculer $S = k = 0 \sum 2 n (- 1)^{k} k$ , on regroupe les termes deux par deux : pour $1 \leq j \leq n$ , $- (2 j - 1) + 2 j = 1$ , d'où $S = 0 + n \times 1 = n$ . On peut aussi séparer indices pairs et impairs :

$S = j = 0 \sum n 2 j - j = 1 \sum n (2 j - 1) = n (n + 1) - n^{2} = n .$

2.2.4 Sommes télescopiques

Proposition 2.6Télescopage

Soit $(u_{k})$ une suite. Pour tous entiers $p \leq n$ :

$k = p \sum n (u_{k + 1} - u_{k}) = u_{n + 1} - u_{p}, et si les u_{k} sont non nuls : k = p \prod n \frac{u _{k + 1}}{u _{k}} = \frac{u _{n + 1}}{u _{p}} .$

Démonstration

En écrivant la somme avec des points de suspension, tous les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux :

$(u_{p + 1} - u_{p}) + (u_{p + 2} - u_{p + 1}) + \dots + (u_{n + 1} - u_{n}) = u_{n + 1} - u_{p} .$

Le cas multiplicatif est identique, les quotients intermédiaires se simplifiant en cascade.

Exemple 2.7

$k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )} = k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$ .

$k = 1 \prod n (1 + \frac{1}{k}) = k = 1 \prod n \frac{k + 1}{k} = \frac{n + 1}{1} = n + 1$ .

2.2.5 Sommes usuelles

Proposition 2.8Sommes de référence

Pour tout $n \in N^{*}$ et tout réel $x \neq = 1$ :

$k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}, k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, k = 0 \sum n x^{k} = \frac{1 - x ^{n + 1}}{1 - x} .$

(Pour $x = 1$ , la somme géométrique vaut évidemment $n + 1$ .)

Démonstration (Démonstration pour

\sum k

(méthode de Gauss))

Notons $S = 1 + 2 + \dots + n$ . En écrivant la même somme dans l'ordre inverse et en ajoutant terme à terme :

$2 S = n termes e ˊ gaux a ˋ n + 1 (1 + n) + (2 + (n - 1)) + \dots + (n + 1) = n (n + 1),$

d'où $S = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

Démonstration (Démonstration pour

\sum k^{2}

(par récurrence))

Initialisation : pour $n = 1$ , la somme vaut $1$ et la formule donne $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$ .
Hérédité : si la formule est vraie au rang $n$ , alors

$k = 1 \sum n + 1 k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + (n + 1)^{2} = (n + 1) \frac{2 n ^{2} + 7 n + 6}{6} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 2 n + 3 )}{6},$

car $2 n^{2} + 7 n + 6 = (n + 2) (2 n + 3)$ : c'est la formule au rang $n + 1$ .

Démonstration (Démonstration pour la somme géométrique)

Notons $S = \sum_{k = 0}^{n} x^{k}$ . Alors $x S = \sum_{k = 1}^{n + 1} x^{k}$ , et par différence presque tous les termes s'éliminent :

$(1 - x) S = x^{0} - x^{n + 1} = 1 - x^{n + 1} .$

Comme $x \neq = 1$ , on peut diviser par $1 - x$ .

iRemarque

On retiendra aussi $k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2}$ : la somme des cubes est le carré de la somme des entiers. Elle se démontre par récurrence, ou par télescopage en sommant l'identité $(k + 1)^{4} - k^{4} = 4 k^{3} + 6 k^{2} + 4 k + 1$ .

2.2.6 Factorisation de $a^{n} - b^{n}$

Proposition 2.9Factorisation fondamentale

Pour tous réels (ou complexes) $a, b$ et tout entier $n \geq 1$ :

$a^{n} - b^{n} = (a - b) k = 0 \sum n - 1 a^{k} b^{n - 1 - k} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) .$

Démonstration

Développons le membre de droite :

$(a - b) k = 0 \sum n - 1 a^{k} b^{n - 1 - k} = k = 0 \sum n - 1 a^{k + 1} b^{n - 1 - k} - k = 0 \sum n - 1 a^{k} b^{n - k} .$

Le changement d'indice $j = k + 1$ dans la première somme la transforme en $\sum_{j = 1}^{n} a^{j} b^{n - j}$ : les deux sommes coïncident alors sur les indices $1 \leq j \leq n - 1$ , et il ne reste que $a^{n} - b^{n}$ .

Exemple 2.10

Avec $b = 1$ : $x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + \dots + x + 1)$ — on retrouve la somme géométrique. Avec $n = 3$ : $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .

2.2.7 Sommes doubles

Définition 2.11Somme double

Soit $(a_{i, j})$ une famille de réels indexée par les couples $(i, j)$ avec $1 \leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq p$ . La somme de la famille se calcule « ligne par ligne » ou « colonne par colonne » :

$1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p \sum a_{i, j} = i = 1 \sum n (j = 1 \sum p a_{i, j}) = j = 1 \sum p (i = 1 \sum n a_{i, j}) .$

Proposition 2.12Produit de deux sommes

Si $a_{i, j} = b_{i} c_{j}$ (variables séparées), la somme double se factorise :

$i = 1 \sum n j = 1 \sum p b_{i} c_{j} = (i = 1 \sum n b_{i}) (j = 1 \sum p c_{j}) .$

Exemple 2.13

$i = 1 \sum n j = 1 \sum n ij = (i = 1 \sum n i)^{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}$ .

Définition 2.14Sommes triangulaires

Lorsque le domaine d'indices est le triangle $1 \leq i \leq j \leq n$ , on peut sommer dans les deux ordres :

$1 \leq i \leq j \leq n \sum a_{i, j} = j = 1 \sum n i = 1 \sum j a_{i, j} = i = 1 \sum n j = i \sum n a_{i, j} .$

Exemple 2.15Une somme triangulaire classique

Calculons $S = 1 \leq i \leq j \leq n \sum i$ . À $j$ fixé, $\sum_{i = 1}^{j} i = \frac{j ( j + 1 )}{2}$ , donc :

$S = \frac{1}{2} j = 1 \sum n (j^{2} + j) = \frac{1}{2} (\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + \frac{n ( n + 1 )}{2}) = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6} .$

Attention

Quand on intervertit deux sommes sur un domaine triangulaire, les bornes changent : $\sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{j}$ devient $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = i}^{n}$ . Dessiner le domaine ${(i, j) : 1 \leq i \leq j \leq n}$ évite toute erreur.

2.2.8 Factorielle et coefficients binomiaux

Définition 2.16Factorielle

Pour tout $n \in N$ : $0! = 1$ et, pour $n \geq 1$ , $n! = \prod_{k = 1}^{n} k = 1 \times 2 \times \dots \times n$ . On a la relation de récurrence $(n + 1)! = (n + 1) \times n!$ .

Définition 2.17Coefficients binomiaux

Pour $n \in N$ et $k \in Z$ :

$(k n) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{n !}{k ! ( n - k )!} 0 si 0 \leq k \leq n, si k < 0 ou k > n .$

$(k n)$ se lit « $k$ parmi $n$ » : c'est le nombre de façons de choisir $k$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments.

iRemarque

La convention $(k n) = 0$ hors de $0 \leq k \leq n$ est précieuse : elle permet d'écrire des formules sommatoires sans se soucier des bornes exactes.

Proposition 2.18Propriétés immédiates

Pour $n \in N$ et $0 \leq k \leq n$ :

Symétrie : $(k n) = (n - k n)$ .
Valeurs particulières : $(0 n) = (n n) = 1$ , $(1 n) = n$ , $(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .
Absorption (formule du pion) : $k (k n) = n (k - 1 n - 1)$ pour $k \geq 1$ .

Proposition 2.19Relation de Pascal

Pour tous $n, k \in N$ :

$(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1) .$

Démonstration

Pour $0 \leq k \leq n$ , réduisons au dénominateur commun $(k + 1)! (n - k)!$ :

$(k n) + (k + 1 n) = \frac{n ! ( k + 1 )}{( k + 1 )! ( n - k )!} + \frac{n ! ( n - k )}{( k + 1 )! ( n - k )!} = \frac{n ! ( n + 1 )}{( k + 1 )! ( n - k )!} = (k + 1 n + 1) .$

(Les cas hors bornes sont immédiats grâce à la convention.)

Exercices du chapitre

Encadrer une somme par un télescopage corrigé
Trois sommes doubles, trois découpages du carré corrigé
Le profil des coefficients binomiaux corrigé
Un système à paramètre et les valeurs qui annulent un pivot corrigé
Majorer l'erreur sur un produit et sur un quotient corrigé
L'inégalité à $ε$ près corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre

Calcul algébrique et trigonométrie

2.1 Introduction et motivation

2.2 Sommes et produits

2.2.1 Notations ∑ et ∏

2.2.2 Règles de calcul

2.2.3 Changements d'indice et regroupements

2.2.4 Sommes télescopiques

2.2.5 Sommes usuelles

2.2.6 Factorisation de an−bn

2.2.7 Sommes doubles

2.2.8 Factorielle et coefficients binomiaux

Exercices du chapitre

2.2.1 Notations $\sum$ et $\prod$

2.2.6 Factorisation de $a^{n} - b^{n}$