Matrices

Dans ${\mathbb{R}}^2$ muni de la base canonique $(e_1,e_2)$, soit $r_{\theta }$ la rotation vectorielle d'angle $\theta$. Elle envoie $e_1$ sur $(\cos \theta ,\sin \theta )$ et $e_2$ sur $(-\sin \theta ,\cos \theta )$ — ce sont les colonnes :

$${\mathrm{Mat}}_{(e_1,e_2)}(r_{\theta })=R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right).$$

On retrouve les matrices $R(\theta )$ du chapitre 7, et le dictionnaire ci-dessous donnera $\mathrm{Mat}(r_{\theta }\circ r_{{\theta }^{\prime }})=R(\theta )R({\theta }^{\prime })=R(\theta +{\theta }^{\prime })$ : composer les rotations, c'est ajouter les angles. Quant à l'homothétie $h_{\lambda }=\lambda {\mathrm{id}}_E$ d'un espace $E$ de dimension $n$, chaque vecteur de base est envoyé sur $\lambda$ fois lui-même : sa matrice est $\lambda I_n$ — dans n'importe quelle base.

Les bases $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$ étant fixées :

• Coordonnées de l'image : pour tout $x\in E$,

$${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{C}}(u(x))={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\cdot {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(x)\text{— en abreˊgeˊ : }Y=AX.$$

• Combinaison linéaire : pour $u,v\in \mathcal{L}(E,F)$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{K}$, ${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(\lambda u+\mu v)=\lambda {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)+\mu {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(v)$ ; ainsi $u\mapsto {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E,F)$ sur ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ — d'où le calcul de la dimension : $\dim \mathcal{L}(E,F)=\dim {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})=np$.
• Composition : $\mathrm{Mat}(v\circ u)=\mathrm{Mat}(v)\mathrm{Mat}(u)$ (avec des bases compatibles) — le produit matriciel a été défini exactement pour cela.
• $u$ est un isomorphisme si et seulement si sa matrice est inversible, et alors la matrice de la réciproque est l'inverse de la matrice : $\mathrm{Mat}\left(u^{-1}\right)=\mathrm{Mat}(u{)}^{-1}$.
• Cas des endomorphismes : $u\mapsto {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(u)$ identifie $\mathcal{L}(E)$ et ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ en transformant la composition en produit matriciel — avec $\mathrm{GL}(E)$ en face de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$.

• Les colonnes de $A$ engendrent l'image : $\mathrm{Im}A=\mathrm{Vect}(C_1,\dots ,C_p)$, et $\mathrm{rg}A$ est le rang de la famille des colonnes — toutes les notions de rang (famille de vecteurs, application linéaire, matrice) coïncident.
• Les lignes de $A$ fournissent un système d'équations du noyau : $AX=0$ s'écrit $L_{i}X=0$ pour chaque ligne.

Pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ (carrée !), il y a équivalence entre :

$$A\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})⟺\mathrm{Ker}A=\{0\}⟺\text{les colonnes engendrent }{\mathbb{K}}^n⟺\mathrm{rg}A=n.$$

En particulier, toute matrice carrée inversible à gauche ou à droite est inversible (c'est l'équivalence injectif/surjectif/bijectif du chapitre 11, traduite en matrices), et l'on retrouve la condition d'inversibilité des matrices triangulaires : diagonale sans zéro $⟺$ le système triangulaire $AX=0$ n'a que la solution nulle.

• Opérations élémentaires : les opérations sur les colonnes conservent l'image, celles sur les lignes conservent le noyau ; toutes conservent le rang.
• Transposition : $\mathrm{rg}\left(A^{\top }\right)=\mathrm{rg}(A)$ — « le rang des lignes égale le rang des colonnes ». Ce résultat est admis (conformément au programme).

Soit $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ de rang $r$.

• Le système homogène $AX=0$ a pour ensemble de solutions $\mathrm{Ker}A$, sous-espace de ${\mathbb{K}}^p$ de dimension

$$\dim \mathrm{Ker}A=p-r\text{(theˊoreˋme du rang)}:$$

$r$ est le rang du système, $p-r$ son nombre de degrés de liberté (les « inconnues libres » du pivot).

• $AX=B$ est compatible si et seulement si $B\in \mathrm{Im}A$ ; l'ensemble des solutions est alors de la forme $X_0+\mathrm{Ker}A$ : une solution particulière plus les solutions du système homogène ($p-r$ degrés de liberté).
• Si $A$ est carrée inversible, le système possède une unique solution $X=A^{-1}B$ : on dit que le système est de Cramer.

Les trois chapitres se referment l'un sur l'autre : le pivot (ch. 2 et 7) calcule, l'algèbre linéaire (ch. 11) structure, les matrices traduisent. Compter les solutions d'un système, c'est désormais appliquer le théorème du rang.

Notons $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\prime }}$ (et $Q=P_{\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\prime }}$ à l'arrivée).

• Vecteur : si $X={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(x)$ et $X^{\prime }={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(x)$, alors

$$\boxed{X=P{X}^{\prime }}$$

(attention au sens : le passage $\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\prime }$ convertit les nouvelles coordonnées en anciennes).

• Application linéaire : si $A={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ et $A^{\prime }={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime },{\mathcal{C}}^{\prime }}(u)$, alors

$$A^{\prime }=Q^{-1}AP.$$

• Endomorphisme (même base aux deux bouts) :

$$\boxed{A^{\prime }=P^{-1}AP.}$$

Soit $u(x,y)=(y,x)$ (échange des coordonnées), de matrice $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ dans la base canonique. Dans la base ${\mathcal{B}}^{\prime }=((1,1),(1,-1))$ : $u(1,1)=(1,1)$ et $u(1,-1)=-(1,-1)$, donc

$$A^{\prime }=P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

La géométrie devient limpide : $u$ est la symétrie par rapport à la diagonale (rencontrée au chapitre 11) — invariante sur $\mathrm{Vect}(1,1)$, opposée sur $\mathrm{Vect}(1,-1)$. Bien choisir la base, c'est rendre l'endomorphisme lisible : c'est le programme de la réduction, en deuxième année.

La symétrie échange $v$ et son reflet par rapport à la diagonale : dans la base adaptée $((1,1),(1,-1))$, sa matrice devient $\mathrm{diag}(1,-1)$.

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ est semblable à $\mathrm{diag}(2,0)$ : dans la base $((1,1),(1,-1))$, l'endomorphisme associé envoie $(1,1)$ sur $2(1,1)$ et $(1,-1)$ sur $0$. Récompense immédiate : $A^k=P\mathrm{diag}(2^k,0)P^{-1}=2^{k-1}A$ pour tout $k\ge 1$ — la bonne base fait les calculs à notre place.

En revanche, $\mathrm{diag}(2,0)$ et $\mathrm{diag}(1,0)$, bien que de même rang $1$, ne sont pas semblables : si l'on avait $\mathrm{diag}(1,0)=P^{-1}\mathrm{diag}(2,0)P$, alors en élevant au carré $\mathrm{diag}(1,0)=P^{-1}\mathrm{diag}(4,0)P=2P^{-1}\mathrm{diag}(2,0)P=2\mathrm{diag}(1,0)$ — absurde. Même rang ne suffit pas.

Chercher une base dans laquelle la matrice d'un endomorphisme devient diagonale ou la plus simple possible — comme dans les deux exemples de cette section — est le point de départ de la réduction des endomorphismes, au programme de deuxième année. Retenons dès maintenant le réflexe : pour calculer les puissances $A^k$, on cherche $D$ simple semblable à $A$, car $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$.