Matrices

Dans ${\mathbb{R}}^2$ muni de la base canonique $(e_1,e_2)$, soit $r_{\theta }$ la rotation vectorielle d'angle $\theta$. Elle envoie $e_1$ sur $(\cos \theta ,\sin \theta )$ et $e_2$ sur $(-\sin \theta ,\cos \theta )$ — ce sont les colonnes :

$${\mathrm{Mat}}_{(e_1,e_2)}(r_{\theta })=R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right).$$

On retrouve les matrices $R(\theta )$ du chapitre 7, et le dictionnaire ci-dessous donnera $\mathrm{Mat}(r_{\theta }\circ r_{{\theta }^{\prime }})=R(\theta )R({\theta }^{\prime })=R(\theta +{\theta }^{\prime })$ : composer les rotations, c'est ajouter les angles. Quant à l'homothétie $h_{\lambda }=\lambda {\mathrm{id}}_E$ d'un espace $E$ de dimension $n$, chaque vecteur de base est envoyé sur $\lambda$ fois lui-même : sa matrice est $\lambda I_n$ — dans n'importe quelle base.

Les bases $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$ étant fixées :

• Coordonnées de l'image : pour tout $x\in E$,

$${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{C}}(u(x))={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\cdot {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(x)\text{— en abreˊgeˊ : }Y=AX.$$

• Combinaison linéaire : pour $u,v\in \mathcal{L}(E,F)$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{K}$, ${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(\lambda u+\mu v)=\lambda {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)+\mu {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(v)$ ; ainsi $u\mapsto {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E,F)$ sur ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ — d'où le calcul de la dimension : $\dim \mathcal{L}(E,F)=\dim {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})=np$.
• Composition : $\mathrm{Mat}(v\circ u)=\mathrm{Mat}(v)\mathrm{Mat}(u)$ (avec des bases compatibles) — le produit matriciel a été défini exactement pour cela.
• $u$ est un isomorphisme si et seulement si sa matrice est inversible, et alors la matrice de la réciproque est l'inverse de la matrice : $\mathrm{Mat}\left(u^{-1}\right)=\mathrm{Mat}(u{)}^{-1}$.
• Cas des endomorphismes : $u\mapsto {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(u)$ identifie $\mathcal{L}(E)$ et ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ en transformant la composition en produit matriciel — avec $\mathrm{GL}(E)$ en face de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$.