Déterminants

L'aire algébrique du parallélogramme construit sur deux vecteurs $u,v$ du plan a trois propriétés caractéristiques : elle est linéaire en chaque vecteur (doubler $u$ double l'aire ; concaténer deux parallélogrammes additionne les aires), elle est orientée : échanger $u$ et $v$ change son signe, et elle vaut $1$ sur le carré unité. Le déterminant axiomatise exactement ces propriétés, appliquées aux colonnes d'une matrice carrée, en toute dimension.

Il existe une unique application $f:{\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})\to \mathbb{K}$ vérifiant les trois propriétés suivantes :

• $f$ est linéaire par rapport à chacune des colonnes de sa variable (les autres étant fixées) ;
• $f$ est antisymétrique par rapport aux colonnes de sa variable : échanger deux colonnes change le signe de $f$ ;
• $f(I_n)=1$.

On note $\det (A)$ le nombre $f(A)$, pour toute matrice $A$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

La démonstration de ce théorème pour $n\ge 4$, ainsi que la notion générale de forme multilinéaire, sont hors programme : nous l'admettons, et nous en tirons toutes les conséquences pratiques — pour $n\in \{2,3\}$, les formules explicites ci-dessous le rendent parfaitement concret. Le vocabulaire des formes multilinéaires alternées, le groupe symétrique et les formules de Cramer sont également hors programme : seules comptent les trois propriétés du théorème et l'art de s'en servir.

• Le déterminant d'une matrice ayant deux colonnes égales est nul.
• Si les colonnes de $A$ forment une famille liée — en particulier si une colonne est nulle —, alors $\det (A)=0$. Et $\det (A)$ est inchangé quand on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres.
• $\det (\lambda A)={\lambda }^n\det (A)$ pour $\lambda \in \mathbb{K}$ (la linéarité s'applique colonne par colonne : $\lambda$ sort $n$ fois, pas une !).