Déterminants

Cours complet · mathématiques (PTSI), chapitre 13 · CPGE PTSI (1re année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>13.1 Introduction et motivation

Comment décider d'un coup d'œil qu'une famille de $n$ vecteurs est une base ? Comment mesurer l'effet d'un endomorphisme sur les aires et les volumes ? La réponse tient en un seul nombre : le déterminant. Plutôt que de le définir par une formule, nous partons des propriétés que la géométrie des aires et volumes algébriques (orientés) impose à une application définie sur les colonnes d'une matrice carrée — linéarité par rapport à chaque colonne, changement de signe quand on échange deux colonnes, valeur $1$ sur $I_{n}$ — et nous admettons le théorème qui garantit qu'un unique objet les possède. En dimensions $2$ et $3$ , les expressions explicites ( $a d - b c$ et la règle de Sarrus) prolongent directement le produit mixte de la géométrie du chapitre 9 ; l'effet des opérations élémentaires et le développement selon une ligne ou une colonne fournissent ensuite tous les outils de calcul.

Ce chapitre, placé en fin d'année, fait partie des passages du programme signalés par une étoile : il sera entièrement réenseigné et approfondi en deuxième année PT. L'objectif de cette première rencontre est avant tout pratique : comprendre ce que mesure le déterminant, et savoir le calculer simplement par opérations élémentaires pour tester une inversibilité ou une base.

13.2 Déterminant d'une matrice carrée

iRemarqueLa motivation géométrique

L'aire algébrique du parallélogramme construit sur deux vecteurs $u, v$ du plan a trois propriétés caractéristiques : elle est linéaire en chaque vecteur (doubler $u$ double l'aire ; concaténer deux parallélogrammes additionne les aires), elle est orientée : échanger $u$ et $v$ change son signe, et elle vaut $1$ sur le carré unité. Le déterminant axiomatise exactement ces propriétés, appliquées aux colonnes d'une matrice carrée, en toute dimension.

◆Théorème 13.1Existence et unicité du déterminant

Il existe une unique application $f : M_{n} (K) \to K$ vérifiant les trois propriétés suivantes :

$f$ est linéaire par rapport à chacune des colonnes de sa variable (les autres étant fixées) ;
$f$ est antisymétrique par rapport aux colonnes de sa variable : échanger deux colonnes change le signe de $f$ ;
$f (I_{n}) = 1$ .

On note $det (A)$ le nombre $f (A)$ , pour toute matrice $A$ de $M_{n} (K)$ .

iRemarque

La démonstration de ce théorème pour $n \geq 4$ , ainsi que la notion générale de forme multilinéaire, sont hors programme : nous l'admettons, et nous en tirons toutes les conséquences pratiques — pour $n \in {2, 3}$ , les formules explicites ci-dessous le rendent parfaitement concret. Le vocabulaire des formes multilinéaires alternées, le groupe symétrique et les formules de Cramer sont également hors programme : seules comptent les trois propriétés du théorème et l'art de s'en servir.

Proposition 13.2Premières propriétés

Le déterminant d'une matrice ayant deux colonnes égales est nul.
Si les colonnes de $A$ forment une famille liée — en particulier si une colonne est nulle —, alors $det (A) = 0$ . Et $det (A)$ est inchangé quand on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres.
$det (λ A) = λ^{n} det (A)$ pour $λ \in K$ (la linéarité s'applique colonne par colonne : $λ$ sort $n$ fois, pas une !).

Démonstration

Colonnes égales : échanger ces deux colonnes change le signe du déterminant (antisymétrie) mais ne change pas la matrice, donc $det (A) = - det (A)$ , c'est-à-dire $det (A) = 0$ . Colonnes liées : l'une des colonnes est combinaison linéaire des autres ; en développant par linéarité par rapport à cette colonne, chaque terme est le déterminant d'une matrice ayant deux colonnes égales, donc nul. L'invariance par ajout d'une combinaison linéaire des autres colonnes s'en déduit par linéarité, et $det (λ A)$ s'obtient en sortant $λ$ de chacune des $n$ colonnes.

Proposition 13.3Expression en dimensions 2 et 3

En dimension $2$ :

$det (a b c d) = a d - b c,$

et en dimension $3$ :

$det a_{1} a_{2} a_{3} b_{1} b_{2} b_{3} c_{1} c_{2} c_{3} = a_{1} b_{2} c_{3} + b_{1} c_{2} a_{3} + c_{1} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} c_{1} - b_{3} c_{2} a_{1} - c_{3} a_{2} b_{1}$

— c'est la règle de Sarrus, valable uniquement en dimension $3$ .

Démonstration (Principe en dimension 2)

Notons $e_{1}, e_{2}$ les colonnes de $I_{2}$ ; les colonnes de la matrice s'écrivent $C_{1} = a e_{1} + b e_{2}$ et $C_{2} = c e_{1} + d e_{2}$ . Développons par linéarité par rapport à chaque colonne : le déterminant est la somme des $det (e_{i} ∣ e_{j})$ pondérés par les coefficients correspondants. Les termes à deux colonnes égales sont nuls ; restent $det (e_{1} ∣ e_{2}) = det (I_{2}) = 1$ et $det (e_{2} ∣ e_{1}) = - 1$ (antisymétrie), d'où $a d - b c$ . Le même développement en dimension $3$ ( $27$ termes, dont $6$ survivent) conduit à la règle de Sarrus — vérification non exigible.

iRemarqueLe lien avec le produit mixte du chapitre 9

Pour $n \in {2, 3}$ , on retrouve exactement le produit mixte de la géométrie du chapitre 9 : si les colonnes de $A$ sont les coordonnées de $u, v$ (resp. de $u, v, w$ ) dans une base orthonormée directe, alors

$det (A) = [u, v] (aire orient e ˊ e du parall e ˊ logramme), det (A) = [u, v, w] = (u \land v) \cdot w (volume orient e ˊ du parall e ˊ l e ˊ pip e ˋ de) .$

Les trois propriétés du théorème d'existence sont précisément celles du produit mixte ; le déterminant les prolonge à toute dimension, et l'intuition « aire ou volume algébrique » reste le meilleur guide.

Exemple 13.4Aires et volumes orientés

Ainsi $det (1324) = 1 \times 4 - 3 \times 2 = - 2$ : le parallélogramme construit sur $(1, 3)$ et $(2, 4)$ a pour aire $2$ , et la famille est dans le sens indirect — c'est le produit mixte $[u, v]$ du chapitre 9, calculé comme un déterminant $2 \times 2$ .

13.3 Propriétés du déterminant

◆Théorème 13.5Propriétés fondamentales

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul : $A \in GL_{n} (K) ⟺ det A \neq = 0$ ;
$det (A B) = det (A) det (B)$ (démonstration hors programme) ; en particulier, si $A$ est inversible, $det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A}$ (prendre le déterminant de $A A^{- 1} = I_{n}$ ) ;
$det (A^{⊤}) = det (A)$ (démonstration hors programme) : le déterminant vérifie donc les mêmes propriétés vis-à-vis des lignes que des colonnes — tout ce qui a été dit sur les colonnes vaut pour les lignes.

13.4 Calcul des déterminants

◆Théorème 13.6Effet des opérations élémentaires

$C_{i} \leftarrow C_{i} + λ C_{j}$ (transvection) : déterminant inchangé ;
$C_{i} \leftrightarrow C_{j}$ (échange) : déterminant multiplié par $- 1$ ;
$C_{i} \leftarrow λ C_{i}$ (dilatation) : déterminant multiplié par $λ$ ;

et de même pour les lignes. Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des coefficients diagonaux — d'où la stratégie : échelonner en comptabilisant les opérations.

Définition 13.7Cofacteurs et développement

Le cofacteur d'indice $(i, j)$ de $A$ est $Δ_{i, j} = (- 1)^{i + j} det (A_{i, j})$ , où $A_{i, j}$ est la matrice $(n - 1) \times (n - 1)$ obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ . Développement par rapport à la ligne $i$ (ou à la colonne $j$ ) :

$det A = j = 1 \sum n a_{i, j} Δ_{i, j} = i = 1 \sum n a_{i, j} Δ_{i, j} .$

(La démonstration de ces formules n'est pas exigible, et la notion de comatrice est hors programme.) En pratique : développer le long d'une ligne ou colonne riche en zéros — qu'on aura préparée par opérations élémentaires.

ImportantMéthode : calculer un déterminant

Deux réflexes complémentaires : échelonner par transvections (déterminant inchangé) jusqu'à une matrice triangulaire, en comptabilisant échanges ( $\times (- 1)$ ) et dilatations ( $\times λ$ ) ; ou développer selon une ligne ou colonne riche en zéros, éventuellement préparée par quelques opérations. Et toujours penser à factoriser d'abord (une constante en facteur d'une ligne ou d'une colonne sort du déterminant, par linéarité).

13.5 Déterminant d'une famille de vecteurs, d'un endomorphisme

Définition 13.8Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension $n$ , $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ et $(x_{1}, \dots, x_{n})$ une famille de $n$ vecteurs de $E$ . Le déterminant de la famille dans la base $e$ , noté $det_{e} (x_{1}, \dots, x_{n})$ , est le déterminant de la matrice de la famille dans la base $e$ (chapitre 12) — celle dont la $j$ -ième colonne est formée des coordonnées de $x_{j}$ dans $e$ .

◆Théorème 13.9Caractérisation des bases

La famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est une base de $E$ si et seulement si $det_{e} (x_{1}, \dots, x_{n}) \neq = 0$ .

Démonstration

La famille est une base de $E$ si et seulement si sa matrice dans la base $e$ est inversible (chapitre 12), c'est-à-dire si et seulement si son déterminant est non nul.

Attention

La formule de changement de base pour un déterminant est hors programme : on ne cherchera pas à comparer $det_{e}$ et $det_{e^{'}}$ pour deux bases $e$ et $e^{'}$ de $E$ . On retient seulement la caractérisation ci-dessus — qui, elle, vaut quelle que soit la base $e$ dans laquelle on calcule.

Définition 13.10Déterminant d'un endomorphisme

Soit $u \in L (E)$ . Les matrices de $u$ dans deux bases de $E$ sont semblables (chapitre 12) : $B = P^{- 1} A P$ , donc $det (B) = det (P^{- 1}) det (A) det (P) = det (A)$ — deux matrices semblables ont le même déterminant. Ce scalaire commun à toutes les bases est le déterminant de l'endomorphisme $u$ , noté $det (u)$ .

◆Théorème 13.11Composée et automorphismes

Les propriétés du déterminant d'une matrice se traduisent directement sur les endomorphismes :

$det (v \circ u) = det (v) det (u), u \in GL (E) ⟺ det (u) \neq = 0, et alors det (u^{- 1}) = \frac{1}{det u} .$

iRemarqueInterprétation géométrique

En dimension $2$ (resp. $3$ ), le produit mixte du chapitre 9 donne tout son sens à ce nombre : $det (u)$ est le facteur par lequel $u$ multiplie les aires (resp. les volumes) orientés. Un endomorphisme de déterminant $1$ conserve aires et orientation ; un déterminant négatif signale une orientation renversée (effet « miroir »).

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