Intégration

Cours · mathématiques (PTSI), chapitre 14 · CPGE PTSI (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'aire sous une courbe, approchée par une somme de rectangles.

14.1 Introduction et motivation

Le chapitre 4 a manipulé les intégrales en s'appuyant sur les primitives ; ce chapitre fonde la notion : l'objectif principal est de définir l'intégrale d'une fonction continue sur un segment et d'en établir les propriétés principales, achevant ainsi la justification des techniques de calcul du chapitre 4. La construction complète de l'intégrale est hors des attentes du programme, mais les fonctions en escalier qui ouvrent le chapitre en donnent l'idée directrice. C'est aussi l'occasion de revenir sur les techniques de calcul, de traiter des exercices d'esprit plus théorique, et de retrouver la problématique de l'approximation : les sommes de Riemann et la comparaison des méthodes des rectangles et des trapèzes prolongent les vitesses de convergence des chapitres 6 et 8.

On travaille d'abord avec des fonctions à valeurs réelles ; une brève extension aux fonctions à valeurs complexes — en séparant parties réelle et imaginaire — clôt le chapitre.

14.2 Subdivisions et fonctions en escalier

Définition 14.1Subdivisions, fonctions en escalier

Une subdivision du segment $[a, b]$ est une suite finie $σ = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n})$ avec $a = a_{0} < a_{1} < \dots < a_{n} = b$ ; son pas est $max_{i} (a_{i + 1} - a_{i})$ . Une fonction $φ : [a, b] \to R$ est en escalier s'il existe une subdivision telle que $φ$ soit constante sur chaque intervalle ouvert $] a_{i}, a_{i + 1} [$ (les valeurs aux points $a_{i}$ sont quelconques).

Définition 14.2Intégrale d'une fonction en escalier

Si $φ$ vaut $c_{i}$ sur chaque $] a_{i}, a_{i + 1} [$ , on pose

$\int_{[a, b]} φ = i = 0 \sum n - 1 (a_{i + 1} - a_{i}) c_{i} :$

la somme des aires algébriques des rectangles. Cette valeur ne dépend ni de la subdivision adaptée choisie (raffiner : couper un rectangle en deux ne change pas son aire), ni des valeurs de $φ$ aux points $a_{i}$ .

iRemarqueSensibilisation à la construction de l'intégrale

Les fonctions en escalier sont les briques de la construction de l'intégrale : toute fonction continue sur un segment peut être approchée, d'aussi près que l'on veut, par des fonctions en escalier, et l'on définit alors $\int f$ comme la limite de leurs intégrales. Cette construction n'est pas un attendu du programme — le théorème d'existence ci-dessous est admis — mais l'idée doit être retenue : l'intégrale est une aire de rectangles, poussée à la limite.

14.3 Intégrale d'une fonction continue sur un segment

◆Théorème 14.3Définition de l'intégrale (admise)

À toute fonction $f$ continue sur $[a, b]$ , à valeurs réelles, on associe son intégrale

$\int_{[a, b]} f = \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} f (t) d t \in R,$

obtenue par approximation à partir des fonctions en escalier (leurs intégrales convergent quand l'approximation s'affine ; la construction n'est pas un attendu du programme). Interprétation géométrique : $\int_{a}^{b} f$ est l'aire algébrique entre la courbe et l'axe — comptée positivement au-dessus, négativement en dessous.

◆Théorème 14.4Propriétés fondamentales

Pour $f, g$ continues sur $[a, b]$ ( $a \leq b$ ), à valeurs réelles :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (λ f + μg) = λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g$ ;
Positivité et croissance : $f \geq 0 \Rightarrow \int_{a}^{b} f \geq 0$ ; $f \leq g \Rightarrow \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ ;
Inégalité triangulaire intégrale : $\int_{[a, b]} f \leq \int_{[a, b]} ∣ f ∣$ ;
Relation de Chasles : $\int_{a}^{c} f = \int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f$ .

On étend la notation au cas $b \leq a$ en posant $\int_{a}^{b} f = - \int_{b}^{a} f$ : la linéarité et Chasles subsistent (mais les inégalités exigent des bornes croissantes !).

Exercices du chapitre

Encadrer une fonction monotone par deux fonctions en escalier corrigé
Des moments nuls forcent des zéros corrigé
L'inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale, et la valeur efficace corrigé
Un poids qui se concentre lit la valeur au bord corrigé
Un produit qui tend vers quatre sur e corrigé
L'intégrale logarithmique, dérivée sans primitive corrigé

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